14 skyrius
RezonansinÄ— fluorescencija

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

14_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

14_skyrius_2.gif

Paulio matricos 14_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

14_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

14_skyrius_5.gif

In[7]:=

14_skyrius_6.gif

Out[7]=

14_skyrius_7.gif

In[8]:=

14_skyrius_8.gif

Out[8]=

14_skyrius_9.gif

Rezonansinės fluorescencijos spektras

Brėžiniai

◆ Pradžioje pavaizduosime rezonansinės fluorescencijos spektrą. Jo pavidalą aprašo kreivė

In[9]:=

14_skyrius_10.gif

Suteikiame parametrams skaitines vertes ir pavaizduojame rezonansinės fluorescencijos spektrą

In[10]:=

14_skyrius_11.gif

In[11]:=

14_skyrius_12.gif

Out[11]=

14_skyrius_13.gif

◆ Pavaizduosime energijų lygmenų diagramą iliustruojančią dinaminį Starko efektą.
Pasirenkame mazginius taškus s1 – s12, kad būtų lengviau braižyti  energijų linijas

In[12]:=

14_skyrius_14.gif

Horizontalios energijų linijos (energiniai lygmenys)

In[13]:=

14_skyrius_15.gif

Out[13]=

14_skyrius_16.gif

Linijos jungiančios suskilimo taškus

In[14]:=

14_skyrius_17.gif

Strėlės

In[15]:=

14_skyrius_18.gif

In[16]:=

14_skyrius_19.gif

Užrašai

In[17]:=

14_skyrius_20.gif

In[18]:=

14_skyrius_21.gif

Surenkame visus piešinių elementus ir vizualizuojame su komanda Show[ ].

In[19]:=

14_skyrius_22.gif

Out[19]=

14_skyrius_23.gif

Pagrindinė lygtis

Iš Paulio matricų sudarome aukštinančius ir žeminančius operatorius

In[20]:=

14_skyrius_24.gif

Out[20]//MatrixForm=

14_skyrius_25.gif

Out[21]//MatrixForm=

14_skyrius_26.gif

Tegul  tankio matrica ρ turi 2×2 matricos pavidalą

In[22]:=

14_skyrius_27.gif

Out[22]//MatrixForm=

14_skyrius_28.gif

Jos kitimą laikui bėgant aprašysime lygtimi  su Lindblado operatoriumi

14_skyrius_29.gif

Atskirai užrašome šios lygties narius aprašančius 2L sistemą ir lauką

In[23]:=

14_skyrius_30.gif

Out[23]//MatrixForm=

14_skyrius_31.gif

In[24]:=

14_skyrius_32.gif

Out[24]//MatrixForm=

14_skyrius_33.gif

bei disipacinį Lindblado  narį

In[25]:=

14_skyrius_34.gif

Out[25]//MatrixForm=

14_skyrius_35.gif

Taigi, tankio matricos diferencialinės lygties kairė pusė atrodis

In[26]:=

14_skyrius_36.gif

Out[26]//MatrixForm=

14_skyrius_37.gif

◆ Ieškosime operatorių vidutinių reikšmių išvestinės pagal laiką. Pasinaudodami taisykle

14_skyrius_38.gif

randame  šias išraiškas

In[27]:=

14_skyrius_39.gif

Out[27]=

14_skyrius_40.gif

Out[28]=

14_skyrius_41.gif

Out[29]=

14_skyrius_42.gif

Pastebėję, kad matricų vidurkiai yra <σ+> = Tr(ρ σ+)

In[30]:=

14_skyrius_43.gif

Out[30]=

14_skyrius_44.gif

Out[31]=

14_skyrius_45.gif

Out[32]=

14_skyrius_46.gif

Out[33]=

14_skyrius_47.gif

gautus vidurkių išvestines bazėje {|+>,  |–>,  |σz>} galime užrašyti tokiu būdu:

14_skyrius_48.gif

◆ Išspręsime  diferencialines lygtis  rezonanso atveju, kai išderinimas lygus nuliui  (Δω  = 0). Pradžioje sudarome lygtys

In[34]:=

14_skyrius_49.gif

Out[34]=

14_skyrius_50.gif

Diferencialinių lygčių sprendinys, kai elektronas yra apatiniame lygmenyje (σzt[0] == -1),  bus

In[35]:=

14_skyrius_51.gif

Out[35]=

14_skyrius_52.gif

Pastebime, kad σpt[t] = σmt[t]*:

In[36]:=

14_skyrius_53.gif

Out[36]=

14_skyrius_54.gif

Padarysime pakeitimą  4 κ =  14_skyrius_55.gif  ir  suprastinsime gautas lygtis sugrupuodami narius.

