18b skyrius
Elektromagnetinio lauko indukuotas praskaidrėjimas

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

18b_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

18b_skyrius_2.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[3]:=

18b_skyrius_3.gif

In[4]:=

18b_skyrius_4.gif

Out[4]=

18b_skyrius_5.gif

In[5]:=

18b_skyrius_6.gif

Out[5]=

18b_skyrius_7.gif

Lauko indukuotas praskaidrėjimas: pereinamasis procesas

Lygtys

Spręsime diferencialinių lygčių sistemą, kuri aprašo tankio matricos elementų kitimą laikui bėgant (žr. 18a_skyrius.html)

18b_skyrius_8.gif

18b_skyrius_9.gif yra žadinančio lazerio, o 18b_skyrius_10.gif yra  zonduojančio lazerio, kuris įjungiamas momentu t = 0, Rabio dažniai.

Užrašytų diferencialinių lygčių dešinės pusės, esant ankstesniame sąsiuvinyje paminėtoms prielaidoms, yra

In[6]:=

18b_skyrius_11.gif

Šios lygtys duoda tokius stacionarius sprendinius

In[8]:=

18b_skyrius_12.gif

Out[8]//MatrixForm=

18b_skyrius_13.gif

Pereinamasis procesas po zonduojančio  lazerio įjungimo: skaitinis sprendimas

Nagrinėsime atvejį, kai zonduojantis lazeris yra įjungiamas kokiu nors dėsniu. Paprasčiausias yra lazerio įjungimas eksponentiniu dėsniu, kurį charakterizuoja laiko pastovioji τ ir amplitudė Ω0:

18b_skyrius_14.gif

Lazerio įjungimas laipteliu (τ mažas)

Paimkime laiko pastoviąją τ, amplitudę Ω0

In[9]:=

18b_skyrius_15.gif

Out[10]=

18b_skyrius_16.gif

ir pavaizduokime lazerio įjungimo kreivę toSwitching￿

In[11]:=

18b_skyrius_17.gif

Out[11]=

18b_skyrius_18.gif

Diferencialines lygtys spręsime skaitiškai. Pirmiausia parametrams suteikiame skaitines vertes bei sudarome diferencialinių  lygčių sistemą tarpusavyje priklausomiems matriciniams elementams ρ12[t] ir ρ13[t].

In[12]:=

18b_skyrius_19.gif

Tada nagrinėjamos diferencialinės lygtys atrodo taip

In[13]:=

18b_skyrius_20.gif

Out[13]=

18b_skyrius_21.gif

Užduodame nulines pradines sąlygas, ρt12[0] = 0 ir ρt13[0] = 0 ir skaitiškai integruojame nuo nulio iki tend

In[14]:=

18b_skyrius_22.gif

Out[15]=

18b_skyrius_23.gif

Pavaizduojame pereinamojo sprendinio realiąją ir menamąją dalis viename paveiksle. const keičia vertikalaus mąstelio dydį

In[16]:=

18b_skyrius_24.gif

Out[17]=

18b_skyrius_25.gif

Stacionarusis sprendinys yra

In[18]:=

18b_skyrius_26.gif

Out[18]=

18b_skyrius_27.gif

Lėtas lazerio įjungimas (τ didelė)

Paimkime laiko pastoviąją τ, amplitudę Ω0

In[19]:=

18b_skyrius_28.gif

Out[20]=

18b_skyrius_29.gif

ir pavaizduojame lazerio įjungimo dėsnį

In[21]:=

18b_skyrius_30.gif

Out[21]=

18b_skyrius_31.gif

Tolesni žingsniai yra tie patys: 1) parametrams suteikiame skaitines vertes bei 2) sudarome diferencialinių  lygčių sistemą tarpusavyje priklausomiems matriciniams elementams ρ12[t] ir ρ13[t]. 3) Nurodome pradines sąlygas, ρt12[0] = 0 ir ρt13[0] = 0 ir skaitiškai integruojame nuo nulio iki tend

In[22]:=

18b_skyrius_32.gif

In[23]:=

18b_skyrius_33.gif

In[24]:=

18b_skyrius_34.gif

Out[25]=

18b_skyrius_35.gif

Pavaizduojame pereinamojo sprendinio realiąją ir menamąją dalis bei lazerio įjungimo dėsnį (jo mąstelį parenkame skirtingą) viename paveiksle.

