10b skyrius
Maxwello-Blocho lygtys

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

10b_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

10b_skyrius_2.gif

Paulio matricos 10b_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

10b_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

10b_skyrius_5.gif

In[7]:=

10b_skyrius_6.gif

Out[7]=

10b_skyrius_7.gif

In[8]:=

10b_skyrius_8.gif

Out[8]=

10b_skyrius_9.gif

Maxwello-Blocho lygtis

Gausso impulsas

Laikykime, kad elektrinį lauką aprašo banga, kurios amplitudė E1 ir fazė α0 kinta lėtai

In[9]:=

10b_skyrius_10.gif

Out[9]=

10b_skyrius_11.gif

Iš jos suformuosime Gausso pavidalo impulsą. Tai reiškia, kad bangos amplitudė yra Gausso funkcija

In[10]:=

10b_skyrius_12.gif

Out[10]=

10b_skyrius_13.gif

Parametrams suteikę skaitines vertes nubraižysime tokį impulsą

In[11]:=

10b_skyrius_14.gif

Out[12]=

10b_skyrius_15.gif

Lėtai kintančių parametrų metodas

Manysime, kad amplitudė lėtai keičiasi laike ir erdvėje. Rasime jų pirmas ir antras dalines išvestines pagal koordinatę ir laiką. Išvesime diferencialines lygtis tokiai amplitudei ir fazei pasinaudodami lėtai kintančių parametrų metodu. Tam pormiausia apskaičiuosime harmoninės bangos, kurių ampitudė E1[z, t] ir fazė α[z, t] priklauso nuo koordinatės ir laiko, pirmas ir antras išvestines pagal koordinatę ir laiką.

Elektrinio lauko amplitudė  E1[z,t]

Paimkime bėgančią bangą, kurios amplitudė ir fazė priklauso nuo koordinatės ir laiko

In[13]:=

10b_skyrius_16.gif

Out[13]=

10b_skyrius_17.gif

Jos pirma išvestinė yra

In[14]:=

10b_skyrius_18.gif

Out[14]=

10b_skyrius_19.gif

Banginės lygties operatorius

10b_skyrius_20.gif

veikdamas į funkciją Ezt duoda

In[15]:=

10b_skyrius_21.gif

Out[15]=

10b_skyrius_22.gif

Kryžminių 10b_skyrius_23.gif tipo narių šioje išraiškoje nėra, todėl surenkame koeficientus prie 10b_skyrius_24.gif, 10b_skyrius_25.gif ( trečios ir aukštesnės eilės nariai jau lygūs nuliui, todėl pakanka surinkti narius prie 10b_skyrius_26.gif). Taip pat manysime, kad terpė neturi pastovios poliarizacijos, todėl nariais nepriklausančiais nuo k ir ω mes nesidomėsime. Kitaip tariant, manysime, kad energijos mainai tarp elektromagnetinio lauko ir terpės poliarizacijos vyksta tarp tų dalių, kurios kinta dažniu ω, o nulinių dažnių ir aukštesnių harmonikų neįskaitome. Surinkimui panaudosime komandą CoefficientArrays[ ]. Deja, ši komanda "dirba" tik su daugianariais, o mūsų funkcija kintamuosius k ir ω turi dar ir Sin[ ] ir Cos[ ] funkcijose. Todėl mes komandą  apgausime paversdami Sin[ ] ir Cos[ ] funkcijų argumentus eilutėmis, o kai reikalingus pertvarkymus atliksime, viską sugražinsime kaip buvo

