17a skyrius
Koherentininis populiacijos įkalinimas

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

17a_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

17a_skyrius_2.gif

Paulio matricos 17a_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

17a_skyrius_4.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[6]:=

17a_skyrius_5.gif

In[7]:=

17a_skyrius_6.gif

Out[7]=

17a_skyrius_7.gif

In[8]:=

17a_skyrius_8.gif

Out[8]=

17a_skyrius_9.gif

Koherentinė gaudyklė

3L hamiltonianas

Nagrinėsime trijų lygmenų Schrödingerio lygtį,  tuo atveju kai žadinimas yra harmoninis

17a_skyrius_10.gif

kur 17a_skyrius_11.gif yra 3L hamiltonianas ir V(t) nusako harmoninį žadinimą.
Kai V(t) = 0, turime pliką atomą. Tokio hamiltoniano sprendiniai yra

17a_skyrius_12.gif

kur ket vektorius |j> žymi pliko atomo tikrines būsenas, o 17a_skyrius_13.gif = 17a_skyrius_14.gif| j> – tikrines energijas.

Išreiškę sprendinį  (pilną banginę funkciją) pliko atomo banginių funkcijų superpozicija su nežinomais koeficientais

17a_skyrius_15.gif

ir įstatę į Schrodingerio lygtį bei atsižvelgę, kad  |2>  yra bendra būsena, gausime trijų lygčių sistemą koeficientams 17a_skyrius_16.gif(t)

17a_skyrius_17.gif

Čia 17a_skyrius_18.gif yra perturbacijos matricinis elementas ir 17a_skyrius_19.gif. Diferencialinė lygtis užrašyta bazėje | 1>, |2>, |3>, todėl nariai 17a_skyrius_20.gif duoda populiaciją pliko atomo  j-ame energijos lygmenyje.

Kai lazerio elektrinis laukas F(t) keičiasi harmoniškai ir jį galima išskaidyti dviejų narių, h17a_skyrius_21.gif (artimo  17a_skyrius_22.gif)  bei   h17a_skyrius_23.gif ( artimo  17a_skyrius_24.gif), suma

17a_skyrius_25.gif

matricinis elementas <j|V|i> įgyja pavidalą

17a_skyrius_26.gif

Jį išvedant pasinaudojome tuo, kad  įnašą duoda tik lėtai kintanti dalis (besisukančios bangos artinys), ir atmetėme greitai osciliuojančius narius.
Tada judėjimo lygtis koeficientams įgyja pavidalą

17a_skyrius_27.gif

Analiziniai sprendiniai

Gautą diferencialinių lygčių sistemą spręsime esant dvifotoniam rezonansui: Δ21 = –Δ32  = Δ23 = Δ. Taip pat manysime, kad abiejų lazerių intesyvumai yra vienodi, Ω12 = Ω23 ≡ Ω, ir Ω  yra realus dydis. Tada judėjimo lygtys kiek supaprastėja

17a_skyrius_28.gif

Išskleidę matricinį pavidalą turime tris diferencialines lygtis

17a_skyrius_29.gif

Jas spręsime, įvedę naujus kintamuosius

17a_skyrius_30.gif

Išsprendę 17a_skyrius_31.gif

17a_skyrius_32.gif

ir įstatę į išskleistas diferencialines lygtis, gauname

17a_skyrius_33.gif

Užrašome diferencialines lygtis naujais kintamaisiais Mathematica kalba

In[9]:=

17a_skyrius_34.gif

Out[9]=

17a_skyrius_35.gif

Jų bendrasis analizinis sprendinys yra

In[10]:=

17a_skyrius_36.gif

Out[10]//MatrixForm=

17a_skyrius_37.gif

Įvedame naujus pažymėjimus

In[11]:=

17a_skyrius_38.gif

Jais užrašyti sprendiniai atrodo kompaktiškiau

In[13]:=

17a_skyrius_39.gif

Out[13]//MatrixForm=

17a_skyrius_40.gif

◆ Paėmus Δ = 0, sprendiniai virsta

In[14]:=

17a_skyrius_41.gif

Out[14]=

17a_skyrius_42.gif

Tada {a1(t), a2(t), a3(t)} įgyja pavidalą

In[15]:=

17a_skyrius_43.gif

Out[15]//MatrixForm=

17a_skyrius_44.gif

iš kurio matyti, kad a2(t) = 0 visais laiko momentais, jei pradines sąlygas paimsime C[1]=C[2]=0 ir C[3] = 17a_skyrius_45.gif.

