10a skyrius
Maxwello-Blocho lygtys

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

10a_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

10a_skyrius_2.gif

Paulio matricos 10a_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

10a_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

10a_skyrius_5.gif

In[7]:=

10a_skyrius_6.gif

Out[7]=

10a_skyrius_7.gif

In[8]:=

10a_skyrius_8.gif

Out[8]=

10a_skyrius_9.gif

Vandenilio atomo (1s+2p) dipolio dinamika

Naudosime atominius vienetus, kuriuose atstumas matuojamas Bohro radiusu a0 (SI sistemoje a0=0,051nm), o energija matuojama dviguba 1s lygmens ryšio energija (27,2 eV). Taigi, paimsime a0 =1, 10a_skyrius_10.gif ir 10a_skyrius_11.gif, kur n yra energinio lygmens pagrindinis kvantinis skaičius

In[9]:=

10a_skyrius_12.gif

Vandenilio atomo banginės funkcijos

s-tipo ir 2px-tipo banginės  funkcijos užrašytos  atominiais vienetais  (žr., pvz. Macomber, p.117 arba bet kurį kvantinės mechanikos vadovėlį) yra

10a_skyrius_13.gif

arba Mathematica kalba

In[12]:=

10a_skyrius_14.gif

Out[12]=

10a_skyrius_15.gif

In[13]:=

10a_skyrius_16.gif

Out[13]=

10a_skyrius_17.gif

kur θ ir φ yra polinės koordinačių sistemos kampai.
Banginės funkcijos  yra  normuotos (=1) ir ortogonalios (=0). Patikriname,

In[14]:=

10a_skyrius_18.gif

Out[14]=

10a_skyrius_19.gif

Out[15]=

10a_skyrius_20.gif

In[16]:=

10a_skyrius_21.gif

Out[16]=

10a_skyrius_22.gif

◆ Visur naudosime r =2, t.y., dviejų Bohro radiusų atstumą nuo branduolio, nes tada abi banginės funkcijos yra panašaus dydžio. Ištikrųjų

In[17]:=

10a_skyrius_23.gif

Out[17]=

10a_skyrius_24.gif

Out[18]=

10a_skyrius_25.gif

Abiejų banginių funkcijų modulius pavaizduosime nuo kampų, kai r = 2. Tam iškviečiame 3D parametrinio braižymo paketą, kuriame yra komanda PointParametricPlot3D[ ]. Naujose Mathematica versijose šį komanda išnyko, tačiau ją galima atsisiųsti iš web library.wolfram.com/infocenter/MathSource/6767.

In[19]:=

10a_skyrius_26.gif

10a_skyrius_27.gif

Pavaizduosime absoliutinį dydį (kurį apskaičiuoja komanda Abs[ ] ), nes banginės funkcijos ženklas priklauso nuo kampo.
s-tipo banginė funkcija

In[20]:=

10a_skyrius_28.gif

Out[20]=

Graphics:None

10a_skyrius_30.gif banginė funkcija

In[21]:=

10a_skyrius_31.gif

Out[21]=

Graphics:None

Abu brėžinius pavaizduojame viename paveiksle

In[22]:=

10a_skyrius_33.gif

Out[22]=

10a_skyrius_34.gif

1s+2p superpozicija

Sudarysime 1s ir 10a_skyrius_35.gif banginių funkcijų superpoziciją su vienodais svoriais ir pavaizduosime jos priklausomybę nuo laiko

In[23]:=

10a_skyrius_36.gif

Out[23]=

10a_skyrius_37.gif

Ši superpozicinė funkcija bet kuriuo laiko momentu yra normuota

In[24]:=

10a_skyrius_38.gif

Out[24]=

10a_skyrius_39.gif

Jos modulio evoliuciją laikui bėgant apskaičiuosime paėmę r =2 vertę

In[25]:=

10a_skyrius_40.gif

Out[25]=

10a_skyrius_41.gif

Kaip matyti, funkcijų superpozicijos kitimo periodas lygus  2π 8/3 = 16 π/3, ir jis sutampa su 1s ir 2px termų mušimo energija

In[26]:=

10a_skyrius_42.gif

Out[26]=

10a_skyrius_43.gif

Out[27]=

10a_skyrius_44.gif

Kadangi laiko vienetas atominėje sistemoje lygus vienam Bohro periodui (0,0242 fs), tai dipolio osciliacijos periodas yra beveik pusė femtosekundės

In[28]:=

10a_skyrius_45.gif

Out[28]=

10a_skyrius_46.gif

Nubraižysime banginės funkcijos modulio trimačius grafikus momentais t = 0, 3, 6,  9, 12, 15, o po to juos gražiai sudėliosime greta suskirstę po tris komanda Partition[ ]. Kaip ir anksčiau čia laikas matuojamas atominiais vienatais. (Atominis vienetas  = 4.2 ×10a_skyrius_47.gif s = 0.042 fs).

