17c skyrius
Koherentininis populiacijos įkalinimas

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

17c_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

17c_skyrius_2.gif

Paulio matricos 17c_skyrius_3.gif atvaizde

In[3]:=

17c_skyrius_4.gif

Įvesime keitimo taisykles 17c_skyrius_5.gif ir  17c_skyrius_6.gif

In[6]:=

17c_skyrius_7.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[7]:=

17c_skyrius_8.gif

In[8]:=

17c_skyrius_9.gif

Out[8]=

17c_skyrius_10.gif

In[9]:=

17c_skyrius_11.gif

Out[9]=

17c_skyrius_12.gif

Aprengti atomai ir jų būsenos

Įkalinta būsena:  paprastas pavyzdys

Nagrinėkime 3L sistemą, kurios pirmasis ir trečiasis lygmenys nesukabinti, o  antrasis lygmuo yra bendras. 3L sistemos hamiltonianas tada turi tokį pavidalą

In[10]:=

17c_skyrius_13.gif

Kai lazeriai išjungti, t. y. kai  V21 = V23 = 0, pažymėkime pliko atomo (bare atom), tikrines funkcijas raide c.

In[11]:=

17c_skyrius_14.gif

Transformuokime plikas būsenas  į naujas tokia unitarine matrica

In[12]:=

17c_skyrius_15.gif

Out[13]//MatrixForm=

17c_skyrius_16.gif

Tada naujoje bazėje banginės funkcijos bus

In[14]:=

17c_skyrius_17.gif

Out[15]//MatrixForm=

17c_skyrius_18.gif

Iš čia matome, kad naujos banginės funkcijos n1 ir n2, jei neatsižvelgsime į bendrą fazę, yra pliko atomo pirmosios ir trečiosios būsenų suma arba skirtumas.
Dabar  į naują bazę {n1, n2, n3} transformuokime patį hamiltonianą

In[16]:=

17c_skyrius_19.gif

Out[16]//MatrixForm=

17c_skyrius_20.gif

Nagrinėkime atvejį, kai pirmasis ir trečiasis lygmenys yra išsigimę, E1 = E3 = Eg. Pavyzdžiui, jei 1-3 ir 2-3 šuoliai atitinka apskritiminę kairinę ir dešininę poliarizacijas, šie šuoliai nesusimaišys. Kadangi V12 = V21* ir V23 = V32*, vieno iš sąveikos matricinių elementų fazę, pavyzdžiui V12, galima paimti tokią, kad  V12 taptų realus dydis. Todėl galime rašyti V12 = V21 = V. Dabar įsivaizduokime, kad antrojo lazerio intensyvumą parinkome tokį, kad V12 = V23. Šuolio 2-3  matricinį elementą taip pat laikykime realiu dydžiu. Tokiu atveju transformuotas hamiltonianas virsta į

In[17]:=

17c_skyrius_21.gif

Out[17]//MatrixForm=

17c_skyrius_22.gif

Matome, naujoje bazėje  trečias lygmuo n3 atsiskyrė nuo kitų dviejų. Jam atitinka pliko atomo būsenų superpozicija 17c_skyrius_23.gif. Taigi, ši būsena atitinka įkalintą būseną. Jei paimtume priešingą V23 matricinio elemento ženklą, gautume

In[18]:=

17c_skyrius_24.gif

Out[18]//MatrixForm=

17c_skyrius_25.gif

Dabar įkalintą būseną atitinka superpozicija 17c_skyrius_26.gif.

◆ Grižkime prie pradinio netransformuoto hamiltoniano

In[19]:=

17c_skyrius_27.gif

Out[19]//MatrixForm=

17c_skyrius_28.gif

Nagrinėkime Λ sistemą. Energijos atskaitą pradėkime nuo dvigubai išsigimusio lygmens: E1 = E3 = 0. Imkime tokį lazerių intensyvumą, kad atsirastų įkalinimas, t. y. |V12| = |V23|. Tada hamiltonianas atrodys

In[20]:=

17c_skyrius_29.gif

Out[20]//MatrixForm=

17c_skyrius_30.gif

kur Vcc  simboliu pažymėjome 17c_skyrius_31.gif (kompleksiškai jungtinį dydį). Jei įkalintą būseną imsime

In[21]:=

17c_skyrius_32.gif

Out[21]//MatrixForm=

17c_skyrius_33.gif

pavidalo, tada į ją paveikę hamiltonianu, gausime nulinį vektorių:

In[22]:=

17c_skyrius_34.gif

Out[22]//MatrixForm=

17c_skyrius_35.gif

Įkalintą būseną galima apibendrinti, ją paėmus tokio pavidalo

In[23]:=

17c_skyrius_36.gif

Out[23]//MatrixForm=

17c_skyrius_37.gif

ir naudojant bendresnio pavidalo hamiltonianą

In[24]:=

17c_skyrius_38.gif

Tada vėl gauname

In[25]:=

17c_skyrius_39.gif

Out[25]//MatrixForm=

17c_skyrius_40.gif

Λ hamiltonianą, kurio du apatiniai lygmenys išsigimę, galima užrašyti pavidalu

17c_skyrius_41.gif

kur V yra sąveikos hamiltonianas.  Įkalintos būsenos ψ tenkina lygtis

17c_skyrius_42.gif

Šios  savybės yra naudingos konstruojant įkalintas būsenas. Apibrėžus sąveikos operatorių, iš sąlygos V ψ = 0 tada galima sukonstruoti įkalintas būsenas.  Tačiau reikia nepamiršti, kad įkalintos būsenos buvo gautos esant išsigimusiems energijos lygmenims, kai E1 = E2.

