MOKSLASplius.lt

Bangų interferencija

Interferencijos reiškinį stebėsime, jei koherentiniu šviesos šaltiniu, pavyzdžiui, lazeriu, apšviesime nepermatomame lakšte dvi viena greta kitos esančias skylutes. Kitoje lakšto pusėje pastatę ekraną matysime interferencinį paveikslą, sudarytą iš šviesių ir tamsių lankų. Bendru atveju apskaičiuoti interferencinį paveikslą remiantis pirminiais principais, būtent, Maxwello lygtimis, yra gana sudėtingas matematinis uždavinys. Skyriuje panagrinėsime paprastesnį atvejį, kai interferencinis paveikslas stebimas toli nuo šaltinių (tolimoje zonoje). ,,Toli'' šiame kontekste reiškia, kad atstumas iki stebėjimo ekrano yra daug didesnis tiek už bangos ilgį, tiek už skylučių plotį. Praktikoje tokios sąlygos dažnai susidaro, dirbant ne tik su lazerio šviesa, bet ir su ultragarsu, radijo bangomis. Kaip matysime, bangos intensyvumą tolimoje zonoje galima nesunkiai rasti, įvedus kompleksines taškinių šaltinių amplitudes. Pailiustruosime, kaip kompleksinių amplitudžių metodu apskaičiuojamas antenos išspinduliuotas intensyvumas įvairiomis kryptimis [Feynman63,Mechtly94] ir kaip galima valdyti radiolokatoriaus spindulį, nesukiojant radiolokatoriaus antenos.

Kompleksinės amplitudės ir interferencija

Išsiaiškinsime, kaip matematiškai aprašoma koherentinių bangų, kurias skleidžia taškiniai šaltiniai, interferencija. Tam pradžioje nupiešime du taškinius šaltinius ir sferos pavidalo ekraną, kuriame ir stebėsime interferencinį vaizdą. Atstumas tarp taškinių šaltinių lygus keletui jo spinduliuojamų bangų ilgių.

Vaizdavimo parinktys:

  

Šviesos intensyvumas įvairiuose ekrano taškuose priklauso nuo kampo $ \theta  $ tarp spindulių krypčių ir horizontalės, kaip parodyta brėžinyje. Rasime dviejų spindulių kelių skirtumą KS. Jis yra lygus atstumų tarp taško $ C $ ekrane ir dviejų šaltinių $ S_1 $ ir $ S_2 $ skirtumui: $ \mathrm{KS}=S_1 C - S_2 C $. Kai ekranas toli, KS yra labai artimas atstumui tarp šaltinio $ S_2 $ ir taško $ m $, gaunamo nuleidus statmenį iš šaltinio $ S_1 $ į antrąjį spindulį, $ \mathrm{KS}=S_2 m $. Kadangi atstumas iki ekrano yra didelis, lyginant su atstumu $ d $ tarp šviesos šaltinių, tai kampas $ \measuredangle S_2 S_1 m $ dideliu tikslumu gali būti prilygintas kampui $ \theta $ (kampai su tarpusavyje statmenomis kraštinėmis yra lygūs). Todėl turime tokią apytikslę lygybę: $ \mathrm{KS}\approxeq d\, \sin\theta $. Priminsime, kad ekrane interferuoja šaltinių $ S_1 $ ir $ S_2 $ elektriniai laukai, o ne jų intensyvumai (pastarieji proporcingi laukų kvadratams). Paprastumo dėlei manysim, kad cikliniu dažniu $ \omega  $ kintančių šaltinių $ S_1 $ ir $ S_2 $ laukų poliarizacijos yra vienodos, todėl interferuojantys šaltinių laukai skirsis tik amplitudėmis ir fazėmis. Taip pat laikysime, kad šaltiniai yra visiškai koherentiški: šaltinių fazių skirtumas $ \delta  $ laikui bėgant nekinta ir lygus nuliui. Tokių šaltinių elektrinį lauką patogu vaizduoti vektoriumi kompleksinėje plokštumoje. Vektoriaus ilgis yra proporcingas amplitudei, o svyravimų fazė — kampui tarp horizontaliosios ašies ir vektoriaus krypties.

