9c skyrius
Impulsinis 2L sistemos žadinimas. Rabio osciliacijos

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

09c_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

09c_skyrius_2.gif

Paulio matricos 09c_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

09c_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

09c_skyrius_5.gif

In[7]:=

09c_skyrius_6.gif

Out[7]=

09c_skyrius_7.gif

In[8]:=

09c_skyrius_8.gif

Out[8]=

09c_skyrius_9.gif

Dekoherencija

Santrauka:  Šiame sąsiuvinyje apskaičiuosime 2L ansamblio dekoherenciją dėl atskirų 2L ansamblio narių išderinimo. Išderinimą aprašysime Gausso pavidalo kreive.  Analiziškai išnagrinėsime du atvejus: kai  ansamblio  išderinimo išsibarstymas didelis ir kai mažas.

Įvadas

2L sistemos antrojo lygmens populiaciją nusako tankio matricos elementas ρ22. Manysime, kad relaksacijos trukmės T1 ir T2 yra be galo didelės. Tada Blocho sferos parametrus {u, v, w}  galima aproksimuoti tokia formule (žr. sąsiuvinį 09a_skyrius.html)

In[9]:=

09c_skyrius_10.gif

Out[9]=

09c_skyrius_11.gif

Pradiniu laiko momentu,  t = 0 populiacija yra

In[10]:=

09c_skyrius_12.gif

Out[10]=

09c_skyrius_13.gif

Kai išderinimo nėra, t.y. kai  Δ = 0, turime

In[11]:=

09c_skyrius_14.gif

Out[11]=

09c_skyrius_15.gif

kur ω1 yra Rabio dažnis.
◆ Nagrinėsime sužadinto lygmens populiaciją, kuri lygi

In[12]:=

09c_skyrius_16.gif

Out[12]=

09c_skyrius_17.gif

Atskiros 2L sistemos išderinimą parinksime atsitiktinai iš intervale Δ = -0,3....0,3

In[13]:=

09c_skyrius_18.gif

Out[13]=

09c_skyrius_19.gif

Rabio dažnį imame lygų vienetui, ω1 = 1,  o atsitiktinį išderinimą sugeneruojame 20 kartų. Pavaizduojame kaip keičiasi antrojo lygmens populiacija nuo laiko

In[14]:=

09c_skyrius_20.gif

Out[14]=

09c_skyrius_21.gif

Pasiskirstymo funkcija (skirstinys)

Užduosime Gausso pavidalo skirstinio funkciją f(Δ). Simbolis  Δ žymi išderinimą.

In[15]:=

09c_skyrius_22.gif

Δ0 nusako išderinimų vidutinį išsibarstymą. Pavaizduosime šį skirstinį paėmę Δ0 = 0.1

In[16]:=

09c_skyrius_23.gif

Out[16]=

09c_skyrius_24.gif

Jis yra normuotas į vienetą

In[17]:=

09c_skyrius_25.gif

Out[17]=

09c_skyrius_26.gif

Užduodame  Δ0  ir  skirstinio funkcijos maksimalią  vertę. Taip pat nustatome ±Δ intervalo, kuriame generuosime atsitiktinius išderinimus Δ, ribas.

In[18]:=

09c_skyrius_27.gif

Out[19]=

09c_skyrius_28.gif

Atsitiktinį Gausso skirstinį generuosime Monte Carlo metodu. Jį realizuosime labai paprastai: stačiakampyje ΔMax–2rangeΔ sugeneruosime atsitiktinius skaičius ir iš jų visų paliksime tik tuos, kurie pakliuvo po pasiskirstymo funkcijos kreive. Taigi, atsitiktinius skaičius išilgai vertikalės ΔMax ir horizontalės 2rangeΔ generuosime tokiu algoritmu

In[21]:=

09c_skyrius_29.gif

Out[21]=

09c_skyrius_30.gif

Out[22]=

09c_skyrius_31.gif

Parenkame atsitiktinius išderinimus Δ  rėžiuose  ±rangeΔ  ir suskaičiuotas  kreives f  susumuojame. Kreivių skaičius numberOf2L.
Pradžioje sudarome atsitiktinių išderinimų Δ lentelę ir nuorodų, kad atsitiktinis taškas pakliuvo po pasiskirstymo funkcija: jei taip, tada vienetas, jei ne, tada nulis. Šį išrinkimą realizuoja funkcija Boole[ ].Taškų skaičių užduodame su numberOf2L, pavyzdžiui 5000 taškų..

