7 skyrius
Sukinio tranzistorius

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

07_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

07_skyrius_2.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[3]:=

07_skyrius_3.gif

In[4]:=

07_skyrius_4.gif

Out[4]=

07_skyrius_5.gif

In[5]:=

07_skyrius_6.gif

Out[5]=

07_skyrius_7.gif

Tipiniai dydžiai ir vertės

Pasiruošimas. GaAs parametrai

Atominių vienetų vertės

In[6]:=

07_skyrius_8.gif

◆ GaAs laidumo juostos  parametrai
07_skyrius_9.gif = 0.067  –  efektyvinė masė
γ = 24 07_skyrius_10.gif – Dresselhauso pastovioji

Atominiais vienetais jų vertės yra

In[7]:=

07_skyrius_11.gif

Out[7]=

07_skyrius_12.gif

07_skyrius_13.gifAs laidumo juostos  parametrai
07_skyrius_14.gif = 0.091
γ = 24 07_skyrius_15.gif

Atominiais vienetais jų vertės yra

In[8]:=

07_skyrius_16.gif

Out[8]=

07_skyrius_17.gif

07_skyrius_18.gifAs šulinio gylis yra  is 0.24 eV arba atominiais vienetais

In[9]:=

07_skyrius_19.gif

Out[9]=

07_skyrius_20.gif

Šie parametrai kitiems puslaidininkiams  (jų čia nenaudosime, todėl šioms ląstelėms pašalinome vykdymo savybę)  yra

07_skyrius_21.gif

07_skyrius_22.gif

◆ GaAs gardelės pastovioji a = 0.565 nm  = 5.65 Å.  Brillouino zonos kraštas tada bus 2π/a, arba atominiais vienetais

In[10]:=

07_skyrius_23.gif

Out[10]=

07_skyrius_24.gif

Elektrono bangos skaičiaus k vertės turi buti žymiai mažesnės už šį  dydį. Skaičiavimams  naudosime tokias:

In[11]:=

07_skyrius_25.gif

In[12]:=

07_skyrius_26.gif

Pauli matricos

Paulio matricos 07_skyrius_27.gif 07_skyrius_28.gif ir 07_skyrius_29.gif, ir vienetinė matrica

In[13]:=

07_skyrius_30.gif

Out[17]=

07_skyrius_31.gif

Sukinio matricos 07_skyrius_32.gif atvaizdavime

In[18]:=

07_skyrius_33.gif

Out[21]=

07_skyrius_34.gif

◆ Iš Paulio (arba sukinio) matricų galime sukonstruoti  sukinio operatorių-vektorių s, kurio sandai yra matricos

In[22]:=

07_skyrius_35.gif

Out[22]=

07_skyrius_36.gif

Tokio matricinio vektoriaus kvadratas yra diagonali matrica: s·s = 07_skyrius_37.gif

In[23]:=

07_skyrius_38.gif

Out[23]//MatrixForm=

07_skyrius_39.gif

Dresselhauso hamiltonianas

Dresselhauso Hamiltonianas užrašomas kaip
07_skyrius_40.gif
Paulio matricų 07_skyrius_41.gif vektoriaus ir 07_skyrius_42.gif  vektoriaus skaliarinė sandauga. Pastarojo sandai turi tokią struktūrą:

07_skyrius_43.gif

Mathematica sistemoje jį mes užrašysime kintamųjų keitimo taisyklėmis

In[24]:=

07_skyrius_44.gif

Dar įvesime keitimo taisykles

In[25]:=

07_skyrius_45.gif

In[26]:=

07_skyrius_46.gif

In[27]:=

07_skyrius_47.gif

kurios mums leis glausčiau užrašyti išvestas formules

◆ Dresselhauso hamiltonianas, kuris susietas su spin-orbitine sąveika GaAs tūryje,

In[28]:=

07_skyrius_48.gif

Out[28]//MatrixForm=

07_skyrius_49.gif

In[29]:=

07_skyrius_50.gif

Out[29]//MatrixForm=

07_skyrius_51.gif

◆ Laisvojo elektrono hamiltonianas, kuris aprašo dvigubai išsigimusią laidumo juostą

In[30]:=

07_skyrius_52.gif

Out[30]//MatrixForm=

07_skyrius_53.gif

Kurį detalizuosime tikrinę energiją užrašę per bangos vektorių k

In[31]:=

07_skyrius_54.gif

Out[31]=

07_skyrius_55.gif

In[32]:=

07_skyrius_56.gif

Out[32]//MatrixForm=

07_skyrius_57.gif

◆ Sudėję abu hamiltonianus gausime pilnąjį hamiltonianą

In[33]:=

07_skyrius_58.gif

Out[34]//MatrixForm=

07_skyrius_59.gif

◆ Šis hamiltonianas turi tikrines energijas, vadinamas energijų juostomis. Jos atitinka dvi priešingas elektrono sukinio orientacijas