In[16]:=

10b_skyrius_27.gif

Out[16]=

10b_skyrius_28.gif

Surandame koeficientus prie kintamųjų k ir ω

In[17]:=

10b_skyrius_29.gif

Out[17]=

10b_skyrius_30.gif

Ir pasitikriname ar mokame iš koeficientų sąrašo atstatyti pradinį daugianarį

In[18]:=

10b_skyrius_31.gif

In[19]:=

10b_skyrius_32.gif

Out[19]=

10b_skyrius_33.gif

Dabar funkcijoje f1 paliksime tik narius, kurie neviršija kvadratinių. Laimei, jų ir taip nėra, kaip rodo koeficientaikω išraiška (paskutinė matrica yra 2×2, o tai reiškia, kad yra tik kvadratiniai nariai)

In[20]:=

10b_skyrius_34.gif

Out[20]=

10b_skyrius_35.gif

Pasinaudoję dispersija  ω = c k, galutinai gauname tokius vyraujančius narius

In[21]:=

10b_skyrius_36.gif

Out[21]=

10b_skyrius_37.gif

arba perrašę įprastiniais žymėjimais  turime

10b_skyrius_38.gif

Jei formulei pavaizduoti panaudosim komandą TraditionalForm, gausim tokį jos pavidalą

In[22]:=

10b_skyrius_39.gif

Out[22]//TraditionalForm=

10b_skyrius_40.gif

Taigi, pasinaudoję lėtai kintančių parametrų metodu į reikiamą pavidalą suvedime elektrinio lauko dalį. Toliau turime atitinkamai pertvarkyti poliarizacijos vektoriaus dalį

Poliarizacijos amplitudės P1[z,t]  ir P2[z,t]

Bendru atveju poliarizacijos banga  užrašoma pavidalu

In[23]:=

10b_skyrius_41.gif

Out[23]=

10b_skyrius_42.gif

Jos antra išvestinė pagal laiką yra

In[24]:=

10b_skyrius_43.gif

Out[24]=

10b_skyrius_44.gif

Kadangi dabar nėra antro kintamojo, tai panašų į anksčiau atliktą narių surinkimą galima realizuoti paprasčiau. Surenkame koeficientus prie  ω ir 10b_skyrius_45.gif komanda Coefficient[ ] (laisvąjį narį praleidžiame)

In[25]:=

10b_skyrius_46.gif

Out[25]=

10b_skyrius_47.gif

Iš čia randame, kad funkcijoje f2 vyraujantys nariai yra

In[26]:=

10b_skyrius_48.gif

Out[26]=

10b_skyrius_49.gif

Pasinaudoję dispersija  ω = c k, galutinai gauname tokias jų išraiškas

In[27]:=

10b_skyrius_50.gif

Out[27]=

10b_skyrius_51.gif

In[28]:=

10b_skyrius_52.gif

Out[28]=

10b_skyrius_53.gif

arba

10b_skyrius_54.gif

◆ Įvesime dydžius

In[29]:=

10b_skyrius_55.gif

Out[29]=

10b_skyrius_56.gif

Pasinaudoję gautais rezultatais ir sulyginę narius prie sinuso ir kosinuso, užrašome lygtys  gaubiamosioms 10b_skyrius_57.gif = 10b_skyrius_58.gif 10b_skyrius_59.gif)

In[30]:=

10b_skyrius_60.gif

Out[30]=

10b_skyrius_61.gif

Out[31]//TraditionalForm=

10b_skyrius_62.gif

In[32]:=

10b_skyrius_63.gif

Out[32]=

10b_skyrius_64.gif

Out[33]//TraditionalForm=

10b_skyrius_65.gif

Taigi, išvedėme judėjimo lygtis gaubiamosioms. Knygoje jas pažymėjome 10b_skyrius_66.gifE .