In[23]:=

09c_skyrius_32.gif

Išrenkame tuos  Δ, kurie duoda taškus po pasiskirstymo funkcija

In[24]:=

09c_skyrius_33.gif

Atidedame išrinktų išderinimų histogramą. Deja, naujesnėse Mathematica versijose pasikeitė histogramų aukščio normavimo galimybės (dingo HistogramScale parinktis) , todėl patys turime sunormuoti histogramos aukštį. Tą padarysime paprasčiausiai aukščiausio stulpelio vertę prilyginę fMax vertei.

In[26]:=

09c_skyrius_34.gif

Out[26]=

09c_skyrius_35.gif

Pavaizduojame gautą histogramą ir skirstinio funkciją viename grafike

In[27]:=

09c_skyrius_36.gif

Out[27]=

09c_skyrius_37.gif

Užduodame Rabio dažnį ω1

In[28]:=

09c_skyrius_38.gif

Out[28]=

09c_skyrius_39.gif

Nukopijuojame  atsakymą ir jo pagrindu apibrėžiame funkciją

In[29]:=

09c_skyrius_40.gif

Sudarome ρ22 kreivių šeimyną su atsitiktiniais išderinimais Δ

In[30]:=

09c_skyrius_41.gif

Susumuojame visas kreives ir rezultatą pavaizduojame grafiškai

In[31]:=

09c_skyrius_42.gif

Out[31]=

09c_skyrius_43.gif

Šioje laiko skalėje Rabio periodas yra

In[32]:=

09c_skyrius_44.gif

Out[32]=

09c_skyrius_45.gif

Apytiksliai integralai

Vidutinę populiaciją <ρ22> suvidurkintą pagal ansamblį rasime suintegravę pagal išderinimus Δ.

In[33]:=

09c_skyrius_46.gif

Out[33]=

09c_skyrius_47.gif

su skirstinio funkcija

In[34]:=

09c_skyrius_48.gif

Out[34]=

09c_skyrius_49.gif

t.y. apskaičiavę integralą

09c_skyrius_50.gif

Kadangi integralas yra simetriškas Δ atžvilgiu,  integruojame nuo 0 iki –∞. Šio integralo pirmieji du nariai išsireiškia per paklaidų funkciją

In[35]:=

09c_skyrius_51.gif

Out[35]=

09c_skyrius_52.gif

Tačiau integralo dalies kurioje yra Cos[ ] funkcija analiziškai apskaičiuoti nepavyksta, todėl žemiau esančiai ląstelei pašalinome varnelę prie meniu punkto Cell/Cell properties/Evaluatable, kad ji nebūtų vykdoma

09c_skyrius_53.gif

Tirsime atvejį kai Δ0 >> ω1, t.y. kai pasiskirstymo funkcijos f(Δ)  plotis didelis, daug  didesnis už ω1

Kosinusinės integralo dalies elgesys priklauso nuo Δ0 ir ω1.
Kai pasiskirstymo funkcijos plotis Δ0  yra didelis lyginant su Rabio dažniu ω1, tada po integralu esančią eksponentę galime prilyginti vienetui. Kaip rodo žemiau nupieštas grafikas,  gaunamas neblogas sutapimas.

In[36]:=

09c_skyrius_54.gif

Out[36]=

09c_skyrius_55.gif

Tada skaičiuojame paprastesnį integralą.

