11a skyrius
Kvantiniai aidai

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

11a_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

11a_skyrius_2.gif

Paulio matricos 11a_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

11a_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

11a_skyrius_5.gif

In[7]:=

11a_skyrius_6.gif

Out[7]=

11a_skyrius_7.gif

In[8]:=

11a_skyrius_8.gif

Out[8]=

11a_skyrius_9.gif

Kvantiniai aidai

Aidų modelis

Aptarkime dipolio precesiją, kuri nusakoma, pavyzdžiui dipolio kampu θ su x ašimi  laiko momentu  t.  Precesijos dinamikos duomenis nusakys sąrašas {ω, θ0+ωt}, kur ω yra  dažnis, o θ0 – pradinis kampas.  Manysime, kad momentu t = 0 turime daug precesuojančių dipolių, kuriuos aprašo sąrašas su atsitiktinai parinktais sukimosi  dažniais.

Atsitiktinius dažnius parinksime ruože nuo ω = 0.75 iki ω = 1.25. Juos sugeneruosime sąrašo pavidalu {ω, θ} laiko momentu t = 0, kur ndip yra dipolių skaičius.

In[9]:=

11a_skyrius_10.gif

Out[11]=

11a_skyrius_11.gif

Parodėm tik 50-ojo dipolio dažnį momentu t = 0. Pradiniu laiko momentu laikome, kad visų dipolių fazės yra vienodos, t.y. visi dipoliai tenkina sąlygą  θ0 = 0.  Kadangi dažniai yra atsitiktiniai, tai po tam tikro laiko dipolių fazės taps atsitiktinės. Jas rasime komanda Mod[ ] paveikę atsitiktinių dažnių sąrašą, tam tikru pasirinktu laiko momentu t. Taigi, momentu t = 0 turime sąrašus  {ω, 0} su atsitiktiniu dažniu ω.  Sąrašus vėlesniais momentais  (ω, θ(t)) = (ω, mod[ θ0+ωt,2π]) gausime pritaikę tokią grynąją funkciją

In[12]:=

11a_skyrius_12.gif

Out[12]=

11a_skyrius_13.gif

Momentu t = 0 turime

In[13]:=

11a_skyrius_14.gif

Gauto sąrašo tipinis elementas duoda (ω, mod[ θ0+ωt,2π])

In[15]:=

11a_skyrius_15.gif

Out[15]=

11a_skyrius_16.gif

Gautą sąrašą atidedame {θ, ω} plokštumoje

In[16]:=

11a_skyrius_17.gif

Out[16]=

11a_skyrius_18.gif

◆ Tą patį padarome imdami vėlesnį laiko momentą t = 5

In[17]:=

11a_skyrius_19.gif

Tipinis gauto sąrašo elementas yra {ω, θ}

In[19]:=

11a_skyrius_20.gif

Out[19]=

11a_skyrius_21.gif

Gautą sąrašą vėl atidedame {θ, ω} plokštumoje

In[20]:=

11a_skyrius_22.gif

Out[20]=

11a_skyrius_23.gif

◆ Procedūrą vėl pakartojame momentams t = 25, t=60 ir t=100.

In[21]:=

11a_skyrius_24.gif

In[22]:=

11a_skyrius_25.gif

Out[22]=

11a_skyrius_26.gif

Kaip matyti, momentu t = 100*2 π taškai, t.y. dipolių kampai, jau yra išsibarstę atsitiktinai.
◆ Dabar visus dipolius pasuksime kampu π aplink ašį x.
Pradžioje išrenkam fazes paskutiniu momentu  t = 100–, kur minusas rodo, laiką prieš fazės apvertimą

In[23]:=

11a_skyrius_27.gif

Fazes θ  momentu t = τ  = 100+ pakeičiame į  (2 π – θ), t.y. pasukame kampu π aplink x ašį

In[24]:=

11a_skyrius_28.gif

In[25]:=

11a_skyrius_29.gif

Seną sąrašą θωrand0, kuriame sudėti elementai (ω, 0),  keičiame nauju su elementais  (ω, θ(τ+))

In[26]:=

11a_skyrius_30.gif

Toliau tęsime sistemos evoliucijos modeliavimą. Vienintelis skirtumas tai, kad pradinės fazės dabar skiriasi. Sudarome porų lentelę (ω, θ) momentu τ+ ir ją pavaizduojame

In[27]:=

11a_skyrius_31.gif

In[28]:=

11a_skyrius_32.gif

Out[28]=

11a_skyrius_33.gif

Dabar sistema  evoliucionuoja su skirtingomis pradinėmis fazėmis. Sistemos vaizdai laiko momentais τ + 40*2π, τ + 75*2π, τ + 95*2π bei τ + 100*2π  bus

