16d skyrius
3L sistemų tipai ir optinės Blocho lygtys

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

16d_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

16d_skyrius_2.gif

Paulio matricos 16d_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

16d_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

16d_skyrius_5.gif

Apibrėšime komutatoriaus komandą

In[7]:=

16d_skyrius_6.gif

In[8]:=

16d_skyrius_7.gif

Out[8]=

16d_skyrius_8.gif

In[9]:=

16d_skyrius_9.gif

Out[9]=

16d_skyrius_10.gif

Gell-Manno matricos ir 3L sistema

Sąsiuvinyje supažindinama su Gell-Manno matricų savybėmis ir demonstruojamas jų taikymas trijų lygmenų analizei. Sąsiuvinys paruoštas naudojantis F.T. Hioe [1]  rezultatais.

Gell-Manno matricos ir jų savybės

Gell-Manno matricos

Yra aštuonios Gell-Manno matricos įvestos 1961 metais. Jų rinkinys sudaro SU(3) grupės algebros elementus (generatorius), panašiai kaip Paulio matricos aprašo SU(2) algebros elementus. Bet kokį 3×3 hamiltonianą galima užrašyti Gell-Manno matricomis, kurias pačias galima suskirstyti į tris klases: A, B ir C. Gell-Manno matricas žymėsime λ[i]

In[10]:=

16d_skyrius_11.gif

Out[10]=

16d_skyrius_12.gif

Klasei A priskiriamos trys izosukinio matricos

In[11]:=

16d_skyrius_13.gif

Kaip matyti viršutiniai 2×2  blokai sutampa su Paulio matricomis, todėl šios matricos tenkina tuos pačius komutacinius sąryšius, kaip ir Paulio matricos.
Kitos keturios matricos maišo būsenas su skirtingais hiperkrūviais. Šios matricos-generatoriai priklauso klasei B.

In[14]:=

16d_skyrius_14.gif

Paskutinioji matrica yra diagonali ir nusako keistumą (priklauso klasei C)

In[18]:=

16d_skyrius_15.gif

Norėdami sukonstruoti pilną bazę šias matricas dar turime papildyti vienetine 3×3 matrica

In[19]:=

16d_skyrius_16.gif

Gell-Manno matricų savybės

◆ Gell-Manno matricos tenkina savybes:

16d_skyrius_17.gif

Patikriname

In[20]:=

16d_skyrius_18.gif

Out[20]//MatrixForm=

16d_skyrius_19.gif

In[21]:=

16d_skyrius_20.gif

Out[21]=

16d_skyrius_21.gif

◆ Gell-Mano matricos yra ermitinės:
λ = 16d_skyrius_22.gif.

Patikriname apskaičiuodami skirtumus: Y - 16d_skyrius_23.gif = 0

In[22]:=

16d_skyrius_24.gif

Out[22]=

16d_skyrius_25.gif

◆ Visų matricų kvadratai, λ[i].λ[i],  duoda diagonalines matricas

In[23]:=

16d_skyrius_26.gif

Out[23]=

16d_skyrius_27.gif

Komutatoriai

Minėtų klasių A, B, C  Gell-Manno operatoriai tenkina tokias komutacines savybes tarp skirtingų matricų klasių (lygtys simbolinės, be daugiklių)

16d_skyrius_28.gif

Kitaip tariant, Gell-Manno matricų komutatorius vėl galima išreikšti Gell-Manno matricų tiesine kombinacija

16d_skyrius_29.gif

kur proporcingumo konstantos f[ijk] (grupės struktūrinės konstantos) sudaro pilnai antisimetrinį tenzorių (t. y. nenulinis daugiklis gaunamas tik tada, kai visi indeksai [ijk] yra skirtingi; dviejų indeksų perstatymas keičia ženklą; indeksus galima cikliškai perstatyti), kurio sandai yra

16d_skyrius_30.gif

Patikriname komutatorius,  [A, A]=A

In[24]:=

16d_skyrius_31.gif

Out[24]=

16d_skyrius_32.gif

Patikriname komutatorius,  [A,B]=B

In[25]:=

16d_skyrius_33.gif

Out[25]=

16d_skyrius_34.gif

Out[26]=

16d_skyrius_35.gif

Out[27]=

16d_skyrius_36.gif

Out[28]=

16d_skyrius_37.gif

Out[29]=

16d_skyrius_38.gif

Out[30]=

16d_skyrius_39.gif

Out[31]=

16d_skyrius_40.gif

Patikriname komutatorius [B, B]=A+C

In[32]:=

16d_skyrius_41.gif

Out[32]=

16d_skyrius_42.gif

Out[33]=

16d_skyrius_43.gif

Patikriname komutatorius [B, C]=B

In[34]:=

16d_skyrius_44.gif

Out[34]=

16d_skyrius_45.gif

Out[35]=

16d_skyrius_46.gif

Bet kokios 3×3 matricos skleidimas Gell-Manno generatoriais

Sugeneruojame bendro pavidalo  3×3 matricą

In[36]:=

16d_skyrius_47.gif

Out[36]//MatrixForm=

16d_skyrius_48.gif

Ją galima išdėstyti Gell-Manno matricomis. Koeficientus prieš Gell-Manno matricas rasime iš formulės

16d_skyrius_49.gif

kuri yra ne kas kita kaip matricos hm "projekcijos" į λ[i] vertė.