In[35]:=

07_skyrius_60.gif

Out[35]//MatrixForm=

07_skyrius_61.gif

Įstatę ε0 ir χ  išraiškas turime

In[36]:=

07_skyrius_62.gif

Out[36]=

07_skyrius_63.gif

Šios dispersijos formulės buvo gautos  Dresselhaus [1] straipsnyje. Jos nusako elektrono energijos priklausomybę nuo bangos skaičiaus  Brillouino zonos  07_skyrius_64.gif taške. Kai  k=0.04 07_skyrius_65.gif and γ = 25 eV 07_skyrius_66.gif šių juostų suskilimo energija yra apie 0.002 eV.
Kai bangos vektorius lygiagretus [110] kristalografinei krypčiai, turime tokias energijas

In[37]:=

07_skyrius_67.gif

Out[37]=

07_skyrius_68.gif

Out[38]=

07_skyrius_69.gif

In[39]:=

07_skyrius_70.gif

Out[39]=

07_skyrius_71.gif

Tikriniai vektoriai ir unitarinė matrica

Tikrinius vektorius ir tikrines energijas (dar sykį) rasime su komanda  Eigensystem[ ]

In[40]:=

07_skyrius_72.gif

Out[40]=

07_skyrius_73.gif

Pirmame šio atsakymo sąraše pateikiamos tikrinės vertės, o antrame jas atitinkantys tikriniai vektoriai. Aišku, tikrinės vertės sutampa su anksčiau gautomis.

In[41]:=

07_skyrius_74.gif

Out[41]//MatrixForm=

07_skyrius_75.gif


◆ Tikriniai vektoriai nėra normuoti. Juos galime sunormuoti komanda Normalize[ ], tačiau patogesnės simbolinės išraiškos gaunasi tiesiog padalinus iš

In[42]:=

07_skyrius_76.gif

Out[42]=

07_skyrius_77.gif


tačiau patogesnės (viršuj gautos išraiškos yra gerokai perdirbtos, todėl turėtume gerokai pavargti, kad įsitikintume jog abu normuoti vektoriai yra ortogonalūs) simbolinės išraiškos gaunasi tiesiog padalinus iš vektoriaus modulio "rankiniu" būdu

In[43]:=

07_skyrius_78.gif

Out[43]=

07_skyrius_79.gif


Akivaizdu, kad dabar gautieji vektoriai (spinoriai) yra ortonormuoti

In[44]:=

07_skyrius_80.gif

Out[44]=

07_skyrius_81.gif

Jei  su normuotais tikriniais vektoriais apskaičiuosime vidutines energijas
<1 |HD| 1> ir  <2 |HD| 2>
gausime jau anks2iau rastas tikrines energijas

In[45]:=

07_skyrius_82.gif

Out[45]//MatrixForm=

07_skyrius_83.gif

◆ Iš normuotų tikrinių vektorių suformuosime unitarinę matricą tran1

In[46]:=

07_skyrius_84.gif

Out[46]//MatrixForm=

07_skyrius_85.gif

Ja paveikę hamiltonianą U H 07_skyrius_86.gif gausime diagonalią matricą.
Iš tikrųjų:

In[47]:=

07_skyrius_87.gif

Out[47]//MatrixForm=

07_skyrius_88.gif

Vidutinis sukinys

Su gautais busenų vektoriais apskaičiuojame vidutines sukinio x, y, z projekcijų vertes

07_skyrius_89.gif

In[48]:=

07_skyrius_90.gif

Out[48]=

07_skyrius_91.gif

Iš rezultato matyti, kad sukinių kryptys pajuostėse (jas atitinka rezultatų eilutės) turi priešingus ženklus.

Paveikslai

Nubraižysime energijos priklausomybę nuo bangos skaičiaus, kuris lygiagretus <110> krypčiai

In[49]:=

07_skyrius_92.gif

Out[49]=

07_skyrius_93.gif

Tam, kad išryškintume charakteringus dispersijos bruožus, paimsim "netikras" puslaidininkio parametrų vertes

In[50]:=

07_skyrius_94.gif

Out[50]=

07_skyrius_95.gif

In[51]:=

07_skyrius_96.gif

Out[51]=

07_skyrius_97.gif

Rashbos hamiltonianas ir sukinys

Rashbos hamiltonianas

Pagal  Bauer and Molenkamp [2] straipsnį apibrėšime tokio pavidalo Rashbos hamiltonianą HR

In[52]:=

07_skyrius_98.gif

Out[55]//MatrixForm=

07_skyrius_99.gif

kur αEz yra Rashbos pastovioji. Ji pašalina energijos juostų išsigimimą kvantiniame šulinyje, kuriame dvimačio elektrono judėjimas aprašomas bangos vektoriumi k = (kx, ky). z žymi ašį statmeną šulinio plokštumai.
Šis hamiltonianas duoda tokias energijų juostas

In[56]:=

07_skyrius_100.gif

Out[56]//MatrixForm=

07_skyrius_101.gif

◆ Rashbos hamiltoniano normuoti tikriniai vektoriai yra

In[57]:=

07_skyrius_102.gif

Out[57]=

07_skyrius_103.gif

Patikriname, kad tikriniai vektoriai (spinoriai) yra ortonormuoti

In[58]:=

07_skyrius_104.gif

Out[58]=

07_skyrius_105.gif

◆ Nubraižysime enegijos priklausomybę nuo bangos skaičiaus kx, kai kitas banginio vektoriaus sandas ky = 0.