In[29]:=

11a_skyrius_34.gif

In[30]:=

11a_skyrius_35.gif

Out[30]=

11a_skyrius_36.gif

◆ Visus paveikslus surenkame į vieną

In[31]:=

11a_skyrius_37.gif

Out[31]=

11a_skyrius_38.gif

Projekcija

Pavaizduosime dipolio projekcijos į x ašį  evoliuciją

11a_skyrius_39.gif

Tam  reikia išrinkti θ iš sąrašų {ω, θ} ir apskaičiavus kosinusą susumuoti įvairiais laiko momentais. Aprašytus veiksmus realizuoja toks algoritmas

In[32]:=

11a_skyrius_40.gif

Out[33]=

11a_skyrius_41.gif

Pritaikius jį gautiems sąrašams,  gauname tokias sukinio projekcijas įvairiais laiko momentais

In[34]:=

11a_skyrius_42.gif

Out[34]=

11a_skyrius_43.gif

Iš atsitiktinių dažnių sąrašo θωRand0 =(ω, 0),  imdami įvairius laiko momentus t,  randome sąrašų {ω, θ(t)} ansamblį:

In[35]:=

11a_skyrius_44.gif

Ją papildę projekcijos apskaičiavimo komanda, rasime vidutinę sukinio projekciją tam tikru momentu. Komanda Table[ ] keisdami laiką apskaičiuosime sukinio priklausomybę nuo laiko

In[36]:=

11a_skyrius_45.gif

kurią pavaizduojame grafiškai

In[37]:=

11a_skyrius_46.gif

Out[37]=

11a_skyrius_47.gif

Kadangi dipoliai sufazuoti tik laiko momentu  t = 0, smailę matome tik pradžioje. Kad pasirodytų aidas reikia paimti sąrašą θωRandτ  momentu τ ir atlikti tokius pat skaičiavimus

In[38]:=

11a_skyrius_48.gif

In[39]:=

11a_skyrius_49.gif

Out[39]=

11a_skyrius_50.gif

Abu sąrašus sujungiame į vieną ir pavaizduojame tame pačiame grafike

In[40]:=

11a_skyrius_51.gif

In[41]:=

11a_skyrius_52.gif

Out[41]=

11a_skyrius_53.gif

Perturbacija

Laiko momentu τ ansamblį buvome paveikę π impulsu. Dabar dar papildomai šiuo momentu sistemą perturbuosime (pridėsime triukšmą). Tai atliksime visus dažnius truputį pakeisdami. Atsitiktiniai dažniai buvo imami iš intervalo nuo ωmin= 0.75 iki ωmax = 1.25 ir ωmax -ωmin = 0.5 {ω, θ}. Tarkime, kad triukšmas įneša 0.5% paklaidą

In[42]:=

11a_skyrius_54.gif

kurią pridedame prie kiekvieno iš dažnių

In[43]:=

11a_skyrius_55.gif

Kaip ir ankščiau apskaičiuojame ansamblio vidurkį

In[44]:=

11a_skyrius_56.gif

In[45]:=

11a_skyrius_57.gif

Out[45]=

11a_skyrius_58.gif

Abu grafikus  prieš π ir po π impulso  pavaizduojame viename paveiksle.

In[46]:=

11a_skyrius_59.gif

In[47]:=

11a_skyrius_60.gif

Out[47]=

11a_skyrius_61.gif

2L Sukinio aidai su Paulio matricomis

Paulio matricų bendros savybės

Paulio matricos

In[48]:=

11a_skyrius_62.gif

Out[48]=

11a_skyrius_63.gif

Vienetinė matrica (vienetas)

In[49]:=

11a_skyrius_64.gif

Out[49]//MatrixForm=

11a_skyrius_65.gif

Savybės:
Matricų kvadratų suma yra vienetas

In[50]:=

11a_skyrius_66.gif

Out[50]=

11a_skyrius_67.gif

Komutatoriai

In[51]:=

11a_skyrius_68.gif

Out[51]=

11a_skyrius_69.gif

Out[52]=

11a_skyrius_70.gif

Out[53]=

11a_skyrius_71.gif

Per Paulio ir vienetinę  matricas galima išreikšti bet kurią 2×2  matricą (apibendrinimui: bet kokią du indeksus turinčią matricą galima išreikšti dviejų Clebscho ir Gordano koeficientų sandaugų suma).