In[37]:=

16d_skyrius_50.gif

Out[37]=

16d_skyrius_51.gif

Out[38]=

16d_skyrius_52.gif

Out[39]=

16d_skyrius_53.gif

Out[40]=

16d_skyrius_54.gif

Out[41]=

16d_skyrius_55.gif

Out[42]=

16d_skyrius_56.gif

Out[43]=

16d_skyrius_57.gif

Out[44]=

16d_skyrius_58.gif

◆ Patikrinsime, kad naudodami formulę

16d_skyrius_59.gif

gauname pradinę matricą. Ištikrųjų

In[45]:=

16d_skyrius_60.gif

Out[45]//MatrixForm=

16d_skyrius_61.gif

Koherentiškumo vektorius ir jo judėjimo lygtis

Koherentiškumo vektoriaus S

16d_skyrius_62.gif

dinamiką nusako aštuonios tarpusavyje priklausomos lygtys, kurias iš analogijos galima pavadinti "sukinio" precesijos lygtimis aštuonmatėje erdvėje.

16d_skyrius_63.gif

Reikalingi koeficientai randami iš Gell-Manno generatorių pagal formulę

16d_skyrius_64.gif

Kadangi i,j = 1...8, bendru atveju turime 64 koeficientus 16d_skyrius_65.gif

◆ Panagrinėsime dalinį atvejį, kai hamiltonianas turi pavidalą

16d_skyrius_66.gif

kuriame realiąją ir menamąją dalis išreikštinai užrašome tokiu pavidalu

In[46]:=

16d_skyrius_67.gif

Out[46]//MatrixForm=

16d_skyrius_68.gif

Atskirą matricos Λ  eilutę sudarytą iš  elementų Λij galime apskaičiuoti tokiu būdu

In[47]:=

16d_skyrius_69.gif

Out[47]=

16d_skyrius_70.gif

Pilną Λ matricą sudaro visos tokios eilutės

In[48]:=

16d_skyrius_71.gif

Out[48]//MatrixForm=

16d_skyrius_72.gif

Matrica yra menama, o jos koeficientus išskirsime padauginę iš -i

In[49]:=

16d_skyrius_73.gif

Out[49]//MatrixForm=

16d_skyrius_74.gif

◆  Iš kitos pusės, koherentiškumo vektoriaus sandus galima išreikšti per tankio matricos elementus ir generatorius (savotiškos projekcijos į ortus-matricas)

16d_skyrius_75.gif

In[50]:=

16d_skyrius_76.gif

Out[50]//MatrixForm=

16d_skyrius_77.gif

Taigi, vektorius S turi pavidalą

In[51]:=

16d_skyrius_78.gif

Out[51]//MatrixForm=

16d_skyrius_79.gif

Gauta išraiška sutampa su Hioe straipsnio [1] formule (2.20). Tačiau iš gautos S išraiškos naudos mažai, nes mes nežinome tankio matricos. Todėl vektoriaus S reikia ieškoti iš jo judėjimo lygties.

3L hamiltonianas

Rasime korentiškumo vektoriaus judėjimo lygtį 3L hamiltoniano, kuris buvo užrašytas 3L sistem tipai ir optinės Blocho lygtys (tankio matrica)  sąsiuvinyje, atveju.

Ten buvo parodyta, kad besisukančios bangos artinyje, nesant nuostolių, ir tinkamai pakeitus kintamuosius tankio matrica įgyja pavidalą

In[52]:=

16d_skyrius_80.gif

Galima parodyti, kad visi λ generatoriai su šiuo hamiltonianu nekomutuoja.
Išskleidę hamiltonianą generatoriais, gauname tokius koeficientus prie atitinkamų Gell-Manno matricų

In[53]:=

16d_skyrius_81.gif

Out[53]=

16d_skyrius_82.gif

Gautas rezultatas įgalina hamiltonianą užrašyti  pavidalu

16d_skyrius_83.gif

Ištikrųjų, užrašę Mathematica kalboje, pasitikriname, kad gauname pradinį Hamiltonianą

