8 skyrius
Harmoninis 2L sistemos žadinimas. Rabio osciliacijos

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

08_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

08_skyrius_2.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[3]:=

08_skyrius_3.gif

In[4]:=

08_skyrius_4.gif

Out[4]=

08_skyrius_5.gif

In[5]:=

08_skyrius_6.gif

Out[5]=

08_skyrius_7.gif

Rabio osciliacijos

◆ Paulio matricos

In[6]:=

08_skyrius_8.gif

Out[9]=

08_skyrius_9.gif

Magnetinio ir elektrinio dipolio hamiltonianai

Diagonalinė dalis. 2L atomo hamiltonianas, kuriame h 08_skyrius_10.gif σz/2 yra energija tarp lygmenų,

In[10]:=

08_skyrius_11.gif

Out[10]//MatrixForm=

08_skyrius_12.gif

ESR arba BMR spektroskopijų atveju diagonalinį hamiltonianą nusako lygmenų suskilimas magnetiniame lauke B0 || z. Tokiu ateju suskilimo energija yra h ω0 = 08_skyrius_13.gifB0 σz = μB B0 σz, kur μB yra Bohro magnetonas.

Nediagonalinė dalis. Dipolio hamiltonianas d·E išreikštas per Paulio matricas. Jei drE ir diE yra realioji ir menamoji dipolio dalis padauginta iš elektrinio lauko, tada nediagonalinė dipolio dalis yra

In[11]:=

08_skyrius_14.gif

Out[11]//MatrixForm=

08_skyrius_15.gif

ESR ir BMR spektroskopijų atveju kintamas magnetinis laukas osciliuoja plokštumoje x–y, todėl vietoje dipolio sąveikos energijų diE ir drE rašysim sąveikos su magnetiniu lauku energijas μ B1. Tada nediagomalinė dalis μB (σx Bx + σy By) bus

In[12]:=

08_skyrius_16.gif

Out[12]//MatrixForm=

08_skyrius_17.gif

Pilnas  dipolinis sąveikos su elektriniu lauku hamiltonianas bus

In[13]:=

08_skyrius_18.gif

Out[13]//MatrixForm=

08_skyrius_19.gif

kuriame ω0 žymi atstumą tarp lygmenų. Pilnas su magnetine sąveika susijęs hamiltonianas bus

In[14]:=

08_skyrius_20.gif

Out[14]//MatrixForm=

08_skyrius_21.gif

kur ω0 = μB Bz

◆ Iš gautų lygčių matyti, kad elektrinio Had ir magnetinio HAB dipolių hamiltonianai yra labai panašūs

In[15]:=

08_skyrius_22.gif

Out[15]//MatrixForm=

08_skyrius_23.gif

Out[16]//MatrixForm=

08_skyrius_24.gif

Uždavinys: pabandykite rasti abiejų dipolinių hamiltonianų tikrinius vektorius.

Harmoninis magnetinis laukas: apskritiminė poliarizacija

Paimsime  apskritiminę (circular) magnetinio lauko poliarizaciją x–y plokštumoje

In[17]:=

08_skyrius_25.gif

Out[17]=

08_skyrius_26.gif

Tada hamiltonianas įgis formą

In[18]:=

08_skyrius_27.gif

Out[18]//MatrixForm=

08_skyrius_28.gif

o dviejų lygmenų sistemą aprašys diferencialinės lygtys

08_skyrius_29.gif

Įvesime naujus kintamuosius, kurie perves į kartu su magnetiniu lauku besisukančią koordinačių sistemą (knygoje tai vadinama unitarine transformacija).

In[19]:=

08_skyrius_30.gif

Tada diferencialinių lygčių sistema tampa

In[21]:=

08_skyrius_31.gif

Out[21]//MatrixForm=

08_skyrius_32.gif

Pirmają lygtį padauginame iš Exp[i (ω /2) t], o antrąją – iš Exp[i (-ω/2) t]

In[22]:=

08_skyrius_33.gif

Out[22]//MatrixForm=

08_skyrius_34.gif

Iš čia matyti, kad atlikę unitarinę transformaciją galime parašyti tokią lygčių sistemą

