9a skyrius
Impulsinis 2L sistemos žadinimas. Rabio osciliacijos

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

09a_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

09a_skyrius_2.gif

Paulio matricos 09a_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

09a_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

09a_skyrius_5.gif

In[7]:=

09a_skyrius_6.gif

Out[7]=

09a_skyrius_7.gif

In[8]:=

09a_skyrius_8.gif

Out[8]=

09a_skyrius_9.gif

2L Blocho lygties išvedimas

2L sistemos tankio matrica

Tirsime 1/2 sukinio dinamiką magnetiniame lauke, kurio indukcija B. Manysime, kad magnetinis laukas susideda iš pastovaus, nukreipto z kryptimi ir apskritimiškai besisukančio x–y plokštumoje, nuo y ašies link x ašies (o ne priešinga kryptimi) sandų

In[9]:=

09a_skyrius_10.gif

Out[9]//MatrixForm=

09a_skyrius_11.gif

1/2 sukinio sąveiką su magnetiniu lauku aprašo Hamiltonianas H = μ·B = 09a_skyrius_12.gifh γ σ·B, kur μ  yra magnetinio  momento operatorius, o γ  vadinamas giromagnetiniu santykiu.  σ yra Paulio matricos, σ = 09a_skyrius_13.gif , 09a_skyrius_14.gif, 09a_skyrius_15.gif ) . Jei įvesime Bohro magnetoną μB = h γ/2,  nagrinėjamas sukinio hamiltonianas įgis pavidalą

In[10]:=

09a_skyrius_16.gif

Out[10]//MatrixForm=

09a_skyrius_17.gif

Tuo atveju kai kintamojo lauko sando nėra, hamiltonianas yra diagonalus, o jo matriciniai elementai  turi į viršų ir žemyn (išilgai lauko Bz) nukreipto sukinio energijos prasmę

In[11]:=

09a_skyrius_18.gif

Out[11]//MatrixForm=

09a_skyrius_19.gif

Energinių lygmenų suskilimas dėl sukinių sąveikos su magnetiniu lauku vadinamas Zeemano reiškiniu. Suskilimo energija yra proporcinga magnetinės indukcijos stipriui: ΔE = h 09a_skyrius_20.gif = h γ 09a_skyrius_21.gif = 2 μB Bz. Tokiu būdu, turime 09a_skyrius_22.gif = γ 09a_skyrius_23.gif.
Šį hamiltonianą pažymėsime H0 simboliu

In[12]:=

09a_skyrius_24.gif

Out[12]//MatrixForm=

09a_skyrius_25.gif

Pilnas hamiltonianas yra H = H0 + H1, kur H1 aprašo sukinio sąveiką su kintamu magnetiniu lauku.
Tolimesniems pertvarkymams patogu transformuoti hamiltonianą unitarine matrica U,  kuri aprašo sukimąsi apie z ašį:

09a_skyrius_26.gif

09a_skyrius_27.gif ≡ σz yra Paulio matrica. Eksponentę apskaičiuojame komanda MatrixExp[ ]. Rezultatas yra matrica

In[13]:=

09a_skyrius_28.gif

Out[13]//MatrixForm=

09a_skyrius_29.gif

Tada bet kuris operatorius  naujame atvaizde įgis pavidalą

09a_skyrius_30.gif

Pavyzdžiui, pilnas hamiltonianas transformuojasi į

In[14]:=

09a_skyrius_31.gif

Out[14]//MatrixForm=

09a_skyrius_32.gif

t.y. naujose koordinatėse hamiltonianas nepriklauso nuo laiko.

