13 skyrius
Lauko kvantavimas

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

13_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

13_skyrius_2.gif

Paulio matricos 13_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

13_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

13_skyrius_5.gif

In[7]:=

13_skyrius_6.gif

Out[7]=

13_skyrius_7.gif

In[8]:=

13_skyrius_8.gif

Out[8]=

13_skyrius_9.gif

Brėžiniai

Stovinti banga

In[9]:=

13_skyrius_10.gif

In[11]:=

13_skyrius_11.gif

In[12]:=

13_skyrius_12.gif

In[13]:=

13_skyrius_13.gif

In[14]:=

13_skyrius_14.gif

Out[14]=

13_skyrius_15.gif

Energijų lygmenys

In[15]:=

13_skyrius_16.gif

Užrašome visus elementus atskirai, o paskui juos visus pavaizduojame viename piešinyje.

In[16]:=

13_skyrius_17.gif

In[26]:=

13_skyrius_18.gif

In[27]:=

13_skyrius_19.gif

In[28]:=

13_skyrius_20.gif

Out[28]=

13_skyrius_21.gif

Lauko kvantavimas

Dispersijos dėsnis

Vakuume sklindantis elektromagnetinis laukas tenkina bangos lygtį

13_skyrius_22.gif

Paėmę plokščias bangas, gausime dispersijos dėsnį. Imsime bangą, kuri poliarizuota x kryptimi ir sklinda z-kryptimi

In[29]:=

13_skyrius_23.gif

Out[29]=

13_skyrius_24.gif

Įstatę į aukščiau užrašytą bangos lygtį gauname

In[30]:=

13_skyrius_25.gif

Out[30]=

13_skyrius_26.gif

iš kur išplaukia sąryšis tarp k ir ω, t.y.  bangos dispersijos dėsnis vakuume

13_skyrius_27.gif

Kvantavimas

Coulombo kalibruotėje magnetinį ir elektrinį laukus galima išreikšti per vektorinį potencialą tokiu būdu:

13_skyrius_28.gif

Vektorinį potencialą tarp veidrodžių z-kryptimi, užrašysime kaip stovinčių bangų, kurios visos poliarizuotos x kryptimi, sumą. Indeksas j žymi modą

13_skyrius_29.gif

Apskaičiavimus kol kas atliksime vienai laisvai pasirinktai modai. Vėliau galėsime gautus rezultatus formaliai susumuoti.

In[31]:=

13_skyrius_30.gif

Magnetinis ir elektrinis laukas tada yra

In[32]:=

13_skyrius_31.gif

In[33]:=

13_skyrius_32.gif

Out[33]=

13_skyrius_33.gif

Out[34]=

13_skyrius_34.gif

◆ Klasikinis elektromagnetinio lauko Hamiltonianas turi pavidalą

13_skyrius_35.gif

In[35]:=

13_skyrius_36.gif

Out[35]=

13_skyrius_37.gif

S yra plotas.  Kadangi

13_skyrius_38.gif

tai šiuose taškuose trigonometrinės funkcijos lygios nuliui

In[36]:=

13_skyrius_39.gif

Out[36]=

13_skyrius_40.gif

Out[37]=

13_skyrius_41.gif

In[38]:=

13_skyrius_42.gif

Out[38]=

13_skyrius_43.gif

Gautą išraišką pertvarkysime. Visų pirma pastebime, kad L ·S = V (tūris). Pasinaudojame sąryšiu 13_skyrius_44.gif ir gauname, kad

13_skyrius_45.gif

kur ωj yra j-tosios modos dažnis. Tai osciliatoriaus su vienetine mase lygtis.
Įvesime naujus kintamuosius aj ir ajc. Juos traktuosime kaip elektromagnetinio lauko kvanto išnykimo ir atsiradimo operatorius

In[39]:=

13_skyrius_46.gif

Out[39]=

13_skyrius_47.gif

Out[40]=

13_skyrius_48.gif

In[41]:=

13_skyrius_49.gif

Out[41]=

13_skyrius_50.gif

Kvantų skaičiaus skirstiniai

Šiluminė šviesa

Šiluminių  fotonų skirstinio, kur nAve yra vidutinis fotonų skaičius <n>, pavidalas aprašomas formule

In[42]:=

13_skyrius_51.gif

Skirstinys normuotas į vienetą nepriklausomai nuo <n> reikšmės

In[43]:=

13_skyrius_52.gif

Out[43]=

13_skyrius_53.gif

Nupiešime jo grafiką, kai <n>=25

In[44]:=

13_skyrius_54.gif

In[46]:=

13_skyrius_55.gif

Out[46]=

13_skyrius_56.gif

Koherentinė šviesa

Koherentinių fotonų skirstinys, kur nAve yra vidutinis fotonų skaičius, yra

In[47]:=

13_skyrius_57.gif

Skirstinys normuotas į vienetą,

In[48]:=

13_skyrius_58.gif

Out[48]=

13_skyrius_59.gif

o jo grafikas atrodo taip:

In[49]:=

13_skyrius_60.gif

In[51]:=

13_skyrius_61.gif

Out[51]=

13_skyrius_62.gif

In[52]:=

13_skyrius_63.gif

Abu grafikus pavaizduojame viename piešinyje

In[53]:=

13_skyrius_64.gif

Out[53]=

13_skyrius_65.gif

Išnykimas ir atgimimas (collapse and revival)

Sąveika su vienos modos kvantais

Dviejų lygmenų sistemos sąveiką su vienos modos kvantais aprašo tokia diferencialinių lygčių sistema

In[54]:=

13_skyrius_66.gif

Out[54]=

13_skyrius_67.gif

Kur g yra sąveikos pastovioji, o n yra fotonų skaičius lauke. cb atitinka sužadintą |b>|n> lygmenį, o ca – pagrindinį  |a>|n+1> lygmenį.  Bendras šios sistemos sprendinys yra

In[55]:=

13_skyrius_68.gif

Out[55]=

13_skyrius_69.gif

Įveskime Rabio dažnį, kai lauke yra n fotonų

In[56]:=

13_skyrius_70.gif

Tada sprendinys atrodys paprasčiau

In[58]:=

13_skyrius_71.gif

Out[58]=

13_skyrius_72.gif

In[59]:=

13_skyrius_73.gif

Out[59]=

13_skyrius_74.gif

Laikykime, kad pradiniu momentu t = 0 dvilygmenė sistema yra  būsenoje

In[60]:=

13_skyrius_75.gif

Out[60]=

13_skyrius_76.gif

Dabar prisiminkime, kad sistemos (elektronas + fotonai) pilna banginė funkcija yra

13_skyrius_77.gif

Pasinaudosime šia formule vidurkiams apskaičiuoti. Formulėje tik du koeficientai nėra lygūs nuliui, 13_skyrius_78.gif ir 13_skyrius_79.gif, todėl galime rašyti  (cb atitinka sužadintą |b>|n> lygmenį, o ca – pagrindinį  |a>|n+1> lygmenį)

13_skyrius_80.gif

Nagrinėsime atvejį kai lauką sudaro n ir n+1 fotonų. T.y. kai sumą sudaro tik du nariai

13_skyrius_81.gif

Būtent šiuos koeficientus jau esame apskaičiavę 13_skyrius_82.gif = ca,   13_skyrius_83.gif = cb

Rezonansas, Δ = 0

◆  Rezonanso atveju, kai išderinimas  Δ = 0,  sprendiniai supaprastėja

In[61]:=

13_skyrius_84.gif

Out[61]=

13_skyrius_85.gif

Iš jų formos matyti, kad rezonanso atveju sistema pradiniu momentu yra apatiniame lygmenyje, kai C[1] = - C[2] =1/2

In[62]:=

13_skyrius_86.gif

Out[62]=

13_skyrius_87.gif

Kai n =0, turime vieną fotoną ir 2L lygmenį. Sužadinto lygmens amplitudė rezonanso atveju yra

In[63]:=

13_skyrius_88.gif

Out[63]=

13_skyrius_89.gif

o pagrindinio lygmens

In[64]:=

13_skyrius_90.gif

Out[64]=

13_skyrius_91.gif

In[65]:=

13_skyrius_92.gif

Out[65]=

13_skyrius_93.gif

Taigi, rezonanso atveju matome, kad nepriklausomai nuo fotonų skaičiaus lauke, tikimybė elektroną rasti abiejuose lygmenyse lygi vienetui.

Bendras atvejis, Δ ≠ 0

◆  Bendru atveju,  kai išderinimas nelygus nuliui, laiko momentu t = 0  turime

In[66]:=

13_skyrius_94.gif

Out[66]=

13_skyrius_95.gif

Jei norime, kad pradiniu laiko momentu t =0 elektronas būtų pagrindiniame lygmenyje, turime paimti pastoviąsias C[1] = -C[2] = Cn

In[67]:=

13_skyrius_96.gif

Out[67]=

13_skyrius_97.gif

iš čia nustatome konstantos Cn vertę 13_skyrius_98.gif

In[68]:=

13_skyrius_99.gif

Out[68]=

13_skyrius_100.gif

Ją įstatę randame pagrindinio ir sužadinto lygmens amplitudes. Kadangi n yra fiksuotas, jos tuo pačiu duoda lygmenų populiacijas

