16b skyrius
3L sistemų tipai ir optinės Blocho lygtys

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

16b_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

16b_skyrius_2.gif

Paulio matricos 16b_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

16b_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

16b_skyrius_5.gif

In[7]:=

16b_skyrius_6.gif

Out[7]=

16b_skyrius_7.gif

In[8]:=

16b_skyrius_8.gif

Out[8]=

16b_skyrius_9.gif

3L tankio matrica

Tankio matrica

Tankio matrica

In[9]:=

16b_skyrius_10.gif

Out[10]//MatrixForm=

16b_skyrius_11.gif

Relaksacija 3L sistemoje

Laikykime, kad elektrono atvirkštinės gyvavimo trukmės energijų lygmenyse a, b ir  c  yra atitinkamai Γa, Γb ir Γc.  Paimkime tokio pavidalo diagonalinę relaksacijos matricą

16b_skyrius_12.gif

Tada mūsų tankio matrica m tenkina šią lygtį

16b_skyrius_13.gif

In[11]:=

16b_skyrius_14.gif

Kai žadinimo tarp lygmenų nėra, elektronų populiacija kiekviename iš lygmenų eksponentiškai ges. Eksponenčių rodikliai bus proporcingi laiko pastoviosioms 16b_skyrius_15.gif, 16b_skyrius_16.gif ir 16b_skyrius_17.gif. Todėl laikui bėgant visi lygmenis ilgainiui ištuštės, t. y. lygmenyse visai neliks elektronų.  
Relaksacijos operatorių 16b_skyrius_18.gif nusakysime pagal Bloembergen ir Shen straipsnį [1] antikomutatoriumi

16b_skyrius_19.gif

kur paskutinis narys nusako pusiausvyrinę tankio matricą.  Konkretus pusiausvyrinės tankio matricos 16b_skyrius_20.gif pavidalas priklauso nuo nagrinėjamos 3L sistemos. Kai aplinkos temperatūra artima nuliui, matricoje 16b_skyrius_21.gif  nelygus nuliui bus vienintelis diagonalinis elementas. Būtent žemiausios energijos lygmens, į kurį ir sukrenta elektronai, metricinis elementas:

16b_skyrius_22.gif = 16b_skyrius_23.gif.

Apskaičiuojame relaksacijos matricos antikomutatorių

In[12]:=

16b_skyrius_24.gif

Out[12]//MatrixForm=

16b_skyrius_25.gif

Iš rezultato matyti, kad relaksacijos matrica priklauso nuo elementų 16b_skyrius_26.gif.

◆ Išjungus žadinančius lazerius, tankio matricos evoliuciją nusako lygtis

16b_skyrius_27.gif

kur  hamiltonianas H, esant išjungtam lazeriui, yra diagonalus

In[13]:=

16b_skyrius_28.gif

Kai relaksacijos nėra, tankio matricos elementai laikui bėgant osciliuoja.
Energijos atskaitos pradžia paimsime lygmenį  εa, ir įvesime energijų skirtumus Δb ir Δc

In[14]:=

16b_skyrius_29.gif

Out[14]//MatrixForm=

16b_skyrius_30.gif

Išspręsime šią lygčių sistemą laikydami, kad tankio matrica ρ pradiniu laiko momentu yra reali. Kaip matysime, tokiu atveju visi matriciniai elementai 16b_skyrius_31.gif gęsta eksponentiškai.

Žiūrėdami į aukščiau užrašytas išraiškas užrašome devynias diferencialines lygtis elementams 16b_skyrius_32.gif (h = 1).  Daugiklį prie 16b_skyrius_33.gif, kuris turi tik narį ρ11(t→∞) = 1 čia paėmėme  lygų 0,2. Jis nusako išorinių procesų įtakojamą elektronų generacijos (atsiradimo) spartą pirmame lygmenyje. Jei vietoje 0,2 paimtume nulį, elektronų populiacija pirmame lygmenyje laikui bėgant išnyktų. Taip pat laikome, kad dėl išorinių procesų kituose lygmenyse elektronų neatsiranda, t.y. kitus  16b_skyrius_34.gif koeficientus imame lygius nuliui.