◆ Kai Δ≠ 0, Iš gautų atsakymų randame a1(t) ≡ α1, a2(t) ≡ α2  ir a(3) ≡ α3

In[16]:=

17a_skyrius_46.gif

Out[16]=

17a_skyrius_47.gif

Out[17]=

17a_skyrius_48.gif

Out[18]=

17a_skyrius_49.gif

Gautas lygtys išsprendę koeficientų C[1], C[2] ir C[3] atžvilgiu turime

In[19]:=

17a_skyrius_50.gif

Out[19]//MatrixForm=

17a_skyrius_51.gif

Laiko momentu t=0 jie virsta

In[20]:=

17a_skyrius_52.gif

Out[20]//MatrixForm=

17a_skyrius_53.gif

Įstatę šias išriaškas į α1(t), α2(t) ir α3(t) ir pažymėję αi(t) momentu t=0, t.y. identifikatoriais a10, a20 a30, gauname tokias α1, α2, α3 išraiškas

In[21]:=

17a_skyrius_54.gif

Out[21]=

17a_skyrius_55.gif

Analizinių sprendinių atskiri atvejai

Išnagrinėsime keletą atskirų atvejų.

◆ 1) Momentu t=0 užpildytas tik pirmasis lygmuo: a2 = a3 = 0, a1 = 1

In[22]:=

17a_skyrius_56.gif

Out[22]=

17a_skyrius_57.gif

Out[23]=

17a_skyrius_58.gif

Įstatę koeficientus atgal į a1, a2 ir a3, turime tokias 17a_skyrius_59.gif priklausomybes nuo laiko

In[24]:=

17a_skyrius_60.gif

Out[24]=

17a_skyrius_61.gif

Out[25]=

17a_skyrius_62.gif

Out[26]=

17a_skyrius_63.gif

Vadinasi atskirų populiacijų priklausomybė nuo laiko yra

In[27]:=

17a_skyrius_64.gif

Out[27]=

17a_skyrius_65.gif

Out[28]=

17a_skyrius_66.gif

In[29]:=

17a_skyrius_67.gif

Out[29]=

17a_skyrius_68.gif

Out[30]=

17a_skyrius_69.gif

In[31]:=

17a_skyrius_70.gif

Out[31]=

17a_skyrius_71.gif

Out[32]=

17a_skyrius_72.gif

In[33]:=

17a_skyrius_73.gif

Out[33]=

17a_skyrius_74.gif

Patikriname, kad pilna visų trijų lygmenų populiacija bet kuriuo laiko momentu lygi vienetui

In[34]:=

17a_skyrius_75.gif

Out[34]=

17a_skyrius_76.gif

Suteikiame parametrams skaitines vertes ir pavaizduojame atskirų populiacijų evoliuciją

In[35]:=

17a_skyrius_77.gif

Out[35]=

17a_skyrius_78.gif

◆ 2) Momentu t=0 užpildytas tik antrasis lygmuo: a1 = a3 = 0, a2 = 1. Skaičiuojame panašiai.

In[36]:=

17a_skyrius_79.gif

Out[36]=

17a_skyrius_80.gif

Out[37]=

17a_skyrius_81.gif

In[38]:=

17a_skyrius_82.gif

Out[38]=

17a_skyrius_83.gif

Out[39]=

17a_skyrius_84.gif

Out[40]=

17a_skyrius_85.gif

Atskirų populiacijų priklausomybė nuo laiko yra

In[41]:=

17a_skyrius_86.gif

Out[41]=

17a_skyrius_87.gif

Out[42]=

17a_skyrius_88.gif

In[43]:=

17a_skyrius_89.gif

Out[43]=

17a_skyrius_90.gif

Out[44]=

17a_skyrius_91.gif

In[45]:=

17a_skyrius_92.gif

Out[45]=

17a_skyrius_93.gif

Out[46]=

17a_skyrius_94.gif

Pilna populiacija bet kurio laiko momentu lygi vienetui

In[47]:=

17a_skyrius_95.gif

Out[47]=

17a_skyrius_96.gif

Suteikiame parametrams skaitines vertes ir pavaizduojame atskirų populiacijų evoliuciją

In[48]:=

17a_skyrius_97.gif

Out[48]=

17a_skyrius_98.gif

◆ 3) Momentu t = 0 užpildytas pirmasis ir trečiasis lygmuo: a2 =  0, a1 = a3 = 17a_skyrius_99.gif.

