5b skyrius
Dvigubo šulinio spektras ir banginės funkcijos

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

05b_skyrius_1.gif

Apibrėžiame kaip skaičiuoti kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

05b_skyrius_2.gif

Visuose brėžiniuose užduodame tą patį šriftą ir jo dydį bei

In[3]:=

05b_skyrius_3.gif

In[4]:=

05b_skyrius_4.gif

Out[4]=

05b_skyrius_5.gif

In[5]:=

05b_skyrius_6.gif

Out[5]=

05b_skyrius_7.gif

Šis sąsiuvinis gerokai išplečia skyriaus medžiagą. Jame aptarta kaip naudojant Groebnerio bazes kartais galima gauti tikslias bangines funkcijas išreikštai nežinant tikrinių energijų. Dėl ribotos apimties šie rezultatai nėra aprašyti knygos tekste.

Dvigubo šulinio piešinys

Piešinį konstruojame lygiai taip pat kaip 4 skyriuje.

In[6]:=

05b_skyrius_8.gif

In[7]:=

05b_skyrius_9.gif

In[8]:=

05b_skyrius_10.gif

In[9]:=

05b_skyrius_11.gif

In[10]:=

05b_skyrius_12.gif

In[11]:=

05b_skyrius_13.gif

In[12]:=

05b_skyrius_14.gif

Out[12]=

05b_skyrius_15.gif

Banginės funkcijos: tikslūs rezultatai

Banginės funkcijos šulinio  srityse  1, 2, 3. Šulinyje banginės funkcijos harmoniškai osciliuoja, o šulinius skiriančiame barjere krinta eksponentiškai. Skirtingai nei 5a sąsiuvinyje dabar iš karto eksponenčių rodikliuose atsižvelgiame į barjero vietą:

In[13]:=

05b_skyrius_16.gif

Out[13]=

05b_skyrius_17.gif

Tikrines energijas Energy[n] (kurių toliau ieškosime) ir potencialą V0 bei dydžius k ir χ sieja sąryšis. Ieškant banginių funkcijų šių sąryšių mums neprireiks.

In[14]:=

05b_skyrius_18.gif

◆ Banginės funkcijos ir jos išvestinės tolydumo tarp 1 ir 2 sričių sąlygos

In[16]:=

05b_skyrius_19.gif

Out[16]=

05b_skyrius_20.gif

Banginės funkcijos ir jos išvestinės tolydumo tarp 2 ir 3 sričių sąlygos

In[17]:=

05b_skyrius_21.gif

Out[17]=

05b_skyrius_22.gif

◆ Gautas išraiškas reikia prilyginti nuliui. Esant bet kokiems koeficientams A,B1, B2 ir C šios lygtys yra tiesiškai nepriklausomos, todėl jas tenkina tik nulinis sprendinys. Eliminuodami iš šių lygčių B1, B2 ir C, gauname sąlygas, kurias reikia patenkinti norint gauti nenulinį sprendinį (kai koeficientas A≠0).

In[18]:=

05b_skyrius_23.gif

Out[18]=

05b_skyrius_24.gif

In[19]:=

05b_skyrius_25.gif

Out[19]=

05b_skyrius_26.gif

In[20]:=

05b_skyrius_27.gif

Out[20]=

05b_skyrius_28.gif

Kaip matome, abi sąlygos faktorizuojasi vienodai (daugiklio tikslumu). Aišku, tas pačias sąlygas gautume įprastu būdu apskaičiavę koeficientų A,B1,B2,C  matricos determinantą ir jį prilyginę nuliui. Gautos lygtys turės netrivialius (nenulinius)  sprendinius  tik tada, kai sistemos koeficientų matricos determinantas bus lygus nuliui.

In[21]:=

05b_skyrius_29.gif

Out[21]=

05b_skyrius_30.gif

Kad aiškiau matytume jo struktūrą prieš tai išraišką faktorizuojame ir surenkame daugiklius prie vienodų eksponenčių

In[22]:=

05b_skyrius_31.gif

Out[22]=

05b_skyrius_32.gif

Prieš ieškodami kvantavimo sąlygų pamėginkime kiek detaliau panagrinėti gautas nulinio determinanto lygčių simetrijas. Pirmiausia pastebėsime, kad visas lygtis galima perrašyti pasinaudojant pusės tangento formulėmis. Tai leis Sin[ ] is Cos[ ] funkcijas pakeisti viena tangento funkcija, todėl spręsti bus lengviau.