In[37]:=

09c_skyrius_56.gif

Out[37]=

09c_skyrius_57.gif

Jį galima apskaičiuoti, jei padarysime kintamųjų pakeitimą:  09c_skyrius_58.gif,   09c_skyrius_59.gif,  dΔ = x 09c_skyrius_60.gif

In[38]:=

09c_skyrius_61.gif

Out[38]=

09c_skyrius_62.gif

Kaip bus parodyta vėliau,  šią hipergeometrinę funkciją asimptotikoje t→∞  gerai aproksimuoja tokia išraiška

In[39]:=

09c_skyrius_63.gif

Out[39]=

09c_skyrius_64.gif

Pakeičiame hipergeometrinę funkcija jos asimptotika,

In[40]:=

09c_skyrius_65.gif

Out[40]=

09c_skyrius_66.gif

Paklaidų funkciją Erfc[ ] taip pat pakeičiame jos asimptotika laikydami, kad Δ0 >> ω1

In[41]:=

09c_skyrius_67.gif

Out[41]=

09c_skyrius_68.gif

Tada sudėję abu integralus ir aproksimavę paklaidų integralą, gauname

In[42]:=

09c_skyrius_69.gif

Out[42]=

09c_skyrius_70.gif

Atskiriame nepriklausantį nuo laiko, kintantį kaip  09c_skyrius_71.gif  ir 09c_skyrius_72.gif narius. Pradžioje atsakymą išskleidžiame

In[43]:=

09c_skyrius_73.gif

Out[43]=

09c_skyrius_74.gif

Neprikausantis nuo laiko  ir 09c_skyrius_75.gif nariai.
Kadangi nagrinėjame laikus t>>2π/ω1, pastovus narys reiškia narį kai t→∞. Narys 09c_skyrius_76.gif begalybėje duoda

In[44]:=

09c_skyrius_77.gif

Out[44]=

09c_skyrius_78.gif

todėl jis duos įnašą kaip ir nepriklausantys nuo laiko nariai. Todėl bendras pastovus narys yra:

In[45]:=

09c_skyrius_79.gif

Out[45]=

09c_skyrius_80.gif

Out[46]=

09c_skyrius_81.gif

09c_skyrius_82.gif narys:

In[47]:=

09c_skyrius_83.gif

Out[47]=

09c_skyrius_84.gif

Pavaizduojame gautą aproksimuotą formulę, kuri yra teisinga riboje t→∞, raudonai, o tikslią formulą (su hipergeometrine funkcija) mėlynai (Δ0 >> ω1)

In[48]:=

09c_skyrius_85.gif

Out[48]=

09c_skyrius_86.gif

Kaip matome sutapimas geras jau po vieno Rabio periodo. Išvada:  dekoherencijos gesimas  nėra eksponentinis kaip įprasta. Jis yra proporcingas  09c_skyrius_87.gif.

Tirsime atvejį kai Δ0  ≪ ω1, t.y. kai pasiskirstymo funkcijos f(Δ)  plotis mažas, daug  mažesnis už ω1

09c_skyrius_88.gif

Pirmuosius du integralus jau turime apskaičiavę

In[49]:=

09c_skyrius_89.gif

Out[49]=

09c_skyrius_90.gif

Kadangi dabar Δ0 ≪ ω1, gautą paklaidų integralą aproksimuojame tokia asimptotika (žr. [1], p. 91)

In[50]:=

09c_skyrius_91.gif

Out[50]=

09c_skyrius_92.gif

Nors, kaip matėme integralas 09c_skyrius_93.gifanaliziškai neapskaičiuojamas, iš pointegrinės funkcijos grafiko apačioje  matome, kad vardiklyje išmetus 09c_skyrius_94.gif, gaunamas gan geras sutapimas

In[51]:=

09c_skyrius_95.gif

Out[51]=

09c_skyrius_96.gif

Kadangi, Δ0 < < ω1 ir eksponentės plotis yra palyginamas su Δ0,  tai kosinuso funkcijoje yra svarbios tik mažos Δ vertės, todėl  šaknį galima paskleisti eilute atžvilgiu Δ

