9b skyrius
Impulsinis 2L sistemos žadinimas. Rabio osciliacijos

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

09b_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

09b_skyrius_2.gif

Paulio matricos 09b_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

09b_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

09b_skyrius_5.gif

In[7]:=

09b_skyrius_6.gif

Out[7]=

09b_skyrius_7.gif

In[8]:=

09b_skyrius_8.gif

Out[8]=

09b_skyrius_9.gif

Pagalbiniai brėžiniai

Sferos vizualizacijos elementai:  apskritimai ir tiesės 3D erdvėje.

Apibrėžiame taško, iš kurio žiūrėsime į visus čia generuojamus brėžinius koordinates

In[9]:=

09b_skyrius_10.gif

In[10]:=

09b_skyrius_11.gif

Out[11]=

09b_skyrius_12.gif

In[12]:=

09b_skyrius_13.gif

Out[13]=

09b_skyrius_14.gif

In[14]:=

09b_skyrius_15.gif

Out[15]=

09b_skyrius_16.gif

In[16]:=

09b_skyrius_17.gif

Out[16]=

09b_skyrius_18.gif

In[17]:=

09b_skyrius_19.gif

Out[17]=

09b_skyrius_20.gif

In[18]:=

09b_skyrius_21.gif

Out[18]=

09b_skyrius_22.gif

Visus elementus surenkame į vieną vietą

In[19]:=

09b_skyrius_23.gif

Out[19]=

09b_skyrius_24.gif

Blocho lygtys

Išspręsime tokias Blocho lygtis (besisukančioje koordinačių sistemoje)

09b_skyrius_25.gif

kur (u,v,w) yra sferos koordinatės. Δ = ω – ω0 yra išderinimas,  ω1 = -γ B1 yra kintamas magnetinis laukas x–y plokštumoje, T1  yra išilginės relaksacijos trukmė, T2 yra skersinės relaksacijos trukmė. w0 yra stacionarinė w vertė, kai nėra žadinimo apskritiminiu magnetinu lauku.

Pirmiausia iš kintamo magnetinio lauko suformuokime impulsą. Jo gaubiamąją pažymėsime simboliu Ft. Laikykime, kad gaubiamoji turi stačiakampio laiptelio pavidalą

In[20]:=

09b_skyrius_26.gif

Out[21]=

09b_skyrius_27.gif

Užrašykime Blocho lygtis realiai(u)-menamai(v) poliarizacijos dalims ir populiacijai (w) Mathematica kalboje. Dešiniosios pusės:

In[22]:=

09b_skyrius_28.gif

Out[22]=

09b_skyrius_29.gif

Out[23]=

09b_skyrius_30.gif

Out[24]=

09b_skyrius_31.gif

Šių lygčių stacionarusis  sprendinys yra

In[25]:=

09b_skyrius_32.gif

Out[25]=

09b_skyrius_33.gif

Kai žadinimo kintamu magnetiniu lauku nėra (ω1 = 0), gautas sprendinys virsta

In[26]:=

09b_skyrius_34.gif

Out[26]=

09b_skyrius_35.gif

iš kurios matyti, kad stacionariu atveju, kai nėra sužadinimo, precesija nevyksta, o populiacija w[t] yra lygi pradinei.

Daliniai sprendiniai

Nagrinėsime atvejį kai relaksacijos trukmės T1 ir T2 yra be galo ilgos. Tada diferencialinių lygčių sistemą galima išspręsti analiziškai. Nagrinėjamu atveju išmetus narius, į kuriuos relaksacijos trukmės įeina vardiklyje turime

In[27]:=

09b_skyrius_36.gif

Dydis 09b_skyrius_37.gif. yra šos lygčių sistemos invariantas.
Tai nesunku patikrinti

In[30]:=

09b_skyrius_38.gif

Out[30]=

09b_skyrius_39.gif

Įvedę Rabio dažnį ωR = 09b_skyrius_40.gif,  diferencialinių lygčių sprendinį galime užrašyti tokiu pavidalu

In[31]:=

09b_skyrius_41.gif

Out[31]=

09b_skyrius_42.gif

kur konstantos C[1], C[2], C[3] nusako pradines sąlygas.  Eksponentes pakeitus trigonometrinėmis funkcijomis, sprendiniai įgyja tokį paprastą pavidalą