Elektromagnetiniu lauku aprengtos būsenos

16b_skyrius.html sąsiuvinyje parodėme, kad trijų lygmenų hamiltonianą besisukančios bangos artinyje galima užrašyti tokiu pavidalu

In[26]:=

17c_skyrius_43.gif

Dvifotonio rezonanso atveju, kai  Δ1 =–Δ2 ≡ Δ gauname, kad Htilde pereina į

In[27]:=

17c_skyrius_44.gif

Out[27]//MatrixForm=

17c_skyrius_45.gif

Šio hamiltoniano tikrinės vertės yra

In[28]:=

17c_skyrius_46.gif

Out[28]=

17c_skyrius_47.gif

o hamiltonianą diagonalizuoja tokia unitarinė matrica  [Fleischhauer et al., RMP, 77, 633 (2005)]

In[29]:=

17c_skyrius_48.gif

kur

17c_skyrius_49.gif

Pirmiausiai patikrinam, kad užrašyta matrica tikrai yra unitarinė

In[30]:=

17c_skyrius_50.gif

Out[30]//MatrixForm=

17c_skyrius_51.gif

Įvedame kintamųjų pakeitimą per kampus

In[31]:=

17c_skyrius_52.gif

ir su šia unitarine matrica diagonalizuojame hamiltonianą

In[32]:=

17c_skyrius_53.gif

Out[32]//MatrixForm=

17c_skyrius_54.gif

Į senus kintamuosius grįžtame tokiais kintamųjų  pakeitimais

In[33]:=

17c_skyrius_55.gif

Hdress suprastiname.

In[34]:=

17c_skyrius_56.gif

Out[34]//MatrixForm=

17c_skyrius_57.gif

Gauti diagonaliniai matricos elementai sutampa su anksčiau gautomis tikrinėmis hamiltoniano vertėmis

In[35]:=

17c_skyrius_58.gif

Out[35]=

17c_skyrius_59.gif

Diagonalizuotas hamiltonianas rodo, kad turime vieną lygmenį (įkalintą), kuris nepriklauso nuo lazerių intensyvumo, ir simetrišką dubletą, kurio suskilimo energija yra

In[36]:=

17c_skyrius_60.gif

Out[36]=

17c_skyrius_61.gif

◆ Nuo kampų θ ir φ priklausanti unitarinė matrica leidžia gauti aprengtus bazinius vektorius.
Pliko atomo bazę imkime

In[37]:=

17c_skyrius_62.gif

Jei Ω1 yra zonduojančio lazerio Rabio dažnis ir Ω2 yra valdančio (žadinančio) lazerio Rabio dažnis, ir yra tenkinama nelygybė  Ω1 << Ω2,
tada θ =0. Iš čia seka, kad  aprengto atomo energijos, tiksliau, energijos elektromagnetiniu lauku aprengtoje bazėje,  bus

In[38]:=

17c_skyrius_63.gif

Out[38]//MatrixForm=

17c_skyrius_64.gif

Aprengto atomo bazė išreikšta per pliko atomo bazę {b1, b2, b3} (ją gauname plikąją bazę veikdami unitarine matrica) atrodo taip:

In[39]:=

17c_skyrius_65.gif

Out[39]//MatrixForm=

17c_skyrius_66.gif

arba

In[40]:=

17c_skyrius_67.gif

Čia taip pat įvedėme pažymėjimus 17c_skyrius_68.gif, 17c_skyrius_69.gif, ir 17c_skyrius_70.gif.  Elektromagnetiniu lauku aprengto atomo bazė yra ortonormuota. Patikriname

In[43]:=

17c_skyrius_71.gif

Out[43]=

17c_skyrius_72.gif

Out[44]=

17c_skyrius_73.gif

Out[45]=

17c_skyrius_74.gif

Tikrinė būsena aM atitinka elementą (1,1)

In[46]:=

17c_skyrius_75.gif

Out[46]=

17c_skyrius_76.gif

Tikrinė būsena aP atitinka  elementą (3,3)

In[47]:=

17c_skyrius_77.gif

Out[47]=

17c_skyrius_78.gif

◆ Perėjimas iš vienos bazės į kitą bazę realizuojamas unitarine matrica. Veikdami iš kairės gauname vektrorius |a_ >,  |a0 >,  |a+ >

In[48]:=

17c_skyrius_79.gif

Out[48]//MatrixForm=

17c_skyrius_80.gif

◆ Veikdami transponuota matrica (mūsų matrica U yra reali) gauname |1>, |2>, |3>

In[49]:=

17c_skyrius_81.gif

Out[49]//MatrixForm=

17c_skyrius_82.gif

Aprengto atomo savybės

Pasinaudoję anksčiau įvestais kampais

17c_skyrius_83.gif

įvesime kintamųjų pakeitimus

In[50]:=

17c_skyrius_84.gif

Buvome gavę, kad [Atomas + Lazeriai] hamiltonianas besisukančioje koordinačių sistemoje ir išreikštas per pliko atomo bazę turi pavidalą