In[69]:=

13_skyrius_101.gif

Out[69]=

13_skyrius_102.gif

In[70]:=

13_skyrius_103.gif

Out[70]=

13_skyrius_104.gif

In[71]:=

13_skyrius_105.gif

Out[71]=

13_skyrius_106.gif

Nepriklausomai nuo fotonų skaičiaus elektrono banginė funkcija  yra normuota kiekvienu laiko momentu

In[72]:=

13_skyrius_107.gif

Out[72]=

13_skyrius_108.gif

Fotonų skirstinys

Pažymėkime raide n fotonų skaičių lauke. Kvantų (fotonų), kurie sąveikoja su 2L sistema, skirstinį  aprašo  Poissono funkcija

In[73]:=

13_skyrius_109.gif

Ji normuota į vienetą

In[74]:=

13_skyrius_110.gif

Out[74]=

13_skyrius_111.gif

Užduosime skaitinius parametrus grafikams

In[75]:=

13_skyrius_112.gif

ir pavaizduosime Poissono kvantų skirstinio funkciją

In[76]:=

13_skyrius_113.gif

Out[76]=

13_skyrius_114.gif

Koherentinis žadinimas

Priminsime, kad cb[t] žymi sužadintą |b>|n> lygmenį, o ca[t]– pagrindinį |a>|n+1> lygmenį. Norėdami, kad toliau atliekami apskaičiavimai nesimaištų su anksčiau gautais, peržymėsime amplitudes didžiosiomis raidėmis.

In[77]:=

13_skyrius_115.gif

Out[77]=

13_skyrius_116.gif

Manysime, kad pradiniu momentu elektronas yra sužadintame lygmenyje, t.y. yra tenkinamos sąlygos
Ca[0] =0  ir Cb[0] =  cn

Iš čia sudarome lygtis laiko momentui t = 0

In[78]:=

13_skyrius_117.gif

Out[78]=

13_skyrius_118.gif

ir  jas išsprendžiame C[1] ir C[2] atžvilgiu

In[79]:=

13_skyrius_119.gif

Out[79]=

13_skyrius_120.gif

Koeficientų t=0 momentu sprendinį įstatome į bendrąjį sprendinį

In[80]:=

13_skyrius_121.gif

Out[80]=

13_skyrius_122.gif

Įstatę dažnio išraišką

In[81]:=

13_skyrius_123.gif

Out[81]=

13_skyrius_124.gif

galutinai turime

In[82]:=

13_skyrius_125.gif

Out[82]=

13_skyrius_126.gif

Jį perrašysime grynosiomis funkcijomis, prisiminę, kad turime būsenas |b,n> ir |a,n+1>

In[83]:=

13_skyrius_127.gif

In[84]:=

13_skyrius_128.gif

In[85]:=

13_skyrius_129.gif

Out[85]=

13_skyrius_130.gif

Gautasis sprendinys dar nėra normuotas į vienetą. Jis normuotas į konstantą  cn. Ištikrųjų, sudėję modulių kvadratus gauname

In[86]:=

13_skyrius_131.gif

Out[86]=

13_skyrius_132.gif

Vienetą gausime susumavę pagal visų fotonų skaičių lauke

13_skyrius_133.gif

kas atitinka pilnos banginės funkcijos normavimą.

◆ Išraiškos 13_skyrius_134.gif ir 13_skyrius_135.gif išreiškia tikimybes, kad 2L lygmuo yra būsenoje |b> arba |a> ir tuo pat metu lauke egzistuoja n fotonų.  Jei susumuosime pagal  |b> ir  |a> būsenas gausime fotonų skaičiaus priklausomybę nuo laiko. Tuo atveju, kai turime tik būsenas |b,n> ir |a,n+1> jau esame radę, kad suma pagal 2L būsenas duoda 13_skyrius_136.gif
Norint rasti kaip fotonų skaičius kinta laikui bėgant reikia apskaičiuoti dydį13_skyrius_137.gif. T.y. projektuoti būsenas |b,n> ir |a,n> į pilną būsenos vektorių,

13_skyrius_138.gif

Rasime dydį ρ(n,t)

In[87]:=

13_skyrius_139.gif

Out[87]=

13_skyrius_140.gif

Koeficientai 13_skyrius_141.gif aprašo fotonų skirstinį. Jį pakeisime Poissono skirstiniu

In[88]:=

13_skyrius_142.gif

Out[88]=

13_skyrius_143.gif

Pavaizduosime fotonų skaičiaus tikimybės kitimą laikui bėgant, kai elektromagnetiniame lauke yra 20 fotonų