In[32]:=

09b_skyrius_43.gif

Out[32]=

09b_skyrius_44.gif

Out[33]=

09b_skyrius_45.gif

Out[34]=

09b_skyrius_46.gif

Pasitikrinimui: jei paimsime gautų sprendinių kvadratų sumą, kaip ir anksčiau, gausime invariantą

In[35]:=

09b_skyrius_47.gif

Out[35]=

09b_skyrius_48.gif

iš kur matyti, kad sprendiniai guli ant sferos ir todėl visų konstantų negalime pasirinkti laisvai. Manysime, kad konstantų kvadratų suma visada lygi vienetui:  09b_skyrius_49.gif = 1. Rezonanso metu gauti sprendiniai virsta į

In[36]:=

09b_skyrius_50.gif

Out[36]=

09b_skyrius_51.gif

Out[37]=

09b_skyrius_52.gif

Paimsime tokias pradines sąlygas C[1] = 0, C[2] = 0, C[3] = 1, t.y. momentu t=0 turime pilną vieno lygmens populiaciją w

In[38]:=

09b_skyrius_53.gif

Out[38]=

09b_skyrius_54.gif

Iš šių lygčių rezonanso metu gauname

In[39]:=

09b_skyrius_55.gif

Out[39]=

09b_skyrius_56.gif

Nupiešime jų kreives, kai išderinimas yra lygus nuliui (Δ=0) ir jis yra baigtinis

In[40]:=

09b_skyrius_57.gif

Out[40]=

09b_skyrius_58.gif

Atskiri atvejai. Skaitinis integravimas

Užsiduodame parametrus ir sprendžiame Blocho lygčių sistemą. Laikas - sekundėmis, dažnis - hercais

π/2 impulsas

Suteikiame parametrams skaitines vertes

In[41]:=

09b_skyrius_59.gif

Tada Blocho lygtys atrodo taip

In[42]:=

09b_skyrius_60.gif

Out[42]=

09b_skyrius_61.gif

Lygčių integravimo laiką tend1 užduodame gerokai ilgesnį už π/2 impulso trukmę tmax ir skaitiškai integruojame

In[43]:=

09b_skyrius_62.gif

Out[44]=

09b_skyrius_63.gif

Gautų sprendinių priklausomybę nuo laiko pavaizduojame skirtingom spalvom

In[45]:=

09b_skyrius_64.gif

Out[45]=

09b_skyrius_65.gif

Mėlyna kreivė rodo, kad praėjus laiko intervalui π/2 impulso abiejų lygmenų populiacija išsilygino. Gautą sprendinį taip pat pavaizduosime kaip trajektorijos grafiką ant Blocho sferos.

In[46]:=

09b_skyrius_66.gif

Out[46]=

09b_skyrius_67.gif

Trajektoriją įsivaizduosime aiškiau, jei ją pavaizduosime kartu su  Blocho sfera

In[47]:=

09b_skyrius_68.gif

Out[48]=

09b_skyrius_69.gif

Iš paveikslo matyti, kad momentu t=0  buvo apgyvendintas tik viršutinis lygmuo. Paveikus π/2 impulsu, abu lygmenys tapo apgyvendinti vienodai. Pasibaigus impulsui sistema grįžta į pradinę buseną, poliarizacijos vektoriui precesuojant apie vertikalią ašį.

2π impulsas

Paimkime tuos pačius parametrus, tik lauko amplitudę ω1 keturis kartus padidinkime. Paveikus tokiam impulsui sistema grįžta į pradinę padėtį: ant Blocho sferos taškas iš šiaurinio poliaus juda į pietų polių, o po to grįžta į atgal šiaurės polių. Toks ciklas atitinka vieną Rabio periodą.