In[23]:=

05b_skyrius_33.gif

Out[23]=

05b_skyrius_34.gif

Panagrinėkime netrivialias nulinio determinanto sąlygas atskirai. Pirmasis netrivialus daugiklis yra

In[24]:=

05b_skyrius_35.gif

Out[24]=

05b_skyrius_36.gif

In[25]:=

05b_skyrius_37.gif

Out[25]=

05b_skyrius_38.gif

Iš antrojo netrivialaus daugiklio

In[26]:=

05b_skyrius_39.gif

Out[26]=

05b_skyrius_40.gif

gauname

In[27]:=

05b_skyrius_41.gif

Out[27]=

05b_skyrius_42.gif

Prieš tęsiant nagrinėjimą, tikrinių energijų sąlygą dar perrašysime gražesniu pavidalu

In[28]:=

05b_skyrius_43.gif

Out[28]=

05b_skyrius_44.gif

Tokiu būdu gauname, kad turi būti tenkinama kuri nors iš sąlygų:

05b_skyrius_45.gif

Šias lygtys perrašome kaip dviejų lygčių sistemą eqn1 = 0 ir eqn2 = 0

In[29]:=

05b_skyrius_46.gif

Out[29]=

05b_skyrius_47.gif

Išsprendžiame jas Tan[a k] atžvilgiu

In[30]:=

05b_skyrius_48.gif

Out[30]=

05b_skyrius_49.gif

Gautą rezultatą  perrašome tokiu gražiu pavidalu:

In[31]:=

05b_skyrius_50.gif

Out[31]=

05b_skyrius_51.gif

Grįžkime prie lygtysIrDet1daugiklis ir lygtysIrDet2daugiklis lygčių sistemų. Pusės kampo tangentą pažymėkime nauju kintamuoju ktan, ir apskaičiuokime abiejų lygčių sistemų Groebnerio bazę pamėgindami eliminuoti kintamuosius, kuriuose yra dydžiai ktan ir k.

In[32]:=

05b_skyrius_52.gif

Out[32]=

05b_skyrius_53.gif

In[33]:=

05b_skyrius_54.gif

Out[33]=

05b_skyrius_55.gif

Gavome įdomų rezultatą. Pasirodo, net ir nežinodami išreikštai kvantavimo sąlygų radome ryšius tarp banginių fukcijų koeficientų B1 ir B2 bei A ir C. Deja, nepriklausomų ryšių kiekviename iš sąrašų yra tik du --- pirmasis ir paskutis. Likę du viduriniai seka iš šių dviejų. Iš pirmojo netrivialaus determinanto daugiklio seka (kiekvienas iš sąrašo elementų lygus nuliui), kad B1=-B2 ir A=-C. Todėl šis daugiklis nusako antisimetrinių funkcijų kvantavimo sąlygas. Iš lygčių su antruoju netrivialaus determinanto daugikliu gauname  B1=B2 ir A=C. Todėl antrasis daugiklis užduoda simetrinių banginių kvantavimo sąlygas. Aišku, kad abiejų simetrijų banginių funkcijų egzistavimą lemia pačio uždavinio simetrija, o ne konkretus sąryšis. O kaip galėtume išreikšti koeficientą B1 per koeficietą A?

Pasirodo trečiąjį reikalingą sąryšį gautume, jei į leistinus sąryšius įtrauktume banginį skaičių k.

In[34]:=

05b_skyrius_56.gif

Out[34]=

05b_skyrius_57.gif

In[35]:=

05b_skyrius_58.gif

Out[35]=

05b_skyrius_59.gif

Dabar bazė yra pakankamai plati ir visai nesunkiai galime išspręsti tris pageidaujamus koeficientus, pavyzdžiui {B1, B2, C}

In[36]:=

05b_skyrius_60.gif

Out[36]=

05b_skyrius_61.gif

In[37]:=

05b_skyrius_62.gif

Out[37]=

05b_skyrius_63.gif

Taigi, visus banginės funkcijos koeficientus išreikškėme per A koeficientą ir tuo pačiu patenkinome determinantas==0 sąlygą. Likusį nežinomą koeficientą nustatysime iš pilnos banginės funkcijos normavimo sąlygos.