In[89]:=

13_skyrius_144.gif

Out[89]=

13_skyrius_145.gif

Dabar susumuokime tikimybes pagal visus fotonus, 13_skyrius_146.gif. Kadangi fotonų skirstiniai tenkina  Poissono dėsnį, tokia suma bus lygi nuliui. Visų osciliacijų suma duos vienetą visais laiko momentais

In[90]:=

13_skyrius_147.gif

In[91]:=

13_skyrius_148.gif

Out[91]=

13_skyrius_149.gif

Kaip matome p(t) = 1. Jei norime rasti vidutinį fotonų skaičių nuo laiko reikia apskaičiuoti matricinį elementą

13_skyrius_150.gif

Vidutinį fotonų skaičių (nave, kuris nepriklauso nuo laiko)  buvome pasirinkę anksčiau.

Dabar apskaičiuokime pilną fotonų skaičių. Tam tikimybę ρn(t) reikia padauginti iš fotonų skaičiaus ir susumuoti. Gauname

In[92]:=

13_skyrius_151.gif

Out[92]=

13_skyrius_152.gif

In[93]:=

13_skyrius_153.gif

Gautą atsakymą pavaizduojame grafiškai

In[94]:=

13_skyrius_154.gif

Out[94]=

13_skyrius_155.gif

◆ Surasime inversijos kitimą laikui bėgant. Inversiją apibrėžia dydis

13_skyrius_156.gif

Pasinaudoję tapatybe 13_skyrius_157.gif, galime rašyti

In[95]:=

13_skyrius_158.gif

Out[95]=

13_skyrius_159.gif

In[96]:=

13_skyrius_160.gif

Out[96]=

13_skyrius_161.gif

Kai  nėra fotonų, n = 0, turime

In[97]:=

13_skyrius_162.gif

Out[97]=

13_skyrius_163.gif

Susumuojame pagal visus fotonus. Kadangi simboliškai sumos apskaičiuoti nepavyksta, laikykime, kad maksimalus galimas fotonų skaičius yra  nEnd ir sumuokime skaitiškai.

In[98]:=

13_skyrius_164.gif

Gautą rezultatą pavaizduojame grafiškai

In[100]:=

13_skyrius_165.gif

Out[100]=

13_skyrius_166.gif

In[101]:=

13_skyrius_167.gif

Out[101]=

13_skyrius_168.gif

Jei lauke iš viso nėra fotonų, tada inversija yra

In[102]:=

13_skyrius_169.gif

Out[102]=

13_skyrius_170.gif

Kaip matyti, net ir tuo atveju kai nėra fotonų Rabio osciliacijos vyksta

In[103]:=

13_skyrius_171.gif

Out[103]=

13_skyrius_172.gif

Jas iššaukia ne nuliniai virpesiai, nes pastarųjų Poissono skirstinyje iš viso nėra:

In[104]:=

13_skyrius_173.gif

Out[104]=

13_skyrius_174.gif

Gauta formulė išreiškia tikimybę modoje neaptikti nė vieno fotono, o ne fotonų skaičius toje modoje.  

◆ Vidurkiai
Skaičiuosime, kai lauke yra daug fotonų <n>  ≫ 1.  Tada n = <n>.

Rabio dažnis 13_skyrius_175.gif . Iš kur išplaukia, kad Rabio periodas yra

In[105]:=

13_skyrius_176.gif

In[106]:=

13_skyrius_177.gif

Out[106]=

13_skyrius_178.gif

Out[107]=

13_skyrius_179.gif

Atgimimo trukmę tr randame iš sąlygos
13_skyrius_180.gif)  = 2π m,
kuri reiškia, kad gretimų Rabio osciliacijų fazės yra kartotinės 2π

In[108]:=

13_skyrius_181.gif

Out[108]=

13_skyrius_182.gif

Out[109]=

13_skyrius_183.gif

Charakteringąją išnykimo trukmę tc rasime iš Poissono skirstinio savybių. Tam reikia prisiminti, kad vidutinis kvadratinis nuokrypis Δn Poissono skirstinio atveju yra lygus 13_skyrius_184.gif. Iš spektrinės analizės teorijos prisiminę, kad impulso pločiai dažnio ir laiko srityse susiję sąlyga ΔΩ·Δt=2π, galime rašyti

In[110]:=

13_skyrius_185.gif

Out[110]=

13_skyrius_186.gif

In[111]:=

13_skyrius_187.gif

Out[111]=

13_skyrius_188.gif

Baigę uždarome branduolį

In[112]:=

13_skyrius_189.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08