In[54]:=

16d_skyrius_84.gif

Out[54]//MatrixForm=

16d_skyrius_85.gif

Sulyginę  su anksčiau  įvesta matrica

In[55]:=

16d_skyrius_86.gif

Out[55]//MatrixForm=

16d_skyrius_87.gif

užrašome tokias pakeitimų taisykles atskiriems elementams

In[56]:=

16d_skyrius_88.gif

Out[56]=

16d_skyrius_89.gif

Įstatę į Λ matricą, apskaičiuojame jos išraišką 3L hamiltoniano atveju

In[57]:=

16d_skyrius_90.gif

Out[57]//MatrixForm=

16d_skyrius_91.gif

Kai turime tikslų rezonansą Δ1 =Δ2 = 0, ši matrica supaprastėja į

In[58]:=

16d_skyrius_92.gif

Out[58]//MatrixForm=

16d_skyrius_93.gif

Jos tikrinės energijos ir tikriniai vektoriai yra

In[59]:=

16d_skyrius_94.gif

Out[59]=

16d_skyrius_95.gif

In[60]:=

16d_skyrius_96.gif

Out[60]//MatrixForm=

16d_skyrius_97.gif

Įvesime bet kokį koherencijos vektorių sudarytą iš aštuonių sandų

In[61]:=

16d_skyrius_98.gif

ir atsižvelgsime į tai, kad  ds/dt = Λ·s . Tada turime

16d_skyrius_99.gif

Patikriname, kad tikrai koherencijos kvadratas yra invariantas (paskutinė išraiška)

In[62]:=

16d_skyrius_100.gif

Out[62]=

16d_skyrius_101.gif

Taigi, koherencijos vektoriaus ilgis |s| yra judėjimo integralas (konstanta), nors iš matricos Λtilde pavidalo matyti, kad visi koherencijos vektoriaus sandai yra vienaip ar kitaip tarpusavyje priklausomi.

Transformacija su unitarine matrica

Lengva parodyti, kad transformuojant generatorius bet kokia unitarine transformacija, jų komutaciniai sąryšiai nepasikeičia.
Gell-Manno generatorius ir kitus operatorius  transformuosime tokia unitarine matrica, kurioje Ω1 ir Ω2 žymi Rabio dažnius

In[63]:=

16d_skyrius_102.gif

Patikriname, kad matrica yra unitarinė (iš tiesų ji ortogonali, nes nėra kompleksinių dydžių)

In[64]:=

16d_skyrius_103.gif

Out[64]//MatrixForm=

16d_skyrius_104.gif

Po transformacijos hamiltonianas atrodo

In[65]:=

16d_skyrius_105.gif

Out[65]//MatrixForm=

16d_skyrius_106.gif

Šis hamiltonianas labai supaprastėja, jei paimsime Δ1 = -Δ2, t. y. dvifotonio rezonanso atvejį

In[66]:=

16d_skyrius_107.gif

Out[66]//MatrixForm=

16d_skyrius_108.gif

Sulyginę  su anksčiau  įvesta matrica

In[67]:=

16d_skyrius_109.gif

Out[67]//MatrixForm=

16d_skyrius_110.gif

gauname tokias pakeitimo taisykles

In[68]:=

16d_skyrius_111.gif

Out[68]=

16d_skyrius_112.gif

Įstatę į Λ matricą, dabar randame tokius jos koeficientus

In[69]:=

16d_skyrius_113.gif

In[71]:=

16d_skyrius_114.gif

Out[71]//MatrixForm=

16d_skyrius_115.gif

Jei su šia matrica paveiksime bet kokį koherentiškumo vektorių

In[72]:=

16d_skyrius_116.gif

Out[72]=

16d_skyrius_117.gif

rasime, kad ds/dt  yra

In[73]:=

16d_skyrius_118.gif

Out[73]//MatrixForm=

16d_skyrius_119.gif

Kadangi ds/ dt = Λ· s, iš gauto atsakymo matyti, kad tarpusavyje maišosi tik sandai (s1, s2, s3),  (s4, s5, s6, s7) ir (s8). Iš čia seka, kad Λ matricą galima suskaidyti į 3×3, 4×4 ir 1×1 blokus.  Ištikrųjų, šiuos blokus jau buvo galima įžiūrėti ir 8×8 matricoje. Paimsime kiekvieną iš blokų atskirai ir padalinsime iš i

In[74]:=

16d_skyrius_120.gif

Out[74]//MatrixForm=

16d_skyrius_121.gif

In[75]:=

16d_skyrius_122.gif

Out[75]//MatrixForm=

16d_skyrius_123.gif

In[76]:=

16d_skyrius_124.gif

Out[76]//MatrixForm=

16d_skyrius_125.gif

Parodysime, kad šios blokinės matricos duoda judėjimo integralus. Tam apskaičiuojame bet kokio vektoriaus kvadrato išvestinę.

