4 skyrius
Energijos lygmenys ir idealizacija

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

04_skyrius_1.gif

Apibrėžiame kaip skaičiuoti kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

04_skyrius_2.gif

Visuose brėžiniuose užduodame tą patį šriftą ir jo dydį

In[3]:=

04_skyrius_3.gif

In[4]:=

04_skyrius_4.gif

Out[4]=

04_skyrius_5.gif

In[5]:=

04_skyrius_6.gif

Out[5]=

04_skyrius_7.gif

Spektrai ir tikriniai vektoriai įvairioms 2L sistemoms

Paulio matricos

Paulio matricos 04_skyrius_8.gif atvaizde

In[6]:=

04_skyrius_9.gif

Out[9]=

04_skyrius_10.gif

Gražiai pavaizdavome su MatrixForm[].

2L sistema

2L sistemos hamiltonianas H = Ed σz + νr σx + ∨i σy

In[10]:=

04_skyrius_11.gif

Out[10]//MatrixForm=

04_skyrius_12.gif

Hamiltonianas yra ermitinis, t.y. 04_skyrius_13.gif. Patikrinkime:

In[11]:=

04_skyrius_14.gif

Out[11]=

04_skyrius_15.gif

Diagonali energijos E  ≡  en  matrica

In[12]:=

04_skyrius_16.gif

Out[12]//MatrixForm=

04_skyrius_17.gif

Šių matricų skirtumo

In[13]:=

04_skyrius_18.gif

Out[13]//MatrixForm=

04_skyrius_19.gif

determinantą

In[14]:=

04_skyrius_20.gif

Out[14]=

04_skyrius_21.gif

prilyginę nuliui gauname lygtį energijų atžvilgiu. Išsprendę  en atžvilgiu rasime tikrines energijas

In[15]:=

04_skyrius_22.gif

Out[15]=

04_skyrius_23.gif

◆ Tą patį gaulima gauti iš karto  su Eigenvalues komanda

In[16]:=

04_skyrius_24.gif

Out[16]=

04_skyrius_25.gif

Pasirinkę Ed = 1 ir νi = 0, nubraižome energijos priklausomybę nuo sąveikos tarp plikųjų lygmenų  pastoviosios  νr  dydžio

In[17]:=

04_skyrius_26.gif

Out[18]=

04_skyrius_27.gif

Tikriniai vektoriai

Surasime tikrinius vektorius, atitinkančius tikrines vertes

In[19]:=

04_skyrius_28.gif

Out[19]=

04_skyrius_29.gif

Įvesime pažymėjimą 04_skyrius_30.gif, kurį realizuoja dvi paprastos taisyklės. Pirmoji kvadratinę šaknį pakeičia nauju pažymėjimu Es, antroji atvirkščiai -- vietoje Es įrašo šaknį.

In[20]:=

04_skyrius_31.gif

Out[20]=

04_skyrius_32.gif

Out[21]=

04_skyrius_33.gif

Kadangi pilno Hamiltoniano  pavidalas yra

In[22]:=

04_skyrius_34.gif

Out[22]//MatrixForm=

04_skyrius_35.gif

tai įstatę pirmąją tikrinę vertę ir pažymėję pirmąjį tikrinį vektorių  {x1, y1},  galime parašyti dvi algebrines lygtis:

In[23]:=

04_skyrius_36.gif

Out[23]//MatrixForm=

04_skyrius_37.gif

Prilyginę abi išraiškas nuliui  ir  išsprendę gautą dviejų lygčių sistemą matome, kad gauti kintamieji  x1 ir y1 yra tiesiškai vienas nuo kito priklausomi (tai rodo vienas gautas sprendinys, nes bendru atveju sprendinių turėtų būti du, o taip pat komandos perspėjimas )

In[24]:=

04_skyrius_38.gif

04_skyrius_39.gif

Out[24]=

04_skyrius_40.gif

Įstatę antrąją tikrinę vertę ir pažymėję antrąjį tikrinį vektorių  {x2, y2},  tokiu pačiu būdu užrašome kitas  dvi lygtis