In[26]:=

18b_skyrius_36.gif

Out[27]=

18b_skyrius_37.gif

Stacionarusis sprendinys yra

In[28]:=

18b_skyrius_38.gif

Out[28]=

18b_skyrius_39.gif

Lėtas lazerio įjungimas ir išjungimas

Paimkime laiko pastoviąją τ, amplitudę Ω0

In[29]:=

18b_skyrius_40.gif

Out[30]=

18b_skyrius_41.gif

ir pavaizduojame lazerio įjungimo-išjungimo dėsnį

In[31]:=

18b_skyrius_42.gif

Out[31]=

18b_skyrius_43.gif

Kartojame tuos pačius sprendimo žingsnius: 1) parametrams suteikiame skaitines vertes bei 2) sudarome diferencialinių  lygčių sistemą tarpusavyje priklausomiems matriciniams elementams ρ12[t] ir ρ13[t]. 3) Nurodome pradines sąlygas, ρt12[0] = 0 ir ρt13[0] = 0 ir skaitiškai integruojame nuo nulio iki tend

In[32]:=

18b_skyrius_44.gif

In[33]:=

18b_skyrius_45.gif

In[34]:=

18b_skyrius_46.gif

Pavaizduojame pereinamojo sprendinio realiąją ir menamąją dalis bei lazerio įjungimo dėsnį (jo mąstelį parenkame skirtingą) viename paveiksle.

In[36]:=

18b_skyrius_47.gif

Out[37]=

18b_skyrius_48.gif

Kaip matyti, išjungus zonduojantį signalą, ρ12 atsistato.  Stacionarinis sprendinys yra

In[38]:=

18b_skyrius_49.gif

Out[38]=

18b_skyrius_50.gif

Pereinamasis procesas įjungus zondavimo lazerį: analizinis metodas

Sudarome diferencialinių lygčių sistemą

In[39]:=

18b_skyrius_51.gif

Out[39]=

18b_skyrius_52.gif

kurioje nohomogeninį narį padauginome iš vienetinės funkcijos UnitStep[t]

In[40]:=

18b_skyrius_53.gif

Out[40]=

18b_skyrius_54.gif

Diferencialines lygtis spręsime Laplace'o transformacijos metodu, laikydami, kad pradiniu laiko momentu yra tenkinamos nulinės sąlygos t.y. ρt12[0] = 0, ρt13[0] = 0. Prieš sprendžiant atliksime kintamųjų pakeitimą, t. y. įvesime pažymėjimus:
a = –γ12 + i Δ1 ir  b = –γ13 + i (Δ1 +Δ2)

In[41]:=

18b_skyrius_55.gif

Tada diferencialinės lygtys atrodys kiek paprasčiau

In[43]:=

18b_skyrius_56.gif

Out[43]=

18b_skyrius_57.gif

Atliekame Laplace'o transformaciją

In[44]:=

18b_skyrius_58.gif

Out[44]=

18b_skyrius_59.gif

Išsprendžiame gautas  algebrines lygtis  kintamųjų  ρ12[t] ir ρ13[t]  atžvilgiu

In[45]:=

18b_skyrius_60.gif

Out[45]=

18b_skyrius_61.gif

Ir šių kintamųjų atžvilgiu atliekame atvirkštinę Laplace'o transformaciją ir sprendinį supaprastiname

In[46]:=

18b_skyrius_62.gif

Out[46]=

18b_skyrius_63.gif

Mums reikalingas tik ρ12[t] sprendinys, kuris ir nusako atsako pereinamąjį procesą

In[47]:=

18b_skyrius_64.gif

Out[47]=

18b_skyrius_65.gif

Atsakymą knygai perrašome įprastais žymėjimais

18b_skyrius_66.gif

Pavaizduosime gautą sprendinį grafiškai. Jis sutampa su gautuoju skaitiniu būdu.

In[48]:=

18b_skyrius_67.gif

Out[48]=

18b_skyrius_68.gif

In[49]:=

18b_skyrius_69.gif

Out[49]=

18b_skyrius_70.gif

In[50]:=

18b_skyrius_71.gif

Out[50]=

18b_skyrius_72.gif

Kai t→∞, eksponentinis narys virsta nuliu ir lieka tik stacionarusis sprendinys

In[51]:=

18b_skyrius_73.gif

Out[51]=

18b_skyrius_74.gif

Kai lazerių išderinimai lygūs nuliui, Δ1=Δ2=0, gauname

In[52]:=

18b_skyrius_75.gif

Out[52]=

18b_skyrius_76.gif

Šiuo atveju osciliuoja tik menamoji dalis, pvz.,

In[53]:=

18b_skyrius_77.gif

Out[53]=

18b_skyrius_78.gif

Iš gauto atsakymo matyti, kad įjungus zondavimo lazerį  ρ12[t] gęsta osciliuodama eksponetiniu dėsniu. Osciliacijų ciklinis dažnis lygus