08_skyrius_35.gif

arba matriciniame pavidale

08_skyrius_36.gif

arba įvedus ket vektorių  |c>

08_skyrius_37.gif

Iš čia matyti, kad kartu su magnetiniu lauku besisukančioje  koordinačių sistemoje gavome lygiai tokį patį hamiltonianą kaip pastoviame magnetiniame lauke. Klasikinės fizikos požiūriu, čia turime paprastą situaciją: jei sukamės kartu su magnetiniu lauku, magnetinis laukas tampa pastoviu. Kvantinės mechanikos požiūriu ši transformacija yra perėjimas į Heisenbergo atvaizdavimą. Heisenbergo atvaizde hamiltonianas nepriklauso nuo laiko, todėl jo sprendiniai yra sudaryti iš eksponenčių 08_skyrius_38.gif ir 08_skyrius_39.gif. Energijos 08_skyrius_40.gif ir 08_skyrius_41.gif yra ne kas kitas kaip hamiltoniano tikrinės vertės. Gautam hamiltonianui jos yra

In[23]:=

08_skyrius_42.gif

Out[23]=

08_skyrius_43.gif

Tuo nesunku įsitikinti ir išreikštai išsprendus tiesinių diferencialinių lygčių sistemą eqB2:

In[24]:=

08_skyrius_44.gif

Out[24]=

08_skyrius_45.gif

Imdami tiesines  kombinacijas

In[25]:=

08_skyrius_46.gif

apskaičiuojame populiaciją pirmame ir antrame energijos lygmenyje rezonanso atveju

In[27]:=

08_skyrius_47.gif

Out[27]=

08_skyrius_48.gif

Out[28]=

08_skyrius_49.gif

In[29]:=

08_skyrius_50.gif

Out[29]=

08_skyrius_51.gif

Out[30]=

08_skyrius_52.gif

kur koeficientus cc1[t] ir cc2[t] užduodame pagal pradines sąlygas, pavyzdžiui, kai t = 0.  Matome kad populiacija osciliuoja pagal Rabio dažnį ωR=2 μB B0, kur B0 yra besisukančio magnetinio lauko amplitudė  08_skyrius_53.gif.

Besisukančio elektrinio dipolio atveju diferencialines lygtis taip pat galima išspęsti tiksliai. Jei dipolis sukasi x–y plokštumoje stasakymas išliks toks pat, tik Rabio dažnis dabar bus ωR =2 E0 d / h, kur E0 yra besisukančio elektrinio lauko amplitudė.

Harmoninis elektrinis laukas: tiesinė poliarizacija

Tuo atveju kai turime tiesinę poliarizaciją, uždavinio tiksliai išspęsti negalima. Todėl pasinaudosim besisukančios bangos metodu. Vėliau gautą rezultatą palyginsime su tiksliu, gautu skaitmeniškai.
◆ Paimsime  harmoninį elektrinį lauką

In[31]:=

08_skyrius_54.gif

Menamą dipolio dalį prilyginsime nuliui, o dipolį pažymėsime raide d. Manysime, kad elektrinis laukas ir dipolis yra lygiagretus.  Tada hamiltonianas  virs į

In[32]:=

08_skyrius_55.gif

Out[32]//MatrixForm=

08_skyrius_56.gif

Įvedame Rabio dažnį ωR = d E0 / h. Tada hamiltonianas atrodys

In[33]:=

08_skyrius_57.gif

o dviejų lygmenų sistemą aprašo diferencialinės lygtys

08_skyrius_58.gif

Įvesime naujus kintamuosius

In[34]:=

08_skyrius_59.gif

Naujuose kintamuosiuose diferencialinių lygčių sistema yra

In[36]:=

08_skyrius_60.gif

Out[36]//MatrixForm=

08_skyrius_61.gif

Pirmąją lygtį padauginame iš Exp[i ω0 t/2], o antrąją iš Exp[-i ω0 t/2]

In[37]:=

08_skyrius_62.gif

Out[37]//MatrixForm=

08_skyrius_63.gif

Gautoje lygčių sistemoje pašaliname narius su suminiu dažniu (ω + ω0) (besisukančios bangos artinys).
Tada, įvedę išderinimą Δ = ω - ω0,  gauname tokią diferencialinių lygčių sistemą

In[38]:=

08_skyrius_64.gif

Out[38]//MatrixForm=

08_skyrius_65.gif

◆ Rezonanso atveju, šios lygtys tampa

In[39]:=

08_skyrius_66.gif

Out[39]=

08_skyrius_67.gif

Jų sprendinys yra

In[40]:=

08_skyrius_68.gif

Out[40]=

08_skyrius_69.gif

Momentu t = 0 paimsime C[1] = 1 ir C[2] = 0

In[41]:=

08_skyrius_70.gif

Out[41]=

08_skyrius_71.gif

Iš čia randame, kad pirmojo ir antrojo lygmens populiacija nuo laiko kinta tokiu dėsniu

