21a skyrius
Trūkioji fluorescencija ir kvantiniai šuoliai

Inicializacija

Inicializacinės ląstelės turi būti įvykdytos pirmiausia. Atsiradusiame dialogo lange paspaudus "Yes", jos bus  įvykdytos automatiškai.

Išjungiame pastabų generatorių, nes naudosime daug kintamųjų panašiais vardais.

In[1]:=

21a_skyrius_1.gif

Apibrėžiam  kompleksiškai sujungtinį dydį

In[2]:=

21a_skyrius_2.gif

Visuose piešiniuose naudosime tą patį užrašų stilių

In[3]:=

21a_skyrius_3.gif

In[4]:=

21a_skyrius_4.gif

Out[4]=

21a_skyrius_5.gif

In[5]:=

21a_skyrius_6.gif

Out[5]=

21a_skyrius_7.gif

Kvantiniai šuoliai

Nupiešime reikalingus piešinius

Paraboloidinė jonų gaudyklė

In[6]:=

21a_skyrius_8.gif

In[7]:=

21a_skyrius_9.gif

In[8]:=

21a_skyrius_10.gif

Out[8]=

21a_skyrius_11.gif

Elektrinė grandinė

In[9]:=

21a_skyrius_12.gif

In[10]:=

21a_skyrius_13.gif

In[12]:=

21a_skyrius_14.gif

In[13]:=

21a_skyrius_15.gif

In[14]:=

21a_skyrius_16.gif

Visus elementus sudedame į vieną brėžinį

In[15]:=

21a_skyrius_17.gif

Out[15]=

21a_skyrius_18.gif

Λ sistema su relaksacija

Užduodame mazginius taškus

In[16]:=

21a_skyrius_19.gif

ir juos pavaizduojame

In[17]:=

21a_skyrius_20.gif

Out[17]=

21a_skyrius_21.gif

Horizontalios energijų linijos

In[18]:=

21a_skyrius_22.gif

Strėlės

In[19]:=

21a_skyrius_23.gif

In[20]:=

21a_skyrius_24.gif

In[21]:=

21a_skyrius_25.gif

In[22]:=

21a_skyrius_26.gif

Tekstas

In[24]:=

21a_skyrius_27.gif

In[25]:=

21a_skyrius_28.gif

In[26]:=

21a_skyrius_29.gif

In[27]:=

21a_skyrius_30.gif

Visus elementus sudedam į sąrašą ir pavaizduojame komanda Show[ ]

In[28]:=

21a_skyrius_31.gif

Out[28]=

21a_skyrius_32.gif

Kvantinis 2L matavimas

Nagrinėsime dviejų lygmenų tankio matricą

In[29]:=

21a_skyrius_33.gif

Out[29]//MatrixForm=

21a_skyrius_34.gif

Neatsižvelgiant į relaksaciją, tankio matricos elementų kitimą laikui bėgant  aprašo tokios diferencialinės  lygtys

21a_skyrius_35.gif

kur Δ yra išderinimas,  Ω  Rabio dažnis.  Lygtys užrašome Mathematica kalba

In[30]:=

21a_skyrius_36.gif

Užduodame pradines sąlygas (antrąjį  lygmenį laikome žemiausiu ir į jį patalpiname elektroną)

In[31]:=

21a_skyrius_37.gif

ir peržymime kintamuosius

In[32]:=

21a_skyrius_38.gif

Išsprendžiame diferencialių lygčių sistemą su paminėtomis pradinėmis sąlygomis

In[34]:=

21a_skyrius_39.gif

Out[34]//MatrixForm=

21a_skyrius_40.gif

Sprendiniams įvedame trumpesnius pažymėjimus

In[35]:=

21a_skyrius_41.gif

Out[35]=

21a_skyrius_42.gif

Jei pradiniu momentu elektronas buvo pirmame lygmenyje, tada ρ11 ir ρ22 reikia sukeisti vietomis ir pakeisti likusių dviejų narių ženklus. Įsitikinam, kad abiejų lygmenų populiacijų suma bet kuriuo momentu  lygi vienetui

In[36]:=

21a_skyrius_43.gif

Out[36]=

21a_skyrius_44.gif

Nagrinėsim trumpus laikus apie tašką t = Τ, kur T yra matavimo momentas. Tuo tikslu sprendinius išskleidžiame Tayloro eilute taško t = Τ aplinkoje. Matavimo T momentą paimsime sutampantį su spontaninės emisijos trukme iš pirmojo lygmens T = τ1

In[37]:=

21a_skyrius_45.gif

Out[37]=

21a_skyrius_46.gif

Spartuminės  lygtys

Atvejis be relaksacijos

Spręsime spartuminių lygčių sistemą. V sistemai šios lygtys turi pavidalą

21a_skyrius_47.gif

kur R = 21a_skyrius_48.gifτ1/4 ir r = 21a_skyrius_49.gifτ3/4 žymi populiacijų kitimo spartų koeficientus. Čia τ1 ir τ3 yra spontaninės emisijos trukmės atitinkamai iš pirmojo ir trečiojo  lygmenų. Pirmasis lygmuo žadinamas stipriu lazeriu. τ1 trukmė apibūdina matavimo lazerį.  Ji charakterizuoja spontaninę emisiją iš pirmojo lygmens.
Kadangi tikimybės tenkina sąlygą P1+P2+P3 = 1, vieną iš lygčių galima eliminuoti. Sudarome lygčių sistemą tikimybėms P1 ir P3, o P2 visada galėsime  apskaičiuoti iš formulės P2=1-P1-P3.