In[54]:=

18b_skyrius_79.gif

Out[54]=

18b_skyrius_80.gif

Jei  išderinimai Δ1 ir  Δ2 yra  lygūs nuliui, osciliacijų periodas tampa

In[55]:=

18b_skyrius_81.gif

Out[55]=

18b_skyrius_82.gif

Iš šio rezultato išplaukia, kad, esant silpnam gęsimui, osciliacijos vyksta Rabio dažniu Ω23/2. Tai panašu į Hanles efektą, kur viršutinio lygmens suskilimas proporcingas Ω23 ir banginės funkcijos mušimo reiškinys vyksta tarp dviejų lygmenų. Osciliacijos amplitudės proporcingumas žadinančio lazerio Rabio dažniui, rodo, kad tai yra kvantinis interferencinis reiškinys ir praskaidrėjimas nėra susijęs su lygmenų populiacijos pokyčiu. Jei atsižvelgiame gęsimą, mušimo dažnis tampa šiek tiek mažesnis.

Zonduojančio lazerio išderinimo Δ ≡ Δ1 adiabatinis kitimas laikui bėgant

Tiesiškai keisime zonduojančio lazerio išderinimą, išlaikydami kitus parametrus fiksuotus.

Valdantis lazeris įjungtas: adiabatinis kitimas

Apibrėžiame išderinimo kitimo spartą dΔdt ir pradinį bei galinį laiko momentą taip, kad išderinimas kistų adiabatiškai

In[56]:=

18b_skyrius_83.gif

Tegu išderinimas laikui bėgant kinta tiesiškai

In[57]:=

18b_skyrius_84.gif

Out[57]=

18b_skyrius_85.gif

Aukščiau užrašytų diferencialinių lygčių dešinės pusės (žr.  18a_skyrius.html  sąsiuvinį) dabar atrodys

In[58]:=

18b_skyrius_86.gif

Šias diferencialines lygtis spręsime skaitiškai. Pirmiausia apibrėžiame parametrus ir sudarome diferencialinių lygčių sistemą tarpusavyje priklausomiems matriciniams elementams ρ12[t] ir ρ13[t].  Kai žadinimo lazeris išjungtas, Ω23 = 0, gęsimo koeficiento γ12 negalime imti lygaus nuliui, nes mušimo amplitudė nemažės

In[60]:=

18b_skyrius_87.gif

In[61]:=

18b_skyrius_88.gif

Out[61]=

18b_skyrius_89.gif

Pradines sąlygas paimame ρt12[0] = 0 ir ρt13[0] = 0 ir skaitiškai integruojame diferencialinių lygčių sistemą

In[62]:=

18b_skyrius_90.gif

Out[62]=

18b_skyrius_91.gif

Pavaizduojame pereinamojo sprendinio realiąją ir menamąją dalis viename paveiksle. const keičia vertikalų mąstelį. Kadangi išderinimas kinta adiabatiškai, matome pakartotą spektrą

In[63]:=

18b_skyrius_92.gif

Out[64]=

18b_skyrius_93.gif

Valdantis lazeris įjungtas: neadiabatinis kitimas

Apibrėžiame išderinimo kitimo spartą  dΔdt ir pradinį bei galinį laiko momentą taip, kad išderinimas kistų greitai

In[65]:=

18b_skyrius_94.gif

Out[65]=

18b_skyrius_95.gif

Tegu išderinimas laikui bėgant kinta tiesiškai

In[66]:=

18b_skyrius_96.gif

Aukščiau užrašytų diferencialinių lygčių dešinės pusės (žr. 18a_skyrius.html sąsiuvinį) dabar atrodys

In[67]:=

18b_skyrius_97.gif

Diferencialines lygtis vėl spręsime skaitiškai. Pirmiausia apibrėžiame parametrus ir sudarome diferencialinių lygčių sistemą tarpusavyje priklausomiems matriciniams elementams ρ12[t] ir ρ13[t].  Kai žadinimo lazeris išjungtas, Ω23 = 0, gęsimo koeficiento γ12 negalime imti lygaus nuliui, nes mušimo amplitudė nemažės

In[69]:=

18b_skyrius_98.gif

In[70]:=

18b_skyrius_99.gif

Out[70]=

18b_skyrius_100.gif

Pradines sąlygas imame ρt12[0] = 0 ir ρt13[0] = 0 ir skaitiškai integruojame diferencialinių lygčių sistemą