In[38]:=

05b_skyrius_64.gif

Out[38]=

05b_skyrius_65.gif

Koeficientai B1 ir B2 yra prie greitai mažėjančių daugiklių, todėl jų įtaka visos funkcijos normos integralui turėtų būti maža (pabrėšime, kad dabar mes skaičiuojame visiškai tiksliai).

In[39]:=

05b_skyrius_66.gif

Out[39]=

05b_skyrius_67.gif

In[40]:=

05b_skyrius_68.gif

Out[40]=

05b_skyrius_69.gif

Laikykime,  kad galioja kvantavimo sąlyga, todėl Sin[2 a k] užrašykime per Tan[a k]

In[41]:=

05b_skyrius_70.gif

Out[41]=

05b_skyrius_71.gif

Taigi funkcija bus normuota, jei koeficientą A imsime tokį

In[42]:=

05b_skyrius_72.gif

Out[42]=

05b_skyrius_73.gif

Todėl galutinai galime rašyti:

In[43]:=

05b_skyrius_74.gif

Out[43]=

05b_skyrius_75.gif

Šią formulę tolesniems skaitiniamas apskaičiavims mes užrašysime  Piecewise[ ] pavidalu:

In[44]:=

05b_skyrius_76.gif

Out[44]=

05b_skyrius_77.gif

In[45]:=

05b_skyrius_78.gif

In[46]:=

05b_skyrius_79.gif

In[47]:=

05b_skyrius_80.gif

Out[47]=

05b_skyrius_81.gif

Viską pakartojame antisimetrinei funkcijai

In[48]:=

05b_skyrius_82.gif

Out[48]=

05b_skyrius_83.gif

Koeficientai B1 ir B2 yra prie greitai mažėjančių daugiklių, todėl jų įtaka visos funkcijos normos integralui turėtų būti maža (pabrėšime, kad dabar mes skaičiuojame visiškai tiksliai).

In[49]:=

05b_skyrius_84.gif

Out[49]=

05b_skyrius_85.gif

In[50]:=

05b_skyrius_86.gif

Out[50]=

05b_skyrius_87.gif

In[51]:=

05b_skyrius_88.gif

Out[51]=

05b_skyrius_89.gif

Laikykime,  kad galioja kvantavimo sąlyga, todėl Sin[2 a k] užrašykime per Tan[a k]

In[52]:=

05b_skyrius_90.gif

Out[52]=

05b_skyrius_91.gif

Taigi funkcija bus normuota, jei koeficientą A imsime tokį

In[53]:=

05b_skyrius_92.gif

Out[53]=

05b_skyrius_93.gif

Todėl galutinai galime rašyti:

In[54]:=

05b_skyrius_94.gif

Out[54]=

05b_skyrius_95.gif

Šią formulę tolesniems skaitiniamas apskaičiavims mes užrašysime  Piecewise[ ] pavidalu:

In[55]:=

05b_skyrius_96.gif

In[56]:=

05b_skyrius_97.gif

In[57]:=

05b_skyrius_98.gif

Out[57]=

05b_skyrius_99.gif

Taigi, net ir išreikštai neišsprendę energijos kvantavimo sąlygų

In[58]:=

05b_skyrius_100.gif

Out[58]=

05b_skyrius_101.gif

mes sugebėjome gauti TIKSLŲ normuotų banginių funkcijų pavidalą. Tai jau gana neįprastas atvejis, nes dažniausiai jei nemokame išspręsti tikrinių verčių lygties, negalime apskaičiuoti ir tikslių funkcijų.

In[59]:=

05b_skyrius_102.gif

Out[59]=

05b_skyrius_103.gif

Tiksliai išspręsti salygosIsreikstai2 transcententinę lygtį (kurių atsakymuose būtų tik algebriniais skaičiais) deja, greičiausiai neįmanoma, nes hiperbolinio tangento algebrinės vertės žinomos tik menamų verčių argumentams, pavyzdžiui

In[60]:=

05b_skyrius_104.gif

Out[60]=

05b_skyrius_105.gif

Todėl net ir atskiro šių lygčių sprendinio (išskyrus, aišku, k=0), vargu ar galima tikėtis surasti. Taigi, tanka griebtis įvairių aproksimacijų arba šias lygtis spręsti skaitinais metodais. Skyrelio pabaigoje mes šią lygtį išspręsime grafiniu metodu.

