2 skyrius
Hilberto erdvė

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudę "Yes", jos bus automatiškai įvykdytos.

Inicializacija

Šiame sąsiuvinyje pademonstruosime kaip Mathematica terpėje panaudoti Diraco žymėjimus. Tuo tikslu verta pasinaudoti vienu iš keleto šiam tikslui skirtų paketų. Pavyzdžiui, tokią galimybę siūlo   José Luis Gómez - Muñoz "Quantum Notation" paketas .  Šio autoriaus sąsiuvinis v7harmonic.nb

In[1]:=

02_skyrius_1.gif

Norint su dirbti su šiuo sąsiuviniu būtina įkelti "Notation.m" failą. Jis yra "DiracNotation" kataloge, kurį rasite šalia šio sąsiuvinio. Paketas demonstruoja kaip skaičiuoti su Dirac'o bra ir ket vektoriais Hilberto erdvėje naudojant Mathematica sistemą. Jei eilutė žemiau dėl nežinomų priežasčių nėra įvykdoma, šio paketo pagrindinį failą galima įkelti rankiniu būdu surenkant pilną kelią iki paketo (Windows šeimos OS, tai galima padaryti rašant Get["C:\\ManoKatalogas\\DiracNotation\\Notation.m"] (atkreipkite dėmesį į dvigubą brūkšnį), kur ManoKatalogas yra katalogas kuriame randasi šis sąsiuvinis.

In[3]:=

02_skyrius_2.gif

Out[3]=

02_skyrius_3.gif

Šią ląstelę būtina įvykdyti kiekviename sąsiuvinyje, kuriame norite naudoti ket ir bra paketo žymėjimus

In[4]:=

02_skyrius_4.gif

Out[4]=

02_skyrius_5.gif

In[5]:=

02_skyrius_6.gif

Out[5]=

02_skyrius_7.gif

In[6]:=

02_skyrius_8.gif

Out[6]=

02_skyrius_9.gif

Ket ir bra vektorių įvedimas, operatorių apibrėžimas

Paspaudus aukščiau išvardytas kombinacijas galima įvesti ket ir bra vektorius. Taip pat galite pasinaudoti ir atidarytomis paletėmis (tam būtina Mathematica 6 arba aukštesnė versija). Pavyzdžiui paspaudus klavišus [ESC]ket[ESC] pasirodys ket vektoriaus šablonas. spragtelkite pelyte ant jo, ir jis taps pažymėtas informacijos įvedimui. Tada spausdami [TAB][ESC]su[ESC] sukuriame indekso laukelį ir galiausiai [TAB][ESC]phi[ESC][TAB]n  įrašome į juos simbolius (prieš tai reikia patekti ant atitinkamų laukelių)

In[7]:=

02_skyrius_10.gif

Out[7]=

02_skyrius_11.gif

[TAB] klavišo galima nenaudoti, jei simbolius ir indeksus įvedame iš standartinių palečių arba naudojame trumpųjų klavišų kombinacijas (pavyzdžiui indeksą sukursite paspaudę vienu metu Ctrl ir - klavišus)
Norėdami apibėžti mažinantį dalelių skaičių operatorių, kuris veikia į šiuos ket vektorius, rašome

In[8]:=

02_skyrius_12.gif

Out[8]=

02_skyrius_13.gif

Šiuo operatoriumi paveiksime anksčiau įvestą ket vektorių rašydami prieš ket vektorių  a[ESC]on[ESC]

In[9]:=

02_skyrius_14.gif

Out[9]=

02_skyrius_15.gif

Juo galima veikti būseną φ tiek kartų kiek norime keldami laipsniu

In[10]:=

02_skyrius_16.gif

Out[10]=

02_skyrius_17.gif

Pakeitę neapibrėžtą skaičių n fiksuotu kvantų skaičiumi, pavyzdžiui 7, gauname:

In[11]:=

02_skyrius_18.gif

Out[11]=

02_skyrius_19.gif

Analogiškai,  norėdami įvesti bra vektoriaus šabloną rašome [ESC]bra[ESC] .  Ir jį užpildome anksčiau aprašytu būdu. Operatoriui a ermitišką operatorių apibrėžia šablonas [ESC]her[ESC] . Jis veikia tik į bra vektorius, o šio operatoriaus veikimas į ket vektorius nėra apibrėžtas

In[12]:=

02_skyrius_20.gif

Out[12]=

02_skyrius_21.gif

Toliau mes norėtume, kad ket ir bra vektoriai būtų tarpusavyje ortogonalūs. Šią savybę realizuoja toks apibrėžimas:

In[13]:=

02_skyrius_22.gif

Kaip jis veikia lengvai patikrinsime šiais pavyzdžiais

In[14]:=

02_skyrius_23.gif

Out[14]=

02_skyrius_24.gif

In[15]:=

02_skyrius_25.gif

Out[15]=

02_skyrius_26.gif

In[16]:=

02_skyrius_27.gif

Out[16]=

02_skyrius_28.gif

Dabar mes jau galime veikti atsiradimo ir išnykimo operatoriais bet kokias ket vektorių kombinacijas, pavyzdžiui