In[15]:=

16b_skyrius_35.gif

Out[15]//MatrixForm=

16b_skyrius_36.gif

Iš  jų matyti, kad diagonalinių  narių  ρ11, ρ22 ir ρ33 dinamika  nepriklauso nuo kitų lygčių. Šie nariai gęsta eksponentiškai.
Apibrėžiame pradines sąlygas

In[16]:=

16b_skyrius_37.gif

Out[16]//MatrixForm=

16b_skyrius_38.gif

Užduodame relaksacijos spartas bei energijų skirtumus ir analiziškai išsprendžiame gautą diferencialinių lygčių sistemą

In[17]:=

16b_skyrius_39.gif

In[19]:=

16b_skyrius_40.gif

Out[19]=

16b_skyrius_41.gif

Matome, kad 16b_skyrius_42.gif = 16b_skyrius_43.gif, kaip ir turi būti.  
Pavaizduojame populiacijos elementų priklausomybę nuo laiko

In[20]:=

16b_skyrius_44.gif

Out[20]=

16b_skyrius_45.gif

bei koherencijos elementų realiųjų ir menamųjų dalių priklausomybes nuo laiko

In[21]:=

16b_skyrius_46.gif

Out[21]=

16b_skyrius_47.gif

Pilnas 3L hamiltonianas

3L hamiltonianas, užrašytas besisukančios bangos artėjime, turi pavidalą

In[22]:=

16b_skyrius_48.gif

Out[22]//MatrixForm=

16b_skyrius_49.gif

Aukščiau buvome gavę tokią relaksacijos matricą

In[23]:=

16b_skyrius_50.gif

Out[23]//MatrixForm=

16b_skyrius_51.gif

Vietoje Γa, Γb ir Γc  įvesime relaksacijos spartų vektorių

In[24]:=

16b_skyrius_52.gif

Out[24]=

16b_skyrius_53.gif

ir jau gautą relaksacijos  matricą rmmr perrašysime iš naujo naudodami Γ[i] sandus

In[25]:=

16b_skyrius_54.gif

Out[25]//MatrixForm=

16b_skyrius_55.gif

Tankio matricos išvestinė pagal laiką yra lygi komutatoriui dρ/dt = (i/h) [ρ,H] -rel , (tankio matricos judėjimo lygtis).
Iš jos dešinės pusės atėmėme relaksacijos matricą rel (pusiausvyrinės matricos16b_skyrius_56.gif visai nerašome: kai reikės ją bus galima pridėti prie atitinkamo relaksacijos nario, į kurį galų gale sukrenta visi elektronai).

In[26]:=

16b_skyrius_57.gif

Diagonaliniai gautos matricos elementai nusako populiacijos kitimą atitinkamuose lygmenyse

In[27]:=

16b_skyrius_58.gif

Out[27]=

16b_skyrius_59.gif

In[28]:=

16b_skyrius_60.gif

Out[28]=

16b_skyrius_61.gif

In[29]:=

16b_skyrius_62.gif

Out[29]=

16b_skyrius_63.gif

Nediagonaliniai elementai nusako koherenciją

In[30]:=

16b_skyrius_64.gif

Out[30]=

16b_skyrius_65.gif

Out[31]=

16b_skyrius_66.gif

In[32]:=

16b_skyrius_67.gif

Out[32]=

16b_skyrius_68.gif

Out[33]=

16b_skyrius_69.gif

In[34]:=

16b_skyrius_70.gif

Out[34]=

16b_skyrius_71.gif

Out[35]=

16b_skyrius_72.gif

Nediagonaliniai elementai  (21), (31) ir (32) yra kompleksiškai junginiai elementams (12), (13) ir (23).