In[29]:=

10a_skyrius_48.gif

Out[29]=

10a_skyrius_49.gif

Dipolio dydis

Kaip matyti, išilgai x ašies suminė banginė funkcija  osciliuoja. Šios osciliacijos sukuria elektrinio dipolio osciliacijas, t.y. vidutinis elektronų debesėlio tankis osciliuoja išilgai x ašies. Vandenilio branduolys yra taške x = 0. Osciliacijos kryptį ir dydį nusako elektrinis dipolis d  = e x, kur e yra elektrono krūvis. Atominėje sistemoje e = 1, todėl formulėse jo nematyti.

x ašimi nukreipto elektrinio dipolio operatorius  koordinatiniame vaizdavime yra

In[30]:=

10a_skyrius_50.gif

Out[30]=

10a_skyrius_51.gif

Jo vidutinį dydį <1s+2p |X| 1s+2p> tarp 1s ir 2px termų atominiais vienetais nusako matricinis elementas

In[31]:=

10a_skyrius_52.gif

Out[31]=

10a_skyrius_53.gif

Kaip matyti dipolis osciliuoja harmoniškai dažniu f = ω/2π = 3/8.  Osciliacijų  amplitudė = Bohro radiusas × elementarusis krūvis. Tiesa elementarusis krūvis=1 atominėje vienetų sistemoje.

In[32]:=

10a_skyrius_54.gif

Out[32]=

10a_skyrius_55.gif

Out[33]=

10a_skyrius_56.gif

Kadangi atominias vienetais dipolis matuojamas e 10a_skyrius_57.gif vienetais, tai dimensinis dipolio dydis (amplitudė) yra

10a_skyrius_58.gif

Elektrinio dipolio savybės

Dipolio hamiltonianas

Laisvojo atomo diagonalinis 2L hamiltonianas, kuriame h 10a_skyrius_59.gif yra energija tarp lygmenų užrašomas labai paprastai,

In[34]:=

10a_skyrius_60.gif

Out[34]//MatrixForm=

10a_skyrius_61.gif

Dipolinis atomo sužadinimas = elektrinio dipolio hamiltonianas  d·EHd. Jis yra išreikštas per Paulio  matricas, kur  drE ir diE yra realioji ir menamoji dipolio dalis padauginta iš elektrinio lauko

In[35]:=

10a_skyrius_62.gif

Out[35]//MatrixForm=

10a_skyrius_63.gif

Pilnas atomo  hamiltonianas yra HA ir Hd suma

In[36]:=

10a_skyrius_64.gif

Out[36]//MatrixForm=

10a_skyrius_65.gif

Komutatoriai

Paulio matricų išvestines pagal laiką galima užrašyti per šių matricų ir hamiltoniano komutatorius
i 10a_skyrius_66.gif = [σi, H], h =1
Komutatorius skaičiuosime naudodami hamiltonianą HAd.

◆ Komutatorius su σx

In[37]:=

10a_skyrius_67.gif

Out[37]//MatrixForm=

10a_skyrius_68.gif

Gautą atsakymą galima užrašyti Paulio matricomis ir kitokiu būdu

In[38]:=

10a_skyrius_69.gif

Out[38]//MatrixForm=

10a_skyrius_70.gif

Taigi turime, kad  Ωz = i  ω0 h   ir   Ωy = -2 i diE.
◆ Komutatorius su σy

In[39]:=

10a_skyrius_71.gif

Out[39]//MatrixForm=

10a_skyrius_72.gif

Šį atsakymą galima ušrašyti per Paulio matricas taip

In[40]:=

10a_skyrius_73.gif

Out[40]//MatrixForm=

10a_skyrius_74.gif

iš kur seka, kad   Ωz = i ω0 h    ir    Ωx = 2 i drE.
◆ Komutatorius su σz

In[41]:=

10a_skyrius_75.gif

Out[41]//MatrixForm=

10a_skyrius_76.gif

kuris užrašytas per Paulio matricas įgyja pavidalą

In[42]:=

10a_skyrius_77.gif

Out[42]//MatrixForm=

10a_skyrius_78.gif

Iš jo seka,  kad  Ωx = 2 i  drE    ir    Ωy = –2 i diE

◆ Apibendrinę gautus atsakymus matome, kad  precesijos vektorius  Ω = (Ωx, Ωy, Ωz) yra

In[43]:=

10a_skyrius_79.gif

Out[43]=

10a_skyrius_80.gif

Jei  σ = (σx, σy, σz) yra vektorius, kurio sandai yra matricos, tada vektorinė sandauga dΩdt = Ω×σ duos