In[17]:=

02_skyrius_29.gif

Out[17]=

02_skyrius_30.gif

In[18]:=

02_skyrius_31.gif

Out[18]=

02_skyrius_32.gif

Ar net mėginti apskaičiuoti matricinius elementus, kai ket vektorius yra 02_skyrius_33.gifįvairių kitų ket vektorių suma su nežinomais koeficientias 02_skyrius_34.gif . Šie koeficientai dauginami iš ket vektoriaus paprastu daugybos ženklu (arba tarpeliu)

In[19]:=

02_skyrius_35.gif

Out[19]=

02_skyrius_36.gif

In[20]:=

02_skyrius_37.gif

Out[20]=

02_skyrius_38.gif

Aišku, pastarasis mėginimas nėra visiškai sėkmingas, nes jungtinis operatorius "nežino" kaip veikti į ket vektorių. Tačiau jei 02_skyrius_39.gif išskleisime per komutatorius komanda ir pareikalausim, kad jungtinis operatorius liktų tik kairėje pusėje

In[21]:=

02_skyrius_40.gif

Out[21]=

02_skyrius_41.gif

Tai matricinį elementą galėsime apskaičiuoti, jei prieš tai apibrėšime operatorių a ir 02_skyrius_42.gif komututatorių

In[22]:=

02_skyrius_43.gif

Out[22]=

02_skyrius_44.gif

Tada perrašę sandaugą02_skyrius_45.gifper komutatorius

In[23]:=

02_skyrius_46.gif

Out[23]=

02_skyrius_47.gif

matome, kad išraiškoje juntinis operatorius jau stovi tik kairėje pusėje, todėl norimą matricinį elementą galima apskaičiuoti iki galo

In[24]:=

02_skyrius_48.gif

Out[24]=

02_skyrius_49.gif

Žinoma, tą patį gausime, jei iš karto būtume apibrėžę dalelių atsiradimo operatoriaus veikimą į ket vektorius:

In[25]:=

02_skyrius_50.gif

Out[25]=

02_skyrius_51.gif

Todėl dabar matriciniam elementui apskaičiuoti jau nereikia jokių gudrių pertvarkymų

In[26]:=

02_skyrius_52.gif

Out[26]=

02_skyrius_53.gif

Taip pat visai nesunku ￿įsitikinti, kad operatorius   02_skyrius_54.gifa  veikdamas į būseną 02_skyrius_55.gif duoda kvantų skaičių n.

In[27]:=

02_skyrius_56.gif

Out[27]=

02_skyrius_57.gif

Todėl jis vadinamas dalelių skaičiaus operatoriumi. Įprastinę harmoninio osciliatoriaus banginę funkciją, kuri priklauso nuo dalelės padėties erdvėje gausime, jei ją apibrėšime tokiu būdu

In[28]:=

02_skyrius_58.gif

Čia svarbu, kad kairėje pusėje stovėtų ne abstrakti funkcija, o skaičius:

In[29]:=

02_skyrius_59.gif

Out[29]=

02_skyrius_60.gif

Dabar galime nesunkiai nupiešti norimos būsenos  banginę funkciją

In[30]:=

02_skyrius_61.gif

Out[30]=

Graphics:Būsenos n=2 banginė funkcija

Tikimybę aptikti norimame taške nusako banginės funkcijos modulio kvadratas. Modulį gražiai apskaičiuosime paspaudę [ESC]norm[ESC]
šabloną, todėl, pavyzdžiui

In[31]:=

02_skyrius_63.gif

Out[31]=

02_skyrius_64.gif

In[32]:=

02_skyrius_65.gif

Out[32]=

02_skyrius_66.gif

O dabar jau visai nesunku nupiešti ir esančios būsenoje 02_skyrius_67.gif tikimybės grafiką, iš kurio galima spręsti kokia yra tikimybė dalelę aptikti pasirinktame erdvės taške

In[33]:=

02_skyrius_68.gif

Out[33]=

Graphics:Tikimybės tankio grafikas

Aišku, kad tikimybė dalelė aptikti bet kur erdvėje yra lygi vienetui

In[34]:=

02_skyrius_70.gif

Out[34]=

02_skyrius_71.gif

Daugiau šio paketo taikymo pavyzdžių rasite įvykdę žemiau esančią ląstelę. Ji atidaro pagalbos sąsiuvinį, su kuriuo galėsite susipažinti patys.

In[35]:=

02_skyrius_72.gif

Out[35]=

02_skyrius_73.gif

Pabaigę apskaičiavimus atsijungiame nuo branduolio

In[36]:=

02_skyrius_74.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08