Energijos spektras: aproksimacijos

Energijos tikrinės vertės, kurias apskaičiuotume iš hamiltoniano E=<ψ|H|ψ>, kur

05b_skyrius_106.gif

turi būti ekvivalentiškos 05b_skyrius_107.gif ir kur k tenkina anksčiau gautas lygtis

05b_skyrius_108.gif

. O χ yra  05b_skyrius_109.gif Vėliau tuo įsitikinsime atlikę skaitinius apskaičiavimus.

Dabar apytiksliai išspręskime kvantavimo sąlygų lygtis, kai  b χ>>1, t.y. kai banginė funkcija į barjerą įsiskverbia mažai.

In[61]:=

05b_skyrius_110.gif

Out[61]=

05b_skyrius_111.gif

Kai  b χ>>1, galime rašyti 05b_skyrius_112.gif≈(1+x), todėl

05b_skyrius_113.gif

Čia skaitiklį ir vardiklį pirmiausia padalijome iš 05b_skyrius_114.gif, o to to pasinaudojome gerai žinomu geometrinės eilutės artiniu. 05b_skyrius_115.gif≈(1+x), gerai galiojančiu, kai x yra mažas dydis.

Atmetę paskutinį narį turime:

05b_skyrius_116.gif

Šiuos žingsnius galima pakartoti ir su Mathematica, nors "popieriaus ir pieštuko" transformacijas atlikti su  kompiuterinėmis algebros sistemomis kartais gali ir nebūti taip paprasta. Pirmuoju žingsniu  paimame abiejų išraiškų dešiniąsias puses ir jas padalinkime iš 05b_skyrius_117.gif, o gautus vardiklius supaprastinkim.

In[62]:=

05b_skyrius_118.gif

Out[62]=

05b_skyrius_119.gif

k pirmojo artinio sprendiniai simetrinei ir antisimetrinei funkcijai yra

In[63]:=

05b_skyrius_120.gif

Out[63]=

05b_skyrius_121.gif

Arba skaitiklį ir vardiklį padalinus iš05b_skyrius_122.gif:

In[64]:=

05b_skyrius_123.gif

Out[64]=

05b_skyrius_124.gif

Vėl pritaikę formulę 05b_skyrius_125.gif≈(1+x) gauname

In[65]:=

05b_skyrius_126.gif

Out[65]=

05b_skyrius_127.gif

Pagaliau pašaliname aukštesnės eilės narius (su dvigubai didesniu daugikliu eksponentėje) ir rezultatus supaprastiname.

In[66]:=

05b_skyrius_128.gif

Out[66]=

05b_skyrius_129.gif

Žinoma, galima buvo ne ieškoti artinio pirmiausia tiksliai išsprendus k vertę iš Tan[a k] pimojo Taylor eilutės skleidinio ir paskui jį prastinant, bet pirmiausia pakankamai supaprastinus dešiniąsias puses, o tada jau išspręsti k. Šis būdas realizuotas žemiau.

Atliekame pakeitimus  (1/(05b_skyrius_130.gif) → (1+05b_skyrius_131.gif)) ir  (1/(05b_skyrius_132.gif)→(1-05b_skyrius_133.gif)) dešiniose abiejų sąlygų pusėse ir gautas išraiškas išskleidžiame

In[67]:=

05b_skyrius_134.gif

Out[67]=

05b_skyrius_135.gif

Pagaliau pašaliname aukštesnės eilės narius ir rezultatą supaprastiname.

In[68]:=

05b_skyrius_136.gif

Out[68]=

05b_skyrius_137.gif

Taigi, lyginių ir nelyginių funkcijų atveju turime apytikslias lygybes

In[69]:=

05b_skyrius_138.gif

Out[69]=

05b_skyrius_139.gif

Kai χ→∞ abiem atvejais

In[70]:=

05b_skyrius_140.gif

Out[70]=

05b_skyrius_141.gif

Taigi, Tan[a k] = 0, ir todėl iš nulinio artinio randame sąlygą koeficientui k

In[71]:=

05b_skyrius_142.gif

Out[71]=

05b_skyrius_143.gif

Iš jos randame, kad nulinio artinio energija ir χ yra (ji sutampa su begalinio šulinio energija)

In[72]:=

05b_skyrius_144.gif

Out[72]=

05b_skyrius_145.gif

In[73]:=

05b_skyrius_146.gif

Out[73]=

05b_skyrius_147.gif

Gautose formulėse

05b_skyrius_148.gif

Tan [a k] išskleidę Tayloro eilute ir įstatę nulinį artinį, gausime pirmąjį artinį. Skleidinio ieškosime taško k0 aplinkoje

In[74]:=

05b_skyrius_149.gif

Out[74]=

05b_skyrius_150.gif

Nuliniame artinyje tenkinama sąlyga Tan[a k0] → 0, todėl turime

In[75]:=

05b_skyrius_151.gif

Out[75]=

05b_skyrius_152.gif

Iš čia seka lygtis pirmajam artiniui 05b_skyrius_153.gif

05b_skyrius_154.gif

arba  pirmasis artinys bus

05b_skyrius_155.gif

Šias išraiškas nesunku gauti ir su Mathematica .

