17b skyrius
Koherentininis populiacijos įkalinimas

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

17b_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

17b_skyrius_2.gif

Paulio matricos 17b_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

17b_skyrius_4.gif

Įvesime keitimo taisykles 17b_skyrius_5.gif ir  17b_skyrius_6.gif

In[6]:=

17b_skyrius_7.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[7]:=

17b_skyrius_8.gif

In[8]:=

17b_skyrius_9.gif

Out[8]=

17b_skyrius_10.gif

In[9]:=

17b_skyrius_11.gif

Out[9]=

17b_skyrius_12.gif

Koherentinė gaudyklė su relaksacija

Šiame sąsiuvinyje pakartosime 17a_skyrius.html  atliktus apskaičiavimus Λ sistemai ir atsižvelgsime į relaksaciją iš viršutinio lygmens

Analiziniai sprendiniai

Anksčiau gautą diferencialinių lygčių sistemą spręsime dvifotonio rezonanso atvejui, kai Δ21 =  –Δ32  = Δ23 = Δ. Taip pat manysime, kad abiejų lazerių intesyvumai yra vienodi: Ω12 = Ω23 = Ω, ir Ω  yra realus. Tada judėjimo lygtys yra

17b_skyrius_13.gif

kurias perrašome

17b_skyrius_14.gif

Nagrinėsime Λ sistemą. Bet to leisime elektronams relaksuoti iš pačio viršutinio lygmens. Tuo tikslu įvesime šį procesą aprašantį relaksacijos narį 17b_skyrius_15.gif. Spręsime tikslaus rezonanso atveju, kai Δ = 0. Tada sprendžiama lygčių sistema bus

17b_skyrius_16.gif

Skaitiniai sprendiniai

Gautos Λ-sistemos diferencialines lygtis spręsime panašiai kaip tai darėme ankstesniame 17a_skyrius.html sąsiuvinyje, tik dabar dar įskaitysime ir  gęsimo narį –i γ0 a2[t] antrame (didžiausios energijos) lygmenyje

In[10]:=

17b_skyrius_17.gif

Out[10]//MatrixForm=

17b_skyrius_18.gif

Koherentinis populiacijos įkalinimas

Nagrinėsime dvifotonį rezonansinį atveją,  kai 17b_skyrius_19.gif, ir Rabio dažniai yra realūs. Parametrams suteikiame vertes, bei apibrėžiame pradines sąlygas

In[11]:=

17b_skyrius_20.gif

Skaitiškai sprendžiame diferencialinių lygčių sistemą ir sprendinį pavaizduojame

In[14]:=

17b_skyrius_21.gif

In[15]:=

17b_skyrius_22.gif

Out[15]=

17b_skyrius_23.gif

Populiacijos atskiruose lygmenyse ir suminė populiacija laiko momentu t = 20

In[16]:=

17b_skyrius_24.gif

Out[16]=

17b_skyrius_25.gif

Out[17]=

17b_skyrius_26.gif

Koherentinis populiacijos įkalinimas esant išderinimui

Parametrams suteikiame vertes, bei apibrėžiame pradines sąlygas

In[18]:=

17b_skyrius_27.gif

Skaitiškai sprendžiame diferencialinių lygčių sistemą ir sprendinį pavaizduojame

In[21]:=

17b_skyrius_28.gif

In[22]:=

17b_skyrius_29.gif

Out[22]=

17b_skyrius_30.gif

Populiacijos atskiruose lygmenyse ir suminė populiacija laiko momentu t = 20

In[23]:=

17b_skyrius_31.gif

Out[23]=

17b_skyrius_32.gif

Out[24]=

17b_skyrius_33.gif

Pradiniu momentu elektronai pirmame lygmenyje

Nagrinėsime dvifotonį rezonansinį atvejį,  kai 17b_skyrius_34.gif, ir Rabio dažniai realūs. Parametrams suteikiame vertes, bei apibrėžiame pradines sąlygas