◆ Raskime tankio matricą ρ . Žinome, kad 2×2 tankio matricos ρ judėjimo lygtis išreiškta per ρ ir H  komutatorių yra

09a_skyrius_33.gif

Tankio matrica naujame atvaizde, po unitarinės transformacijos tada turės pavidalą

09a_skyrius_34.gif

Išdiferencijavę  09a_skyrius_35.gif pagal laiką, randame, kad dešinė pusė yra

09a_skyrius_36.gif

arba

09a_skyrius_37.gif

Įstatę  09a_skyrius_38.gif ,  turime

09a_skyrius_39.gif

kur

09a_skyrius_40.gif

Paveikę hamiltonianą

In[15]:=

09a_skyrius_41.gif

Out[15]//MatrixForm=

09a_skyrius_42.gif

unitarine matrica U, gauname naują hamiltonianą

In[16]:=

09a_skyrius_43.gif

Out[16]//MatrixForm=

09a_skyrius_44.gif

Kadangi h 09a_skyrius_45.gif = 2 μB Bz ir išderinimas lygus  Δω = 09a_skyrius_46.gif – ω ,  matrica  (HI  – 09a_skyrius_47.gifσz)  įgyja pavidalą

In[17]:=

09a_skyrius_48.gif

Out[17]//MatrixForm=

09a_skyrius_49.gif

t.y. galime rašyti

09a_skyrius_50.gif

kur σz ir σx yra Paulio matricos.

◆ Įvedame tankio matricą besisukančioje koordinačių sistemoje

In[18]:=

09a_skyrius_51.gif

Out[18]//MatrixForm=

09a_skyrius_52.gif

Tada komutatorius [HPP, ρI] bus

In[19]:=

09a_skyrius_53.gif

Out[19]//MatrixForm=

09a_skyrius_54.gif

O  tankio matricos judėjimo lygtis yra

09a_skyrius_55.gif

Pasinaudoję keitimo taisyklėmis įvesime naujus pažymėjimus

In[20]:=

09a_skyrius_56.gif

Out[20]=

09a_skyrius_57.gif

o taip pat u, v, w išvestines pagal laiką

In[21]:=

09a_skyrius_58.gif

Out[21]=

09a_skyrius_59.gif

Patikriname, kad  judėjimo lygtį

09a_skyrius_60.gif

galima užrašyti per  naujus kintamuosius u, v, w

09a_skyrius_61.gif

Iš tikrųjų  matricos [HPP,ρI] elementai tenkina šias lygtys

In[22]:=

09a_skyrius_62.gif

Out[22]=

09a_skyrius_63.gif

Out[23]=

09a_skyrius_64.gif

Paskutinė eilutė rodo, kad įstatę komutatoriaus matricinius elementus gauname tapatybę.

◆ Išvada
Tankio matricos judėjimo lygtį

09a_skyrius_65.gif

galima pakeisti lygtimis Blocho vektoriui, kurio sandai yra (u, v, w)

09a_skyrius_66.gif

◆ Parodysim, kad dydis  09a_skyrius_67.gif nuo laiko nepriklauso. Tam  išvestines  padauginame atitinkamai iš u, v ir w ir jas sudedame

In[24]:=

09a_skyrius_68.gif

Out[24]=

09a_skyrius_69.gif

Out[25]=

09a_skyrius_70.gif

Tokiu būdu įsitikinome, kad galioja tapatybė

09a_skyrius_71.gif

o tai reiškia, kad 09a_skyrius_72.gif, t.y. nuo laiko nepriklausantis dydis.

Įmagnetinimas

Jei  žinome tankio matricą, tada medžiagos įmagnetinimo kitimą galime rasti apskaičiavę pėdsaką

09a_skyrius_73.gif

Įvesime tankio matricą besisukančioje koordinačių sistemoje

In[26]:=

09a_skyrius_74.gif

Out[26]//MatrixForm=

09a_skyrius_75.gif

Kadangi

09a_skyrius_76.gif

stacionarioje koordinačių sistemoje tankio matrica bus

In[27]:=

09a_skyrius_77.gif

Out[27]//MatrixForm=

09a_skyrius_78.gif

įmagnetinimo  Mz dydį z kryptimi rasime paėmę sukinio z sandą ir apskaičiavę pėdsaką su tankio matrica stacionarioje koordinačių sistemoje

In[28]:=

09a_skyrius_79.gif

Out[28]=

09a_skyrius_80.gif

Čia N yra sukinių skaičius. Kadangi ρi[1,1] ir ρi[2,2]  rodo 2L sistemos sukinį į viršų ir žemyn, įmagnetinimas prklauso nuo jų skirtumo.  Panašiai randame x ir y sandus