In[76]:=

05b_skyrius_156.gif

Out[76]=

05b_skyrius_157.gif

In[77]:=

05b_skyrius_158.gif

Out[77]=

05b_skyrius_159.gif

Kaip matome abu veikimo būdai kaip ir turi būti duoda tą patį rezultatą. Nesunku netgi užprogramuoti bendrą tokios lygties iteracinį sprendinį. Tą padarysime, pavyzdžiui lyginėms funkcijoms desiniosPusesSupaprastintos[[2]].

In[78]:=

05b_skyrius_160.gif

Out[78]=

05b_skyrius_161.gif

In[79]:=

05b_skyrius_162.gif

In[80]:=

05b_skyrius_163.gif

Iš tiesų, pirmame artėjime turime

In[81]:=

05b_skyrius_164.gif

Out[81]=

05b_skyrius_165.gif

O paėmę n=2, gauname

In[82]:=

05b_skyrius_166.gif

Out[82]=

05b_skyrius_167.gif

Bet skaičiuodami antrą iteracinį artinį iš karto pastebime problemą: mes nežinome kaip apskaičiuoti χ[1] vertes, nes į χ išraišką įeina  energijos vertės. Šiuo atveju χ[1]. Ją galėsime patikslinti tik apskaičiavę energijos pataisą 05b_skyrius_168.gif (žr. žemiau), kuriai apskaičiuoti reikia žinoti  tik χ[0] išraišką. Todėl pradžiai apsiribojame tik pirmojo Taylor eilutės skleidinio išraiškomis

In[83]:=

05b_skyrius_169.gif

Out[83]=

05b_skyrius_170.gif

In[84]:=

05b_skyrius_171.gif

Out[84]=

05b_skyrius_172.gif

◆ Žinodami pirmojo artėjimo banginį vektorių jau galima apskaičiuoti ir pirmojo artėjimo energiją

05b_skyrius_173.gif

Taigi, pirmajame artėjime energija yra

05b_skyrius_174.gif

Apskaičiavimus patikrinsime su Mathematica .

In[85]:=

05b_skyrius_175.gif

Out[85]=

05b_skyrius_176.gif

In[86]:=

05b_skyrius_177.gif

Out[86]=

05b_skyrius_178.gif

In[87]:=

05b_skyrius_179.gif

Out[87]=

05b_skyrius_180.gif

In[88]:=

05b_skyrius_181.gif

Out[88]=

05b_skyrius_182.gif

In[89]:=

05b_skyrius_183.gif

Out[89]=

05b_skyrius_184.gif

In[90]:=

05b_skyrius_185.gif

Out[90]=

05b_skyrius_186.gif

In[91]:=

05b_skyrius_187.gif

Out[91]=

05b_skyrius_188.gif

Taigi, įstačius vertes turime:

In[92]:=

05b_skyrius_189.gif

Out[92]=

05b_skyrius_190.gif

In[93]:=

05b_skyrius_191.gif

Out[93]=

05b_skyrius_192.gif

Gautos išraiškos  rodo, kad lygmenų suskilimą duoda trečiasis, turintis barjero plotį b, narys. Pirmieji du nariai atsiranda sprendžiant begalinio pločio barjero uždavinį. Juos gautume nagrinėdami duobę su vienu begaliniu ir vienu baigtiniu barjeru.