In[37]:=

14_skyrius_56.gif

Out[37]=

14_skyrius_57.gif

Nukopijuojame gautą rezultatą į atskirą ląstelę ir sumos narius suskirstome į tris atskiras narių grupes, kurias supaprastiname atskirai. (Jei su Mathematica automatiškai prastinsime visą sumą gausime kitokį, mums nepatogų atsakymą)

In[38]:=

14_skyrius_58.gif

Out[38]=

14_skyrius_59.gif

Gautus supaprastintus elementus vėl susumuojame

In[39]:=

14_skyrius_60.gif

Out[39]=

14_skyrius_61.gif

14_skyrius_62.gif

Stacionarųjį sprendinį (t→∞) duoda pirmasis sumos  narys

In[40]:=

14_skyrius_63.gif

Out[40]=

14_skyrius_64.gif

Žinome, kad 14_skyrius_65.gif> narys skiriasi tik ženklu, todėl jį prastiname automatiškai  

In[41]:=

14_skyrius_66.gif

Out[41]=

14_skyrius_67.gif

Panašiai prastiname ir14_skyrius_68.gif>  narį

In[42]:=

14_skyrius_69.gif

Out[42]=

14_skyrius_70.gif

Gautus narius grupuojame tokiu būdu ir prastiname atskirai

In[43]:=

14_skyrius_71.gif

Out[43]=

14_skyrius_72.gif

Po to vėl susumuojame

In[44]:=

14_skyrius_73.gif

Out[44]=

14_skyrius_74.gif

◆ Kai gesimo nėra (γ = 0)  nepriklausomai nuo laiko, gauname, kad sukinio kvadratas nuo laiko nepriklauso. Tuo tarpu bazėje {|+>,|->,|z>} atitinkamas operatorius yra 14_skyrius_75.gif .

In[45]:=

14_skyrius_76.gif

Out[45]=

14_skyrius_77.gif

In[46]:=

14_skyrius_78.gif

Out[46]=

14_skyrius_79.gif

Paskutiniame apskaičiavime užrašą  14_skyrius_80.gif apgaubėme komanda Hold[ ], kad pirmiau sprendinys būtų įstatytas, o tik po to apskaičiuojamas kompleksiškai jungtinis dydis. To nepadarius kompleksiškai jungtinis dydis bus apskaičiuotas dar prieš sprendinio įstatymą, todėl bendru atveju gausime klaidingą rezultatą (aišku, šiuo konkrečiu atveju to nepamatytume, nes trečiasis sprendinys yra realus).  

◆ Kai disipacija silpna  (Ω ≫ γ)  narius 14_skyrius_81.gif ir 14_skyrius_82.gif galime atmesti

In[47]:=

14_skyrius_83.gif

Out[47]=

14_skyrius_84.gif

Iš rezultato matyti, kad visose lygtyse galime taip pat atmesti paskutinius tris (trečioje lygtyje du) narius. Likę nariai duoda

In[48]:=

14_skyrius_85.gif

Out[48]=

14_skyrius_86.gif

◆ Gautą sprendinį pavaizduosime grafiškai.
Paimame γ = 1,  Ω = 5 ir nupiešiame tikimybę elektroną surasti sužadintame lygmenyje: P = ( 1+σzt[t])/2

In[49]:=

14_skyrius_87.gif

In[50]:=

14_skyrius_88.gif

Out[50]=

14_skyrius_89.gif

◆ Panagrinėkime stacionarius sprendinius.
Mūsų anksčiau sukonstruota  diferencialinių  lygčių sistema yra nehomogeninė: trečioje lygtyje pasirodo laisvas narys –γ.  

In[51]:=

14_skyrius_90.gif

Out[51]=

14_skyrius_91.gif

Rasime jos  stacionarinį (steady-state)  sprendinį. Tam visas išvestines prilyginame nuliui taip diferencialines lygtis paversdami algebrinėmis:

In[52]:=

14_skyrius_92.gif

Out[52]=

14_skyrius_93.gif

Gautą  lygčių sistemą  išsprendžiame

In[53]:=

14_skyrius_94.gif

Out[53]=

14_skyrius_95.gif

Rezonanso atveju gauname anksčiau gautus sprendinius

In[54]:=

14_skyrius_96.gif

Out[54]=

14_skyrius_97.gif

Viršutinio lygmens populiacija stacionariniu atveju  yra

In[55]:=

14_skyrius_98.gif

Out[55]=

14_skyrius_99.gif

Paėmę Ω = 5, γ = 1, gauname vertę, kuri seka iš paveikslo

In[56]:=

14_skyrius_100.gif

Out[56]=

14_skyrius_101.gif

Fluorescencijos spektras

Skaičiavimus atliksime sekdami Walls ir Milburn knyga [1]  (p.218).
Nehomogenonę diferencialinę lygtį galima paversti homogenine, jei pradžioje rasime jos stacionarųjį sprendinį 14_skyrius_102.gif, kurį po to atimsime iš ieškomojo sprendinio, <s> = <σ> – 14_skyrius_103.gif>. Taip gausime homogeninę  diferencialinę lygtį, turinčią pavidalą