In[52]:=

09c_skyrius_97.gif

Out[52]=

09c_skyrius_98.gif

Taip supaprastinta pointegrinė funkcija atrodo

In[53]:=

09c_skyrius_99.gif

Out[53]=

09c_skyrius_100.gif

ir jos  integralą jau galima apskaičiuoti

In[54]:=

09c_skyrius_101.gif

Out[54]=

09c_skyrius_102.gif

Iš gauto atsakymo matyti, kad esant dideliems laikams, 09c_skyrius_103.gif, turime 09c_skyrius_104.gif gesimą (prisiminkite, kad  1 < < ω1/ Δ0)
Tada abiejų integralų suma yra

In[55]:=

09c_skyrius_105.gif

Out[55]=

09c_skyrius_106.gif

Riboje t→∞ turime, kad osciliacijų amplitudė  gęsta į nulį, o populiacija artėja prie  09c_skyrius_107.gif.  Pavaizduosime šių integralų sumos grafiką

In[56]:=

09c_skyrius_108.gif

In[57]:=

09c_skyrius_109.gif

Out[57]=

09c_skyrius_110.gif

Apibendrintųjų hipergeometrinių funkcijų asimptotika

Santrauka:   Pateiktos kai kurių hipergeometrinių funkcijų asimptotikos pagal Luke knygą [2]. Yra jos rusiškas vertimas, pagal kurį toliau ir pateikiamos formulių nuorodos šiame sąsiuvinyje. Norintiems išsamiau susipažinti su specialiosiomis funkcijomis, jų taikymu, bei Mathematica sistemos analizinėmis galimybėmis labai rekomenduojame M. Trott knygą [3] .

Gama funkcijos

In[58]:=

09c_skyrius_111.gif

09c_skyrius_112.gif

Patikriname kad Luke'o knygoje  ir Mathematica vienodai apibėžia Eulerio gama funkcijas Γ(z),
◆ Luke, 1 psl, 3 formulė (rusiškas vertimas)

In[59]:=

09c_skyrius_113.gif

Out[59]=

09c_skyrius_114.gif

Out[60]=

09c_skyrius_115.gif

Nepilnoji gama funkcija

In[61]:=

09c_skyrius_116.gif

Out[61]=

09c_skyrius_117.gif

In[62]:=

09c_skyrius_118.gif

09c_skyrius_119.gif

◆ Luke, 110 psl., 1 formulė

In[63]:=

09c_skyrius_120.gif

Out[63]=

09c_skyrius_121.gif

Out[64]=

09c_skyrius_122.gif

◆ Luke, 106 psl., 4 formulė

In[65]:=

09c_skyrius_123.gif

Out[65]=

09c_skyrius_124.gif

Out[66]=

09c_skyrius_125.gif

Apibendrinta hipergeometrinė funkcija pFq

Mathematica'oje ji žymima :
HypergeometricPFQ[{09c_skyrius_126.gif,, 09c_skyrius_127.gif}, {09c_skyrius_128.gif,, 09c_skyrius_129.gif}, z] is the generalized hypergeometric function 09c_skyrius_130.gif.

Taip pat yra jos daliniai atvejai. Regularizuotame variante jos yra padalintos iš  gama funkcijų.
Mathematica žino tokias hipergeometrines funkcijas

In[67]:=

09c_skyrius_131.gif

09c_skyrius_132.gif

Jei įrašome konkrečias koeficientų vertes Mathematica (jei tai įmanoma) gali surasti reikalingą žinomą funkciją ir hypergeometrinei funkcijai  suteikti standartinės funkcijos pavidalą. Pavyzdžiui,

In[68]:=

09c_skyrius_133.gif

Out[68]=

09c_skyrius_134.gif

Sutampa su Luke 33psl.

In[69]:=

09c_skyrius_135.gif

Out[69]=

09c_skyrius_136.gif

In[70]:=

09c_skyrius_137.gif

Out[70]=

09c_skyrius_138.gif

Luke 123psl.