In[25]:=

17b_skyrius_35.gif

Skaitiškai sprendžiame diferencialinių lygčių sistemą ir sprendinį pavaizduojame

In[28]:=

17b_skyrius_36.gif

In[29]:=

17b_skyrius_37.gif

Out[29]=

17b_skyrius_38.gif

Populiacijos atskiruose lygmenyse ir suminė populiacija laiko momentu t = 20

In[30]:=

17b_skyrius_39.gif

Out[30]=

17b_skyrius_40.gif

Out[31]=

17b_skyrius_41.gif

Pradiniu momentu elektronai pirmame ir trečiame  lygmenyje

Nagrinėsime dvifotonį rezonansinį atvejį,  kai 17b_skyrius_42.gif, ir Rabio dažniai realūs. Parametrams suteikiame vertes, bei apibrėžiame pradines sąlygas

In[32]:=

17b_skyrius_43.gif

Skaitiškai sprendžiame diferencialinių lygčių sistemą ir sprendinį pavaizduojame

In[35]:=

17b_skyrius_44.gif

In[36]:=

17b_skyrius_45.gif

Out[36]=

17b_skyrius_46.gif

Populiacijos atskiruose lygmenyse ir suminė populiacija laiko momentu t = 20

In[37]:=

17b_skyrius_47.gif

Out[37]=

17b_skyrius_48.gif

Out[38]=

17b_skyrius_49.gif

Analiziniai sprendiniai

Nagrinėsime atvejį, kai Ω12 = Ω23 ≡ Ω ir Δ12 = Δ23 ≡ Δ=0. Tada turime tokias diferencialines  lygtis, kuriose atsižvelgta į relaksaciją:

17b_skyrius_50.gif

Rasime šių diferencialinių lygčių sprendinius, esant įvairioms pradinėms sąlygoms

Koherentinis įkalinimas, a1 = -a3 = 17b_skyrius_51.gif, a2 = 0

Analizinis užrašytos sistemos sprendinys, tenkinantis aukščiau užrašytas pradines sąlygas yra

In[39]:=

17b_skyrius_52.gif

Out[39]//MatrixForm=

17b_skyrius_53.gif

Kaip matome, net ir atsižvelgę į baigtinę gyvavimo trukmę viršutiniame Λ-sistemos  lygmenyje, galime stebėti įkalinimą pirmame ir trečiame lygmenyse.

Įvedę kintamuosius r(t) = a1(t) – a3(t) ir s(t) = a1(t) + a3(t), perrašome diferencialines lygtis tokiu būdu

17b_skyrius_54.gif

Uždavus pradines sąlygas  a2(0) = 0, r[0] = 1, s(t) = 0, jas tenkina tik trivialus sprendinys:

In[40]:=

17b_skyrius_55.gif

Out[40]=

17b_skyrius_56.gif

Tai reiškia, kad  bet visais laiko momementais turime įkalinimą, nes iš kintamųjų r(t) ir s(t) apibrėžimo
a1(t) = [s(t)+r(t)]/2 =1/2,
a2(t) = [s(t)-r(t)]/2 =-1/2,

ir trivialaus sprendinio išplaukia, kad  r(t) = 1.

"Koherentinis įkalinimas", kai a1 = a3 = 17b_skyrius_57.gif, a2 = 0

Sistemos sprendinys, tenkinantis šias pradines sąlygas yra

In[41]:=

17b_skyrius_58.gif

Out[41]//MatrixForm=

17b_skyrius_59.gif

Iš atsakymo matome, kad kai a1 ir a3 ženklai tie patys, visi nariai gęsta eksponentiškai su laiko pastoviąja  τ = 2h/γ0.