Solitonai. sin-Gordono lygtis

Bäcklundo transformacija

A.V.Bäcklundas (1880 m) nagrinėjo vienų paviršių transformacijas į kitus paviršius. Jis  parodė, kad jei yra žinomas vienas sprendinys (paviršius), pavyzdžiui u0(x,t), tada kitas sprendinys (paviršius) u1(x,t) gali būti surastas pasinaudojus ankstesniuoju u0(x,t). Vėliau paaiškėjo, kad jo surasta transformacija labai tinka solitoniniams sprendiniams rasti. Pavyzdžiui sin-Gordono lygties atveju, tokia transformacija yra [1] (p. 181)

10b_skyrius_67.gif

Parametras ζ nusako solitono greitį.  
Pažymėję θ1 = U (naujas, nežinomas sprendinys) ir θ0 = V (žinomas sprendinys), lygtys perrašome tokiu pavidalu

10b_skyrius_68.gif

išdiferencijavę abi lygtis pagal papildantį kintamąją, pavyzdžiui,  pirmą diferencialinę  lygtį pagal T,  gauname

10b_skyrius_69.gif

Įstatę antrą lygtį į dešinėje pusėje pasirodžiusią išvestinę, gauname

10b_skyrius_70.gif

Kadangi

10b_skyrius_71.gif

rastą lygtį perrašome paprasčiau

10b_skyrius_72.gif

Kadangi senasis sprendinys V tenkina sin-Gordono lygtį,

10b_skyrius_73.gif

matome, kad  naujas sprendinys taip pat ją turi tenkinti.

10b_skyrius_74.gif

2π solitonai

Pavyzdžiui, kai nėra solitono V=θ0 = 0  (vakuumo sprendinys), iš Bäcklundo transformacijos, pažymėję U= U0,  turime

10b_skyrius_75.gif

Sprendinius rasime integruodami kiekvieną iš viršuje užrašytų  lygčių ir po to atsakymus apjunksime (anksčiau  X-ui suteiktą vertę ištriname)

In[34]:=

10b_skyrius_76.gif

10b_skyrius_77.gif

Out[35]=

10b_skyrius_78.gif

In[36]:=

10b_skyrius_79.gif

10b_skyrius_80.gif

Out[36]=

10b_skyrius_81.gif

Iš gautų rezultatų matome, kad apjungtas sprendinys, tenkinantis diferencialinę lygtį dalinėmis išvestinėmis,  turi turėti pavidalą

In[37]:=

10b_skyrius_82.gif

Out[37]=

10b_skyrius_83.gif

Patikriname, kad gautas sprendinys U0  iš tiesų tenkina sin-Gordono lygtį
10b_skyrius_84.gif

In[38]:=

10b_skyrius_85.gif

Out[38]=

10b_skyrius_86.gif

Out[39]=

10b_skyrius_87.gif

Out[40]=

10b_skyrius_88.gif

Iš čia matome, kad solitonas sklinda greičiu v = 10b_skyrius_89.gif.  Užduodame konkrečias konstantų vertes ir pavaizduojame gautą atsakymą (angliškai jis vadinamas kink = šlaitas)

In[41]:=

10b_skyrius_90.gif

Out[41]=

10b_skyrius_91.gif

Taip pat pavaizduojame ir antikinką (antišlaitą)

In[42]:=

10b_skyrius_92.gif

Out[42]=

10b_skyrius_93.gif

Taigi, sprendinys pavadintas pagal jo formą  (šlaitas, linkis, alkūnė).
Taip pat patikriname, kad gautasis sprendinys tenkina  pradinę lygtį:

10b_skyrius_94.gif

In[43]:=

10b_skyrius_95.gif

Out[43]=

10b_skyrius_96.gif

Out[44]=

10b_skyrius_97.gif

Out[45]=

10b_skyrius_98.gif

Išvestinę t1 galima išreikšti ir hiperbolinėmis funkcijomis

In[46]:=

10b_skyrius_99.gif

Out[46]=

10b_skyrius_100.gif

Pavaizduosime sprendinį grafiškai

In[47]:=

10b_skyrius_101.gif

Out[47]=

10b_skyrius_102.gif

Dydis  ∂ U0 / ∂ T = t1 duoda  elektrinio lauko gaubiamają. Rasime  plotą po gaubiamąja (solitonu).
Jį apskaičiuosime pradžioje suintegravę, o po to paėmę ribą kai T→±∞.
Integralas pagal laiką yra