In[54]:=

11a_skyrius_72.gif

Out[54]//MatrixForm=

11a_skyrius_73.gif

Sudarius tiesines kombinacijas, galima gauti plius (aukštinančią) ir minus (žeminančią)  matricas

In[55]:=

11a_skyrius_74.gif

Out[55]//MatrixForm=

11a_skyrius_75.gif

Out[56]//MatrixForm=

11a_skyrius_76.gif

Out[57]//MatrixForm=

11a_skyrius_77.gif

kurios tenkina tokį komutatacinį sąryšį

In[58]:=

11a_skyrius_78.gif

Out[58]=

11a_skyrius_79.gif

Patogu įvesti vektorių, kurio sandai yra Paulio matricos

In[59]:=

11a_skyrius_80.gif

Out[60]=

11a_skyrius_81.gif

Sukinio matricos gaunamos  Paulio matricas  padauginus iš  h/2

In[61]:=

11a_skyrius_82.gif

Out[62]=

11a_skyrius_83.gif

◆ Imkime kvantinę būseną (1,0). Ją atitinkantis vidutinis sukinys bus lygiagretus z ašiai. Ištikrųjų

In[63]:=

11a_skyrius_84.gif

Out[63]=

11a_skyrius_85.gif

Out[64]//MatrixForm=

11a_skyrius_86.gif

◆ Dabar imkime kvantinę būseną 11a_skyrius_87.gif. Įsitikiname, kad ją atitinkantis vidutinis  sukinys yra lygiagretus x ašiai:

In[65]:=

11a_skyrius_88.gif

Out[65]=

11a_skyrius_89.gif

Out[66]//MatrixForm=

11a_skyrius_90.gif

◆ Ir pagaliau paėmę kvantinę būseną 11a_skyrius_91.gif,matome, kad ją atitinkantis vidutinis  sukinys yra lygiagretus y ašiai:

In[67]:=

11a_skyrius_92.gif

Out[67]=

11a_skyrius_93.gif

Out[68]=

11a_skyrius_94.gif

Paulio matricų transformacija

Paulio matricų unitarinė transformacija.
Sukimo transformacija.
Jei  fizinę koordinačių sistemą pasuksime Eulerio kampais  (ψ, φ, θ),  tada ekvivalentiška Paulio matricų unitarinė transformacija atliekama tokia 2×2 unitarine matrica (žr. pvz. [1]  knygą)

In[69]:=

11a_skyrius_95.gif

Out[69]//MatrixForm=

11a_skyrius_96.gif

kur ϑ, φ, ψ yra Eulerio kampai.
Ši matrica yra unitarinė, t.y. jos  atvirkštinė matrica lygi ermitinei. Ištikrųjų

In[70]:=

11a_skyrius_97.gif

Out[70]//MatrixForm=

11a_skyrius_98.gif

Sukinio būsena  {1,0} po fizinių koordinačių pasukimo Eulerio kampais pereina į būseną

In[71]:=

11a_skyrius_99.gif

Out[71]//MatrixForm=

11a_skyrius_100.gif

Atkreipsim dėmesį, kad aukščiau užrašytą sukimo matricą galima užrašyti ir eksponentėmis, kurių rodiklyje yra Paulio matricos

11a_skyrius_101.gif

Ištikrųjų,  apskaičiavę eksponentes ir sudauginę gautas matricas,  gauname tą pačią matricą rotXYZ. (Sandaugos tvarka svarbi.)

In[72]:=

11a_skyrius_102.gif

Out[72]//MatrixForm=

11a_skyrius_103.gif

Out[73]//MatrixForm=

11a_skyrius_104.gif

Out[74]//MatrixForm=

11a_skyrius_105.gif

Out[75]//MatrixForm=

11a_skyrius_106.gif

Atskiri atvejai

◆ Sukimas aplink z ašį kampu φ

In[76]:=

11a_skyrius_107.gif

Out[76]//MatrixForm=

11a_skyrius_108.gif

Toks sukimas keičia būsenos fazę, tačiau neturi įtakos vidutiniam sukiniui

In[77]:=

11a_skyrius_109.gif

Out[77]//MatrixForm=

11a_skyrius_110.gif

Out[78]//MatrixForm=

11a_skyrius_111.gif

◆ Sukimas  aplink x ašį kampu θ=π/2 sukinį +z perveda į  +y. Ištikrųjų

In[79]:=

11a_skyrius_112.gif

Out[79]//MatrixForm=

11a_skyrius_113.gif

In[80]:=

11a_skyrius_114.gif

Out[80]//MatrixForm=

11a_skyrius_115.gif

Out[81]//MatrixForm=

11a_skyrius_116.gif

◆ Eulerio sukimas  aplink x ašį kampu θ=π sukinį +z perveda į –z, t.y. apverčia sukinį