In[49]:=

09b_skyrius_70.gif

Paėmus tokius parametrus Blocho lygtys yra

In[50]:=

09b_skyrius_71.gif

Out[50]=

09b_skyrius_72.gif

Lygčių integravimo laiko tend1a trukmę imame palyginamą su 2π impulso trukme tmax

In[51]:=

09b_skyrius_73.gif

Out[52]=

09b_skyrius_74.gif

Gautų sprendinių priklausomybę nuo laiko atidedame įvairiom spalvom

In[53]:=

09b_skyrius_75.gif

Out[53]=

09b_skyrius_76.gif

Mėlyna kreivė rodo, kad paveikus π/2 impulsu abiejų lygmenų populiacija išsilygino. Gautą sprendinį taip pat pavaizduosime kaip trajektoriją ant Blocho sferos

In[54]:=

09b_skyrius_77.gif

Out[56]=

09b_skyrius_78.gif

Iš trajektorijos matyti, kad momentu t=0 buvo apgyvendintas tik viršutinis lygmuo. Po π/2 impulso, abu lygmenys jau yra apgyvendinti vienodai. Pasibaigus  impulsui sistema grįžta į pradinę buseną, poliarizacijos vektoriui precesuojant apie vertikalią ašį.

a) Laisva precesija, kai nėra žadinimo. Išsifazavimas  ir populiacijos relaksacijos, kai T2 = T1

Tarkime, kad relaksacijų trukmės tenkina sąlygą T2 ≤ T1.
Pradiniu laiko momentu abiejų lygmenų populiaciją imsime vienodą, w(0) = 0, o poliarizacijos vektorių nukreipsime išilgai v.  Tarp laikų turi būti tenkinama sąlyga T2 ≤ T1. Kitų parametrų vertes paimsime tokias

In[57]:=

09b_skyrius_79.gif

Skaičiavimus atliksime lygiai tokiu pačiu būdu kaip ir anksčiau

In[58]:=

09b_skyrius_80.gif

Out[58]=

09b_skyrius_81.gif

In[59]:=

09b_skyrius_82.gif

Out[60]=

09b_skyrius_83.gif

In[61]:=

09b_skyrius_84.gif

Out[61]=

09b_skyrius_85.gif

Trajektoriją pavaizduojame ant Blocho sferos

In[62]:=

09b_skyrius_86.gif

Out[64]=

09b_skyrius_87.gif

b) Laisva precesija, kai nėra žadinimo.  T2 < T1

Pradiniu laiko momentu abiejų lygmenų populiaciją vėl imame vienodą, w(0) = 0.  Poliarizacijos vektorių nukreipiame išilgai v.  Kitų parametrų vertes paimame tokias

In[65]:=

09b_skyrius_88.gif

Skaičiavimai atliekami kaip ir prieš tai

In[66]:=

09b_skyrius_89.gif

Out[66]=

09b_skyrius_90.gif

In[67]:=

09b_skyrius_91.gif

Out[68]=

09b_skyrius_92.gif

In[69]:=

09b_skyrius_93.gif

Out[69]=

09b_skyrius_94.gif

Atvaizdai ant Blocho sferos

In[70]:=

09b_skyrius_95.gif

Out[72]=

09b_skyrius_96.gif

c) Laisva precesija, kai nėra žadinimo.  T2 ≪ T1

Pradiniu laiko momentu abiejų lygmenų populiacijos vienodos, w(0) = 0.  Poliarizacijos vektorius nukreiptas išilgai v. Kitų parametrų vertės:

In[73]:=

09b_skyrius_97.gif

Skaičiavimai atliekami kaip ir prieš tai

In[74]:=

09b_skyrius_98.gif

Out[74]=

09b_skyrius_99.gif

In[75]:=

09b_skyrius_100.gif

Out[76]=

09b_skyrius_101.gif

In[77]:=

09b_skyrius_102.gif

Out[77]=

09b_skyrius_103.gif

Trajektorijos ant Blocho sferos

In[78]:=

09b_skyrius_104.gif

Out[80]=

09b_skyrius_105.gif

Gausinis kintamo magnetinio lauko impulsas

Dabar vietoj stačiakampio impulso kintamo magnetinio lauko gaubtinę aprašysime Gausso funkcija

09b_skyrius_106.gif

kur  09b_skyrius_107.gif nusako jos pusplotį

In[81]:=

09b_skyrius_108.gif

In[83]:=

09b_skyrius_109.gif

Parametrai

In[86]:=

09b_skyrius_110.gif

Pradžioje nupieškme kaip keičiasi gaubiamosios pavidalas bėgant laikui

In[87]:=

09b_skyrius_111.gif

Out[87]=

09b_skyrius_112.gif

Įstatę parametrų vertes, gauname tokią diferencialinių lygčių sistemą

In[88]:=

09b_skyrius_113.gif

Out[88]=

09b_skyrius_114.gif

kurią  išsprendę, kaip ir anksčiau, sprendinius pavaizduojame įvairiais pavidalais