◆ Dabar panašiu tikslumu aproksimuokime rastas tikslias bangines funkcijas

In[94]:=

05b_skyrius_193.gif

Out[94]=

05b_skyrius_194.gif

Visų pirma pastebėkime, kad normavimo daugiklių A pošaknis

In[95]:=

05b_skyrius_195.gif

Out[95]=

05b_skyrius_196.gif

kai b χ->∞ yra

In[96]:=

05b_skyrius_197.gif

Out[96]=

05b_skyrius_198.gif

In[97]:=

05b_skyrius_199.gif

Out[97]=

05b_skyrius_200.gif

riboje laikant, kad ir χ>>1 šios dalies įnašas bus mažas

In[98]:=

05b_skyrius_201.gif

Out[98]=

05b_skyrius_202.gif

Todėl normavimo daugiklį galima imti tiesiog 05b_skyrius_203.gif. Panašiai galime apdoroti ir pošaknį

In[99]:=

05b_skyrius_204.gif

Out[99]=

05b_skyrius_205.gif

kuriame pirmiausia pašaliname mažas eksponentes

In[100]:=

05b_skyrius_206.gif

Out[100]=

05b_skyrius_207.gif

Kai χ>>1 , galime į 05b_skyrius_208.gif nekreipti dėmesio, todėl ištraukę  šaknį vardiklyje turėsime tik χ. Be to skaitiklyje esantį k pakeisime k[0], nes nėra prasmės žinoti skaitiklį didesniu tikslumu nei vardiklį. Taigi, laikysime, kad mūsų apytikslės funkcijos yra

In[101]:=

05b_skyrius_209.gif

In[102]:=

05b_skyrius_210.gif

Jos atrodo kiek paprasčiau:

In[103]:=

05b_skyrius_211.gif

Out[103]=

05b_skyrius_212.gif

Skaitinis modeliavimas: pagrindinė ir sužadinta būsenos

Skaičiavimus atliksime atominių vienetų (e = m = h = 1) sistemoje.
Nulinis bangos vektoriaus artinys yra k[0]

◆ Suteikiame parametrams vertes

In[104]:=

05b_skyrius_213.gif

In[105]:=

05b_skyrius_214.gif

◆ Kad būtų patogiau, vienoje vietoje surenkame visas reikalingas formules ir pasitikriname, kad į jas įstatę skaitines reikšmes gausime skaitines funkcijas

In[106]:=

05b_skyrius_215.gif

In[107]:=

05b_skyrius_216.gif

Out[107]=

05b_skyrius_217.gif

In[108]:=

05b_skyrius_218.gif

Out[108]=

05b_skyrius_219.gif

In[109]:=

05b_skyrius_220.gif

In[110]:=

05b_skyrius_221.gif

Pirmiausia palyginkime apytikslias ir tikslias k reikšmes

In[111]:=

05b_skyrius_222.gif

Out[111]//TableForm=

k→0.579379 k→0.579467
k→0.583854
k→0.583785

Kaip matome tikslios k reikšmės yra kiek didesnės už aproksimacijų vertes. Tai reikštų, kad mūsų aproksimacijos kiek sumažina tikrinių energijų vertes. Mažiausią energijos vertę turi simemtrinė funkcija (kai neatsižvelgiame į sukininius ar kitus laisvės laipsnius).  Spręsdami enetrgijų lygtis grafiškai matome, kad nė vienos vertės nepraleidome

In[112]:=

05b_skyrius_223.gif

Out[112]=

Graphics:Energy of symmetric function

In[113]:=

05b_skyrius_225.gif

Out[113]=

Graphics:Energy of anti-symmetric function

◆ Dabar nupieškime pačias funkcijas

In[114]:=

05b_skyrius_227.gif

Out[114]=

05b_skyrius_228.gif

In[115]:=

05b_skyrius_229.gif

Out[115]=

05b_skyrius_230.gif

In[116]:=

05b_skyrius_231.gif

Out[116]=

05b_skyrius_232.gif

Ir apibrėžiame funkcijas su šiais parametrais

In[117]:=

05b_skyrius_233.gif

Tą patį pakartojame su tiksliomis funkcijomis

In[118]:=

05b_skyrius_234.gif

Out[118]=

05b_skyrius_235.gif

In[119]:=

05b_skyrius_236.gif

In[120]:=

05b_skyrius_237.gif

◆ Nubraižome visas tris bangines funkcijos visoje x-ų ašyje. Raudona yra tiksli funkcija su tikslia k verte. Mėlyna yra tiksli funkcija bet su aproksimuota k verte, o juoda --- aproksimuota funkcija su aproksimuota k verte.

In[122]:=

05b_skyrius_238.gif

Out[122]=

Graphics:Symmetric &psi;

Kaip matome, raudoną kreivę beveik visiškai dengia mėlyna. T.y. abiejų funkcijų grafiškai negalima atskirti.