In[51]:=

17c_skyrius_85.gif

Out[51]//MatrixForm=

17c_skyrius_86.gif

Tada aprengtų būsenų energijos yra

In[52]:=

17c_skyrius_87.gif

Out[52]//MatrixForm=

17c_skyrius_88.gif

Nediagonaliniai hamiltoniano elementai lygūs nuliui

In[53]:=

17c_skyrius_89.gif

Out[53]=

17c_skyrius_90.gif

Taigi, aprengtoje bazėje hamiltonianas yra diagonalinis

In[54]:=

17c_skyrius_91.gif

Out[54]//MatrixForm=

17c_skyrius_92.gif

Šio hamiltoniano aprengta bazė yra {{1,0,0}, {0,1,0}, {0,0,1}}, o jos matriciniai elementai užrašyti tvarka {a–, a0,  a+}. Ta pati bazė išreikšta per pliko atomo bazę yra

In[55]:=

17c_skyrius_93.gif

Out[55]//MatrixForm=

17c_skyrius_94.gif

Kai išderinimas Δ = 0 (arba φ = π/4),  tada aprengtų būsenų energijos yra

In[56]:=

17c_skyrius_95.gif

Out[56]=

17c_skyrius_96.gif

Out[57]=

17c_skyrius_97.gif

Out[58]=

17c_skyrius_98.gif

o aprengtos bazinės funkcijos virsta į

In[59]:=

17c_skyrius_99.gif

Out[59]//MatrixForm=

17c_skyrius_100.gif

Taigi, aprengto atomo bazėje gavome tik vieną mažiausios energijos (t. y. pagrindinį) lygmenį ir du sužadintus simetriškus lygmenis (kai išderinimo nėra). Aprengto atomo bazinės funkcijos (išreikštos per pliko atomo bazę) tada turi pavidalą

In[60]:=

17c_skyrius_101.gif

Out[60]//MatrixForm=

17c_skyrius_102.gif

iš kurio matyti, kad  rezonanso metu (δ = 0), turime teigiamą 17c_skyrius_103.gif   ir neigiamą  17c_skyrius_104.gif atominių funkcijų superpozicijas. Į jas galima žiūrėti kaip į konstruktyvią ir destruktyvią superpozicijas.

Pabaigai patikrinsime ar banginės funkcijos aP, a0 ir aM, kurios yra užrašytos atominėje bazėje, duoda tas pačias energijas.

In[61]:=

17c_skyrius_105.gif

Out[61]=

17c_skyrius_106.gif

Out[62]=

17c_skyrius_107.gif

Out[63]=

17c_skyrius_108.gif

Kai Δ = 0, jos  atitinka  energijas  17c_skyrius_109.gif,  0 ir –17c_skyrius_110.gif. Tokiu pat būdu  apskaičiavę nediagonalinius elementus,  gauname  nulius

In[64]:=

17c_skyrius_111.gif

Out[64]=

17c_skyrius_112.gif

Out[65]=

17c_skyrius_113.gif

Out[66]=

17c_skyrius_114.gif

Tankio matrica

Aprengtos būsenos sudaro ortonormuotą sistemą

In[67]:=

17c_skyrius_115.gif

Out[67]=

17c_skyrius_116.gif

In[68]:=

17c_skyrius_117.gif

Out[68]=

17c_skyrius_118.gif

Pasinaudoję aprengta baze, sukonstruosime tankio matricas, kai elektronas yra vienoje iš bazinių būsenų

◆V-sistema, pirmas lygmuo.
Paimkime tankio matricą, kai elektronas yra pirmoje aprengtos bazės būsenoje

In[69]:=

17c_skyrius_119.gif

Tada tankio matrica pliko atomo bazėje bus

In[70]:=

17c_skyrius_120.gif

Out[70]//MatrixForm=

17c_skyrius_121.gif

Kai žadinančio lazerio intesyvumas mažas ir turime rezonansą, gauta tankio matrica supaprastėja

In[71]:=

17c_skyrius_122.gif

Out[71]//MatrixForm=

17c_skyrius_123.gif

Kai abiejų lazerių intesyvumai vienodi ir turime rezonansą, gauta tankio matrica virsta

In[72]:=

17c_skyrius_124.gif

Out[72]//MatrixForm=

17c_skyrius_125.gif

◆ Λ ir Ξ sistemos, antras lygmuo.
Jei elektronas yra antroje aprengtoje būsenoje, sistemos tankio matrica turi pavidalą

In[73]:=

17c_skyrius_126.gif

Atlikę unitarinę transformaciją gauname

In[74]:=

17c_skyrius_127.gif

Out[74]//MatrixForm=

17c_skyrius_128.gif

Matome, kad užpildytas pirmasis ir trečiasis lygmuo, o užpildymas priklauso nuo lazerių intensyvumų santykio.
Tuo atveju, kai žadinančio lazerio intesyvumas yra mažas ir turime rezonansą, gauta tankio matrica virsta į

In[75]:=

17c_skyrius_129.gif

Out[75]//MatrixForm=

17c_skyrius_130.gif

Kai abiejų lazerių  intesyvumai vienodi ir turime rezonansą gauname

In[76]:=

17c_skyrius_131.gif

Out[76]//MatrixForm=

17c_skyrius_132.gif

Šioje būsenoje, kai abiejų lazerių  intesyvumai vienodi , tačiau rezonanso sąlyga nėra tenkiname, gauta tankio matrica nepasikeičia