In[82]:=

11a_skyrius_117.gif

Out[82]//MatrixForm=

11a_skyrius_118.gif

In[83]:=

11a_skyrius_119.gif

Out[83]//MatrixForm=

11a_skyrius_120.gif

Out[84]//MatrixForm=

11a_skyrius_121.gif

◆ Sukimas  aplink y ašį kampu θ=π/2 sukinį +z perveda į + x

In[85]:=

11a_skyrius_122.gif

Out[85]//MatrixForm=

11a_skyrius_123.gif

In[86]:=

11a_skyrius_124.gif

Out[86]//MatrixForm=

11a_skyrius_125.gif

Out[87]//MatrixForm=

11a_skyrius_126.gif

◆ Eulerio kampams atrinkti pasinaudosime  Mathematica komanda RotationMatrix3D[φ, θ, ψ], esančia Geometry`Rotations` pakete. Tiesa, naujose programos versijose šią komandą keičia kiek bendresnės komandos RotationMatrix[ ] ir RotationTransform[ ], tačiau jose vietoje Eulerio kampų naudojama kita parametrizacija

In[88]:=

11a_skyrius_127.gif

11a_skyrius_128.gif

In[89]:=

11a_skyrius_129.gif

Out[89]//MatrixForm=

11a_skyrius_130.gif

Sukimą apie y ašį naująja komanda RotationMatrix[ ] užrašyti yra intuityviai paprasta

In[90]:=

11a_skyrius_131.gif

Out[90]//MatrixForm=

11a_skyrius_132.gif

In[91]:=

11a_skyrius_133.gif

Out[91]=

11a_skyrius_134.gif

[π/2, 0, 0] sukimas aplink z ašį: x→y
[0, π/2, 0] sukimas aplink x ašį: z→y
[π/2, π/2,-π/2] sukimas aplink y ašį: x→z

Veidrodinio atspindžio operatorius

Sukinio atspindžio operatorių  x–z plokštumos  atžvilgiu nusako matrica

In[92]:=

11a_skyrius_135.gif

Out[92]//MatrixForm=

11a_skyrius_136.gif

Operatorius yra unitarinis

In[93]:=

11a_skyrius_137.gif

Out[93]//MatrixForm=

11a_skyrius_138.gif

Du vienas paskui kitą sekantys atspindžiai keičia atspindžio matricos ženklą

In[94]:=

11a_skyrius_139.gif

Out[94]//MatrixForm=

11a_skyrius_140.gif

◆ Jei veidrodinio atspindžio operatoriumi paveiksime Paulio matricas, gausime

In[95]:=

11a_skyrius_141.gif

Out[95]=

11a_skyrius_142.gif

Out[96]=

11a_skyrius_143.gif

Matyti, kad po atspindžio x–z   plokštumoje  σx ir σz keičia ženklą, tuo tarpu σy išlieka invariantiškas.
◆ Panašiai, elgiasi  atspindžiai kitų dviejų plokštumų atveju. Atitinkami operatoriai yra

In[97]:=

11a_skyrius_144.gif

Out[97]//MatrixForm=

11a_skyrius_145.gif

In[98]:=

11a_skyrius_146.gif

Out[98]//MatrixForm=

11a_skyrius_147.gif

Sukinio aidai x–y plokštumoje

Nubraižome atskaitos žiedą

In[99]:=

11a_skyrius_148.gif

Out[100]=

11a_skyrius_149.gif

Dirbsime dažniu ω besisukančioje koordinačių sistemoje.
Suteikiame  parametrams skaitines vertes:
n = spinorių skaičius,  t.y. 2L lygmenų  skaičius;
τ  =  π/2 impulso užlaikymo trukmė

In[101]:=

11a_skyrius_150.gif

Dažnių nukrypio nuo rezonanso ω  ribos:

In[103]:=

11a_skyrius_151.gif

Bendras parametrizuoto ir  normuoto  1/2- spinorio pavidalas

In[105]:=

11a_skyrius_152.gif

Out[105]//MatrixForm=

11a_skyrius_153.gif

Parametras φ suka sukinį aplink z ašį:

In[106]:=

11a_skyrius_154.gif

Out[107]=

11a_skyrius_155.gif

Parametras θ suka sukinį aplink y ašį:

In[108]:=

11a_skyrius_156.gif

Out[109]=

11a_skyrius_157.gif

◆Paimkime n spinorių, kurių sukinys laiko momentu t = 0  yra beveik lygiagretus  z ašies  krypčiai

In[110]:=

11a_skyrius_158.gif

Out[110]=

11a_skyrius_159.gif

Out[111]=

11a_skyrius_160.gif

◆ Paveikus π/2 impulsu spinorius tampa

In[112]:=

11a_skyrius_161.gif

Out[112]=

11a_skyrius_162.gif

Jį atitinkantis sukinys yra beveik lygiagretus y ašiai

In[113]:=

11a_skyrius_163.gif

Out[113]//MatrixForm=

11a_skyrius_164.gif

◆ Sukinių  sukimosi apie z ašį  evoliucijos operatorius yra

11a_skyrius_165.gif

Komanda RandomReal[ ] sugeneruojame atsitikinius nuokrypius Δω  nuo rezonansinio dažnio ω.  Sukinių sukimosi trukmė yra τ.  Paruošiame sukimosi operatorius  laiko intervale  τ apie z ašį  (2×2  matricos), atsižvelgdami į kiekvieno sukinio dažnio nuokrypį Δω.

In[114]:=

11a_skyrius_166.gif

Gautais operatoriais paveikiame pradinę sukinio buseną spinπ2. Gauname būsenų rinkinį momentu τ. Jų  išderinimas yra įvairus

In[115]:=

11a_skyrius_167.gif

Gauto būsenų rinkinio vidutiniai sukinio x, y ir z sandai yra

In[116]:=

11a_skyrius_168.gif

Juos pavaizduojame trimatėje sukinio erdvėje

In[119]:=

11a_skyrius_169.gif

In[120]:=

11a_skyrius_170.gif

Out[120]=

11a_skyrius_171.gif

◆ Dabar pasukame vecτ aplink x ašį kampu π

In[121]:=

11a_skyrius_172.gif

Naujų  (apgręžtų)  būsenų evoliucija laiko intervale τ, t.y. nuo t =τ  iki  t = 2τ, yra

In[122]:=

11a_skyrius_173.gif

◆ Šių būsenų vidutiniai sukinius

In[123]:=

11a_skyrius_174.gif

pavaizduojame grafike

In[126]:=

11a_skyrius_175.gif

In[127]:=

11a_skyrius_176.gif

Out[127]=

11a_skyrius_177.gif

Matome, kad visi sukiniai vėl susifazavo, t.y. gavome sukinio aidą. Reikia atkreipti dėmesį, kad  z sando vertė nedaro jokios įtakos aidams.

Analiziniai apskaičiavimai

Pasinaudoję tomis pačiomis formulėmis, aidą  apskaičiuosime  analiziškai.
Pirma įvedimo ląstelių eilutė charakterizuos būseną, o antra – vidutinį sukinį {sx, sy, sz}.
◆Pradinis vektorius

In[128]:=

11a_skyrius_178.gif

Out[129]=

11a_skyrius_179.gif

Pasukimas kampu π/2  apie ašį x

In[130]:=

11a_skyrius_180.gif

Out[130]=

11a_skyrius_181.gif

Out[131]=

11a_skyrius_182.gif

Evoliucija per laiko tarpą t1

In[132]:=

11a_skyrius_183.gif

Out[132]=

11a_skyrius_184.gif

Out[133]=

11a_skyrius_185.gif

Pasukimas kampu π  apie ašį x

In[134]:=

11a_skyrius_186.gif

Out[134]=

11a_skyrius_187.gif

Out[135]=

11a_skyrius_188.gif

Evoliucija per laiko tarpą t2

In[136]:=

11a_skyrius_189.gif

Out[136]=

11a_skyrius_190.gif

Out[137]=

11a_skyrius_191.gif

Kai  t1 = t2, matome, kad nepriklausomai nuo  Δω, galinis vektorius jau yra nukreiptas y ašies kryptimi

In[138]:=

11a_skyrius_192.gif

Out[138]=

11a_skyrius_193.gif

Baigę uždarome branduolį

In[139]:=

11a_skyrius_194.gif

Literatūra

[1]. M. Tinkham. Group Theory and Quantum Mechanics. McGraw-Hill Book Company, New York, 1964.

Norėdami grįžti į tą pačią vietą, kurioje paspaudėte nuorodą į šią literatūrą, spragtelėkite meniu komandą , kurią rasite šalia teksto lygiavimui skirtų meniu komandų "Priemonių  (toolbar) juostoje".

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08