In[48]:=

10b_skyrius_103.gif

Out[48]=

10b_skyrius_104.gif

Out[49]=

10b_skyrius_105.gif

iš kurio matyti, kad  riboje T→±∞. atsakymas nepriklauso nuo kitų parametrų verčių. Ribą galima lengvai apskaičiuoti įstačius bet kokias konkrečias X ir ζ vertes. Šiuo atveju Limit[ ] komanda moka ribą apskaičiuoti laikydama, kad dydžiai X ir ζ yra teigiami.

In[50]:=

10b_skyrius_106.gif

Out[50]=

10b_skyrius_107.gif

Out[51]=

10b_skyrius_108.gif

Galima fiksuoti laiką, ir imti  x→±∞. Gausime tą patį

In[52]:=

10b_skyrius_109.gif

Out[52]=

10b_skyrius_110.gif

Out[53]=

10b_skyrius_111.gif

Iš šių apskaičiavimų išplaukia, kad plotas  po solitonu  yra lygus 2π, t.y. po vienos Bäcklundo iteracijos turime 2π solitoną.
Paėmę ζ = 1, pavaizduosime šį solitoną x-t koordinatėse

In[54]:=

10b_skyrius_112.gif

Out[54]=

10b_skyrius_113.gif

In[55]:=

10b_skyrius_114.gif

Out[55]=

10b_skyrius_115.gif

Rasime impulso pusplotį.  Kaip matyti iš formulės

In[56]:=

10b_skyrius_116.gif

Out[56]=

10b_skyrius_117.gif

impulsas priklauso nuo parametro w = X/ζ + Tζ, todėl atliekame pakeitimą

In[57]:=

10b_skyrius_118.gif

Out[57]=

10b_skyrius_119.gif

Iš šios formulės randame, kad  ties puse amplitudės  turime   w = 1.317

In[58]:=

10b_skyrius_120.gif

Out[58]=

10b_skyrius_121.gif

In[59]:=

10b_skyrius_122.gif

Out[59]=

10b_skyrius_123.gif

Plotas po kreive yra lygus 2 π

In[60]:=

10b_skyrius_124.gif

Out[60]=

10b_skyrius_125.gif

Nestacionarusis solitonas

Naują solitoną U1 sugeneruosime ta pačia  Bäcklundo transformacija kaip žinomą sprendinį panaudodami U0

10b_skyrius_126.gif

kur U0 yra jau anksčiau rasto solitono aprendinys,  kurį savo ruožtu apskaičiavome pradėję nuo trivialaus sprendinio U = 0. Šios dvi lygtys užrašytos Mathematica sintakse yra

In[61]:=

10b_skyrius_127.gif

Out[61]=

10b_skyrius_128.gif

In[62]:=

10b_skyrius_129.gif

Out[62]=

10b_skyrius_130.gif

Lygtis supaprastiname

In[63]:=

10b_skyrius_131.gif

Out[63]=

10b_skyrius_132.gif

In[64]:=

10b_skyrius_133.gif

Out[64]=

10b_skyrius_134.gif

ir sprendžiame kiekvieną atskirai

In[65]:=

10b_skyrius_135.gif

10b_skyrius_136.gif

Out[65]=

10b_skyrius_137.gif

In[66]:=

10b_skyrius_138.gif

10b_skyrius_139.gif

Out[66]=

10b_skyrius_140.gif

Bendrą sprendinį gausime paėmę C[1] = 0

In[67]:=

10b_skyrius_141.gif

Out[67]=

10b_skyrius_142.gif

Out[68]=

10b_skyrius_143.gif

Iš jų užrašome bendrą sprendinį

In[69]:=

10b_skyrius_144.gif

Patikriname ar rastas sprendinys  tenkina sin-Gordono lygtį

In[70]:=

10b_skyrius_145.gif

Out[70]=

10b_skyrius_146.gif

In[71]:=

10b_skyrius_147.gif

Out[71]=

10b_skyrius_148.gif

In[72]:=

10b_skyrius_149.gif

Out[72]=

10b_skyrius_150.gif

Plotas po kreive dabar nėra pastovus.  Pavaizduojame U1 priklausomybę x-t koordinatėse