14_skyrius_104.gif

kur matrica A yra

14_skyrius_105.gif

In[57]:=

14_skyrius_106.gif

Nagrinėsime rezonansinį atvejį, kai Δω = 0

In[58]:=

14_skyrius_107.gif

Out[58]//MatrixForm=

14_skyrius_108.gif

Šios matricos tikrinės vertės ir tikriniai vektoriai  yra

In[59]:=

14_skyrius_109.gif

Out[59]=

14_skyrius_110.gif

In[60]:=

14_skyrius_111.gif

Out[60]=

14_skyrius_112.gif

◆ Suformuojame G matricą

In[61]:=

14_skyrius_113.gif

Out[61]//MatrixForm=

14_skyrius_114.gif

Matricų Ar ir GG sandauga duos matricą, iš kurios padarome vieną stulpelį

In[62]:=

14_skyrius_115.gif

Out[62]//MatrixForm=

14_skyrius_116.gif

Iš čia matyti, kad turime tris tarpusavyje nesurištas diferencialinių lygčių grupes (G11, G31, G21), (G12, G32, G22), (G13, G23, G33). Mums reikalingas narys G12 yra antroje grupėje, kurią atskirai perrašome

In[63]:=

14_skyrius_117.gif

Dabar turime nurodyti pradinės sąlygas, kurias turi tenkinti šios lygtys. Reikalausime, kad koreliacinės funkcijos (G12, G32, G22) = {<σ+(τ) σ_(0)>,  <σz(τ) σ_(0)>,<σ_(τ) σ_(0)>}, momentu t = 0 tenkintų tas pačias sąlygas kaip σ operatorių vidurkiai:

14_skyrius_118.gif

Įsitikiname, kad toks reikalavimas galimas

In[64]:=

14_skyrius_119.gif

Out[64]=

14_skyrius_120.gif

Out[65]=

14_skyrius_121.gif

Out[66]=

14_skyrius_122.gif

Rezonanso atveju anksčiau buvome apskaičiavę

In[67]:=

14_skyrius_123.gif

Out[67]=

14_skyrius_124.gif

Todėl trijų diferencialinių lygčių sistemai taikysime tokias pradines sąlygas

In[68]:=

14_skyrius_125.gif

Out[68]=

14_skyrius_126.gif

Įstatome viską į diferencialinių lygčių sistemą ir sprendžiame G12(t), G32(t), G22(t) atžvilgiu

In[69]:=

14_skyrius_127.gif

Out[69]=

14_skyrius_128.gif

Mums reikalingas tik  G12(t)  sprendinys, kuris ir aprašo koreliacinę funkciją atsakingą už rezonansinę sklaidą

In[70]:=

14_skyrius_129.gif

Out[70]=

14_skyrius_130.gif

Supaprastiname jį

In[71]:=

14_skyrius_131.gif

Out[71]=

14_skyrius_132.gif

Vėlgi, iš gauto atsakymo pirmiausia sudarome sąrašą

In[72]:=

14_skyrius_133.gif

Out[72]=

14_skyrius_134.gif

ir suprastinę vėl grižtame prie sumos

In[73]:=

14_skyrius_135.gif

Out[73]=

14_skyrius_136.gif

Ω ≫ γ

Tirkime stipraus lauko atvejį, kai Rabio dažnis Ω ≫ γ. Tada nekreipsime dėmesio į kvadratinius ir aukštesnius narius

In[74]:=

14_skyrius_137.gif

Out[74]=

14_skyrius_138.gif

Taip pat atmetame  paskutinius du narius, o likusius padauginame iš Exp[–i 14_skyrius_139.gif t]. Tokia daugyba yra ekvivalentiška perėjimui į Schödingerio paveikslą

In[75]:=

14_skyrius_140.gif

Out[75]=

14_skyrius_141.gif

Gautas atsakymas rodo, kad fluorescencijos spektre be pagrindinės linijos atsirado dar dvi naujos linijos, kurių amplitudės du kartus mažesnės.
Rasime spektrą. Kadangi lazeris buvo įjungtas laiko momentu t >0 (tai matyti iš koreliacinių funkcijų),  atlikdami Fourier transformaciją integruosime rėžiuose nuo 0 iki ∞.
◆ Pagrindinė linija