In[89]:=

09b_skyrius_115.gif

Out[90]=

09b_skyrius_116.gif

In[91]:=

09b_skyrius_117.gif

Out[91]=

09b_skyrius_118.gif

Trajektorijos ant Blocho sferos

In[92]:=

09b_skyrius_119.gif

Out[94]=

09b_skyrius_120.gif

Šeima, esant skirtingiems išderinimams

Tirsime grupę 2L sistemų, kurių rezonansiniai dažniai šiek tiek skiriasi. Tai reiškia, kad  atskiros sistemos turi skirtingus išderinimus. Sudarykime lygčių sistemas su skirtingais išderinimais Δ.

In[95]:=

09b_skyrius_121.gif

In[98]:=

09b_skyrius_122.gif

In[101]:=

09b_skyrius_123.gif

In[104]:=

09b_skyrius_124.gif

Nupiešime gautas trajektorijas ant Blocho sferos

In[107]:=

09b_skyrius_125.gif

In[108]:=

09b_skyrius_126.gif

Out[108]=

09b_skyrius_127.gif

Lėtas  dažnio kitimas

Atliksime populiacijos inversiją lėtai keičiant dažnį (dažnio svipavimas).  Dažnį keisime tiesiniu dėsniu

09b_skyrius_128.gif

In[109]:=

09b_skyrius_129.gif

Tada Blocho lygtys yra

In[110]:=

09b_skyrius_130.gif

Parenkame tinkamus parametrus

In[113]:=

09b_skyrius_131.gif

In[114]:=

09b_skyrius_132.gif

Out[114]=

09b_skyrius_133.gif

ir išsprendžiame Blocho lygtis

In[115]:=

09b_skyrius_134.gif

Out[116]=

09b_skyrius_135.gif

In[117]:=

09b_skyrius_136.gif

Out[117]=

09b_skyrius_137.gif

Trajektorijos ant Blocho sferos

In[118]:=

09b_skyrius_138.gif

Out[120]=

09b_skyrius_139.gif

Iš piešinio matyti, kad parinkus tinkamas žadinačio magnetinio lauko vertes, galima pakeisti populiaciją į priešingą.

Populiacijos priklausomybė nuo T1, T2

Reikalavimai ir pažymėjimai:
Tarp laikų turi būti patenkinta sąlyga T2 ≤ T1
w0 = pusiausviroji populiacija
tmax = šviesos impulso ilgis
T1, T2 = išilginė ir skersinė relaksacijos trukmės
ω1 =  žadinančio lauko stipris
Δ = išderinimas

In[121]:=

09b_skyrius_140.gif

Out[124]=

09b_skyrius_141.gif

In[125]:=

09b_skyrius_142.gif

Out[128]=

09b_skyrius_143.gif

In[129]:=

09b_skyrius_144.gif

Out[132]=

09b_skyrius_145.gif

In[133]:=

09b_skyrius_146.gif

Out[133]=

09b_skyrius_147.gif

Precesija

Išspręsime precesijos lygtį

09b_skyrius_148.gif

kur n yra vienetinis vektorius apie kurį precesuoja vektorius M. Užrašykime abu vektrorius dekarto koordinatėse

In[134]:=

09b_skyrius_149.gif

Vienetinį vektorių nukreipėme z ašies kryptimi. Šių vektorių vektorinė sandauga yra

In[136]:=

09b_skyrius_150.gif

Out[136]=

09b_skyrius_151.gif

Diferencialinės lygties sprendinys bus

In[137]:=

09b_skyrius_152.gif

Out[137]=

09b_skyrius_153.gif

Iš jo matyti, kad Mz projekcija nepriklauso nuo laiko. Jei momentu t = 0 vektorius M nukreiptas x ašies kryptimi, tada  C[1]=M0 ir C[2] = 0 ir gauname

In[138]:=

09b_skyrius_154.gif

Out[138]=

09b_skyrius_155.gif

Baigę uždarome branduolį

In[139]:=

09b_skyrius_156.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08