In[38]:=

21a_skyrius_50.gif

Out[38]=

21a_skyrius_51.gif

Šią diferencialinių lygčių sistemą išsprendžiame

In[39]:=

21a_skyrius_52.gif

Out[39]=

21a_skyrius_53.gif

Sprendinius užrašome atskirai

In[40]:=

21a_skyrius_54.gif

Out[40]=

21a_skyrius_55.gif

In[41]:=

21a_skyrius_56.gif

Out[41]=

21a_skyrius_57.gif

Laiko momentu  t = 0 šie sprendiniai virsta į

In[42]:=

21a_skyrius_58.gif

Out[42]=

21a_skyrius_59.gif

Manysime, kad t = 0  akimirką elektronas buvo antrame lygmenyje

In[43]:=

21a_skyrius_60.gif

Out[43]=

21a_skyrius_61.gif

Tada trečiojo lygmens sprendinys tampa

In[44]:=

21a_skyrius_62.gif

Out[44]=

21a_skyrius_63.gif

Pavaizduosime sprendinius dviem skirtingoms parametro  R = 21a_skyrius_64.gifτ1/4  ir R = 21a_skyrius_65.gifτ3/4 reikšmėms

In[45]:=

21a_skyrius_66.gif

Out[45]=

21a_skyrius_67.gif

Parametrams suteiksime skaitines vertes. Kadangi matuojamas lazeris galingas, R ≫ r arba 21a_skyrius_68.gifτ1 ≫ 21a_skyrius_69.gif τ3, tai yra teisinga tokia nelygybė

21a_skyrius_70.gif

Be to, kad galiotų išvestos formulės, dar reikia patenkinti sąlygas Ω12 τ1 ≪ 1 ir Ω23 τ3 ≪1. Atsižvelgę į išvardytus reikalavimus, užduodame parametrus

In[46]:=

21a_skyrius_71.gif

Patikriname kaip gerai yra tenkinamos paminėtos sąlygos

In[48]:=

21a_skyrius_72.gif

Out[48]=

21a_skyrius_73.gif

Momentu t = 0 sprendinių pradinės sąlygos yra

In[49]:=

21a_skyrius_74.gif

Out[49]=

21a_skyrius_75.gif

Nubraižome P1, P2 = 1–P1–P2 ir P3 priklausomybę nuo laiko dviem paminėtiems parametrų rinkiniams

In[50]:=

21a_skyrius_76.gif

Out[50]=

21a_skyrius_77.gif

Plona horizontali linija vaizduoja asimptotiką, kai t → ∞.  Atidedame trečiojo lygmens (violetinė spalva) populiaciją atskirai

In[51]:=

21a_skyrius_78.gif

Out[51]=

21a_skyrius_79.gif

In[52]:=

21a_skyrius_80.gif

Out[52]=

21a_skyrius_81.gif

Out[53]=

21a_skyrius_82.gif

Palyginę parametrų vertes matome, kad matavimo dažnį 1/τ1 padidinus, tikimybė elektronui pasilikti tame pačiame lygmenyje šiek tiek padidėja. Tai Zenono efekto išdava.

Stacionarūs  sprendiniai

Stacionarius sprendinius gausime dešiniąsias diferencialinių lygčių puses prilyginę nuliui

In[54]:=

21a_skyrius_83.gif

Out[54]=

21a_skyrius_84.gif

Gautą sistemą išsprendžiame

In[55]:=

21a_skyrius_85.gif

Out[55]=

21a_skyrius_86.gif

Matome, kad riboje t→ ∞  visi  trys sprendiniai lygūs 1/3 (horizontali linija anksčiau nupieštame brėžinyje).
Tą patį gausime, jei spręsime pilną lygčių sistemą

In[56]:=

21a_skyrius_87.gif

Out[56]=

21a_skyrius_88.gif

In[57]:=

21a_skyrius_89.gif

21a_skyrius_90.gif

Out[57]=

21a_skyrius_91.gif

Kadangi P1+P2+P3=1, iš čia išplaukia tas pats atsakymas, t.y. P1=P2=P3=1/3.