In[77]:=

17c_skyrius_133.gif

Out[77]//MatrixForm=

17c_skyrius_134.gif

◆ V-sistema, trečias lygmuo.
Kai elektronas yra trečioje aprengtoje būsenoje, sistemos tankio matrica yra

In[78]:=

17c_skyrius_135.gif

Tada tankio matrica pliko atomo bazėje bus

In[79]:=

17c_skyrius_136.gif

Out[79]//MatrixForm=

17c_skyrius_137.gif

Kai žadinančio lazerio intesyvumas yra mažas ir turime rezonansą, tankio matrica virsta į

In[80]:=

17c_skyrius_138.gif

Out[80]//MatrixForm=

17c_skyrius_139.gif

Kai abiejų lazerių  intesyvumai vienodi ir turime rezonansą, ji taip pat supaprastėja

In[81]:=

17c_skyrius_140.gif

Out[81]//MatrixForm=

17c_skyrius_141.gif

Priminimas: Aprengtos banginės funkcijos (rezonanso atvejis), kai zonduojantis lazeris silpnas turi pavidalą

In[82]:=

17c_skyrius_142.gif

Out[82]=

17c_skyrius_143.gif

Out[83]=

17c_skyrius_144.gif

Out[84]=

17c_skyrius_145.gif

Aprengtos banginės funkcijos (rezonanso atvejis), kai abiejų lazerių Rabio dažniai vienodi yra

In[85]:=

17c_skyrius_146.gif

Out[85]=

17c_skyrius_147.gif

Out[86]=

17c_skyrius_148.gif

Out[87]=

17c_skyrius_149.gif

Vidutines energijas aprengtose būsenose nesunku apskaičiuoti pritaikius pėdsako operatorių (komanda Tr[ ])  pliko atomo bazėje

In[88]:=

17c_skyrius_150.gif

Out[88]=

17c_skyrius_151.gif

Out[89]=

17c_skyrius_152.gif

Out[90]=

17c_skyrius_153.gif

Unitarinė transformacija

Nuo kampų priklausančius unitarinės matricos

In[91]:=

17c_skyrius_154.gif

Out[91]//MatrixForm=

17c_skyrius_155.gif

argumentus užrašykime per  Rabio dažnius ir išderinimus

In[92]:=

17c_skyrius_156.gif

Out[92]//MatrixForm=

17c_skyrius_157.gif

Kai išderinimas lygus nuliui, Δ = 0, unitarinė matrica supaprastėja

In[93]:=

17c_skyrius_158.gif

Out[93]//MatrixForm=

17c_skyrius_159.gif

arba kampų argumentais

In[94]:=

17c_skyrius_160.gif

Out[94]//MatrixForm=

17c_skyrius_161.gif

Šią matricą galima užrašyti kaip dviejų matricų U1 (unitarinė) ir U2 sandaugą

In[95]:=

17c_skyrius_162.gif

Out[96]//MatrixForm=

17c_skyrius_163.gif

In[97]:=

17c_skyrius_164.gif

Out[97]//MatrixForm=

17c_skyrius_165.gif

Tikrai, sudauginę ir sulyginę  gauname

In[98]:=

17c_skyrius_166.gif

Out[98]=

17c_skyrius_167.gif

Taip yra todėl, kad nesant išderinimo (φ = π/4),  matricą U1 galima gauti iš kampinės matricos

In[99]:=

17c_skyrius_168.gif

Out[99]//MatrixForm=

17c_skyrius_169.gif

In[100]:=

17c_skyrius_170.gif

Out[100]//MatrixForm=

17c_skyrius_171.gif

Tada U2 matricą legvai randame padauginę pradinę matricą iš dešinės iš U1

In[101]:=

17c_skyrius_172.gif

Out[101]//MatrixForm=

17c_skyrius_173.gif

Matriciniai elementai aprengtame atvaizdavime

Panagrinėkime atvejį, kai zonduojantis laukas yra silpnas, t. y. kai tenkinama sąlyga Ω12 ≪ Ω23. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad  įjungus zonduojantį lazerį kurio dažnis artimas 1-2 šuoliui, 3L sistema turėtų osciliuoti dažniu ω12. Tačiau, esant lygmenų įkalinimui, taip nėra. Tai galima matyti iš aprengto hamiltoniano, kuriame energijų skirtumai tarp aprengtų lygmenų visai kitokie. Kad būtų galima sužinoti kokiu dažniu sistema "skambės"  staiga įjungus zonduojantį lazerį, pasinaudosime atominiu hamiltonianu, kuriame zonduojantį lazerį traktuosime kaip perturbaciją. Deja, kaip rodo žemiau (Papildomas skyrius) atlikti apskaičiavimai toks kelias nieko gero neduoda: pasirodo, visų eilių matriciniai elementai yra lygūs nuliui