In[71]:=

09c_skyrius_139.gif

Out[71]=

09c_skyrius_140.gif

Jei standartinio pavidalo Mathematica nesuranda, tada hipergeometrinę funkciją galima pamėginti išskaidyti paprastesnėmis taikant komandą FunctionExpand[ ]

In[72]:=

09c_skyrius_141.gif

Out[72]=

09c_skyrius_142.gif

arba norėdami isivaizduoti jos elgesį pavaizduoti grafiškai. Pavyzdžiui paskutinėje išraiškoje hh antrąją hipergeometrinę funkciją pavaizdavome mėlynai

In[73]:=

09c_skyrius_143.gif

Out[73]=

09c_skyrius_144.gif

pFq funkcija ir jos savybės

Hipergeometrinė funkcija yra simetrinė  skaitiklio ir vardiklio  parametrų sukeitimų atžvilgiu.

09c_skyrius_145.gif

Pavyzdžiui vardiklio atžvilgiu {b1,...,bq}, sukeitę keoficientus gauname tą patį

In[74]:=

09c_skyrius_146.gif

Out[74]=

09c_skyrius_147.gif

Out[75]=

09c_skyrius_148.gif

Dar vienas pavyzdys

In[76]:=

09c_skyrius_149.gif

Out[76]=

09c_skyrius_150.gif

Out[77]=

09c_skyrius_151.gif

◆Simetrija skaitiklio atžvilgiu

In[78]:=

09c_skyrius_152.gif

Out[78]=

09c_skyrius_153.gif

Out[79]=

09c_skyrius_154.gif

◆ Jei skaitiklio ir vardikio parametrai sutampa, juos galima praleisti, nes turime tą pačią funkciją.
Pavyzdžiui

In[80]:=

09c_skyrius_155.gif

Out[80]=

09c_skyrius_156.gif

Out[81]=

09c_skyrius_157.gif

Out[82]=

09c_skyrius_158.gif

Tiesa Mathematica  hipergeometrinės funkcijos standartinį pavidalą atpažįsta ne visada. Pavyzdžiui, pagal
Luke knygą  p. 173 žemiau užrašytą  funkciją galima išreikšti per gama funkcijas, tačiau Mathematica to nemoka:

In[83]:=

09c_skyrius_159.gif

Out[83]=

09c_skyrius_160.gif

In[84]:=

09c_skyrius_161.gif

Out[84]=

09c_skyrius_162.gif

Jei paimsime skaitines koeficientų verte

In[85]:=

09c_skyrius_163.gif

gausime

In[86]:=

09c_skyrius_164.gif

Out[86]=

09c_skyrius_165.gif

Tą patį  razultatą gausime apskaičiavę su gama funkcijomis (Luke,173psl.)

In[87]:=

09c_skyrius_166.gif

In[88]:=

09c_skyrius_167.gif

Out[88]=

09c_skyrius_168.gif

◆ Atvejai, kai p ir q lygūs nuliui

In[89]:=

09c_skyrius_169.gif

Out[89]=

09c_skyrius_170.gif

Taigi, dviem paskutiniais atvejais 1F0 ir 2F0, kai funkcijos vardiklis yra nulis Mathematica jų verčių nemoka apskaičiuoti.

Gausso hipergeometrinė funkcija 2F1

In[90]:=

09c_skyrius_171.gif

Out[90]=

09c_skyrius_172.gif

In[91]:=

09c_skyrius_173.gif

09c_skyrius_174.gif

Į šią funkciją susiveda daugelis specialių funkcijų

In[92]:=

09c_skyrius_175.gif

Out[92]=

09c_skyrius_176.gif

Out[93]=

09c_skyrius_177.gif

Out[94]=

09c_skyrius_178.gif

1F2 asimptotika

Nagrinėsime  funkcijos

09c_skyrius_179.gif

asimptotiką, kai  z = –09c_skyrius_180.gif→∞,  sekdami  Luke knyga, p.218–221.
Funkcijos parametrai yra