In[73]:=

10b_skyrius_151.gif

Out[73]=

10b_skyrius_152.gif

Abu solitonus galėsime palyginti juos pavaizdavę viename piešinyje

In[74]:=

10b_skyrius_153.gif

Out[74]=

10b_skyrius_154.gif

Solitono greitis

Bäcklundo transformacijos metodas, į kurią įeina parametras ζ, leido gauti bendrą sprendinio pavidalą, tačiau nieko nesako kaip rasti tokio  sprendinio sklidimo greitį. Todėl jį apskaičiuosime kitaip.

Kadangi, kaip parodyta, stacionarūs solitonai sklinda pastoviu greičiu, bendro sin-Gordono sprendinio ieškosime pavidalu θ(z,t) = θ(z-v t), kur v ir yra solitono greitis. Tada,  įvedę  greičiu v judančią koordinatę  φ = z-v t  ir pastebėję, kad  ∂φ/∂t = –v ir  ∂φ/∂z = 1,  elektrinį lauką  galėsim užrašyti per θ(φ)

10b_skyrius_155.gif

o diferencialinę lygtį laukui

10b_skyrius_156.gif

perrašyti taip

10b_skyrius_157.gif

arba

10b_skyrius_158.gif

kur

10b_skyrius_159.gif

In[75]:=

10b_skyrius_160.gif

Out[75]=

10b_skyrius_161.gif

reikalinga solitoninė lygtis bus

10b_skyrius_162.gif

Taigi, sin-Gordono lygtį suvedėme į netiesinio osciliatoriaus lygtį. Nagrinėsime ne osciliuojančius, o sprendinius, kurie gęsta begalybėje (kaip solitonai). Remdamiesi solitoniniais sin-Gordono sprendiniais jo ieškosime pavidalu

10b_skyrius_163.gif

In[76]:=

10b_skyrius_164.gif

Out[76]=

10b_skyrius_165.gif

Elektrinis laukas yra  proporcingas išvestinei

In[77]:=

10b_skyrius_166.gif

Out[77]=

10b_skyrius_167.gif

iš kur seka, kad  elektrinis laukas  = 0, kai φ → ±∞. Jei suintegruosime  nuo  φ =-∞ iki φ =+∞, rasime, kad plotas po elektriniu lauku yra lygus 2π

In[78]:=

10b_skyrius_168.gif

Out[78]=

10b_skyrius_169.gif

Paėmę antrą šios funkcijos  išvestinę,  gauname

In[79]:=

10b_skyrius_170.gif

Out[79]=

10b_skyrius_171.gif

arba

In[80]:=

10b_skyrius_172.gif

Out[80]=

10b_skyrius_173.gif

sin(θφ) duoda

In[81]:=

10b_skyrius_174.gif

Out[81]=

10b_skyrius_175.gif

Taigi, ji sutampa su sin[θ(φ)]. Pavaizduojame abi funkcijas viename grafike

In[82]:=

10b_skyrius_176.gif

Out[82]=

10b_skyrius_177.gif

Norėdami nustatyti  ryšį tarp parametro λ ir ∨, reikia θφ2  antrą išvestinę sulyginti su koeficientu prie sinuso

In[83]:=

10b_skyrius_178.gif

Out[83]=

10b_skyrius_179.gif

In[84]:=

10b_skyrius_180.gif

Out[84]=

10b_skyrius_181.gif

Iš gautos išraiškos matome, kad λ = η

In[85]:=

10b_skyrius_182.gif

Out[85]=

10b_skyrius_183.gif

Skaitiniai įvertinimai

Solitono elektrinį lauką aprašo formulė

10b_skyrius_184.gif

In[86]:=

10b_skyrius_185.gif

Out[86]=

10b_skyrius_186.gif

Funkcijos Sech[ ] maksimumas yra ties φ = 0. Šiame taške elektrinio lauko vertė yra

