6 skyrius
Sukinys ir dipolis

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

06_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

06_skyrius_2.gif

In[3]:=

06_skyrius_3.gif

Out[3]=

06_skyrius_4.gif

In[4]:=

06_skyrius_5.gif

Out[4]=

06_skyrius_6.gif

Zeemano hamiltonianas ir sukinys

Paulio matricos 06_skyrius_7.gif atvaizdavime

In[5]:=

06_skyrius_8.gif

Iš jų sudarome vektorių, kurio sandai yra atitinkamos Paulio matricos

In[8]:=

06_skyrius_9.gif

Out[8]=

06_skyrius_10.gif

Sukinys

Vektorinis 1/2 sukinio operatorius s išsireiškia  per Paulio matricas, s = h σ /2, kur σ  yra aukščiau užrašytas vektorius, kurio sandai yra atitinkamos Paulio matricos σx,  σy ir σz

In[9]:=

06_skyrius_11.gif

Out[9]=

06_skyrius_12.gif

◆ Hamiltoniano dalis, vadinama Zeemano vardu, aprašo elektrono sukinį. Ji turi pavidalą

06_skyrius_13.gif

kur  06_skyrius_14.gif yra Bohro magnetonas, o B – magnetinės indukcijos vektorius

In[10]:=

06_skyrius_15.gif

Out[10]//MatrixForm=

06_skyrius_16.gif

Sudarome  Zeemano hamiltonianą

In[11]:=

06_skyrius_17.gif

Out[11]//MatrixForm=

06_skyrius_18.gif

◆ Dvikomponentė banginė funkcija nusakanti elektrono sukinį vadinama spinoriumi.  Šį spinorių galima užrašyti kaip

In[12]:=

06_skyrius_19.gif

Out[12]//MatrixForm=

06_skyrius_20.gif

Jo išvestinė pagal laiką  yra

In[13]:=

06_skyrius_21.gif

Out[13]//MatrixForm=

06_skyrius_22.gif

◆ Schrodingerio ir Paulio lygtis

06_skyrius_23.gif

aprašo sukinio dinamiką. Ji Mathematica kalboje užrašoma tokiu būdu

In[14]:=

06_skyrius_24.gif

Out[14]//MatrixForm=

06_skyrius_25.gif

Šių dviejų tarpusavyje sukabintų diferencialinių lygčių bendras sprendinys yra

In[15]:=

06_skyrius_26.gif

Out[15]=

06_skyrius_27.gif

Atsakyme  C[1] if C[2] yra integravimo pastoviosios, kurios apibrėžia pradinio spinoriaus vertes.
Gautame atsakyme iš kvadratinių šaknų pošaknių iškelsime -1. Tą realizuoja toks kintamųjų pakeitimas

In[16]:=

06_skyrius_28.gif

ir iš eksponenčių  pereisime į trigonometrines funkcijas. Tada sprendinys atrodis

In[17]:=

06_skyrius_29.gif

Out[17]//MatrixForm=

06_skyrius_30.gif

◆ Rastas spinorius  turi buti normuotas į vienetą, < ψ | ψ > = 1, t.y.

In[18]:=

06_skyrius_31.gif

Out[18]=

06_skyrius_32.gif

iš kur matyti, kad koeficientai turi tenkinti sąlygą 06_skyrius_33.gif = 1.

Tuo atveju, kai magnetinė indukcija lygiagreti  z  ašiai,  rastas sprendinys spinor labai supaprastėja

In[19]:=

06_skyrius_34.gif

Out[19]//MatrixForm=

06_skyrius_35.gif

Vidutinis sukinys

Sukinio  vidurkis apskaičiuojamas  iš formulės

06_skyrius_36.gif

kur sukinio operatoriai yra

In[20]:=

06_skyrius_37.gif

Out[20]=

06_skyrius_38.gif

Pasinaudoję spinoriaus formulėmis kai magnetinis laukas lygiagretus z ašiai B || z, randame tokius vidutinius sukinio dekarto sandus

In[21]:=

06_skyrius_39.gif

Out[21]=

06_skyrius_40.gif

Iš gauto atsakymo matyti, kad sukinys precesuoja x–y plokštumoje dažniu ω  = 2 Bz μB/h.
Kai C[1] = 1 ir C[2] = 0 arba  C[1] = 0 ir C[2] = 1 gauname, kad vidutinis sukinys  neprecesuoja ir yra lygiagretus arba antilygiagretus magnetinei indukcijai:

06_skyrius_41.gif

Pliuso ir minuso ženklams atitinka spinoriai

In[22]:=

06_skyrius_42.gif

Out[22]//MatrixForm=

06_skyrius_43.gif

Out[23]//MatrixForm=

06_skyrius_44.gif

kuriuos galime užrašyti ir taip

06_skyrius_45.gif

06_skyrius_46.gif

◆ Tuo atveju, kai C[1] = C[2] = 06_skyrius_47.gif gauname:

In[24]:=

06_skyrius_48.gif

Out[24]=

06_skyrius_49.gif

Kaip rodo  šis sprendinys  dabar vidutinis sukinys sukasi  x–y plokštumoje. Šią precesiją aprašo spinorius

In[25]:=

06_skyrius_50.gif

Out[25]//MatrixForm=

06_skyrius_51.gif

kurį galima perrašyti taip

06_skyrius_52.gif

Iš čia matyti, kad precesija pasireiškia tada, kai turime dviejų būsenų su priešingais sukiniais superpoziciją.