In[95]:=

09c_skyrius_181.gif

Nupiešiame tikslų sprendinį nuo laiko t, kai ω1 = 0.75

In[96]:=

09c_skyrius_182.gif

Out[96]=

09c_skyrius_183.gif

Rasime jos asimptotiką.
Hipergeometrinės funkcijos indeksai,  žr. Luke, 219psl. Užduodame skaitiklio ir vardiklio indeksų vertes

In[97]:=

09c_skyrius_184.gif

Out[98]=

09c_skyrius_185.gif

In[99]:=

09c_skyrius_186.gif

In[103]:=

09c_skyrius_187.gif

Out[103]=

09c_skyrius_188.gif

In[104]:=

09c_skyrius_189.gif

Out[107]=

09c_skyrius_190.gif

Luke 218psl., formulė  (1),   09c_skyrius_191.gif kai p=1 ir q=2.
Apskaičiuojant šį narį iškyla neaiškumų, nes gama funkcija yra su žvaigždute. Žvaigždutė reiškia, kad narį reikia praleisti. Geresnis sutapimas gaunamas tada, kai abi gama funkcijas skaitiklyje pakeičiame vienetu

In[108]:=

09c_skyrius_192.gif

Kintamojo z ženklą pakeitėm į priešingą

In[109]:=

09c_skyrius_193.gif

Out[109]=

09c_skyrius_194.gif

In[110]:=

09c_skyrius_195.gif

Out[110]=

09c_skyrius_196.gif

Luke 219psl., formulė  (6),   09c_skyrius_197.gif kai p=1 ir q=2. Čia taip pat ženklą pakeitėm priešingu

In[111]:=

09c_skyrius_198.gif

In[112]:=

09c_skyrius_199.gif

Out[112]=

09c_skyrius_200.gif

In[113]:=

09c_skyrius_201.gif

Out[113]=

09c_skyrius_202.gif

Pavaizduojam šią funkciją

In[114]:=

09c_skyrius_203.gif

Out[114]=

09c_skyrius_204.gif

Sudedame abi funkcijas, Luke 221psl., (18) [minusas buvo įskaitytas].

In[115]:=

09c_skyrius_205.gif

Out[115]=

09c_skyrius_206.gif

Gauta funkcija (aproksimacija) yra reali

In[116]:=

09c_skyrius_207.gif

Out[116]=

09c_skyrius_208.gif

Iš kur matyti, kad ilgiems laikams vyraus 09c_skyrius_209.gif narys.
Pavaizduojame kiekvieną gautos išraiškos  narį atskirai

In[117]:=

09c_skyrius_210.gif

Out[117]=

09c_skyrius_211.gif

In[118]:=

09c_skyrius_212.gif

Out[118]=

09c_skyrius_213.gif

Įvairių atspalvių mėlynos kreivės atitinka 09c_skyrius_214.gif ir  09c_skyrius_215.gif, o raudona  09c_skyrius_216.gif asimptotiką.
Pavaizduojame visos asimptotikos grafiką (raudona kreivė) kartu su tikslia hipergeometrine funkcija (mėlyna)

In[119]:=

09c_skyrius_217.gif

Out[119]=

09c_skyrius_218.gif

Išvada:  Hipergeometrinės funkcijos

09c_skyrius_219.gif

asimptotika t→∞ yra

In[120]:=

09c_skyrius_220.gif

Out[120]=

09c_skyrius_221.gif

Baigę paliekame braduolį

In[121]:=

09c_skyrius_222.gif

Literatūra

[1]. F.W. J. Olver. Introduction to Asymptotics and Special Functions. Academic Press, New York, 1974

[2]. Luke Y.L. Mathematical functions and their approximations (Academic Press, 1975)(T)(K)(600dpi)(584s)

[3]. M. Trott "The Mathematica guidebook for symbolic", Springer, 2006, 1454 p.  (antroji  ir trečioji šios knygos dalys)

Norėdami grįžti į tą pačią vietą, kurioje paspaudėte nuorodą į šią literatūrą, spragtelėkite meniu komandą , kurią rasite šalia teksto lygiavimui skirtų meniu komandų "Priemonių  (toolbar) juostoje"

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08