Papildomas skyrius

Naudosime  hamiltonianą

In[102]:=

17c_skyrius_174.gif

Out[102]//MatrixForm=

17c_skyrius_175.gif

Jį suskaidome į dvį dalis,  nulinį hamiltonianą H0 ir perturbaciją H1

In[103]:=

17c_skyrius_176.gif

Out[103]//MatrixForm=

17c_skyrius_177.gif

In[104]:=

17c_skyrius_178.gif

Out[104]//MatrixForm=

17c_skyrius_179.gif

Panašiai į dvį dalis suskaidome ir bazę {a–, a0, a+}

In[105]:=

17c_skyrius_180.gif

Out[105]//MatrixForm=

17c_skyrius_181.gif

Tuo tikslu pirmiausia ją perrašome kitais žymėjimais

In[106]:=

17c_skyrius_182.gif

Out[106]//MatrixForm=

17c_skyrius_183.gif

Tada nuliniai baziniai vektoriai bus

In[107]:=

17c_skyrius_184.gif

Out[107]//MatrixForm=

17c_skyrius_185.gif

Perturbacinę dalį rasime išskleidę bazę eilute atžvilgiu Ω1 ir palikę tik pirmuosius laipsnius

In[108]:=

17c_skyrius_186.gif

Ši bazės {a+, a0, a-} dalis tada atrodo taip

In[109]:=

17c_skyrius_187.gif

Out[109]//MatrixForm=

17c_skyrius_188.gif

Rasime pavidalo <base0|H1|base0>, <base0|H0|base1> ir  <base1|H0|base0> matricinius elementus. Jie proporcingi Ω1 ir yra  atsakingi už perturbaciją.

Apskaičiuojame <base0|H1|base0>

In[110]:=

17c_skyrius_189.gif

Out[110]=

17c_skyrius_190.gif

In[111]:=

17c_skyrius_191.gif

Out[111]=

17c_skyrius_192.gif

In[112]:=

17c_skyrius_193.gif

Out[112]=

17c_skyrius_194.gif

Taigi, gauname, kad matriciniai elementai  <base0|H1|base0> yra

In[113]:=

17c_skyrius_195.gif

Out[113]//MatrixForm=

17c_skyrius_196.gif

Out[114]//MatrixForm=

17c_skyrius_197.gif

Panašiai apskaičiuojame <base0|H0|base1>  elementus

In[115]:=

17c_skyrius_198.gif

Out[115]//MatrixForm=

17c_skyrius_199.gif

In[116]:=

17c_skyrius_200.gif

Out[116]//MatrixForm=

17c_skyrius_201.gif

ir <base1|H0|base0>  elementus

In[117]:=

17c_skyrius_202.gif

Out[117]//MatrixForm=

17c_skyrius_203.gif

Out[118]//MatrixForm=

17c_skyrius_204.gif

Susumuojame visus matricinius elementus ir (stebuklingai)  gauname nulinę matricą

In[119]:=

17c_skyrius_205.gif

Out[119]//MatrixForm=

17c_skyrius_206.gif

Palyginame narius, kurių suma duoda nulį

In[120]:=

17c_skyrius_207.gif

Out[120]=

17c_skyrius_208.gif

Taip atsitiko todėl, kad nelygūs nuliui yra tik diagonaliniai matriciniai elementai, todėl skleidimas laipsniais pagal Ω1 nedavė jokių nediagonalinių elementų. Tai pamatysime, jei matricinius elementus skaičiuosime tiksliai, kaip parodyta žemiau.

Tikslūs  matriciniai elementai

Hamiltonianas pliko atomo bazėje

In[121]:=

17c_skyrius_209.gif

Out[121]//MatrixForm=

17c_skyrius_210.gif

Aprengtos būsenos pliko atomo bazėje

In[122]:=

17c_skyrius_211.gif

Out[122]//MatrixForm=

17c_skyrius_212.gif

Matriciniai elementai ir jų laipsninė eilutė pagal Ω1 iki 17c_skyrius_213.gif

In[123]:=

17c_skyrius_214.gif

Out[123]//MatrixForm=

17c_skyrius_215.gif

Kai zonduojantis lazeris yra išjungtas turime

In[124]:=

17c_skyrius_216.gif

Out[124]//MatrixForm=

17c_skyrius_217.gif

Matome, kad perturbacija pagal Ω1 laipsnius  įeina  tik į diagonalinius elementus, pavyzdžiui, kvadratinės pataisos  17c_skyrius_218.gif yra

In[125]:=

17c_skyrius_219.gif

Out[125]//MatrixForm=

17c_skyrius_220.gif

Schrödingerio lygties sprendinys aprengtoje bazėje įjungus zonduojantį lazerį

Lazerio dažnį Ω1, kuris žadina 1→2 šuolius laikysime perturbacija. Paėmę Ω1 = 0, turime tokį  neperturbuotą hamiltonianą

In[126]:=

17c_skyrius_221.gif

Out[126]//MatrixForm=

17c_skyrius_222.gif

Unitarinė matrica, kai Ω1=0, kuri diagonalizuoja šį hamiltonianą yra

In[127]:=

17c_skyrius_223.gif

Out[127]//MatrixForm=

17c_skyrius_224.gif

Diagonalizavus nulinis hamiltonianas tampa

In[128]:=

17c_skyrius_225.gif

Out[128]//MatrixForm=

17c_skyrius_226.gif

Perturbacijos hamiltonianas yra

In[129]:=

17c_skyrius_227.gif

Out[129]//MatrixForm=

17c_skyrius_228.gif

Tai reiškia, kad perturbacija Ω1 žadina 1-2 šuolį visais atvejais. Perturbacijos hamiltonianą pervedame į naują bazę, kurioje nulinis hamiltonias H0 yra diagonalus