Spartuminės lygtys su spontanine relaksacija

Spręsime tą pačią spartuminių lygčių sistemą, tik pridėsime spontaninės emisijos narius. V sistemai papildytos lygtys atrodo taip:

21a_skyrius_92.gif

Čia R = 21a_skyrius_93.gifτ1/4  ir  r = 21a_skyrius_94.gifτ3/4, kaip ir anksčiau, yra spartuminiai koeficientai, τ1  ir τ3 - spontaninės emisijos trukmės, atitinkamai, iš pirmojo ir trečiojo  lygmenų. Pirmasis lygmuo žadinamas stipriu lazeriu. τ1 trukmė charakterizuoja matavimo lazerį.
Kaip ir anksčiau, kadangi tikimybės tenkina sąlygą, P1+P2+P3 = 1, vienos iš lygčių, pavyzdžiui, populiacijai P2, galima nespręsti, o apskaičiuoti iš tapatybės P2 =1-P1-P3. Norėdami, kad ankčiau apskaičiuotos ir dabar nagrinėjamos populiacijos nesipainiotų, didžiąsias raides pakeisime mažosiomis, t.y. rašysim p1+p2+p3=1. Sprendimo kelias yra tas pats.

In[58]:=

21a_skyrius_95.gif

Out[58]=

21a_skyrius_96.gif

Papildę lygtis pradinėmis sąlygomis, šią diferencialinių lygčių sistemą išsprendžiame.  Šį kartą spendimas ir prastinimas trunka gana ilgai, o atsakymas yra ilgas

In[59]:=

21a_skyrius_97.gif

Sprendinius perrašome atskirai

In[60]:=

21a_skyrius_98.gif

Out[60]=

21a_skyrius_99.gif

In[61]:=

21a_skyrius_100.gif

Out[61]=

21a_skyrius_101.gif

Laiko momentu t = 0 sprendiniai yra

In[62]:=

21a_skyrius_102.gif

Out[62]=

21a_skyrius_103.gif

Skaitiniams įvertinimams imsime tas pačias parametrų vertes

In[63]:=

21a_skyrius_104.gif

Out[63]=

21a_skyrius_105.gif

Out[64]=

21a_skyrius_106.gif

ir pavaizduosime populiacijų evoliuciją laikui bėgant

In[65]:=

21a_skyrius_107.gif

Out[65]=

21a_skyrius_108.gif

Trečiojo lygmens populiaciją (ji nuspalvinta violetine spalva) nupiešiame atskirai didesniu mąsteliu

In[66]:=

21a_skyrius_109.gif

Out[66]=

21a_skyrius_110.gif

Iš brėžinių vėl matome, kad matavimo dažnį padidinus, tikimybė elektronui pasilikti tame pačiame lygmenyje šiek tiek padidėjo.

Stacionarūs  sprendiniai

Kaip ir anksčiau, dešiniąsias diferencialinių lygčių puses prilyginame nuliui ir randame populiacijas

In[67]:=

21a_skyrius_111.gif

Out[67]=

21a_skyrius_112.gif

In[68]:=

21a_skyrius_113.gif

Out[68]=

21a_skyrius_114.gif

Taigi, dabar riboje t→∞  visi  trys sprendiniai yra skirtingi:

In[69]:=

21a_skyrius_115.gif

Out[69]=

21a_skyrius_116.gif

In[70]:=

21a_skyrius_117.gif

Out[70]=

21a_skyrius_118.gif

In[71]:=

21a_skyrius_119.gif

Out[71]=

21a_skyrius_120.gif

Kad galiotų išvestos formulės, nustatydami skaitinių parametrų vertes turim užtikrinti sąlygas Ω12 τ1 ≪1 ir  Ω23 τ3 ≪ 1.

In[72]:=

21a_skyrius_121.gif

In[73]:=

21a_skyrius_122.gif

Out[73]=

21a_skyrius_123.gif

Jei  τ1 =0.04, turime

In[74]:=

21a_skyrius_124.gif

Out[74]=

21a_skyrius_125.gif

Gautus statinius sprendinius išskleisime eilute pagal parametrus, r τ3 ≪ 1 ir R τ1 ≪ 1, nulio aplinkose.  Pirmojo lygmens populiacija tada yra

In[75]:=

21a_skyrius_126.gif

Out[75]=

21a_skyrius_127.gif

Padalinę iš τ1 gausime išspinduliuojamų per laiko vienetą fluorescencinių fotonų skaičių

In[76]:=

21a_skyrius_128.gif

Out[76]=

21a_skyrius_129.gif

Kadangi r τ3 ≪ 1, išspinduliuotų fluorescencinių fotonų skaičius bus apytiksliai lygus R. Kai R  = 21a_skyrius_130.gif τ1/4 ,  matome, kad didinant matavimo dažnį 1/τ1, fluorescencinių fotonų pasirodo mažiau, nors žadinančių fotonų skaičius išlieka tas pats. Spartos koeficiento R priklausomybę nuo matavimo dažnio  1/τ1  galima traktuoti kaip Zenono efektą.

Baigę uždarome branduolį

In[77]:=

21a_skyrius_131.gif

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0 using Mark McClure Blog CSS, 2011-04-08