12 skyrius
Kvantinis valdymas

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

12_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

12_skyrius_2.gif

Paulio matricos 12_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

12_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

12_skyrius_5.gif

In[7]:=

12_skyrius_6.gif

Out[7]=

12_skyrius_7.gif

In[8]:=

12_skyrius_8.gif

Out[8]=

12_skyrius_9.gif

Valdymas Hilberto erdvėje

2L sistemos valdymas

Panagrinėsime paprasčiausią kvantinio valdymo pavyzdį, – dviejų lygmenų sistemą, kurią sudaro du pusiniai 1/2 sukiniai. Manysime, kad prieš ir po išorinio valdymo impulso abiejų energinių lygmenų energija yra išsigimusi, todėl sukinys gali turėti mūsų iš anksto užduotą kryptį. Laiko intervale 0–T sistemą paveiksime nuo laiko priklausančiu magnetiniu lauku, kuris ir pasuks sukinį. Laikysime, kad pradžioje, kai  t<0, sistema buvo būsenoje 12_skyrius_10.gif>, o praėjus laiko tarpui  t>T ji jau turi būti naujoje busenoje 12_skyrius_11.gif>.  Kadangi sistemos sukinio kryptį nusako dydis <ψ|σ|ψ>, galima galvoti, kad prieš valdymą sukinys buvo nukreiptas viena kryptimi, o po valdymo - kita.

◆ Jei |↑> ir |↓> yra  dvi bazinės funkcijos z ašies atžvilgiu, tada bet kokią nuo laiko t priklausančią būseną galime išreikšti per šias dvi

12_skyrius_12.gif

In[9]:=

12_skyrius_13.gif

Out[9]=

12_skyrius_14.gif

kur 12_skyrius_15.gif ir 12_skyrius_16.gif funkcijos, kurias  reikia surasti. Koeficientai nėra visai nepriklausomi. Juos  sieja normavimo sąlyga

12_skyrius_17.gif

Kadangi magnetiniame lauke pilnas  hamiltonianas sutampa su Zeemano hamiltonianu, rašome

12_skyrius_18.gif

Magnetinę indukciją išreiškiame poliniais kampais θ ir φ

In[10]:=

12_skyrius_19.gif

Out[10]//MatrixForm=

12_skyrius_20.gif

◆ Iš Schrödingerio lygties

12_skyrius_21.gif

išplaukia, kad koeficientai turi tenkinti diferencialines lygtis

In[11]:=

12_skyrius_22.gif

Out[11]//MatrixForm=

12_skyrius_23.gif

In[12]:=

12_skyrius_24.gif

Out[12]=

12_skyrius_25.gif

Out[13]=

12_skyrius_26.gif

kur ω = μ B1/h yra proporcinga magnetinio lauko amplitudei.
◆ Bendru atveju ω, θ ir φ  yra laiko funkcijos, o kintamieji (koeficientai) pradiniu ir galiniu laiko momentu tenkina sąlygas

12_skyrius_27.gif

Be to koeficientai yra normuoti

12_skyrius_28.gif

Uždavinio supaprastinimui manysime, kad ω =ω(t), o θ = const ir φ = const. Kitais  žodžiais tariant, erdvėje magnetinio lauko kryptis nesikeičia, tačiau jo amplitudė nuo laiko priklauso taip, kad  2L sistema iš būsenos |α> į būseną |β> persijungia per laiko tarpą T.
Atliksime kintamųjų pakeitimą

12_skyrius_29.gif

Tada diferencialinių lygčių sistema įgis pavidalą

12_skyrius_30.gif

In[14]:=

12_skyrius_31.gif

Out[14]=

12_skyrius_32.gif

Out[15]=

12_skyrius_33.gif

Šios lygčių sistemos sprendinys, tenkinantis anksčiau minėtas pradines sąlygas yra

In[16]:=

12_skyrius_34.gif

Out[16]=

12_skyrius_35.gif

Gautą atsakymą perrašysime matriciniu pavidalu

In[17]:=

12_skyrius_36.gif

Out[17]=

12_skyrius_37.gif

In[18]:=

12_skyrius_38.gif

Out[18]//MatrixForm=

12_skyrius_39.gif

Momentu  t = 0, gauname  diagonalinę matricą

In[19]:=

12_skyrius_40.gif

Out[19]//MatrixForm=

12_skyrius_41.gif

Galinė būsena momentu τ yra | 12_skyrius_42.gif = S[τ] | 12_skyrius_43.gif> = S[τ] 12_skyrius_44.gif.

Gauta matrica S yra unitarinė.