In[130]:=

17c_skyrius_229.gif

Out[130]//MatrixForm=

17c_skyrius_230.gif

Nagrinėsime atvejį, kai išderinimas  lygus nuliui,  Δ = 0. Šiuo atveju nulinis hamiltonianas H0 ir perturbacijos hamiltonianas atitinkamai yra

In[131]:=

17c_skyrius_231.gif

Out[131]//MatrixForm=

17c_skyrius_232.gif

In[132]:=

17c_skyrius_233.gif

Out[132]//MatrixForm=

17c_skyrius_234.gif

Iš šių abiejų hamiltonianų sudarome tokią Schrödingerio lygčių sistemą

17c_skyrius_235.gif

Šias tiesines lygtys užrašome Mathematica kalba

In[133]:=

17c_skyrius_236.gif

Jų sistemos sprendinys yra gana sudėtingas

In[136]:=

17c_skyrius_237.gif

Out[136]=

17c_skyrius_238.gif

Supaprastinsim išraišką įvesdami žymėjimus

In[137]:=

17c_skyrius_239.gif

In[138]:=

17c_skyrius_240.gif

Gauname

In[139]:=

17c_skyrius_241.gif

Out[139]=

17c_skyrius_242.gif

Laiko momentu t=0 šie sprendiniai, kaip ir turi būti sutampa su laisvosiomis diferencialinių lygčių konstantomis

In[140]:=

17c_skyrius_243.gif

Out[140]=

17c_skyrius_244.gif

Atskirieji atvejai

Aprengto atomo bazė {|a– >, |a0 >, |a+ >} išreikšta per pliko atomo bazę {|1>, |2>, |3>}, kai išderinimas Δ = 0, duoda tokius koeficicientus

In[141]:=

17c_skyrius_245.gif

Out[141]//MatrixForm=

17c_skyrius_246.gif

Taigi, galime rašyti

17c_skyrius_247.gif

Norėdami rasti atvirkščio perėjimo koeficientus, turime išspręsti tiesinių lygčių sistemą

In[142]:=

17c_skyrius_248.gif

Out[142]=

17c_skyrius_249.gif

Iš gauto rezultato išplaukia

17c_skyrius_250.gif

Kai momentu t = 0  elektronas yra žemiausiame  |1> energijos lygmenyje, aprengtoje bazėje prie bazinių vektorių turime koeficientus {0,1,0}.
Kai momentu t = 0 elektronas yra  |2> energijos lygmenyje, aprengtoje bazėje tai atitinka koeficientai { 17c_skyrius_251.gif}
Kai momentu t = 0 elektronas yra  |3> energijos lygmenyje, šią būseną atitinka aprengtos bazės banginės funkcijos superpozicijos koeficientai { 17c_skyrius_252.gif}.

◆ 1) Momentu t= 0 atomas yra būsenoje |a+ >, tada koeficientai C[1]= 1, C[2] = 0, C[3]  = 0

In[143]:=

17c_skyrius_253.gif

Out[143]//MatrixForm=

17c_skyrius_254.gif

Out[144]=

17c_skyrius_255.gif

Išskleidus eilute ir palikus narius proporcingus Ω1, turime

In[145]:=

17c_skyrius_256.gif

Out[145]//MatrixForm=

17c_skyrius_257.gif

In[146]:=

17c_skyrius_258.gif

Out[146]=

17c_skyrius_259.gif

Amplitudžių modulio dinamiką pavaizduojame

In[147]:=

17c_skyrius_260.gif

Out[147]=

17c_skyrius_261.gif

◆ 2) Momentu t= 0 atomas yra būsenoje |a0> arba |1>,  tada koeficientai yra C[1]= 0, C[2] = 1, C[3]  = 0

In[148]:=

17c_skyrius_262.gif

Out[148]//MatrixForm=

17c_skyrius_263.gif

Out[149]=

17c_skyrius_264.gif

Išskleidę eilute ir palikę narius proporcingus Ω1, turime

In[150]:=

17c_skyrius_265.gif

Out[150]//MatrixForm=

17c_skyrius_266.gif

Amplitudžių modulio dinamiką pavaizduojame

In[151]:=

17c_skyrius_267.gif

Out[151]=

17c_skyrius_268.gif

◆ 3) Momentu t= 0 atomas yra būsenoje |a– >, tada koeficientai yra C[1]= 0, C[2] = 0, C[3]  = 1

In[152]:=

17c_skyrius_269.gif

Out[152]//MatrixForm=

17c_skyrius_270.gif

Out[153]=

17c_skyrius_271.gif

Išskleidę eilute ir palikę narius proporcingus Ω1, gauname

In[154]:=

17c_skyrius_272.gif

Out[154]//MatrixForm=

17c_skyrius_273.gif

Amplitudžių modulio dinamiką pavaizduojame

In[155]:=

17c_skyrius_274.gif

Out[155]=

17c_skyrius_275.gif

◆ 4) Momentu t= 0 atomas buvo būsenoje  |2> , tada koeficientai yra C[1]= 17c_skyrius_276.gif, C[2] = 0, C[3]  = 17c_skyrius_277.gif

In[156]:=

17c_skyrius_278.gif

Out[156]//MatrixForm=

17c_skyrius_279.gif

Out[157]=

17c_skyrius_280.gif

Išskleidę eilute ir palikę narius proporcingus Ω1, randame

In[158]:=

17c_skyrius_281.gif

Out[158]//MatrixForm=

17c_skyrius_282.gif

Amplitudžių modulio dinamiką pavaizduojame

In[159]:=

17c_skyrius_283.gif

Out[159]=

17c_skyrius_284.gif

◆ 5) Momentu t= 0 atomas yra būsenoje |3> , tada koeficientai yra C[1]= -17c_skyrius_285.gif, C[2] = 0, C[3]  = 17c_skyrius_286.gif