In[59]:=

07_skyrius_106.gif

Out[59]=

07_skyrius_107.gif

In[60]:=

07_skyrius_108.gif

Out[60]=

07_skyrius_109.gif

Vidutinis sukinys

Pasinaudoję rastais spinoriais rasime vidutines sukinio sandų vertes <sx>, <sy>, <sz>

In[61]:=

07_skyrius_110.gif

Out[61]=

07_skyrius_111.gif

In[62]:=

07_skyrius_112.gif

Out[62]=

07_skyrius_113.gif

Matome, kad dabar elektrono sukinys guli šulinio plokštumoje, t.y. x–y plokštumoje.

Sukinys (001) plokštumoje

Nubraižysime kaip sukinys priklauso nuo  dvimačio elektrono sklidimo krypties. Tam pereikime į polinę koordinačių sistemą

In[63]:=

07_skyrius_114.gif

Joje x ir y vidutinio sukinio sandai yra

In[64]:=

07_skyrius_115.gif

Out[64]=

07_skyrius_116.gif

In[65]:=

07_skyrius_117.gif

Out[65]=

07_skyrius_118.gif

◆ Nubraižysime, kaip keičiasi sukinys nuo bangos skaičiaus krypties φ su ListVectorPlot[ ]

Pirmiausia pavaizduojame bangos vektoriaus kampinę priklausomybę ant apskritimo, kurio spindulys lygus 1.

In[66]:=

07_skyrius_119.gif

Out[67]=

07_skyrius_120.gif

Parinktis VectorPoints -> All nurodo, kad reikia vaizduoti tik tuos taškus, kurie yra mūsų duoti ir nemėginti pridėti daugiau.

Ant to pačio vienetinio  apskritimo  atidedame vidutinį sukinį susietą su pirmuoju spinoriumi

In[68]:=

07_skyrius_121.gif

Out[69]=

07_skyrius_122.gif

Tą patį padarome su antruoju spinoriumi

In[70]:=

07_skyrius_123.gif

Out[71]=

07_skyrius_124.gif

Pagaliau pavaizduojame bangos vektoriaus ir sukinio kampinę priklausomybę viename grafike ir pridedame užrašus

In[72]:=

07_skyrius_125.gif

Out[75]=

07_skyrius_126.gif

In[76]:=

07_skyrius_127.gif

Out[76]=

07_skyrius_128.gif

Kvantinių šulinių paveikslai

In[77]:=

07_skyrius_129.gif

Out[77]=

07_skyrius_130.gif

In[78]:=

07_skyrius_131.gif

Out[78]=

07_skyrius_132.gif

Precesijos piešinys

Mathematica sistemoje jūs turite galimybę dinamiškai parinkti stebėjimo tašką. Visų pirmame kintamajame vd išsaugome esamą vertę.

In[79]:=

07_skyrius_133.gif

Out[79]=

07_skyrius_134.gif

Sugeneravę piešinį įrašome parinktį ViewPoint →Dynamic[vd]

In[80]:=

07_skyrius_135.gif

Out[80]=

07_skyrius_136.gif

Sukiojame piešinį kaip norime, kol randame stebėjimo tašką iš kurio piešinį norite matyti. Tada tiesiog pasižiūrite kintamojo vd vertę

In[81]:=

07_skyrius_137.gif

Out[81]=

07_skyrius_138.gif

kurią ir įrašote išreikštai į galutinį piešinį

In[82]:=

07_skyrius_139.gif

Out[82]=

07_skyrius_140.gif

Pabaigę apskaičiavimus paliekame branduolį.

In[83]:=

07_skyrius_141.gif

Literatūra

[1]. G. Dresselhaus. Spin-orbit coupling effects in zinc blende structures. Phys. Rev., 100(2):580–586, 1955.

[2]. Inoue J, Bauer GEW, Molenkamp LW, Diffuse transport and spin accumulation in a Rashba two-dimensional electron gas, PHYS REV B 67 (3): art. no. 033104 JAN 15 2003.

Norėdami grįžti į tą pačią vietą, kurioje paspaudėte nuorodą į šią literatūrą, spragtelėkite meniu komandą , kurią rasite šalia teksto lygiavimui skirtų meniu komandų "Priemonių  (toolbar) juostoje".

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08