In[36]:=

16b_skyrius_73.gif

Out[36]=

16b_skyrius_74.gif

Out[37]=

16b_skyrius_75.gif

Out[38]=

16b_skyrius_76.gif

In[39]:=

16b_skyrius_77.gif

Out[39]=

16b_skyrius_78.gif

Out[40]=

16b_skyrius_79.gif

Out[41]=

16b_skyrius_80.gif

In[42]:=

16b_skyrius_81.gif

Out[42]=

16b_skyrius_82.gif

Out[43]=

16b_skyrius_83.gif

Out[44]=

16b_skyrius_84.gif

Pakeitimas lėtais kintamaisiais

Norėdami eliminuoti eksponentinius (osciliuojančius) daugiklius, įvesime naujus kintamuosius. Tam įvesime naują tankio matricą, kurią pažymėsime raide σ (nepainioti su σ matricomis).

In[45]:=

16b_skyrius_85.gif

Out[45]//MatrixForm=

16b_skyrius_86.gif

ir  matricinius elementus pakeisime tokiu būdu:

In[46]:=

16b_skyrius_87.gif

Out[46]//MatrixForm=

16b_skyrius_88.gif

Kairėse lygčių pusėse stovi išvestinės pagal laiką. Todėl po kintamųjų pakeitimo jos taip pat pasikeis. Nariai (1,1), (2,2) ir (3,3) išvestinių nekeičia. Kai i ≠ j,  kairiųjų pusių išvestines dρ/dt reikia pakeisti į

16b_skyrius_89.gif

Dešiniosios pusės po kintamųjų pakeitimo pavirsta į

In[47]:=

16b_skyrius_90.gif

Jei pažymėsime σ[i,j] išvestines pagal laiką σd[i,j]

In[48]:=

16b_skyrius_91.gif

Out[48]//MatrixForm=

16b_skyrius_92.gif

tada dešiniosios pusės atrodys (naujų kintamųjų išvestinės pagal laiką)

In[49]:=

16b_skyrius_93.gif

Out[49]=

16b_skyrius_94.gif

Out[50]=

16b_skyrius_95.gif

Out[51]=

16b_skyrius_96.gif

In[52]:=

16b_skyrius_97.gif

Out[52]=

16b_skyrius_98.gif

Out[53]=

16b_skyrius_99.gif

In[54]:=

16b_skyrius_100.gif

Out[54]=

16b_skyrius_101.gif

Out[55]=

16b_skyrius_102.gif

In[56]:=

16b_skyrius_103.gif

Out[56]=

16b_skyrius_104.gif

Out[57]=

16b_skyrius_105.gif

Įvesime  išderinimus

16b_skyrius_106.gif

In[58]:=

16b_skyrius_107.gif

Out[58]=

16b_skyrius_108.gif

ir  galutinę tankio matricos išraišką

In[59]:=

16b_skyrius_109.gif

Out[59]//MatrixForm=

16b_skyrius_110.gif

Tada turėsime tokias optines Blocho lygtis

In[60]:=

16b_skyrius_111.gif

Out[60]=

16b_skyrius_112.gif

Out[61]=

16b_skyrius_113.gif

In[62]:=

16b_skyrius_114.gif

Out[62]=

16b_skyrius_115.gif

Out[63]=

16b_skyrius_116.gif

In[64]:=

16b_skyrius_117.gif

Out[64]=

16b_skyrius_118.gif

Out[65]=

16b_skyrius_119.gif

In[66]:=

16b_skyrius_120.gif

Out[66]=

16b_skyrius_121.gif

Out[67]=

16b_skyrius_122.gif

Out[68]=

16b_skyrius_123.gif

Šias gautas tankio matricos judėjimo lygtys perrašome įprastiniais žymėjimais (pateikta knygoje)

16b_skyrius_124.gif

16b_skyrius_125.gif

16b_skyrius_126.gif

3L judėjimo lygtis

Jei atmesime relaksacijos narį,  t.y. paimsime 16b_skyrius_127.gif gautas  judėjimo lygtis galima užrašyti kaip hamiltoniano ir tankio matricos su tilde komutatorių,

16b_skyrius_128.gif

Hamiltoniano su tilde elementus rasime išskleidę16b_skyrius_129.gif komutatorių ir palyginę jį su aukščiau gautomis tankio matricos judėjimo lygtimis.