In[44]:=

10a_skyrius_81.gif

Out[47]=

10a_skyrius_82.gif

Anksčiau apskaičiuotus komutatorius galima išreikšti precesijos vektoriaus ir Paulio matricos sandauga. Tuo įsitikiname juos palyginę

In[48]:=

10a_skyrius_83.gif

Out[48]=

10a_skyrius_84.gif

Out[49]=

10a_skyrius_85.gif

Out[50]=

10a_skyrius_86.gif

Taigi,  komutatorius galime užrašyti  bendru pavidalu Ω×σ , kur precesijos vektrorius Ω yra

In[51]:=

10a_skyrius_87.gif

Out[51]=

10a_skyrius_88.gif

Dipolio judėjimo lygtis

Iš gautų rezultatų išplaukia, kad  Paulio vektoriaus-matricos σ = (σx, σy, σz), kur σi  yra Paulio matricos, judėjimo lygtį vektorine forma galima užrašyti pavidalu

10a_skyrius_89.gif

Abi lygties pusės turi bendrą menamąją dalį, iš kurios galima padalinti. Savo forma ji sutampa su vidutinio sukinio judėjimo lygtimi, tačiau abiejų lygčių interpretacija skiriasi. Kad tai išsiaiškintume, pradžioje rasime klasikinę dipolio judėjimo lygtį. Pirmiausia užrašykime parametrizuotą spinorių tokiu pavidalu

In[52]:=

10a_skyrius_90.gif

Out[52]=

10a_skyrius_91.gif

Out[53]=

10a_skyrius_92.gif

Spinorius duoda vidutinio sukinio vektoriaus vertes, kurios sutampa su vienetinio radiuso vektoriaus projekcijomis

In[54]:=

10a_skyrius_93.gif

Out[54]//MatrixForm=

10a_skyrius_94.gif

Jei įvesime  precesijos vektorių  Ωp = Ω/{i h}, tada judėjimo lygtis bus

10a_skyrius_95.gif

Šios  lygties sprendiniai aprašo vektoriaus n = <σ> precesiją ant vienetinės (Blocho) sferos aplink  precesijos ašį

In[55]:=

10a_skyrius_96.gif

Out[55]=

10a_skyrius_97.gif

Precesijos dažnis yra

In[56]:=

10a_skyrius_98.gif

Out[56]=

10a_skyrius_99.gif

Vidutinis dipolis

Dipolio opratoriaus apibrėžimas yra

In[57]:=

10a_skyrius_100.gif

Out[57]//MatrixForm=

10a_skyrius_101.gif

Tada vidutinė dipolio vertė gaunama apskaičiavus matricinį elementą

In[58]:=

10a_skyrius_102.gif

Out[58]=

10a_skyrius_103.gif

Iš rezultato matyti, kad dipolis lygus nuliui kai 2L atomas yra viršutiniam ar apatiniame lygmenyje, t.y. kai ϑ = 0 arba ϑ = π.  Maksimali dipolio vertė yra ant ekvatoriaus, kai ϑ = π/2, t.y. kada viršutinis ir apatinis lygmenys sumaišyti su vienodais svoriais. Gauta išraiška rodo, kad dipolio priklausomybė priklauso nuo to, kaip laikui bėgant keičiasi ϑ ir φ. Parametrai  ϑ ir φ keičia tik dipolio dydį. Dipolio kryptis priklauso nuo vektoriaus r.

Tuo atveju, kai įskaitome ket vektorių priklausomybę nuo laiko, pilna banginė funkcija yra

In[59]:=

10a_skyrius_104.gif

Out[59]=

10a_skyrius_105.gif

Out[60]=

10a_skyrius_106.gif

Tada vidutinio dipolio <ψ | d | ψ> priklausomybė nuo laiko yra

In[61]:=

10a_skyrius_107.gif

Out[61]=

10a_skyrius_108.gif

Kaip matyti, dipolio osciliacijų dažnis yra ω0, tuo tarpu taško ant Blocho sferos precesijos dažnis yra

In[62]:=

10a_skyrius_109.gif

Out[62]=

10a_skyrius_110.gif

Dažniai sutaps, jei imsime pilno hamiltonianio

In[63]:=

10a_skyrius_111.gif

Out[63]//MatrixForm=

10a_skyrius_112.gif

tikrines vertes

In[64]:=

10a_skyrius_113.gif

Out[64]=

10a_skyrius_114.gif

Tada energijų  skirtumas  duos tą patį dažnį Ωmod, kuris pasirodo ir  precesijos vektoriuje