In[42]:=

08_skyrius_72.gif

Out[42]=

08_skyrius_73.gif

Nupiešime šias kreives

In[43]:=

08_skyrius_74.gif

Out[43]=

08_skyrius_75.gif

◆ Bendru atveju turime sukabintas diferencialines  lygtis

In[44]:=

08_skyrius_76.gif

Out[44]=

08_skyrius_77.gif

kurių spendinys yra

In[45]:=

08_skyrius_78.gif

Out[45]=

08_skyrius_79.gif

Pakeiskime neigiamą šaknį  menamu vienetu

In[46]:=

08_skyrius_80.gif

Out[46]=

08_skyrius_81.gif

Dabar laiko momentu t = 0 nesant išderinimo, gauname

In[47]:=

08_skyrius_82.gif

Out[47]=

08_skyrius_83.gif

Out[48]=

08_skyrius_84.gif

Nustatysime pastoviąsias C[1] ir C[2]. Tam pradžioje randame tikimybes elektronui būti viename ir kitame lygmenyje

In[49]:=

08_skyrius_85.gif

Out[49]=

08_skyrius_86.gif

Out[50]=

08_skyrius_87.gif

Atitinkamame lygmenyje elektronas bus

In[51]:=

08_skyrius_88.gif

Out[51]=

08_skyrius_89.gif

Momentu t = 0 tai duoda

In[52]:=

08_skyrius_90.gif

Out[52]=

08_skyrius_91.gif

Randame pastoviąsias C[1] ir C[2],  jų atžvilgiu išsprendę lygčių sistemą

In[53]:=

08_skyrius_92.gif

Out[53]=

08_skyrius_93.gif

Paimsime pirmąjį sprendinį, kuris momentu t = 0 duoda

In[54]:=

08_skyrius_94.gif

Out[54]=

08_skyrius_95.gif

Įstatę pirmąjį sprendinį, rasime tokias tikimybes elektronui būti pirmame ir antrame lygmenyje

In[55]:=

08_skyrius_96.gif

Out[55]=

08_skyrius_97.gif

Kai išderinimas lygus nuliui, t.y. kai turime rezonansą, šis sprendinys virsta ankstesniu

In[56]:=

08_skyrius_98.gif

Out[56]=

08_skyrius_99.gif

◆ Pavaizduosime rezultatus grafiškai esant šiems parametrams

In[57]:=

08_skyrius_100.gif

Out[57]=

08_skyrius_101.gif

In[58]:=

08_skyrius_102.gif

Out[58]=

08_skyrius_103.gif

Atvaizdai ant Blocho sferos

Žinodami integravimo pastoviąsias

In[59]:=

08_skyrius_104.gif

Out[59]=

08_skyrius_105.gif

galime surasti pilnas bangines funkcijas

In[60]:=

08_skyrius_106.gif

Out[60]=

08_skyrius_107.gif

Out[61]=

08_skyrius_108.gif

Naudodami šias bangines funkcijas randame vidutines Paulio matricų vertes,

In[62]:=

08_skyrius_109.gif

In[63]:=

08_skyrius_110.gif

Out[63]=

08_skyrius_111.gif

In[64]:=

08_skyrius_112.gif

Out[64]=

08_skyrius_113.gif

In[65]:=

08_skyrius_114.gif

Out[65]=

08_skyrius_115.gif

Patikriname, kad visais atvejais, nepriklausomai nuo parametrų verčių tenkinama tapatybė 08_skyrius_116.gif, t.y. visos vidutinio sukinio trajektorijos guli ant Blocho sferos paviršiaus

In[66]:=

08_skyrius_117.gif

Out[66]=

08_skyrius_118.gif

Apibrėžiame parametrus ir randame trajektorijas ant Blocho sferos

In[67]:=

08_skyrius_119.gif

In[68]:=

08_skyrius_120.gif

Out[68]=

08_skyrius_121.gif

◆ Papildomos kreivės

In[69]:=

08_skyrius_122.gif

In[71]:=

08_skyrius_123.gif

In[73]:=

08_skyrius_124.gif

In[74]:=

08_skyrius_125.gif

In[75]:=

08_skyrius_126.gif

Out[75]=

08_skyrius_127.gif

◆ Pavaizduojame sukinio trajektorijas ant Blocho sferos kartu su papildomomis kreivėmis

In[76]:=

08_skyrius_128.gif

Out[76]=

08_skyrius_129.gif

Skaitinis 2L sistemos sprendimas

Tiesinės poliarizacijos atveju rasime Rabio osciliacijų sprendinį skaitiškai.
Pradinis nuo laiko priklausantis  2L sistemos hamiltonianas buvo gautas anksčiau ir  turi pavidalą

