MOKSLASplius.lt
Į pradžią » Astronomijos pagrindai » Dangaus mechanika ir Saulės sistemos sandara

Dviejų kūnų uždavinys. Apibendrinantieji Keplerio dėsniai

Niutonas, pasinaudojęs Keplerio nustatytais empiriniais planetų judėjimo dėsniais, išvedė visuotinės traukos dėsnį, o paskui išsprendė ir atvirkščią uždavinį: iš visuotinės traukos dėsnio išvedė visus tris Keplerio dėsnius, tiktai jau bendresniu pavidalu. Niutonas nagrinėjo dviejų kūnų (pavyzdžiui, Saulės ir planetos) judėjimą, veikiant tik jų tarpusavio traukos jėgai ir neįskaitė kitų kūnų (pavyzdžiui, kitų planetų) traukos įtakos. Kitaip tariant, Niutonas sprendė vadinamąjį dviejų kūnų uždavinį.

Tarkime, dviejų kūnų (tiksliau - materialiųjų taškų) masės yra M ir m, o atstumas tarp jų - r. Paprastai yra nagrinėjamas ne absoliutinis kūnų judėjimas, bet santykinis, t.y. vieno kūno judėjimas kito kūno atžvilgiu. Masės M kūnas (jį laikome centriniu) traukia masės m kūną jėga -GMm / r2 ir suteikia jam pagreitį -GM / r2 . Savo ruožtu tokio pat dydžio, bet priešingos krypties jėga masės m kūnas traukia masės M kūną ir suteikia pastarajam pagreitį Gm / r2. Tada masės m kūno pagreitis masės M kūno atžvilgiu yra -GM / r2 - Gm / r2 = -G (M + m) / r2. Masės m kūno santykinio pagreičio projekcijos į stačiakampės koordinačių sistemos, kurios pradžia sutampa su masės M kūnu, ašis duoda tris antrosios eilės diferencialines lygtis, apibūdinančias santykinį judėjimą:

(2.21)

$\displaystyle \\ \frac {d^2 x} {dt^2} = -G (M + m) \frac {x} {r^3} ;\\ \\ \frac {d^2 y} {dt^2} = -G (M + m) \frac {y} {r^3} ;\\ \\ \frac {d^2 z} {dt^2} = -G (M + m) \frac {z} {r^3} . $


2.17 pav. Dviejų kūnų uždavinys

Šio tipo lygčių sprendimas (integravimas) nagrinėjamas teorinės mechanikos kursuose, todėl čia apsiribosime tik jų sprendinių aptarimu.

Sprendinys, aprašantis kūno santykinės orbitos formą, gaunamas tokio pavidalo:

(2.22)

$\displaystyle r = \frac {p} {1 - e \cos \vartheta} $.

Tai antrosios eilės kreivių (kūgio pjūvių) lygtis polinėse koordinatėse, čia r - masės m kūno spindulys vektorius; $ \vartheta $ - tikroji anomalija (žr. 2.4); e - kreivės ekscentricitetas ir p - kreivės parametras. Taigi veikiant visuotinės traukos jėgoms, vienas dangaus kūnas kito dangaus kūno gravitacijos lauke gali judėti arba apskritimu (e = 0), arba elipse (e < 1), arba parabole (e = 1), arba hiperbole (e > 1) (2.17 pav.). Taip apibendrintas pirmasis Keplerio dėsnis tinka ne tik planetoms, bet ir planetų palydovams, dirbtiniams kosminiams kūnams, visoms kometoms, dvinarėms žvaigždėms ir kt.

Orbitos forma priklauso nuo pradinio greičio, o apskritai kūno greitį v atstumu r nuo centrinio kūno nusako formulė
(2.23)

$\displaystyle v^2 = G (M + m) \left( \frac {2} {r} - \frac {1} {a} \right) $,

čia a - orbitos didysis pusašis. Iš šios formulės matyti, kad atstumu r kūnas judės apskritimu (a = r), kai greitis

(2.24)

$\displaystyle v = v_a = \sqrt {\frac {G (M + m)} {r} } $,

ir parabole (a = ∞), kai

(2.25)

$\displaystyle v = v_p = \sqrt {\frac {2G (M + m)} {r} } = v_a \cdot \sqrt{2} $.

Greitis va vadinamas apskritiminiu greičiu, o vp - paraboliniu greičiu. Jeigu 0 < v < vp (išskyrus v = va), kūnas skries elipse, o jeigu v > vp - hiperbole.

Dangaus mechanikoje (2.23) formulė vadinama energijos integralu. Kitokią prasmę turi taip pat iš (2.21) lygčių išvedamas plotų integralas

(2.26)

$\displaystyle r^2\, \frac {d \vartheta} {dt} = const $.