In[87]:=

10b_skyrius_187.gif

Out[87]=

10b_skyrius_188.gif

Pažymime maksimalią elektrinio lauko vertę simboliu Emax ir surandame greičio vertę, kuriuo juda šis maksimumas

In[88]:=

10b_skyrius_189.gif

Out[88]=

10b_skyrius_190.gif

Perrašę įprastiniais žymėjimais turime

10b_skyrius_191.gif

Dydį N h ω galima interpretuoti kaip energiją sukauptą 2L sistemoje, o 10b_skyrius_192.gif - terpėje, kurioje patalpinti 2L atomai.
Apibrėžkime konkrečius parametrus

In[89]:=

10b_skyrius_193.gif

Tada gauname, kad solitono greitis yra

In[90]:=

10b_skyrius_194.gif

Out[90]=

10b_skyrius_195.gif

Out[91]=

10b_skyrius_196.gif

Elektrinis laukas  10b_skyrius_197.gif = 30 kV/cm atitinka šviesos intensyvumą 1 10b_skyrius_198.gif.

Rasime impulso plotį.
Dipolinį momentą paimsime lygų m =  10b_skyrius_199.gif = 1.6 10b_skyrius_200.gif 0.5 10b_skyrius_201.gif = 0.8 10b_skyrius_202.gif [C m].
Kadangi 2π impulsas tenkina sąlyga, kur τ yra impulso plotis

10b_skyrius_203.gif

Iš čia apskaičiuojame impulso trukmę sekundėmis

In[92]:=

10b_skyrius_204.gif

Out[92]=

10b_skyrius_205.gif

ir impulso ilgį pagal koordinatę (metrais)

In[93]:=

10b_skyrius_206.gif

Out[93]=

10b_skyrius_207.gif

Atstumas tarp 2L centrų yra

In[94]:=

10b_skyrius_208.gif

Out[94]=

10b_skyrius_209.gif

Multisolitonai (paimta iš "Fizika su kompiuteriu")

KdV lygtis turi sprendinius, kurie vaizduoja ne vieną, o kelis vienu metu skirtingais greičiais judančius solitonus. Mūsų  naudotas paprastas metodas, deja tokių multisolitoninių sprendinių rasti neleidžia. Tam tektų pasitelkti žymiai sudėtingesnį matematinį aparatą - atvirkštinės sklaidos teoriją. Paprasčiausias multisolitoninis sprendinys yra bisolitonas - sprendinys aprašantis du sąveikaujančius solitonus. KdV lygties bisolitonas išreiškiamas hiperbolinio kosinuso funkcijomis ir turi tokį  pavidalą.

In[95]:=

10b_skyrius_210.gif

Patikrinsime, kad užrašytas sprendinys tikrai tenkina KdV diferencialinę lygtį: 10b_skyrius_211.gif

In[96]:=

10b_skyrius_212.gif

Out[96]=

10b_skyrius_213.gif

Imkime įvairius laiko momentus t= -0,4; -0,2; 0; 0,2; 0,4  ir pavaizduokime šios funkcijos priklausomybę  nuo koordinatės x,  tam tikslui pasinaudoję ciklo operatoriumi Table[ ].