In[65]:=

10a_skyrius_115.gif

Out[65]=

10a_skyrius_116.gif

In[66]:=

10a_skyrius_117.gif

Out[66]=

10a_skyrius_118.gif

Poliarizacija

Unitarinė matrica, kuri aprašo sukimasį apie ašį z  (Heisenbergo atvaizdas) yra

10a_skyrius_119.gif

kur σz yra Paulio matrica. Norėdami pakelti eksponentę laipsniu, kurios rodiklis yra matrica naudojame komandą MatrixExp[ ]. Rezultatas yra matrica

In[67]:=

10a_skyrius_120.gif

Out[67]//MatrixForm=

10a_skyrius_121.gif

◆ Įvedame tankio matricą

In[68]:=

10a_skyrius_122.gif

Out[69]//MatrixForm=

10a_skyrius_123.gif

Tankio matrica atlikus unitarinę  transformaciją, t.y. Heisenbergo atvaizde,  įgyja pavidalą

In[70]:=

10a_skyrius_124.gif

Out[70]//MatrixForm=

10a_skyrius_125.gif

◆ Vidutinis įmagnetėjimas yra M=Tr(μ ρ), kur μ žymi įmagnetėjimo operatorių, kurio sandai dekarto koordinačių sistemoje yra

In[71]:=

10a_skyrius_126.gif

Out[71]//MatrixForm=

10a_skyrius_127.gif

Out[72]//MatrixForm=

10a_skyrius_128.gif

Out[73]//MatrixForm=

10a_skyrius_129.gif

Tada gausime tokius vidutinio įmagnetėjimo vektoriaus sandus Heisenbergo atvaizde

In[74]:=

10a_skyrius_130.gif

Out[74]=

10a_skyrius_131.gif

Out[75]=

10a_skyrius_132.gif

Out[76]=

10a_skyrius_133.gif

◆ Vidutinė elektrinė poliarizacija  P=Tr(d ρ), kur d žymi dipolininio momento operatorių, kurio sandai dekarto koordinačių sistemoje yra

In[77]:=

10a_skyrius_134.gif

Out[77]//MatrixForm=

10a_skyrius_135.gif

Out[78]//MatrixForm=

10a_skyrius_136.gif

Out[79]//MatrixForm=

10a_skyrius_137.gif

skaičiuojama panašiai. Gauname tokius vidutinės poliarizacijos vektoriaus sandus

In[80]:=

10a_skyrius_138.gif

Out[80]=

10a_skyrius_139.gif

Out[81]=

10a_skyrius_140.gif

Out[82]=

10a_skyrius_141.gif

Kadangi  nediagonaliniai elementai yra kompleksiškai jungtiniai dydžiai

In[83]:=

10a_skyrius_142.gif

Out[83]=

10a_skyrius_143.gif

poliarizacijos vektoriaus sandus galime perrašyti ir taip

In[84]:=

10a_skyrius_144.gif

Out[84]=

10a_skyrius_145.gif

Out[85]=

10a_skyrius_146.gif

Out[86]=

10a_skyrius_147.gif

Inversija, t.y. skirtumas tarp dalelių skaičiaus pirmame ir antrame lygmenyse yra

In[87]:=

10a_skyrius_148.gif

Out[87]=

10a_skyrius_149.gif

Blocho lygtys rezonanso atveju

Esant rezonansui (Δ  = ω - 10a_skyrius_150.gif=  0),   Blocho lygtys supaprastėja:

10a_skyrius_151.gif

Spręsime dvi paskutines lygtis. Kai lauko amplitudė nuo laiko nepriklauso ir tenkinama pradinė sąlyga v[0] = 0, w[0] = 1 gauname paprastus diferencialinių lygčių sprendinius

In[88]:=

10a_skyrius_152.gif

Out[88]=

10a_skyrius_153.gif

Kai amplitudė E1(t) priklauso nuo laiko, bendrąjį sprendinį  taip pat galima užrašyti

In[89]:=

10a_skyrius_154.gif

Out[89]=

10a_skyrius_155.gif

Žvelgdami į gautą atsakymą, įvedame funkciją

In[90]:=

10a_skyrius_156.gif

Out[90]=

10a_skyrius_157.gif

Tada lengva patikrinti, kad dvi funkcijos

In[91]:=

10a_skyrius_158.gif

Out[91]=

10a_skyrius_159.gif

Out[92]=

10a_skyrius_160.gif

tenkina Blocho lygtys

In[93]:=

10a_skyrius_161.gif

Out[93]=

10a_skyrius_162.gif

In[94]:=

10a_skyrius_163.gif

Out[94]=

10a_skyrius_164.gif

Baigę uždarome branduolį

In[95]:=

10a_skyrius_165.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08