In[20]:=

12_skyrius_45.gif

Out[20]//MatrixForm=

12_skyrius_46.gif

Be to ji pasižymi šiomis simetrijos savybėmis

In[21]:=

12_skyrius_47.gif

Out[21]=

12_skyrius_48.gif

Out[22]=

12_skyrius_49.gif

o jos determinantas lygus vienetui

In[23]:=

12_skyrius_50.gif

Out[23]=

12_skyrius_51.gif

Todėl matrisą S galima perrašyti naudojant tik realius koeficientus v1, v2 ir u1, u2

In[24]:=

12_skyrius_52.gif

Out[24]//MatrixForm=

12_skyrius_53.gif

Kadangi šioje parametrizacijoje turime keturis laisvus parametrus u1, u2, v1, v2, o iš tiesų valdome keisdami tik tris parametrus τ, θ, φ, vieną parametą eliminuosime pareikalavę, kad s būtų unitarinė matrica.  Koeficientai tenkina  tapatybę 12_skyrius_54.gif = 1, nes S matricos determinantas lygus vienetui.

In[25]:=

12_skyrius_55.gif

Out[25]=

12_skyrius_56.gif

Iš čia randame tokias koeficientų reikšmes

In[26]:=

12_skyrius_57.gif

Out[26]=

12_skyrius_58.gif

kur parametrą τ pakeitėme raide T.

◆ Kaip žinome, egzistuoja homomorfizmas tarp kompleksinių sukinio 2×2 matricų ir realiųjų 3×3  posūkio matricų.   Kadangi sistemos sukinio modulis nepriklausomai nuo parametrizacijos pasirinkimo yra sukimo transformacijų invariantas, tai abiejų matricų determinantai  lygūs vienetui.
Kai S yra unitarinė, tada  transcendentinės lygčių sistemos
  | 12_skyrius_59.gif = 12_skyrius_60.gif = S[T] 12_skyrius_61.gif
  sprendinys T, θ ir φ  atžvilgiu turi duoti atsakymą, išreiškiamą per α1, α2, β1, β2. Reikalingas dvi lygtys užrašome taip

In[27]:=

12_skyrius_62.gif

Out[27]=

12_skyrius_63.gif

Uždavę pradinę {α1, α2} ir galinę {β1, β2} būsenas, randame T, θ ir φ, tenkinančius sąlygą f00 = 0.
◆ Pavyzdžiui, kai  {α1, α2}={1, 0} ir  {β1, β2} = {0, 1}, gauname

In[28]:=

12_skyrius_64.gif

Out[28]=

12_skyrius_65.gif

In[29]:=

12_skyrius_66.gif

Out[29]=

12_skyrius_67.gif

Iš čia seka, kad

12_skyrius_68.gif

◆ Kitas pavyzdys: pradinei {α1, 12_skyrius_69.gif, 12_skyrius_70.gif} ir  galinei {β1, β2} = {0, 1} būsenoms gauname

In[30]:=

12_skyrius_71.gif

Out[30]=

12_skyrius_72.gif

In[31]:=

12_skyrius_73.gif

Out[31]=

12_skyrius_74.gif

◆ Pažiūrėkime ką gausime, jei kelsime ne tokius griežtus reikalavimus, t.y. kai sąlygas uždedame ne pačioms būsenoms, o tik pradinių ir galinių būsenų  tikimybėms. Taigi reikalaukime, kad  pradinei būsenai turime α1 = 1, α2 = 0, o galinei būsenai, atitinkamai,  |β2|  = 1 ir  |β1| = 0. Tokiu atveju

In[32]:=

12_skyrius_75.gif

Out[32]=

12_skyrius_76.gif

Iš  pirmojo nario išplaukia

12_skyrius_77.gif

Iš  antrojo nario matome, kad nuliui turi būti lygūs moduliai,  todėl  iš |β2| turime

12_skyrius_78.gif

Iš čia randame

12_skyrius_79.gif

todėl papildomi reikalavimai kampo φ vertėms dingsta. Taigi, šiuo atveju gauname, kad  magnetinis laukas yra statmenas z ašiai, t.y. pradiniam ir galiniam sukiniui. Kampas φ gali būti bet koks.

Trajektorijos Hilberto erdvėje

Pirmiausia nupiešime papildomus elementus: apskritimus ir tieses

Visiems piešiniams žiūros taško koordinates imsime tas pačias

In[33]:=

12_skyrius_80.gif

In[34]:=

12_skyrius_81.gif

Out[35]=

12_skyrius_82.gif

In[36]:=

12_skyrius_83.gif

Out[37]=

12_skyrius_84.gif

In[38]:=

12_skyrius_85.gif

12_skyrius_86.gif

In[39]:=

12_skyrius_87.gif

Out[40]=

12_skyrius_88.gif

In[41]:=

12_skyrius_89.gif

Out[41]=

12_skyrius_90.gif

Vektorius

In[42]:=

12_skyrius_91.gif

In[45]:=

12_skyrius_92.gif

In[46]:=

12_skyrius_93.gif

Ir pagaliau visus elementus surenkame į vieną vietą

In[48]:=

12_skyrius_94.gif

Out[48]=

12_skyrius_95.gif

Baigę uždrome branduolį

In[49]:=

12_skyrius_96.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08