Kairiojoje šios formulės pusėje yra sudvejinto sektorinio greičio (spindulio vektoriaus r brėžiamo ploto išvestinės pagal laiką) išraiška. Vadinasi, kūno sektorinis greitis yra pastovus dydis arba kitaip - kūno spindulio vektoriaus brėžiamas plotas yra proporcingas laikui. Taigi (2.26) formulė matematiškai išreiškia antrąjį Keplerio (plotų) dėsnį.

Jeigu masės m kūnas skrieja aplink masės M kūną spindulio r apskritimu, tai jo santykinis pagreitis $ G (M + m) / r^2 $ yra tas pats, kas įcentrinis pagreitis $ 4 \pi^2 r / P^2 $, čia P - kūno apskriejimo periodas. Tada

(2.27)

$\displaystyle \frac {P^2 (M + m)} {r^3} = \frac {4\pi^2} {G} = const $.

Tokio pat pavidalo formulė gaunama ir elipsinės orbitos atveju, tiktai tada spindulį r pakeičia orbitos didysis pusašis a. Prisiminus tai, ir lygtis, parašytas pagal (2.27) formulę dviem dviejų kūnų sistemoms (pažymėtoms indeksais "1" ir "2"), padalijus vieną iš kitos, gaunama:

(2.28)

$\displaystyle \frac {P^2_1 (M_1 + m_1)} {P^2_2 (M_2 + m_2)} = \frac {a^3_1} {a^3_2} $,

Tai apibendrintojo (patikslintojo) trečiojo Keplerio dėsnio išraiška. Taikant šią išraišką dviem planetoms, skriejančioms aplink bendrą centrinį kūną - Saulę (M1 = M2 = M), ir nepaisant planetų masių (m1 ir m2 << M), gaunamas empirinis trečiasis Keplerio dėsnis (žr. (2.5) formulę).

Dviejų kūnų sistemoje kūnų absoliutinio (bendro masių centro atžvilgiu) judėjimo ir santykinio judėjimo orbitos yra panašios, o jų didžiųjų pusašių santykis

$ a : A : (A + a) = M : m : (M + m) $.

Dangaus mechanikoje laiko vienetu laikoma viena para lygi 86400 sekundžių, masės vienetu - Saulės masė, ilgio vienetu - astronominis vienetas (žr. Atstumų iki Saulės sistemos kūnų nustatymas. Astronominis vienetas). Pastarasis istorijos bėgyje kito - lėmė astronominių stebėjimų tikslumo augimas.

Astronominėje vienetų sistemoje gravitacijos konstanta žymima k2 (G = k2), o dydis k vadinamas Gauso gravitacijos konstanta. Ji nustatyta pagal (2.27) formulę pritaikytą sistemai Saulė - Žemė su Mėnuliu (joje reikia pakeisti G į k2, r į a0 ir P į T). Būtent,

$\displaystyle k = \frac {2 \pi a_0 ^{3/2}} {T \sqrt {m_S + (m_Z +m_M)} } $,

čia a0 - Žemės orbitos didysis pusašis, T - žvaigždiniai metai išreikšti paromis, $ m_S $, $ m_Z $> ir $ m_M $ - Saulės, Žemės ir Mėnulio masės išreikštos Saulės mase ($ m_S $ = 1). Karlas Gausas (K.F.Gauss) astronominiu ilgio vienetu laikė Žemės orbitos didijį pusašį, t.y. priėmė, jog a0 = 1. Tada pagal nustatytas T, $ m_Z $> ir $ m_M $ vertes išėjo, kad Gauso gravitacijos konstanta k= 0,01720209895. Vėlesnis T, o ypač $ m_Z $> ir $ m_M $ verčių patikslinimas (žr. 2.16 ) vertė keisti k reikšmę, bet to nebuvo daroma, nes ji jau buvo aprėpusi daugelį teorinės astronomijos sprendinių. Todėl, kad galiotų ankstesnė formulė, teko atsisakyti ao kaip ilgio vieneto. Taigi dabar ilgio vienetu, vadinamu astronominiu vienetu (av), laikomas ilgis, kuriam esant Gauso gravitacijos konstanta turi minėtą (nepakeistą) reikšmę. Galima ir taip sakyti: astronominis vienetas lygus spinduliui apskritiminės orbitos, kuria aplink Saulę skrietų nykstamai mažos masės kūnas 2$ \pi $/k parų periodu. Ankstesnį ir dabartinį astronominius ilgio vienetus sieja tokia lygybė: a0 = 1,00000031 av.

‹ Visuotinės traukos dėsnisTrijų ir n (daugelio) kūnų uždavinys ›viršun
spausdinimui