In[123]:=

05b_skyrius_240.gif

Out[123]=

Graphics:Anti-symmetric &psi;

Skaitinis modeliavimas: būsenų superpozicija

Pradžioje  skaitiškai pasitikrinkime kiek geros anksčiau  gautos apytikslės  ir tikslios banginės funkcijos.
Normuotumas  05b_skyrius_242.gif 05b_skyrius_243.gif dx = 1

In[124]:=

05b_skyrius_244.gif

Out[124]=

05b_skyrius_245.gif

In[125]:=

05b_skyrius_246.gif

Out[125]=

05b_skyrius_247.gif

Kaip matome tiksli funkcija su tikslia k verte yra tiksliai lygi vienetui, o tiksli funkcija su apytiksle k verte yra geresnė už apytikslę.
Pastaroji turi maždaug 8% paklaidą.  Nepaisant to ortogonalumas ∫ 05b_skyrius_248.gif dx = 0 yra tenkinamas, nes viena iš mūsų funkcijų visada yra simetrinė, o kita antisimetrinė.

In[126]:=

05b_skyrius_249.gif

In[127]:=

05b_skyrius_250.gif

Out[127]=

05b_skyrius_251.gif

◆ Palyginimui suskaičiuokime suskilusių lygmenų energijas

Energijos tikrinės vertės apskaičiuojamaos iš hamiltoniano

05b_skyrius_252.gif

Pagrindinė busena, todėl gaunamas nedidelis skirtumas skaitinėse vertėse)

In[128]:=

05b_skyrius_253.gif

Out[128]=

05b_skyrius_254.gif

Kiek keista, kad tiksli funkcija su tiksliu k duoda aukštesnę energijos vertė negu su apytiksle k verte.

Sužadinta busena

In[129]:=

05b_skyrius_255.gif

Out[129]=

05b_skyrius_256.gif

Jei palyginsime energijos  skirtumus tarp sužadinto ir pagrindinio lygmens iš hamiltoniano 05b_skyrius_257.gif vidurkinimo

In[130]:=

05b_skyrius_258.gif

Out[130]=

05b_skyrius_259.gif

su rastais pagal perturbacijų teoriją

In[131]:=

05b_skyrius_260.gif

Out[131]=

05b_skyrius_261.gif

turėsime palyginus didelį nesutapimą.

◆ Nubraižysime teigiamą ir neigiamą banginių funkcijų superpoziciją.

In[132]:=

05b_skyrius_262.gif

Out[132]=

Graphics:teigiama &psi; superpozicija

In[133]:=

05b_skyrius_264.gif

Out[133]=

Graphics:teigiama &psi; superpozicija

Dipolis ir impulsas

◆ Pasinaudoję anksčiau rastomis banginėmis funkcijomis rasime dipolio dydį

05b_skyrius_266.gif

Pastebėsime, kad dėl pasirinktos atskaitos pradžios taško x šioje bendroje formulėje reikia pakeisti į x-a-b/2

In[134]:=

05b_skyrius_267.gif

Out[134]=

05b_skyrius_268.gif

◆ Vidutinis impulsas

In[135]:=

05b_skyrius_269.gif

Out[135]=

05b_skyrius_270.gif

In[136]:=

05b_skyrius_271.gif

Out[136]=

05b_skyrius_272.gif

◆ Šuolio tarp būsenų matricinis elementas

In[137]:=

05b_skyrius_273.gif

Out[137]=

05b_skyrius_274.gif

In[138]:=

05b_skyrius_275.gif

Out[138]=

05b_skyrius_276.gif

Aukštesnės energijos būsenos

◆ Turėdami tikslias funkcijas galime nupiešti ir aukštesnių energijų būsenas

In[139]:=

05b_skyrius_277.gif

Out[139]=

Graphics:n=2

In[140]:=

05b_skyrius_279.gif

Out[140]=

Graphics:n=4

kai n=5, jau χ pošaknis tampa neigiamas todėl mūsų eksponentinis artinys pasidaro neteisingas.

Dar lyginumą tikriname. Dabar blogai gavome lygines funkcijos lygiškuma (paliekame šį klausimą skaitytojui). Įdomesnis yra baigtinio gylio duobės klausimas, kuris išnagrinėtas sąsiuvinyje baigtinio gylio dviguba kvantinė duobė.

Pabaigę apskaičiavimus atsijungiame nuo branduolio

In[141]:=

05b_skyrius_281.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08