Tankio matrica su tilde yra

In[69]:=

16b_skyrius_130.gif

Out[69]//MatrixForm=

16b_skyrius_131.gif

Bendro pavidalo hamiltonianas (hamiltonianas su tilde)

In[70]:=

16b_skyrius_132.gif

Out[70]//MatrixForm=

16b_skyrius_133.gif

Jų komutatorius

In[71]:=

16b_skyrius_134.gif

Out[71]//MatrixForm=

16b_skyrius_135.gif

Sulyginame su anksčiau apskaičiuota σtilde matrica

In[72]:=

16b_skyrius_136.gif

Out[72]=

16b_skyrius_137.gif

ir gautas lygtis išsprendžiame

In[73]:=

16b_skyrius_138.gif

Out[73]=

16b_skyrius_139.gif

Prie sulyginimo lygčių dar pridėjome sąlygą, kad vidurinis diagonalusis hamiltoniano su tilde matricinis elementas būtų nulis (energijos atskaitos pradžios  nuo viduriniojo lygmens pasirinkimas). Taigi, gavome tokį hamiltonianą

In[74]:=

16b_skyrius_140.gif

Out[74]//MatrixForm=

16b_skyrius_141.gif

Mokslinėje literatūroje jis vadinamas trijų lygmenų hamiltonianu ir dažnai imamas kaip pradinis visos tolesnės analizės taškas. Šis hamiltoniamas duoda teisingas judėjimo lygtis, kai 16b_skyrius_142.gif. Pabaigai užrašysime ir bendrą sąryšį siejantį, diagonalius hamiltoniano elementus su lazerių išderinimais ir 16b_skyrius_143.gif(16b_skyrius_144.gif-16b_skyrius_145.gif/2.

In[75]:=

16b_skyrius_146.gif

Out[75]=

16b_skyrius_147.gif

Spektras rezonanso atveju, kai 16b_skyrius_148.gif ir nėra relaksacijos

Šias sąlygas tenkina toks 3L hamiltonianas:

In[76]:=

16b_skyrius_149.gif

Out[76]//MatrixForm=

16b_skyrius_150.gif

Jo tikrinės vertės nepriklauso nuo 16b_skyrius_151.gif ir 16b_skyrius_152.gif

In[77]:=

16b_skyrius_153.gif

Out[77]=

16b_skyrius_154.gif

Šį kartą Eigenvalues[ ] komandai išreikštai nurodėme parinktį Cubics → True, nes be jos atsakymas būtų pateiktas neišreikštai, kaip tam tikro 3 laipsnio daugianario šaknys.

Kaip matyti gauti sprendiniai priklauso tik nuo lygmenų energijų. Juos uždavę, ir paėmę Ω=1, randame tokias spektro energijas

In[78]:=

16b_skyrius_155.gif

Out[78]=

16b_skyrius_156.gif

Nedidelės kompleksinės paklaidos atsirado dėl to, kad mes naudojome išreikštinės formos sprendinius. Aišku, šias paklaidas lengva pašalinti komanda Chop[ ]. Tačiau, tokiais atvejais tikslesni rezultatai visada gaunami naudojant neišreikštinį šaknų pavidalą:

In[79]:=

16b_skyrius_157.gif

Out[79]=

16b_skyrius_158.gif

In[80]:=

16b_skyrius_159.gif

Out[80]=

16b_skyrius_160.gif

Be to, kaip matome, dabar šaknys automatiškai rikiuojamos didėjimo tvarka.

Pavaizduokime gautų sprendinių priklausomybę nuo ε1 ir ε2 kai Ω=1. Kaip matome, viso šaknys yra realios.