In[25]:=

04_skyrius_41.gif

Out[25]=

04_skyrius_42.gif

ir randame jų sprendinį

In[26]:=

04_skyrius_43.gif

04_skyrius_44.gif

Out[26]=

04_skyrius_45.gif

kuris  rodo, kad x2 ir y2 yra taip pat tiesiškai priklausomi

◆ Su Mathematica hamiltoniano ham2 tikrinius vektorius   {x1, y1} ir {x2, y2} galima gauti iš karto  su komanda Eigenvectors[ ]

In[27]:=

04_skyrius_46.gif

Out[27]=

04_skyrius_47.gif

Nors gautieji vektoriai nėra normuoti į vienetą, tačiau jie yra vienas kitam  ortogonalūs

In[28]:=

04_skyrius_48.gif

Out[28]=

04_skyrius_49.gif

In[29]:=

04_skyrius_50.gif

Out[29]=

04_skyrius_51.gif

In[30]:=

04_skyrius_52.gif

Out[30]=

04_skyrius_53.gif

Tikrinius vektorius egvec2[[1]] ir egvec2[[2]]  sunormuojame ir sukeičiame numerius vietomis

In[31]:=

04_skyrius_54.gif

Out[31]=

04_skyrius_55.gif

In[32]:=

04_skyrius_56.gif

Out[32]=

04_skyrius_57.gif

Įsitikiname, kad dabar abu  2L hamiltoniano tikriniai vektoriai vecN1 ir vecN2   yra ortonormuoti, t.y. tenkina  <1|1> = <2|2> = 1 ir <1|2> = <2|1> = 0 sąlygas

In[33]:=

04_skyrius_58.gif

Out[33]=

04_skyrius_59.gif

Out[34]=

04_skyrius_60.gif

In[35]:=

04_skyrius_61.gif

Out[35]=

04_skyrius_62.gif

Out[36]=

04_skyrius_63.gif

Žinoma, tikrinius vektorius kartu su jiems atitinkačiomis tikrinėmis vertėmis galima gauti viena Eigensystem[] komanda

In[37]:=

04_skyrius_64.gif

Out[37]=

04_skyrius_65.gif

O tada juos sunormuoti komanda  Normalize[], ir supaprastinti su FullSimplify[]. Tiesa, kad gautime identiškas išraiškas mums reikia apmokyti Mathematica , kad prastindama reiškinius dydžius {Ed, Es, vi, vr} laikytų realiaisiais skaičiais, o  energijas dar ir  teigiamais. Šiuos nurodymus įrašome į parinktį Assumptions

In[38]:=

04_skyrius_66.gif

Out[38]=

04_skyrius_67.gif

Sukeitus tvarką, šie vektoriai visiškai sutampa su anksčiau apskaičiuotais. Nesunku patikrinti, kad knygoje pateiktos išraiškos sutampa su čia apskaičiuotomis. Iš tiesų, formulės  knygoje

In[39]:=

04_skyrius_68.gif

Out[39]=

04_skyrius_69.gif

In[40]:=

04_skyrius_70.gif

Out[40]=

04_skyrius_71.gif

Iš jų atimame ką tik apskaičiuotus vektorius ir supaprastiname

In[41]:=

04_skyrius_72.gif

Out[41]=

04_skyrius_73.gif

Gauti vektoriai tenkina tikrinių verčių lygtį H |ψi> = Ei |ψi>, kur |ψi> ir Ei yra atitinkami tikriniai vektoriai ir vertės (energijos, spektras). Tuo įsitikinsime apskaičiavę  lygties H |ψi> = Ei |ψi> kairiąją ir dešiniąją puses ir po to vieną iš kitos atėmę. Rezultatas yra nulinis vektorius.  (Pastaba: Paprastai  knygose dešiniosios ir kairiosios pusės  palyginamos komanda Equal[ ] arba ==, kuri gražina vertes True arba False.  Tačiau, padarius klaidą, ir gavus nenulinį skirtumą, iš pastarojo dažnai galima nuspėti kur yra klaida. Tuo tarpu  atsakymas False yra mažai informatyvus.)
Tikriname pirmąjį tikrinį vektorių ir vertę