In[49]:=

17a_skyrius_100.gif

Out[49]=

17a_skyrius_101.gif

Out[50]=

17a_skyrius_102.gif

In[51]:=

17a_skyrius_103.gif

Out[51]=

17a_skyrius_104.gif

Out[52]=

17a_skyrius_105.gif

Out[53]=

17a_skyrius_106.gif

Atskirų populiacijų priklausomybė nuo laiko yra

In[54]:=

17a_skyrius_107.gif

Out[54]=

17a_skyrius_108.gif

Out[55]=

17a_skyrius_109.gif

In[56]:=

17a_skyrius_110.gif

Out[56]=

17a_skyrius_111.gif

Out[57]=

17a_skyrius_112.gif

In[58]:=

17a_skyrius_113.gif

Out[58]=

17a_skyrius_114.gif

Out[59]=

17a_skyrius_115.gif

Pilna populiacija bet kurio laiko momentu lygi vienetui

In[60]:=

17a_skyrius_116.gif

Out[60]=

17a_skyrius_117.gif

Suteikiame parametrams skaitines vertes ir pavaizduojame atskirų populiacijų evoliuciją

In[61]:=

17a_skyrius_118.gif

Out[61]=

17a_skyrius_119.gif

◆ 4) Momentu t = 0 užpildytas pirmasis ir trečiasis lygmenys: a2 =  0, a1 = –a3 = 17a_skyrius_120.gif, tačiau vienos iš amplitudžių ženklas pakeistas priešingu

In[62]:=

17a_skyrius_121.gif

Out[62]=

17a_skyrius_122.gif

In[63]:=

17a_skyrius_123.gif

Out[63]=

17a_skyrius_124.gif

Out[64]=

17a_skyrius_125.gif

Out[65]=

17a_skyrius_126.gif

Matome, kad dabar koeficientai nuo laiko nepriklauso ir vieno iš lygmenų populiacija lygi nuliui. Taigi, šiuo atveju turime įkalintą būseną.  

Analizinių sprendinių atskiri atvejai apskaičiuoti kitaip. Šis poskyris kartoja ankstesnius apskaičiavimus, todėl jį rekomenduojama praleisti.

Galime iš karto apskaičiuoti mus dominančias lygmenų populiacijas p1, p2 ir p3

In[66]:=

17a_skyrius_127.gif

Out[66]=

17a_skyrius_128.gif

In[67]:=

17a_skyrius_129.gif

Out[67]=

17a_skyrius_130.gif

In[68]:=

17a_skyrius_131.gif

Out[68]=

17a_skyrius_132.gif

◆ 1) Momentu t = 0 užpildytas tik pirmasis lygmuo, tada koeficientai C[i] gali turėti tik tokias kombinacijas

In[69]:=

17a_skyrius_133.gif

Out[69]=

17a_skyrius_134.gif

Paėmę antrą kombinaciją, gauname

In[70]:=

17a_skyrius_135.gif

Out[70]//MatrixForm=

17a_skyrius_136.gif

Jei imtume skirtingus šaknų ženklus, tai pirma ir trečia populiacijos sutaptų. Tai matyti iš skirtumo

In[71]:=

17a_skyrius_137.gif

Out[71]=

17a_skyrius_138.gif

◆ 2) Momentu t = 0 užpildytas tik antrasis lygmuo, tada galimos koeficientų kombinacijos yra

In[72]:=

17a_skyrius_139.gif

Out[72]=

17a_skyrius_140.gif

Pirma kombinacija duoda  nuo laiko priklausančias populiacijas

In[73]:=

17a_skyrius_141.gif

Out[73]//MatrixForm=

17a_skyrius_142.gif

Jei imtume skirtingus šaknų ženklus, tai pirma ir trečia populiacijos sutaptų. Tai matyti iš skirtumo

In[74]:=

17a_skyrius_143.gif

Out[74]=

17a_skyrius_144.gif

◆ 3) Momentu t = 0 užpildytas tik pirmasis ir trečiasis lygmenys  (įkalintos būsenos).
Kai  išderinimas Δ = 0, gauname tokias koeficientų kombinacijas

