5a skyrius
Dvigubo šulinio spektras ir banginės funkcijos

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

05a_skyrius_1.gif

Apibrėžiame kaip skaičiuoti kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

05a_skyrius_2.gif

Visuose brėžiniuose užduodame tą patį šriftą ir jo dydį bei

In[3]:=

05a_skyrius_3.gif

In[4]:=

05a_skyrius_4.gif

Out[4]=

05a_skyrius_5.gif

In[5]:=

05a_skyrius_6.gif

Out[5]=

05a_skyrius_7.gif

Šis sąsiuvinis paeiliui atkartoja knygos skyriaus medžiagą. Kitame, 5b_skyrius sąsiuvinyje, dvigubo šulinio uždavinys analizuojamas plačiau. Ten parodyta kaip išreikštai nežinant tikrinių energijų kartais galima sukonstruoti tikslias bangines funkcijas, tačiau jame gauti rezultatai dėl ribotos apimties į knygą nėra įtraukti.

Dvigubo šulinio piešinys

Piešinį konstruojame lygiai taip pat kaip 4 skyriuje.

In[6]:=

05a_skyrius_8.gif

In[7]:=

05a_skyrius_9.gif

In[8]:=

05a_skyrius_10.gif

In[9]:=

05a_skyrius_11.gif

In[10]:=

05a_skyrius_12.gif

In[11]:=

05a_skyrius_13.gif

In[12]:=

05a_skyrius_14.gif

Out[12]=

05a_skyrius_15.gif

Dvigubo šulinio spektras

Banginės funkcijos šulinio  srityse  1, 2, 3 užrašytos žemiau. Eksponenčių daugikliai čia sukonstruoti kiek galima paprasčiau. Vėliau apytiklėse funkcijose vietoje 05a_skyrius_16.gif  ir 05a_skyrius_17.gif rašysime atitinkamai 05a_skyrius_18.gif ir 05a_skyrius_19.gif. Tai neprieštarauja šiai paprastesnei fomai, nes konstantas 05a_skyrius_20.gif visada galima įtraukti į ieškomus daugiklius B1 ar B2. Šulinyje banginės funkcijos harmoniškai osciliuoja, o šulinius skiriančiame barjere krinta eksponentiškai, todėl rašome

In[13]:=

05a_skyrius_21.gif

Out[13]=

05a_skyrius_22.gif

kur  tikrines energijas En (kurių toliau ieškosime) ir potencialą V0 bei dydžius k ir χ sieja sąryšis

In[14]:=

05a_skyrius_23.gif

◆ Banginės funkcijos ir jos išvestinės tolydumo tarp 1 ir 2 sričių sąlygos

In[16]:=

05a_skyrius_24.gif

Out[16]=

05a_skyrius_25.gif

Banginės funkcijos ir jos išvestinės tolydumo tarp 2 ir 3 sričių sąlygos

In[17]:=

05a_skyrius_26.gif

Out[17]=

05a_skyrius_27.gif

◆ Sudedam arba atimam atitinkamas lygtis taip eliminuodami arba B1, arba B2. Jei reikia, padauginę iš atvirkštinės eksponentės "atsikratome" eksponentinio daugiklio.

In[18]:=

05a_skyrius_28.gif

Out[18]=

05a_skyrius_29.gif

Out[19]=

05a_skyrius_30.gif

In[20]:=

05a_skyrius_31.gif

Out[20]=

05a_skyrius_32.gif

Out[21]=

05a_skyrius_33.gif

Gautos dvi sistemos priklauso arba nuo B1, arba nuo B2. Iš šių lygčių eliminavę B1 ir B2,  gauname lygtys, kurios priklauso jau tik nuo koeficientų A ir C

In[22]:=

05a_skyrius_34.gif

Out[22]=

05a_skyrius_35.gif

Out[23]=

05a_skyrius_36.gif

◆ Gautos lygtys turės netrivialius (nenulinius)  sprendinius  A ir C,  tik tada, kai sistemos koeficientų matricos determinantas nebus lygus nuliui.

In[24]:=

05a_skyrius_37.gif

Out[24]//MatrixForm=

05a_skyrius_38.gif

Apskaičiuojame determinantą ir prilyginame jį nuliui. Kad aiškiau matytume jo struktūrą prieš tai išraišką faktorizuojame ir surenkame daugiklius prie vienodų eksponenčių

In[25]:=

05a_skyrius_39.gif

Out[25]=

05a_skyrius_40.gif

Akivaizdu, kad jis bus lygus nuliui, kai atskiri daugikliai bus lygūs nuliui. Sąlygas, kurias reikia tenkinti užrašysime gražiau, jei abu daugiklius prieš tai dar padalinsime iš Cos[a k] :

In[26]:=

05a_skyrius_41.gif

Out[26]=

05a_skyrius_42.gif

Tokiu būdu gauname, kad turi būti tenkinama kuri nors iš sąlygų:

05a_skyrius_43.gif

Šias lygtys perrašome kaip dviejų lygčių sistemą eqn1 = 0 ir eqn2 = 0

In[27]:=

05a_skyrius_44.gif

Out[27]=

05a_skyrius_45.gif

Išsprendžiame jas Tan[a k] atžvilgiu

In[28]:=

05a_skyrius_46.gif

Out[28]=

05a_skyrius_47.gif

◆ Gautą rezultatą  perrašome tokiu pavidalu:

In[29]:=

05a_skyrius_48.gif

Out[29]=

05a_skyrius_49.gif

Kadangi  b χ>>1, galime rašyti 05a_skyrius_50.gif≈(1+x)

05a_skyrius_51.gif

Čia skaitiklį ir vardiklį pirmiausia padalijome iš 05a_skyrius_52.gif, o to to pasinaudojome gerai žinomu geometrinės eilutės artiniu. 05a_skyrius_53.gif≈(1+x), gerai galiojančiu, kai x yra mažas dydis.

Atmetę paskutinį narį turime:

05a_skyrius_54.gif

Šiuos žingsnius galima pakartoti ir su Mathematica, nors "popieriaus ir pieštuko" transformacijas atlikti su  kompiuterinėmis algebros sistemomis kartais gali ir nebūti taip paprasta. Pirmuoju žingsniu  paimame abiejų išraiškų dešiniąsias puses ir jas padalinkime iš 05a_skyrius_55.gif, o gautus vardiklius supaprastinkim.

In[30]:=

05a_skyrius_56.gif

Out[30]=

05a_skyrius_57.gif

Kaip matome, norėdami išgauti "žmogiškai" gražią vardiklio formą turėjome panaudoti Simplify[ ] funkciją, kuriai išreikštai nurodėme, kad "gražesne" laikytų tą išraišką, kurioje yra mažiau kintamųjų χ.

Tada atliekame pakeitimus (1/(05a_skyrius_58.gif) → (1+05a_skyrius_59.gif)) ir  (1/(05a_skyrius_60.gif)→(1-05a_skyrius_61.gif)) ir gautas išraiškas išskleidžiame

In[31]:=

05a_skyrius_62.gif

Out[31]=

05a_skyrius_63.gif

Pagaliau pašaliname aukštesnės eilės narius ir rezultatą supaprastiname.

In[32]:=

05a_skyrius_64.gif

Out[32]=

05a_skyrius_65.gif

Taigi,

In[33]:=

05a_skyrius_66.gif

Out[33]=

05a_skyrius_67.gif

Kai χ→∞ abiem atvejais

In[34]:=

05a_skyrius_68.gif

Out[34]=

05a_skyrius_69.gif

Taigi, Tan[a k] = 0, ir todėl iš nulinio artinio randame sąlygą koeficientui k

In[35]:=

05a_skyrius_70.gif

Out[35]=

05a_skyrius_71.gif

Iš jos randame, kad nulinio artinio energija ir χ yra (ji sutampa su begalinio šulinio energija)

In[36]:=

05a_skyrius_72.gif

Out[36]=

05a_skyrius_73.gif

In[37]:=

05a_skyrius_74.gif

Out[37]=

05a_skyrius_75.gif

◆ Gautose formulėse

05a_skyrius_76.gif

Tan [a k] išskleidę Taylor eilute ir įstatę nulinį artinį, gausime pirmąjį artinį. Skleidinio ieškosime taško k0 aplinkoje

In[38]:=

05a_skyrius_77.gif

Out[38]=

05a_skyrius_78.gif

Nuliniame artinyje tenkinama sąlyga Tan[a k0] → 0, todėl turime

In[39]:=

05a_skyrius_79.gif

Out[39]=

05a_skyrius_80.gif

Iš čia seka lygtis pirmajam artiniui 05a_skyrius_81.gif

05a_skyrius_82.gif

arba  pirmasis artinys bus

05a_skyrius_83.gif

Šias išraiškas nesunku gauti ir su Mathematica .

In[40]:=

05a_skyrius_84.gif

Out[40]=

05a_skyrius_85.gif

In[41]:=

05a_skyrius_86.gif

Out[41]=

05a_skyrius_87.gif

In[42]:=

05a_skyrius_88.gif

Out[42]=

05a_skyrius_89.gif

In[43]:=

05a_skyrius_90.gif

Out[43]=

05a_skyrius_91.gif

◆ Žinodami pirmojo artėjimo banginį vektorių jau galima apskaičiuoti ir pirmojo artėjimo energiją

05a_skyrius_92.gif

Taigi, pirmajame artėjime energija yra

05a_skyrius_93.gif

Apskaičiavimus patikrinsime su Mathematica .