In[42]:=

04_skyrius_74.gif

Out[42]=

04_skyrius_75.gif

In[43]:=

04_skyrius_76.gif

Out[43]=

04_skyrius_77.gif

Tą pačią procedūrą pakartojame antram vektoriui

In[44]:=

04_skyrius_78.gif

Out[44]=

04_skyrius_79.gif

In[45]:=

04_skyrius_80.gif

Out[45]=

04_skyrius_81.gif

◆ Kvantinė mechanika sako, kad žinant bet kokios kvantinės sistemos tikrinius vektorius galima sukonstruoti unitarinę transformacinę matrica U =   transformacijaU, su kurią bus galima diagonalizuoti hamiltonianą. Naginėjamu 2L lygmenų atveju turėsime tokią unitarinę matricą

In[46]:=

04_skyrius_82.gif

Out[46]//MatrixForm=

04_skyrius_83.gif

Patikriname, kad gauta matrica yra unitarinė, t.y. tenkina 04_skyrius_84.gif,

In[47]:=

04_skyrius_85.gif

Out[47]//MatrixForm=

04_skyrius_86.gif

Dabar, pasinaudoję gauta unitarinę matrica, diagonalizuojame hamiltonianą pagal formulę U H 04_skyrius_87.gif (matricų tvarka yra svarbi)

In[48]:=

04_skyrius_88.gif

Out[48]//MatrixForm=

04_skyrius_89.gif

Kaip ir kiekvienos diagonalios matricos, šio hamiltoniano tikriniai vektoriai yra stulpeliai ar eilutės sudaryti iš vieno vienetuko ir likusių nulių.  Nagrinėjamu atveju tikriniai vektoriai bus (1,0) ir (0,1).  Juos taip pat galime rasti unitarine transformacine matrica paveikę tikrinius vektorius U |ψi> = (1,0) arba (0,1). Iš tikrųjų,

In[49]:=

04_skyrius_90.gif

Out[49]=

04_skyrius_91.gif

In[50]:=

04_skyrius_92.gif

Out[50]=

04_skyrius_93.gif

◆ Taigi gavome, kad 04_skyrius_94.gif atvaizde 2L sistemos  tikriniai vektoriai yra

In[51]:=

04_skyrius_95.gif

Out[51]=

04_skyrius_96.gif

Out[52]=

04_skyrius_97.gif

o energiniame atvaizde tie patys tikriniai vektoriai yra

In[53]:=

04_skyrius_98.gif

Out[53]=

04_skyrius_99.gif

Out[54]=

04_skyrius_100.gif

Uždavinys: Suraskite kaip atrodo Paulio matricos energetiniame atvaizde.

2L systemų pavyzdžiai (piešinių generavimas)

Rėmelis ir tinklelis, kurie fiksuoja braižomų elementų koordinates brėžinyje

Brėžinio rėmelis

Žemiau pateikta funkcija brėžia rėmelį, kurio apatinis kairysis ir viršutinis dešinysis kampai yra taškuose {x1,y1} ir {x2,y2}. Jei norime, galime užrašyti rėmelio pavadinimą kabutėse.  Sąraše {r,g,b} nusakome rėmelio spalvą, 0 < r,g,b < 1.  Jei  {r,g,b}={1,1,1} rėmelis tampa nematomas, tačiau jis fiksuoja horizontalios ir vertikalios rėmo dalies santykį.