In[97]:=

10b_skyrius_214.gif

Out[97]=

10b_skyrius_215.gif

Dar geriau šis judėjimas matyti animacijoje

In[98]:=

10b_skyrius_216.gif

Out[98]=

Kad būtų gražiau, bisolitoną apvertėme aukštyn kojom. Matome, kad iš  kairės į  dešinę greičiau juda didesnis solitonas - momentu t=0  jis pasiveja mažesnįjį  ir  vėlesniais momentais  jį  aplenkia. Įdomu tai, kad po susidurimo išsiskyrę solitonai išlaiko savo pavidalą, t.y. jie juda  taip tartum prieš ir po susidurimo jie būtų  nepriklausomi objektai. Tai grynai netiesinis reiškinys, kuris nieko bendro neturi su dviejų nepriklausomų  sprendinių  superpozicija. Kad tai nėra superpozicija,  galima matyti iš  bisolitoninio ir monosolitoninio sprendinių palyginimo, o taip pat iš to, kad persiklojus solitonams jų suminė amplitudė nėra lygi abiejų solitonų amplitudžių sumai.  Nagrinėjamu atveju suminė amplitudė  pasidarė net  mažesnė už didesniojo solitono amplitudę. Po susidūrimo, t.y. solitonams prasilenkus,  jų amplitudės atsistato.  Nepaisant to, kad jų pavidalas po susidūrimo atsistatė, praėjus pakankamai ilgam laikui vis dėl to galima atspėti, kad  solitonai buvo susidūrę. Tai susieta su tuo, kad solitonų saveikos metu  didesnis solitonas pagreitėjo, o mažesnis sulėtėjo. Tai pamatysime atidėję trimatį vaizdą, kurio x ir y ašimis tarnauja koordinatė ir laikas, o z ašimi - bisolitono dydis.  Sudarę atitinkamų taškų lentelę

In[99]:=

10b_skyrius_218.gif

lentelės taškus vizualizuojame su grafikos programa ScatterPlot3D[ ]

In[100]:=

10b_skyrius_219.gif

Out[100]=

10b_skyrius_220.gif

Iš grafiko aiškiai matyti, kad mažesnio solitono viršūnė po dūžio yra pastumta link neigiamų x verčių. Norint pamatyti, kad didesnis solitonas po dūžio yra pasislinko link teigiamų verčių, reikia pasukinėti piešinį.

sin-Gordono lygtis neduoda multisolitoninių sprendinių

Kad tuo būtų galima įsitikinti, reikia  diferencialinę  lygtį elektriniam  laukui pertvarkyti į lygtį šviesos intesyvumui. Tam diferencialinę lygtį laukui

10b_skyrius_221.gif

perrašome pavidalu

10b_skyrius_222.gif

Padauginame abi puses iš E(z,t} ir suintegruojame pagal t nuo -∞ iki +∞. Tada pirmasis narys kairėje pusėje duoda nulį,

10b_skyrius_223.gif

nes  E (±∞) = 0. Tada lieka

10b_skyrius_224.gif

Kadangi

10b_skyrius_225.gif

diferencialinę lygtį galime perrašyti

10b_skyrius_226.gif

Suintegravę gauname

10b_skyrius_227.gif

Kadangi šviesos  intensyvumas yra

10b_skyrius_228.gif

galutinai randame

10b_skyrius_229.gif

Išvada: Iš gautos išraiškos matyti, kad energijos porcijos Nhω nepriklausys nuo koordinatės, kai kosinuso funkcija lygi θ  = n 2π. Kadangi netiesinio osciliatoriaus lygtis turi tik vieną sprendinį, kurio išvestinė artėja į nulį kai t → ±∞, vadinasi tik 2π solitonas yra stabilus.
146 ir 150 psl.

Baigę paliekame braduolį

10b_skyrius_230.gif

Literatūra

[1]. M. J.Ablowitz, H. Segur. Solitons and Inverse Scattering Transforms. Society for Industrial and Applied Mathematics, SIAM Philadelpia, 1981.

Norėdami grįžti į tą pačią vietą, kurioje paspaudėte nuorodą į šią literatūrą, spragtelėkite meniu komandą , kurią rasite šalia teksto lygiavimui skirtų meniu komandų "Priemonių  (toolbar) juostoje"

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08