16d_skyrius_126.gif

In[77]:=

16d_skyrius_127.gif

Out[78]=

16d_skyrius_128.gif

In[79]:=

16d_skyrius_129.gif

Out[80]=

16d_skyrius_130.gif

Kadangi Λ1x1 = 0, vektoriaus modulis visada lygus nuliui.

Išvada. Kiekvienas iš išskirtų blokų duoda savą judėjimo invariantą - |{s1,s2,s3}| =const1,   |{s4,s5,s6.s7}| = const2, |s8|  = const3. Bendras koherentiškumo ilgis taip pat yra invariantas - |{s1,s2,s3,s4,s5,s6.s7,s8}|  = const.

Invariantai

Unitarinės matricos U pagalba transformuosime generatorius grupėse A, B ir C. Transformuotos matricos {A1, A2, A3}, {B1, B2, B3, B4} ir {C1} įgyja pavidalą:

In[81]:=

16d_skyrius_131.gif

Out[82]=

16d_skyrius_132.gif

In[83]:=

16d_skyrius_133.gif

Out[84]=

16d_skyrius_134.gif

In[85]:=

16d_skyrius_135.gif

Out[86]=

16d_skyrius_136.gif

Komutatoriai tarp atskirų grupių matricų, kaip žinome iš anksčiau, tenkina savybes

16d_skyrius_137.gif

In[87]:=

16d_skyrius_138.gif

Out[87]=

16d_skyrius_139.gif

In[88]:=

16d_skyrius_140.gif

Out[88]=

16d_skyrius_141.gif

◆ Įvedame naujas matricas sudarytas iš atitinkamų grupių elementų kvadratų

In[89]:=

16d_skyrius_142.gif

Out[89]//MatrixForm=

16d_skyrius_143.gif

In[90]:=

16d_skyrius_144.gif

Out[90]//MatrixForm=

16d_skyrius_145.gif

In[91]:=

16d_skyrius_146.gif

Out[91]//MatrixForm=

16d_skyrius_147.gif

Parodysime, kad hamiltonianas

In[92]:=

16d_skyrius_148.gif

Out[92]//MatrixForm=

16d_skyrius_149.gif

komutuoja  su operatoriais A, B, C11, jei Δ1 = -Δ2.  Tuo tikslu apskaičiuojame komutatorius

In[93]:=

16d_skyrius_150.gif

Out[93]//MatrixForm=

16d_skyrius_151.gif

In[94]:=

16d_skyrius_152.gif

Out[94]//MatrixForm=

16d_skyrius_153.gif

In[95]:=

16d_skyrius_154.gif

Out[95]//MatrixForm=

16d_skyrius_155.gif

Tai reiškia, kad kai Δ1 = -Δ2, generatorių  grupės  {A1, A2, A3}, {B1, B2, B3, B4} ir {C1}  turi atitinkamus invariantus.

Galima pasielgti ir priešingai: generatorius palikti senus, tačiau tranformuoti patį hamiltonianą. Tokiu atveju turėsime

In[96]:=

16d_skyrius_156.gif

Out[96]=

16d_skyrius_157.gif

In[97]:=

16d_skyrius_158.gif

Out[97]=

16d_skyrius_159.gif

o komutatoriai duos

In[98]:=

16d_skyrius_160.gif

Out[98]//MatrixForm=

16d_skyrius_161.gif

In[99]:=

16d_skyrius_162.gif

Out[99]//MatrixForm=

16d_skyrius_163.gif

In[100]:=

16d_skyrius_164.gif

Out[100]//MatrixForm=

16d_skyrius_165.gif

Išskleidę transformuotą  hamiltonianą generatoriais, gauname tokius koeficientus prie atitinkamų Gell-Manno matricų (imame Δ1 = -Δ2 = Δ)

In[101]:=

16d_skyrius_166.gif

Out[101]=

16d_skyrius_167.gif

Aišku,tuos pačius koeficientus gauname paėmę naujus generatorius ir seną hamiltonianą

In[102]:=

16d_skyrius_168.gif

Out[102]=

16d_skyrius_169.gif

Netransformuotų generatorių atveju Htilde koeficientai buvo

In[103]:=

16d_skyrius_170.gif

Out[103]=

16d_skyrius_171.gif

Baigiant uždarome branduolį

In[104]:=

16d_skyrius_172.gif

Literatūra

[1]. F. T. Hioe. Dynamic symmetries in quantum electronics. Phys. Rev. A, 28(2):879–886, 1983.

Norėdami grįžti į tą pačią vietą, kurioje paspaudėte nuorodą į šią literatūrą, spragtelėkite meniu komandą , kurią rasite šalia teksto lygiavimui skirtų meniu komandų "Priemonių  (toolbar) juostoje".

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08