In[71]:=

18b_skyrius_101.gif

Out[71]=

18b_skyrius_102.gif

Pavaizduojame pereinamojo sprendinio realiąją ir menamąją dalis viename paveiksle. const keičia vertikalų mąstelį. Kadangi išderinimas kinta greitai (neadiabatiškai), matome, kad dabar spektras yra iškraipytas

In[72]:=

18b_skyrius_103.gif

Out[73]=

18b_skyrius_104.gif

Ta pati simuliacija, tik išjungus žadinantį lazerį: Ω23 = 0

Tiesiškai keisime zonduojančio lazerio išderinimą laikui bėgant,  kitiems parametrams esant fiksuotiems.
Apibrėžiame išderinimo kitimo spartą  dΔdt ir pradinį bei galinį laiko momentą

In[74]:=

18b_skyrius_105.gif

Tegu išderinimas laikui bėgant kinta tiesiškai

In[75]:=

18b_skyrius_106.gif

Diferencialinių lygčių dešinės pusės (žr. 18a_skyrius.html skyrius) dabar yra

In[76]:=

18b_skyrius_107.gif

Out[76]=

18b_skyrius_108.gif

Out[77]=

18b_skyrius_109.gif

Diferencialines lygtis sprendžiame skaitiškai. Pirmiausia apibrėžiame parametrus ir sudarome diferencialinių lygčių sistemą tarpusavyje priklausomiems matriciniams elementams ρ12[t] ir ρ13[t].  Kai žadinimo lazeris išjungtas, Ω23 = 0, gęsimo koeficiento γ12 negalime imti lygaus nuliui, nes mušimo amplitudė nemažės

In[78]:=

18b_skyrius_110.gif

In[79]:=

18b_skyrius_111.gif

Out[79]=

18b_skyrius_112.gif

Pradines sąlygas imame ρt12[0] = 0 ir ρt13[0] = 0 ir skaitiškai integruojame diferencialinių lygčių sistemą

In[80]:=

18b_skyrius_113.gif

Out[80]=

18b_skyrius_114.gif

Pavaizduojame pereinamojo sprendinio realiąją ir menamąją dalis viename paveiksle. const keičia vertikalų mąstelį. Kadangi žadinimo nėra, gauname Lorenzo pavidalo smailę

In[81]:=

18b_skyrius_115.gif

Out[82]=

18b_skyrius_116.gif

Adiabatiškumo sąlyga

Rezonansinė kreivė turi du maksimumus (dvikuprė). Pasinaudosime šia savybe, kad rastume adiabatiškumo sąlygą. Pastarąją apibrėšime taip:

18b_skyrius_117.gif

kur Δmax yra atstumas tarp 3L rezonansinės kreivės maksimumų, o τ  (ilgiausia) dekoherencijos  trukmė.
Rezonansinės kreivės pavidalas yra

In[83]:=

18b_skyrius_118.gif

Out[83]=

18b_skyrius_119.gif

Laikysime, kad valdančio lazerio dažnis rezonuoja (Δ1 = 0) ir rasime amplitudės modulio kvadratą

In[84]:=

18b_skyrius_120.gif

Out[85]=

18b_skyrius_121.gif

Išdiferencijuojame išraišką pagal Δ, prilyginame nuliui ir randame kreivės maksimumų koordinates

In[86]:=

18b_skyrius_122.gif

Out[86]=

18b_skyrius_123.gif

Out[87]=

18b_skyrius_124.gif

Įstatę parametrus, randame, kad fizikinius reikalavimus tenkina du paskutiniai sprendiniai.

In[88]:=

18b_skyrius_125.gif

Out[88]=

18b_skyrius_126.gif

Iš čia randame atstumą tarp maksimumų

In[89]:=

18b_skyrius_127.gif

Out[89]=

18b_skyrius_128.gif

In[90]:=

18b_skyrius_129.gif

Out[90]=

18b_skyrius_130.gif

Matome, kad apytiksliai galima rašyti Δmax ≈ Ω23. Tada adiabatiškumo sąlyga yra

18b_skyrius_131.gif

Kadangi parametro γ12 vertė mažiausia

In[91]:=

18b_skyrius_132.gif

Out[91]=

18b_skyrius_133.gif

tai  d Δ/d t ≪ 0.3 *3 = 0.9
Formulės Δ2max pošaknis taps neigiamu, kai Ω23 pasieks vertę

In[92]:=

18b_skyrius_134.gif

Out[92]=

18b_skyrius_135.gif

In[93]:=

18b_skyrius_136.gif

Out[93]=

18b_skyrius_137.gif

t.y.  Ω23 = 0.53

Baigę apskaičiavimus uždarome branduolį

In[94]:=

18b_skyrius_138.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08