In[76]:=

14_skyrius_142.gif

Out[76]=

14_skyrius_143.gif

Randame jos intesyvumą ir normavimo pastoviąją

In[77]:=

14_skyrius_144.gif

Out[77]=

14_skyrius_145.gif

In[78]:=

14_skyrius_146.gif

Out[78]=

14_skyrius_147.gif

Taigi pagrindinės linijos galutinė išraiška yra

In[79]:=

14_skyrius_148.gif

Out[79]=

14_skyrius_149.gif

◆ Analogiškai apskaičiuojame šonines linijas

In[80]:=

14_skyrius_150.gif

Out[80]=

14_skyrius_151.gif

In[81]:=

14_skyrius_152.gif

Out[81]=

14_skyrius_153.gif

Linijų intensyvumai ir normavimo konstantos

In[82]:=

14_skyrius_154.gif

Out[82]=

14_skyrius_155.gif

In[83]:=

14_skyrius_156.gif

Out[83]=

14_skyrius_157.gif

In[84]:=

14_skyrius_158.gif

Out[84]=

14_skyrius_159.gif

In[85]:=

14_skyrius_160.gif

Out[85]=

14_skyrius_161.gif

Galutinės šoninių linijų išraiškos

In[86]:=

14_skyrius_162.gif

Out[86]=

14_skyrius_163.gif

Out[87]=

14_skyrius_164.gif

◆ Pilnas rezonansinės fluorescencijos spektras lygus visų trijų linijų sumai

In[88]:=

14_skyrius_165.gif

Out[88]=

14_skyrius_166.gif

Fluorescencijos spektrą pavaizduojame grafiškai

In[89]:=

14_skyrius_167.gif

Out[89]=

14_skyrius_168.gif

Gautą spektrą galima perrašyti pavidalu

14_skyrius_169.gif

Patikriname

In[90]:=

14_skyrius_170.gif

Out[90]=

14_skyrius_171.gif

In[91]:=

14_skyrius_172.gif

Out[91]=

14_skyrius_173.gif

Iš čia matyti, kad linijų pločiai nėra vienodi. Šoninės linijos yra pusantro karto platesnės, o linijų aukščiai santykiauja kaip 1:3.

Ω ≪ γ

Dabar panagrinėkime atvirkščią  atvejį, Ω ≪ γ, t.y. kai viršutinio lygmens gyvavimo trukmė yra trumpa.
Laikysime, kad šviesos elektrinis laukas kaip ir anksčiau yra stiprus, tačiau Rabio dažnis tenkina sąlygą Ω ≪ γ. Tada galime neatsižvelgti į kvadratinius ir aukštesnės eilės narius.  Tada pereiname į Schrödingerio paveikslą viską padaugindami iš eksponentės.

In[92]:=

14_skyrius_174.gif

Out[92]=

14_skyrius_175.gif

In[93]:=

14_skyrius_176.gif

Out[93]=

14_skyrius_177.gif

Abiem likusiems nariams  atliekame Fourier transformaciją

In[94]:=

14_skyrius_178.gif

Out[94]=

14_skyrius_179.gif

In[95]:=

14_skyrius_180.gif

Out[95]=

14_skyrius_181.gif

In[96]:=

14_skyrius_182.gif

Out[96]=

14_skyrius_183.gif

Kaip matome, abiem atvejais rezonansas įvyksta ties ω = 14_skyrius_184.gif. Narys su neigiamu ženklu gęsta dvigubai greičiau, todėl jį galima atmesti. Taigi, esant silpnam šviesos intensyvumui, lieka antrasis narys. Jį sunormavę, turime

In[97]:=

14_skyrius_185.gif

Out[97]=

14_skyrius_186.gif

In[98]:=

14_skyrius_187.gif

Out[98]=

14_skyrius_188.gif

Taigi, gavome tokį  standartinį linijos pavidalą

14_skyrius_189.gif

Dažniausiai γ yra siejamas su atomo sužadinto lygmens baigtine gyvavimo trukme τ = 2/γ.

Pastaba

Turint eksponentes galima skaičiuoti ir taip, kaip aprašyta minėtoje Walls and Milburn knygoje

In[99]:=

14_skyrius_190.gif

Out[99]=

14_skyrius_191.gif

Randame realiąją dalį

In[100]:=

14_skyrius_192.gif

Out[100]=

14_skyrius_193.gif

ir ją suinegravę begaliniuose rėžiuose, arba paėmus ω0 = 0 rėžiuose nuo 0 iki ∞, gauname

In[101]:=

14_skyrius_194.gif

Out[101]=

14_skyrius_195.gif

Kaip matyti, spektras yra normuotas į vienetą.

In[102]:=

14_skyrius_196.gif

Literatūra

[1]. D. F. Walls, G. J. Milburn. Quantum Optics. Springer-Verlag, Berlin, 1994.

Norėdami grįžti į tą pačią vietą, kurioje paspaudėte nuorodą į šią literatūrą, spragtelėkite meniu komandą , kurią rasite šalia teksto lygiavimui skirtų meniu komandų "Priemonių  (toolbar) juostoje".

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08