In[81]:=

16b_skyrius_161.gif

Out[81]=

16b_skyrius_162.gif

Relaksacija

Gautos lygtys aprašo Λ, V ir Ξ  sistemas, kuriose antrasis lygmuo  yra  bendras.
Kai  16b_skyrius_163.gif, elektronų skaičius lygmenyse laikui bėgant nesikeičia, nes sudėję pirmas tris lygtis (populiacijas) gauname, kad

16b_skyrius_164.gif

Tuo tarpu bendru atveju (kai yra relaksacija), turime

In[82]:=

16b_skyrius_165.gif

Out[82]=

16b_skyrius_166.gif

Iš kur matyti, kad bendra populiacija neišsilaiko. Ji mažėja laikui bėgant, nepriklausomai nuo to ar lazeriai yra įjungti ar išjungti. Ilgainiui, visos populicijos tampa lygios nuliui. Jei gesimo spartos nėra vienodos, tada, esant įjungtiems lazeriams, gesimas vyksta osciliuojant. Tuo atveju, kai visos relaksacijos spartos yra lygios Γ[1] = Γ[2] = Γ[3] ≡ Γ, bendra populiacija mažėja eksponentiškai 16b_skyrius_167.gif dėsniu. Jei populiaciją  y[t] = 16b_skyrius_168.gif pakeisime nariu  (y[t]-1), tada diferencialinės lygties sprendinys duos

In[83]:=

16b_skyrius_169.gif

Out[83]=

16b_skyrius_170.gif

kur y[t] = ρd[1,1]+ρd[2,2]+ρd[3,3]. Iš atsakymo matyti, kad y[0] = 1+C[1] ir y[∞] = 1, t.y. ir šiuo atveju bendras elektronų skaičius neišsilaiko, tačiau dabar sprendinys gęsta eksponentiškai.

Atvejis, kai lazeriai išjungti

Kai lazeriai yra išjungti, turime Ω1 = Ω2 = 0. Be to išderinimai δ1 = ω12-(ε1-ε2)/h  ir  δ2 = ω23-(ε2-ε3)/h virsta į δ1 = -(ε1-ε2)/h = Δε1 ir  δ2 = -(ε2-ε3)/h = Δε2. Paimsime h = 1, tada gautos lygtys supaprastėja

In[84]:=

16b_skyrius_171.gif

Out[84]=

16b_skyrius_172.gif

Out[85]=

16b_skyrius_173.gif

Out[86]=

16b_skyrius_174.gif

In[87]:=

16b_skyrius_175.gif

Out[87]=

16b_skyrius_176.gif

Out[88]=

16b_skyrius_177.gif

Out[89]=

16b_skyrius_178.gif

In[90]:=

16b_skyrius_179.gif

Out[90]=

16b_skyrius_180.gif

Out[91]=

16b_skyrius_181.gif

Out[92]=

16b_skyrius_182.gif

Iš atsakymų matyti, kad nediagonaliniai nariai duoda osciliuojančiai gęstančius sprendinius

In[93]:=

16b_skyrius_183.gif

Out[93]=

16b_skyrius_184.gif

Tuo tarpu diagonaliniai elementai gęsta eksponentiškai. Kad diagonalinis elementas artėtų prie pusiausvyrinės koncentracijos, atitinkamos lygies dešinioji pusė turi turėti pavidalą -α(y(t) - 1), o ne -α y(t), nes

In[94]:=

16b_skyrius_185.gif

Out[94]=

16b_skyrius_186.gif

2L lygtys

Iš gautos sistemos nesunku gauti dviejų lygmenų Blocho lygtys, jei paimsime Ω2 = 0 ir išmesime trečiąjį lygmenį

In[95]:=

16b_skyrius_187.gif

Out[95]//MatrixForm=

16b_skyrius_188.gif

In[96]:=

16b_skyrius_189.gif

Out[96]//MatrixForm=

16b_skyrius_190.gif

Gautas lygtis perrašome įprastu pavidalu

16b_skyrius_191.gif

Baigę uždarome branduolį

In[97]:=

16b_skyrius_192.gif

Literatūra

[1]. N. Bloembergen, Y. R. Shen. Quantum theoretical comparison of nonlinear susceptibilities in parametric media, lasers, and Raman lasers. Phys. Rev., 133(1A):A37–A49, 1964

Norėdami grįžti į tą pačią vietą, kurioje paspaudėte nuorodą į šią literatūrą, spragtelėkite meniu komandą , kurią rasite šalia teksto lygiavimui skirtų meniu komandų "Priemonių  (toolbar) juostoje".

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08