In[42]:=

17b_skyrius_60.gif

Out[42]=

17b_skyrius_61.gif

Out[43]=

17b_skyrius_62.gif

Out[44]=

17b_skyrius_63.gif

Jei γ0 = 0 sprendiniai osciliuoja

In[45]:=

17b_skyrius_64.gif

Out[45]=

17b_skyrius_65.gif

Out[46]=

17b_skyrius_66.gif

Out[47]=

17b_skyrius_67.gif

a1 = 1, a2 = a3 = 0

Šios pradinės sąlygos reiškia, kad t=0 momentu elektronas yra pirmame lygmenyje. Sprendžiame diferencialinių lygčių sistemą esant nurodytoms pradinėms sąlygoms

In[48]:=

17b_skyrius_68.gif

Out[48]//MatrixForm=

17b_skyrius_69.gif

Riboje t→∞ turime tokias koeficientų vertes a1→1/2, a3→–1/2 ir a2→0. Ištikrųjų

In[49]:=

17b_skyrius_70.gif

Out[49]=

17b_skyrius_71.gif

In[50]:=

17b_skyrius_72.gif

Out[50]=

17b_skyrius_73.gif

In[51]:=

17b_skyrius_74.gif

Out[51]=

17b_skyrius_75.gif

Iš čia išplaukia, kad riboje t→∞ lieka įkalinta tik pusė elektronų pirmame ir trečiame lygmenyse. Bendra populiacija riboje t→∞ yra 17b_skyrius_76.gif = 1/2.

Kai γ0 = 0, atsakymai yra gerai žinomi

In[52]:=

17b_skyrius_77.gif

Out[52]=

17b_skyrius_78.gif

In[53]:=

17b_skyrius_79.gif

Out[53]=

17b_skyrius_80.gif

In[54]:=

17b_skyrius_81.gif

Out[54]=

17b_skyrius_82.gif

o jų suminė populiacija lygi vienetui

In[55]:=

17b_skyrius_83.gif

Out[55]=

17b_skyrius_84.gif

Įvedę pažymėjimą sq = 17b_skyrius_85.gif

In[56]:=

17b_skyrius_86.gif

a1[t], a2[t] ir a3[t] galime užrašyti kompaktiškiau

In[57]:=

17b_skyrius_87.gif

Out[57]=

17b_skyrius_88.gif

In[58]:=

17b_skyrius_89.gif

Out[58]=

17b_skyrius_90.gif

In[59]:=

17b_skyrius_91.gif

Out[59]=

17b_skyrius_92.gif

a1 = 0, a2 = a3 =1

Šios pradinės sąlygos reiškia, kad t=0 momentu užpildytas tik trečiasis lygmuo. Sprendžiame diferencialinių lygčių sistemą esant nurodytoms pradinėms sąlygoms

In[60]:=

17b_skyrius_93.gif

Out[60]//MatrixForm=

17b_skyrius_94.gif

Riboje t→∞ gauname, kad a1 = -1/2,  a2 = 0, a3 = 1/2,

In[61]:=

17b_skyrius_95.gif

Out[61]=

17b_skyrius_96.gif

In[62]:=

17b_skyrius_97.gif

Out[62]=

17b_skyrius_98.gif

In[63]:=

17b_skyrius_99.gif

Out[63]=

17b_skyrius_100.gif

Iš čia išplaukia, kad riboje t→∞ lieka įkalinta tik pusė elektronų pirmame ir trečiame lygmenyse. Bendra populiacija riboje t→∞ yra 17b_skyrius_101.gif = 1/2.

Kai γ0 = 0, atsakymai vėl virsta gerai žinomais

In[64]:=

17b_skyrius_102.gif

Out[64]=

17b_skyrius_103.gif

In[65]:=

17b_skyrius_104.gif

Out[65]=

17b_skyrius_105.gif

In[66]:=

17b_skyrius_106.gif

Out[66]=

17b_skyrius_107.gif

In[67]:=

17b_skyrius_108.gif

Out[67]=

17b_skyrius_109.gif

Baigę uždarome branduolį

In[68]:=

17b_skyrius_110.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08