In[160]:=

17c_skyrius_287.gif

Out[160]//MatrixForm=

17c_skyrius_288.gif

Out[161]=

17c_skyrius_289.gif

Išskleidę eilute ir palikę narius proporcingus Ω1, randame

In[162]:=

17c_skyrius_290.gif

Out[162]//MatrixForm=

17c_skyrius_291.gif

Amplitudžių modulio dinamiką pavaizduojame

In[163]:=

17c_skyrius_292.gif

Out[163]=

17c_skyrius_293.gif

Tikslus sprendinys, kai elektronas  momentu t=0  yra pliko atomo b0senoje  |1>

Radome, kad energijos aprengtoje būsenoje yra

In[164]:=

17c_skyrius_294.gif

Out[164]//MatrixForm=

17c_skyrius_295.gif

Bazinių vektorių rikiavimo tvarka yra {a–, a0, a+}. Veiksmų pasitikrinimui unitarine transformacija grižtame atgal į pradinį hamiltonianą užrašytą plikoje 3Latomo bazėje

In[165]:=

17c_skyrius_296.gif

Out[165]//MatrixForm=

17c_skyrius_297.gif

Buvome radę, kad tikriniai aprengto atomo būsenų vektoriai yra

In[166]:=

17c_skyrius_298.gif

Out[166]=

17c_skyrius_299.gif

kur {b1,b2,b3} žymi amplitudes pliko atomo bazėje.

Pliko atomo bazę, t.y.  bazinius  vektorius { |1>, |2>, |3>} išreiškiame per aprengto atomo bazę { |a->,  |a0>,  |a+>}

In[167]:=

17c_skyrius_300.gif

Out[167]=

17c_skyrius_301.gif

Out[168]=

17c_skyrius_302.gif

Out[169]=

17c_skyrius_303.gif

Paimkime banginę funkciją aprengtoje bazėje. Kadangi šioje bazėje hamiltonianas yra diagonalinis

In[170]:=

17c_skyrius_304.gif

Out[170]//MatrixForm=

17c_skyrius_305.gif

galime užrašyti laikinę priklausomybę su tikrinėmis energijomis {ω_, ω0, ω+}, kurias gausime paprasčiausiai pastūmę energijos atskaitos pradžią per Δ

In[171]:=

17c_skyrius_306.gif

Out[171]//MatrixForm=

17c_skyrius_307.gif

In[172]:=

17c_skyrius_308.gif

Out[172]=

17c_skyrius_309.gif

Bet kokią banginę funkciją aprengtoje bazėje galime užrašyti kaip bazinių vektorių, padaugintų iš atitinkamų koeficientų, sumą. Sugeneruojame koeficientus

In[173]:=

17c_skyrius_310.gif

Out[173]=

17c_skyrius_311.gif

Tada bet kokia laisvai paimta banginė funkcija atrodys

In[174]:=

17c_skyrius_312.gif

Out[174]//MatrixForm=

17c_skyrius_313.gif

kur energijas eksponentėje apibrėžia hamiltonianas Htilde2F. Šią banginę funkciją  transformuojame į pliko atomo bazę

In[175]:=

17c_skyrius_314.gif

Out[175]//MatrixForm=

17c_skyrius_315.gif

Dabar plikoje bazėje apskaičiuojame koeficientus α[i], uždavę kokią nors būseną. Pavyzdžiui, jei laiko momentu t = 0 elektronas yra pirmame pliko atomo energijos lygmenyje, tada prilyginame nuliui antrąjį ir trečiąjį sandus

In[176]:=

17c_skyrius_316.gif

Out[176]=

17c_skyrius_317.gif

Out[177]=

17c_skyrius_318.gif

Gautą lygčių sistemą išspendžiame dviejų kokių nors koeficientų atžvilgiu (trečiąjį koeficientą visada rasime iš normavimo sąlygos)

In[178]:=

17c_skyrius_319.gif

Out[178]=

17c_skyrius_320.gif

Iš normavimo sąlygos apskaičiuojame koeficientą α[2]

In[179]:=

17c_skyrius_321.gif

Out[179]=

17c_skyrius_322.gif

Paimsime narį su teigiamu ženklu (antrasis sprendinys). Taigi, kai atomas momentu t = 0 buvo  |1> būsenoje, reikalingi koeficientai yra šie

In[180]:=

17c_skyrius_323.gif

Out[180]=

17c_skyrius_324.gif

Patikriname normavimą

In[181]:=

17c_skyrius_325.gif

Out[181]=

17c_skyrius_326.gif

Patikriname, kad  wfBare pereina į būseną |1> momentu t = 0

In[182]:=

17c_skyrius_327.gif

Out[182]//MatrixForm=

17c_skyrius_328.gif

Įstatome  į wfBare tikrines energijų vertes, koeficientų α[i] reikšmes bei kampus {θ,  φ} ir suprastiname. Galutinis visų šių apskaičiavimų rezultatas yra banginės funkcijos evoliucija, kai momentu  t = 0 elektronas buvo |1>  lygmenyje