In[29]:=

09a_skyrius_81.gif

Out[29]=

09a_skyrius_82.gif

In[30]:=

09a_skyrius_83.gif

Out[30]=

09a_skyrius_84.gif

Kadangi tankio matrica yra ermitinė: ρi[2,1] 09a_skyrius_85.gif,  galime rašyti

09a_skyrius_86.gif

Sudėję abi išraiškas, turime

In[31]:=

09a_skyrius_87.gif

Out[31]=

09a_skyrius_88.gif

iš kur matyti, kad įmagnetinimas sukasi aplink z ašį dažniu ω.  Anksčiau įvedėme matricas ρ21 = ρi[2,1],  ρ12 = ρi[1,2], ρ11 = ρi[1,1], ρ22 = ρi[2,2]. Todėl tankio matricas galima išreikšti per u ir v

In[32]:=

09a_skyrius_89.gif

Out[32]=

09a_skyrius_90.gif

In[33]:=

09a_skyrius_91.gif

Out[33]=

09a_skyrius_92.gif

Todėl galime rašyti

09a_skyrius_93.gif

Relaksacijos laikų įvedimas

Tam, kad būtų galima įskaityti sukinio išnykimą (relaksaciją) įvedamos dvi charakteringos relaksacijos trukmės. Pirmoji, taip vadinama išilginė relaksacijos trukmė 09a_skyrius_94.gif,  aprašo sistemos grįžimą į pradinę įmagnetinimo vertę 09a_skyrius_95.gif  išilgai nuolatinio magnetinio lauko sando (iš čia ir toks pavadinimas). Kadangi įmagnetinimą išilgai z ašies aprašo w, tai atitinkamą diferencialinę lygtį pakeičiame į lygtį su papildomu relaksacijos nariu

09a_skyrius_96.gif

Ši lygtis aprašo sukinių, nukreiptų prieš ir pagal magnetinį lauką, skaičių. Kitos dvi diferencialinės lygtis aprašo skersinio, t.y. orientuoto statmenai z ašiai, išsimagnetinimo dinamiką. Tam įvedama  skersinės relaksacijos trukmė 09a_skyrius_97.gif.  Manysime, kad  09a_skyrius_98.gif ir 09a_skyrius_99.gif sandai relaksuoja tuo pačiu greičiu, todėl atitinkamos lygtys keičiamos į

09a_skyrius_100.gif

Bandinys ir ritė NMR eksperimente

Rėmelis

Rėmas, kurio apatinė-kairė ir viršutinė-dešinė koordinatės yra  {0,0}—{10,10}

In[34]:=

09a_skyrius_101.gif

pavyzdžiui

In[35]:=

09a_skyrius_102.gif

Out[36]=

09a_skyrius_103.gif

Tinklelis

Tinklelis, kurio ekstremalios koordinatė {x1,y1} and {x2,y2}  panašios kaip ir  frame[ ] komandoje

In[37]:=

09a_skyrius_104.gif

In[38]:=

09a_skyrius_105.gif

Out[39]=

09a_skyrius_106.gif

Ritė sudaryta iš persumtų sinusoidžių gabalų

In[40]:=

09a_skyrius_107.gif

In[44]:=

09a_skyrius_108.gif

In[45]:=

09a_skyrius_109.gif

In[46]:=

09a_skyrius_110.gif

In[47]:=

09a_skyrius_111.gif

In[48]:=

09a_skyrius_112.gif

In[50]:=

09a_skyrius_113.gif

In[52]:=

09a_skyrius_114.gif

Out[52]=

09a_skyrius_115.gif

In[53]:=

09a_skyrius_116.gif

In[55]:=

09a_skyrius_117.gif

Out[55]=

09a_skyrius_118.gif

In[56]:=

09a_skyrius_119.gif

In[58]:=

09a_skyrius_120.gif

Out[58]=

09a_skyrius_121.gif

Baigę uždarome branduolį

In[59]:=

09a_skyrius_122.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08