Spinorių parametrizacija

Momentu t = 0 spinorius yra

In[26]:=

06_skyrius_53.gif

Out[26]//MatrixForm=

06_skyrius_54.gif

Out[27]=

06_skyrius_55.gif

Antroji eilutė rodo spinoriaus normavimo sąlygą. Vietoje C[1] ir C[2] dabar galime įvesti  kitus kintamuosius ϑ ir φ, kurie užtikrins normavimą automatiškai

06_skyrius_56.gif

In[28]:=

06_skyrius_57.gif

Out[28]=

06_skyrius_58.gif

Patikrinkime ar šis pakeitimas iš tiesų tenkina normavimo sąlygą:  C[1} 06_skyrius_59.gif +C[2] 06_skyrius_60.gif = 1

In[29]:=

06_skyrius_61.gif

Out[29]=

06_skyrius_62.gif

◆ Rasime kokį vidutinį sukinį atitinka spinorius ψparam
Kadangi sukinio operatoriai yra proporcingi Paulio matricoms, skaičiuosime su šiomis matricomis

In[30]:=

06_skyrius_63.gif

Out[30]=

06_skyrius_64.gif

Jei pavaizduosime gautus sukinio sandus  trimatėje sukinio erdvėje, esant įvairioms parametrų ϑ ir φ vertėms,  gausime sferą

In[31]:=

06_skyrius_65.gif

Out[31]=

06_skyrius_66.gif

Taigi, visi galimi vidutinio sukinio vektorių galai guli ant sferos. Ši sfera vadinama Blocho sfera, o ją nusako toks spinorius

In[32]:=

06_skyrius_67.gif

Out[32]//MatrixForm=

06_skyrius_68.gif

Pastaba: Skaičiavimus atlikome, kai magnetinė indukcija yra lygiagreti z ašiai. Šiuo atveju gavome, kad sukinys yra stacionarus (neprecesuoja). Todėl z ašis yra vadinama kvantavimo ašimi. Pasinaudoję bendruoju sprendiniu SchrSolution pabandykite magnetinę indukciją nukreipti kita kryptimi, pavyzdžiui x kryptimi, ir įsitikinkite, kad kvantavimo ašis dabar bus lygiagreti x ašiai. Skaičiavimus atlikite tame pačiame σz atvaizdavime. Taip pat pabandykite apskaičiuoti vidutinę energiją.

Elektrinis dipolis ir jo precesija

Elektrinio dipolio hamiltonianas turi pavidalą

06_skyrius_69.gif

arba, pažymėję dipolio ir elektrinio lauko sandaugas <dr> E = hr/2 ir <di> E = hi/2,  Mathematica kalboje elektrinio dipolio hamiltonianą užrašome

In[33]:=

06_skyrius_70.gif

Out[33]//MatrixForm=

06_skyrius_71.gif

Rasime hamiltoniano ir Paulio matricų komutatorius [Hd, σi]

In[34]:=

06_skyrius_72.gif

In[35]:=

06_skyrius_73.gif

Out[35]=

06_skyrius_74.gif

Jei įvesime precesijos vektorių

In[36]:=

06_skyrius_75.gif

šiuos komutatorius galima išreikšti per vektorinę sandaugą i h Ω ×σ :

In[37]:=

06_skyrius_76.gif

Out[38]=

06_skyrius_77.gif

Ir ištikrųjų, taip apskaičiuotos matricos sutampa su auksčiau gautomis per komutatorius

In[39]:=

06_skyrius_78.gif

Out[39]=

06_skyrius_79.gif

◆ Iš gautų rezultatų išplaukia, kad operatoriaus σ kitimą

06_skyrius_80.gif

galima užrašyti toliu pavidalu

06_skyrius_81.gif

Iš kairės ir dešinės padauginę iš bra ir ket vektorių gausime σ → <ψ |σ |ψ > = <σ>. O dinaminė lygtis operatoriui σ virs precesijos lygtimi vidutiniam sukiniui <σ>.

06_skyrius_82.gif

Tokio  pavidalo lygtis aprašo kvantinės mechanikos vidutinio sukinio (magnetinio dipolio), elektrinio dipolio vilkelio judėjimo kiekio momento dinamiką. Iš sukinio ir dipolio hamilonianų panašumo parodykite, kad gauta lygtis tikrai aprašo dipolio dinamika kur vektorius  Ω  kryptis sutampa su precesijos ašimi, o precesijos dažnis lygus h Ω, t.y.

In[40]:=

06_skyrius_83.gif

Out[40]=

06_skyrius_84.gif

Išspręskite Schrodingerio lygtį su dipolio hamiltonianu Hd ir panašiai kaip kaip darėme sukinio atveju su raskite dekartinius vidutinio dipolio sandus.

Pabaigę apskaičiavimus paliekame branduolį

In[41]:=

06_skyrius_85.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08