In[77]:=

08_skyrius_130.gif

Out[77]//MatrixForm=

08_skyrius_131.gif

Pasinaudoję šiuo hamiltonianu išspręsime Schrodingerio lygtį. Pradžioje suformuojame diferencialines lygtis, kai h = 1. Kadangi išderinimas  yra Δ = ω – ω0, padarome pakeitimą    ω  =  ω0 + Δ,

In[78]:=

08_skyrius_132.gif

Out[78]=

08_skyrius_133.gif

Suteikiame parametrams vertes

In[79]:=

08_skyrius_134.gif

Out[79]=

08_skyrius_135.gif

ir išsprendžiame diferencialines lygtis skaitiškai laiko intervalui nuo  t = 0 iki t=10

In[80]:=

08_skyrius_136.gif

Out[80]=

08_skyrius_137.gif

Gauti sprendiniai, kaip matyti, yra kompleksinės funkcijos, todėl apskaičiuosime jų modulio kvadratą

In[81]:=

08_skyrius_138.gif

Out[81]=

08_skyrius_139.gif

Out[82]=

08_skyrius_140.gif

ir pavaizduosime kaip jis kinta laikui bėgant

In[83]:=

08_skyrius_141.gif

Out[83]=

08_skyrius_142.gif

Kaip matyti, tiksliame sprendinyje be lėtų Rabio osciliacijų matome ir papildomas greitas osciliacijas, kurios dingsta kai naudojame besisukančios bangos artinį.

Sugerties linijos pločio priklausomybė nuo elektrinio lauko stiprio

Laikykime, kad elektrono gyvavimo trukmė viršutiniame lygmenyje yra baigtinė ir tikimybė jame aptikti elektroną laikui bėgant mažėja eksponentiniu dėsniu.  Koeficientą γ eksponentėje lemia, pavyzdžiui,  spontaninis spinduliavimas

In[84]:=

08_skyrius_143.gif

In[85]:=

08_skyrius_144.gif

Out[85]=

08_skyrius_145.gif

Tada suvidurkinę pagal laiką viršutinio lygmens populiaciją, kuri buvo gauta anksčiau neatsižvelgiant į spontaninę emisiją

In[86]:=

08_skyrius_146.gif

Out[86]=

08_skyrius_147.gif

gausime Lorentzo linijos pavidalą

In[87]:=

08_skyrius_148.gif

Out[87]=

08_skyrius_149.gif

Šios linijos plotį nusako dydis Γ = 08_skyrius_150.gif= 08_skyrius_151.gif.
Sunormuokime išderinimą Δ į ω0, ir pavaizduokime grafiškai

In[88]:=

08_skyrius_152.gif

Out[88]=

08_skyrius_153.gif

Taigi gavome, kad linijos plotis priklauso nuo lazerio elektrinio lauko stiprio (nuo jo priklauso Rabio dažnis ωR). Kai laukas silpnas, t.y. kai 08_skyrius_154.gif vardiklyję galime paimti ribą ωR → 0. Tada suintegravę pagal visus išderinimus

In[89]:=

08_skyrius_155.gif

Out[89]=

08_skyrius_156.gif

ir  sunormavę, gausime standartinį Lorentzo smailės pavidalą

In[90]:=

08_skyrius_157.gif

Out[90]=

08_skyrius_158.gif

Ją nubraižysim  įvairioms spantaninės emisijos trukmėms.

In[91]:=

08_skyrius_159.gif

Out[91]=

08_skyrius_160.gif

Matyti, kad linija tuo platesnė kuo gyvavimo trukmė mažesnė.

◆ Dabar nubraižysim, kaip keičiasi sugerties linijos plotis nuo matuojamo lazerio elektrinio lauko stiprio, kuris pats yra proporcingas Rabio dažniui

In[92]:=

08_skyrius_161.gif

Out[92]=

08_skyrius_162.gif

In[93]:=

08_skyrius_163.gif

Out[93]=

08_skyrius_164.gif

In[94]:=

08_skyrius_165.gif

Out[94]=

08_skyrius_166.gif

Matyti, kad kuo elektrinis laukas stipresnis, tuo Lorenzo kreivė platesnė.

Blocho ir Siegerto poslinkio grafikas

In[95]:=

08_skyrius_167.gif

In[96]:=

08_skyrius_168.gif

In[97]:=

08_skyrius_169.gif

In[98]:=

08_skyrius_170.gif

In[99]:=

08_skyrius_171.gif

In[100]:=

08_skyrius_172.gif

In[101]:=

08_skyrius_173.gif

In[102]:=

08_skyrius_174.gif

Out[102]=

08_skyrius_175.gif

Baigę paliekame branduolį

In[103]:=

08_skyrius_176.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08