In[44]:=

05a_skyrius_94.gif

Out[44]=

05a_skyrius_95.gif

In[45]:=

05a_skyrius_96.gif

Out[45]=

05a_skyrius_97.gif

In[46]:=

05a_skyrius_98.gif

Out[46]=

05a_skyrius_99.gif

In[47]:=

05a_skyrius_100.gif

Out[47]=

05a_skyrius_101.gif

In[48]:=

05a_skyrius_102.gif

Out[48]=

05a_skyrius_103.gif

In[49]:=

05a_skyrius_104.gif

Out[49]=

05a_skyrius_105.gif

In[50]:=

05a_skyrius_106.gif

Out[50]=

05a_skyrius_107.gif

Taigi, įstačius vertes turime:

In[51]:=

05a_skyrius_108.gif

Out[51]=

05a_skyrius_109.gif

In[52]:=

05a_skyrius_110.gif

Out[52]=

05a_skyrius_111.gif

Gautos išraiškos  rodo, kad lygmenų suskilimą duoda trečiasis, turintis barjero plotį b, narys. Pirmieji du nariai atsiranda sprendžiant begalinio pločio barjero uždavinį. Juos gautume nagrinėdami duobę su vienu begaliniu ir vienu baigtiniu barjeru.

Banginės funkcijos

Skaičiavimus atliksime atominių vienetų (e = m = h = 1) sistemoje.
Nulinis bangos vektoriaus artinys

In[53]:=

05a_skyrius_112.gif

Out[53]=

05a_skyrius_113.gif

◆ Apatiniam energijos lygmeniui atitiks tokios banginės funkcijos.

In[54]:=

05a_skyrius_114.gif

Sužadintam (viršutiniam)  lygmeniui atitiks tokios banginės funlcijos

In[55]:=

05a_skyrius_115.gif

◆ Užsiduodame parametrų vertes

In[56]:=

05a_skyrius_116.gif

Tada apibrėžiame skaitmenines bangines funlcijas, kurios jau priklauso tik nuo koordinatės x

In[57]:=

05a_skyrius_117.gif

◆ Nubraižome banginės funkcijos visoje x-ų ašyje

In[59]:=

05a_skyrius_118.gif

Out[59]=

Graphics:ψ      approx

Superpozicija

Pradžioje  skaitiškai pasitikrinkime kiek geros anksčiau  gautos apytikslės  ir tikslios banginės funkcijos.
Normuotumas  ∫ 05a_skyrius_120.gif dx = 1

In[60]:=

05a_skyrius_121.gif

Out[60]=

05a_skyrius_122.gif

In[61]:=

05a_skyrius_123.gif

05a_skyrius_124.gif

05a_skyrius_125.gif

Out[61]=

05a_skyrius_126.gif

Kaip matome mūsų apytikslės funkcijos norma skiriasi nuo vieneto trečiame ženkle (8% paklaida).  Nepaisant to ortogonalumas ∫ 05a_skyrius_127.gif dx = 0 yra tenkinamas, nes viena iš mūsų funkcijų visada yra simetrinė, o kita antisimetrinė.

◆ Palyginimui apskaičiuokime suskilusių lygmenų energijas

Energijos tikrinės vertės apskaičiuojamos iš hamiltoniano

05a_skyrius_128.gif

Pagrindinė būsena

In[62]:=

05a_skyrius_129.gif

Out[62]=

05a_skyrius_130.gif

Sužadinta būsena

In[63]:=

05a_skyrius_131.gif

Out[63]=

05a_skyrius_132.gif

Jei palyginsime energijos  skirtumus tarp sužadinto ir pagrindinio lygmens iš hamiltoniano 05a_skyrius_133.gif vidurkinimo

In[64]:=

05a_skyrius_134.gif

Out[64]=

05a_skyrius_135.gif

su rastais pagal perturbacijų teoriją

In[65]:=

05a_skyrius_136.gif

Out[65]=

05a_skyrius_137.gif

turėsime palyginus didelį nesutapimą. Taip atsitiko dėl to, kad apytikslių banginių funkcijų tikslumas nėra pakankamas mažiems dydžiams skaičiuoti.

◆ Nubraižysime teigiamą ir neigiamą banginių funkcijų superpoziciją.

In[66]:=

05a_skyrius_138.gif

Out[66]=

Graphics:Teigiama ψ superpozicija

In[67]:=

05a_skyrius_140.gif

Out[67]=

Graphics:Neigiama ψ superpozicija

Dipolis ir impulsas

◆ Pasinaudoję anksčiau rastomis banginėmis funkcijomis rasime dipolio dydį

05a_skyrius_142.gif

Pastebėsime, kad dėl pasirinktos atskaitos pradžios taško x šioje bendroje formulėje reikia pakeisti į x-a-b/2

In[68]:=

05a_skyrius_143.gif

Out[68]=

05a_skyrius_144.gif

Baigę uždarome branduolį

In[69]:=

05a_skyrius_145.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08