In[183]:=

17c_skyrius_329.gif

Out[183]//MatrixForm=

17c_skyrius_330.gif

Tas pats rezultatas gali būti užrašytas per kampus

In[184]:=

17c_skyrius_331.gif

Out[184]//MatrixForm=

17c_skyrius_332.gif

Kai išderinimas lygus nuliui, gauname

In[185]:=

17c_skyrius_333.gif

Out[185]//MatrixForm=

17c_skyrius_334.gif

Out[186]//MatrixForm=

17c_skyrius_335.gif

Suteikime parametrams skaitines vertes ir  pažiūrėkime kaip laikui bėgant keičiasi banginės funkcijos amplitudės modulis (Δ  = 0.05)

In[187]:=

17c_skyrius_336.gif

In[188]:=

17c_skyrius_337.gif

Out[188]//MatrixForm=

17c_skyrius_338.gif

Out[189]=

17c_skyrius_339.gif

In[190]:=

17c_skyrius_340.gif

Out[190]=

17c_skyrius_341.gif

Bet kuriuo momentu banginė funkcija išlieka normuota

In[191]:=

17c_skyrius_342.gif

Out[191]=

17c_skyrius_343.gif

Pavaizduojame 1-3 lygmenų populiacijų (amplitudės kvadratų) priklausomybę nuo laiko

In[192]:=

17c_skyrius_344.gif

Out[192]=

17c_skyrius_345.gif

Iš paveikslo matome, kad Rabio osciliacijos tarp pirmojo ir antrojo lygmens yra labai silpnos. Kuo didesnis Ω2, tuo mažesnės osciliacijos ir elektronui sunkiau pereiti į antrąjį lygmenį.  

◆ Palyginimui panaudokime tuos pačius parametrus tik išjunkime valdantį lazerį (Ω2 = 0)

In[193]:=

17c_skyrius_346.gif

Out[193]//MatrixForm=

17c_skyrius_347.gif

In[194]:=

17c_skyrius_348.gif

Out[194]//MatrixForm=

17c_skyrius_349.gif

In[195]:=

17c_skyrius_350.gif

Out[195]//MatrixForm=

17c_skyrius_351.gif

Out[196]=

17c_skyrius_352.gif

In[197]:=

17c_skyrius_353.gif

Out[197]=

17c_skyrius_354.gif

Dabar Rabio osciliacijos tarp pirmojo ir antro lygmens nėra slopinamos. Abiem atvejais trečiojo lygmens populiacija išlieka artima nuliui.

◆Kaip laikui bėgant keičiasi banginės funkcijos aprengtoje bazėje sužinosime atlikę unitarinę transformaciją

In[198]:=

17c_skyrius_355.gif

Out[198]//MatrixForm=

17c_skyrius_356.gif

In[199]:=

17c_skyrius_357.gif

Out[199]=

17c_skyrius_358.gif

Out[200]=

17c_skyrius_359.gif

Jei paveiksime pliką bazę unitarine transformacija, matysime, kad abi išraiškos sutampa

In[201]:=

17c_skyrius_360.gif

Out[201]=

17c_skyrius_361.gif

Out[202]=

17c_skyrius_362.gif

Momentu t = 0 aprengtos būsenos pavidalas yra

In[203]:=

17c_skyrius_363.gif

Out[203]=

17c_skyrius_364.gif

In[204]:=

17c_skyrius_365.gif

Out[204]=

17c_skyrius_366.gif

Pavaizduojame aprengtų būsenų  priklausomybę nuo laiko

In[205]:=

17c_skyrius_367.gif

Out[205]//MatrixForm=

17c_skyrius_368.gif

In[206]:=

17c_skyrius_369.gif

Out[206]=

17c_skyrius_370.gif

Iš paveikslo matome, kad elektronas visą laiką pasilieka |a0> būsenoje.

Dabar išjunkime valdantį lazerį ir nupieškime tokį patį paveikslą

In[207]:=

17c_skyrius_371.gif

Out[207]=

17c_skyrius_372.gif

Kai išderinimas lygus nuliui

In[208]:=

17c_skyrius_373.gif

Out[208]=

17c_skyrius_374.gif

Įstatome skaitines parametrų reikšmes

In[209]:=

17c_skyrius_375.gif

Out[209]//MatrixForm=

17c_skyrius_376.gif

In[210]:=

17c_skyrius_377.gif

Out[210]=

17c_skyrius_378.gif

Iš paveikslo matome, kad nesant valdančio lauko, elektrono įkėlimas į  |1> lygmenį yra ekvivalentiškas elektrono patalpinimui (su vienodomis tikimybėmis) į |a–> ir |a+> lygmenis, kur jis vism laikui ir pasilieka.

Visa tai aptarus natūraliai kyla klausimas: nors abi bazės matematiniu požiūriu ekvivalentiškos ir vienodai gerai aprašo tą patį reiškinį, kuri iš bazių labiau atspindi tiriamų reiškinių fiziką? Trumpas atsakymas būtų toks. Kada nagrinėjame šuolius ir neatsižvelgiame į dekoherenciją, vienareikšmio atsakymo nėra. Vienos ar kitos bazės privalumai išryškėja tik kai ima reikštis spontaniniai šuoliai tarp lygmenų.

Baigę apskaičiavimus uždarome branduolį

In[211]:=

17c_skyrius_379.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08