In[55]:=

04_skyrius_101.gif

Pavyzdžiui, į funkciją  frame[ ] įrašę tokius parametrus,

In[56]:=

04_skyrius_102.gif

ir vizualizavę brėžinį su komanda Show[ ], gauname

In[57]:=

04_skyrius_103.gif

Out[57]=

04_skyrius_104.gif

Tinklelis

Kad būtų lengviau braižyti, rėmelyje braižysime tinklelį, kurį išimsime baigę brėžinį.  Tinklelį braižome su funkcija grid[ ]. Koordinačių {x1,y1} and {x2,y2} vaidmuo panašus kaip ir komandoje frame[ ]. Komanda n = 10 horizontaliai ir vertikaliai rėmelį dalina į dešimt dalių. Šį skaičių pakeitę rėmelį sudalinsime pagal savo poreikius.

In[58]:=

04_skyrius_105.gif

Rėmelio ir tinklelio funkcijų taikymo pavyzdys

In[59]:=

04_skyrius_106.gif

Out[60]=

04_skyrius_107.gif

◆ Žemiau pateikti brėžiniai yra sudaryti iš atskirų detalių (linijų, strėlių, teksto, daugiakampių  ir t. t.). Galutinį brėžinį surenka komanda Show[ ].  Brėžinyje atskiras detales galima įdėti ir išimti įrašant arba ištrinant jų identifikatorius komandoje Show[ ]. Detalių identifikatorių eiliškumas nurodo kurios detalės bus pavaizduotos pirmiausia, o kurios vėliau.

Sukinio  2L sistema magnetiniame lauke

In[61]:=

04_skyrius_108.gif

In[62]:=

04_skyrius_109.gif

Out[62]=

04_skyrius_110.gif

In[63]:=

04_skyrius_111.gif

Out[63]=

04_skyrius_112.gif

In[64]:=

04_skyrius_113.gif

In[66]:=

04_skyrius_114.gif

Out[66]=

04_skyrius_115.gif

Kaip piešinius eksportuoti į norimą formatą aptarėme pirmame sąsiuvinyje.

Sukabinti kvantiniai šuliniai

In[67]:=

04_skyrius_116.gif

In[68]:=

04_skyrius_117.gif

Out[68]=

04_skyrius_118.gif

In[69]:=

04_skyrius_119.gif

Out[69]=

04_skyrius_120.gif

In[70]:=

04_skyrius_121.gif

In[71]:=

04_skyrius_122.gif

Out[71]=

04_skyrius_123.gif

Energijos lygmenų spektras

In[72]:=

04_skyrius_124.gif

In[73]:=

04_skyrius_125.gif

In[74]:=

04_skyrius_126.gif

Out[74]=

04_skyrius_127.gif

In[75]:=

04_skyrius_128.gif

Out[75]=

04_skyrius_129.gif

In[76]:=

04_skyrius_130.gif

In[78]:=

04_skyrius_131.gif

Out[78]=

04_skyrius_132.gif

In[79]:=

04_skyrius_133.gif

In[80]:=

04_skyrius_134.gif

Out[80]=

04_skyrius_135.gif

NH3

In[81]:=

04_skyrius_136.gif

In[82]:=

04_skyrius_137.gif

In[84]:=

04_skyrius_138.gif

In[86]:=

04_skyrius_139.gif

Out[86]=

04_skyrius_140.gif

In[87]:=

04_skyrius_141.gif

Out[87]=

04_skyrius_142.gif

Out[88]=

04_skyrius_143.gif

In[89]:=

04_skyrius_144.gif

Out[89]=

04_skyrius_145.gif

Out[90]=

04_skyrius_146.gif

Out[91]=

04_skyrius_147.gif

In[92]:=

04_skyrius_148.gif

Out[92]=

04_skyrius_149.gif

Out[93]=

04_skyrius_150.gif

Galutinį brėžinį vizualizuojame komanda Show[ ].

In[94]:=

04_skyrius_151.gif

In[95]:=

04_skyrius_152.gif

Out[95]=

04_skyrius_153.gif

Pabaigę apskaičiavimus atsijungiame nuo branduolio

In[96]:=

04_skyrius_154.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08