In[75]:=

17a_skyrius_145.gif

Out[75]//MatrixForm=

17a_skyrius_146.gif

Kai Δ ≠ 0, komanda Solve[ ] automatiškai neišsprendžia lygčių sistemos, todėl jai reikia truputį "padėti". Ji sugebės išspręsti šią sistemą, jei mes pateiksime jau apskaičiuotą Gröbner bazę. Tai realizuojama tokiu būdu:

In[76]:=

17a_skyrius_147.gif

Out[76]=

17a_skyrius_148.gif

Įstačius pirmąjį arba antrąjį sprendinį į populiacijų išraiškas gauname, kad populiacijos nuo laiko nepriklauso, t.y. turime įkalintas būsenas (population trapping )

In[77]:=

17a_skyrius_149.gif

Out[77]=

17a_skyrius_150.gif

Koeficientai (a1, a2, a3) šiuo atveju turi tokias reikšmes

In[78]:=

17a_skyrius_151.gif

Out[78]=

17a_skyrius_152.gif

Paėmus kitus sprendinius stebime populiacijų dinamiką, tačiau matome, kad trečiasis lygmuo visais laiko momentais lieka neužpildytas.

Išvada.  Populiacijos įkalinimą lygmenyse 1 ir 3  gauname tada, kai koeficientai a1 ir a3 turi priešingus ženklus. Jei koeficientai turi tą patį ženklą įkalinimo nestebime.

Skaitiniai sprendiniai

Užrašome anksčiau gautas diferencialinės lygtys

In[79]:=

17a_skyrius_153.gif

Out[79]//MatrixForm=

17a_skyrius_154.gif

Koherentinis populiacijos įkalinimas (coherent population trapping)

Nagrinėsime dvifotonį rezonansinį atvejį,  kai 17a_skyrius_155.gif, o Rabio dažniai yra realūs.
Norėdami stebėti populiacijos įkalinimą, pradiniu laiko momentu tarpinę populiaciją turime imti lygią nuliui, o pradinę ir galinę būsenas vienodas, bet su priešingais ženklais. Parametrams suteikiame vertes, bei apibrėžiame pradines sąlygas

In[80]:=

17a_skyrius_156.gif

Skaitiškai sprendžiame diferencialinių lygčių sistemą ir sprendinį pavaizduojame grafiškai

In[83]:=

17a_skyrius_157.gif

In[84]:=

17a_skyrius_158.gif

Out[84]=

17a_skyrius_159.gif

Populiacija atskiruose lygmenyse  ir suminė populiacija, pavyzdžiui, laiko momentu t = 4 yra

In[85]:=

17a_skyrius_160.gif

Out[85]=

17a_skyrius_161.gif

Out[86]=

17a_skyrius_162.gif

Koherentinis populiacijos įkalinimas, kai 17a_skyrius_163.gif

Parametrams suteikiame vertes, bei apibrėžiame pradines aąlygas

In[87]:=

17a_skyrius_164.gif

Skaitiškai sprendžiame diferencialinių lygčių sistemą ir sprendinį pavaizduojame

In[90]:=

17a_skyrius_165.gif

In[91]:=

17a_skyrius_166.gif

Out[91]=

17a_skyrius_167.gif

Pradiniu momentu elektronai pirmame lygmenyje

Nagrinėsime dvifotonį rezonansinį atvejį,  kai 17a_skyrius_168.gif, o Rabio dažniai yra realūs.
Parametrams suteikiame vertes, bei apibrėžiame pradines aąlygas

In[92]:=

17a_skyrius_169.gif

Skaitiškai sprendžiame diferencialinių lygčių sistemą ir sprendinį pavaizduojame

In[95]:=

17a_skyrius_170.gif

In[96]:=

17a_skyrius_171.gif

Out[96]=

17a_skyrius_172.gif

Pradiniu momentu elektronai pirmame ir trečiame  lygmenyje

Nagrinėsime dvifotonį rezonansinį atvejį,  kai 17a_skyrius_173.gif, o Rabio dažniai yra realūs.
Parametrams suteikiame vertes, bei apibrėžiame pradines aąlygas

In[97]:=

17a_skyrius_174.gif

Skaitiškai sprendžiame diferencialinių lygčių sistemą ir sprendinį pavaizduojame

In[100]:=

17a_skyrius_175.gif

In[101]:=

17a_skyrius_176.gif

Out[101]=

17a_skyrius_177.gif

Baigę uždarome branduolį

In[102]:=

17a_skyrius_178.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08