Kompleksinių amplitudžių metodu apskaičiuokime abiejų šaltinių atstojamąjį lauką laisvai pasirinktame ekrano taške $ C $. Spindulių kelių ilgis iki laisvai pasirinkto stebėjimo taško, bendrai paėmus, nėra vienodas. Kaip matėme, jis skiriasi dydžiu $ d \sin \theta $. Šioje atkarpoje telpa $ (d \sin\theta)/\lambda  $ bangų, kurių ilgis $ \lambda $. Padauginę gautą skaičių iš $ 2\pi $, rasime interferuojančių bangų fazių skirtumą, kurį sąlygoja skirtingas šaltinių atstumas iki stebimo ekrano taško: $ \varphi=2\pi (d\, \sin\theta) /\lambda $. Jei turėtume ne du, o daugiau, pavydžiui, $ n $ taškinių šaltinių, tada reiktų sumuoti $ n $ kompleksinių vektorių (bendresniu atveju — kiekvieną su savo amplitude ir faze). Tarkime, kad atstumas tarp šių $ n $ šaltinių yra vienodas ir lygus $ d $. Jei šaltiniai guli vienoje tiesėje, tai $ m $-ojo šaltinio fazė pirmojo šaltinio atžvilgiu yra $ m $ kartų didesnė, t.y. lygi $ m \varphi $. Tokiu būdu tiesėje gulinčių ir sufazuotų $ n $ šaltinių kuriamas atstojamasis laukas ekrane yra

\[ \scE =\scE_1+\scE_2 +\scE_3 +\cdots+\scE_n = \scE_{a_1}+\scE_{a_2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}+\scE_{a_3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\varphi}+\cdots+\scE_{a_n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n\varphi}\tag{1} \]
Jei visų taškinių šaltinių intensyvumas vienodas, o atstumai tarp šaltinių žymiai mažesni už atstumą iki ekrano, tada visos amplitudės yra labai artimos viena kitai: $ \scE_{a_1}=\scE_{a_2}= \cdots \scE_{a_n}=1 $. Jas prilyginome vienetui, nes šiuokart absoliutiniai dydžiai mums nėra svarbūs. Tada atstojamasis visų šaltinių laukas $ \scE $ yra
\boldmath\begin{eqnarray*}&&\varphi =\frac{2 \pi  d \sin [\theta ]}{\lambda };\\&&\mathcal{E}=\sum _{m=1}^ n \mathrm{e}^{\mathrm{i} (m-1) \varphi }\end{eqnarray*}

Šviesos intesyvumas, kurį matuoja detektorius, yra proprcingas elektrinio lauko modulio kvadratui. Parodysime, kad didžiausias intensyvumas (lygus $ n^2 $) bus tuo atveju, kai $ \theta =0 $. Tam apskaičiuokime $ |\scE|^2=\scE\,\scE^* $, kur žvaigždutė žymi kompleksinį sujungtinį dydį. Pradžioje parodysime, kaip tokį kompleksinį sujungtinį dydį teisingai ir vaizdžiai apskaičiuoti.

Mathematica turi yra visa eilę operatorių, kurie iš anksto nėra apibrėžti (operators without built-in meaning), tačiau kuriems skaičiavimo eigoje nesunku suteikti prasmę. Pavyzdžiui, tokie operatoriai yra viršutinė \boldmath$\mathrm{SuperStar}[~]$ ir apatinė \boldmath$\mathrm{SubStar}[~]$ žvaigždutės, taškas virš raidės \boldmath$\mathrm{OverDot}[~]$, strėlytė virš raidės \boldmath$\mathrm{OverVector}[~]$ ir t.t. Visi jie tėra tik potencialių operatorių vardai. Jei laužtiniuose skliaustuose įrašytume raidę, tai šios komandos šalia raidės užrašytų atitinkamą simbolį:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\{\mathrm{SuperStar}[y],\mathrm{SubStar}[x],\mathrm{OverDot}[x],\mathrm{OverVector}[x]\}\end{eqnarray*}

Šiems gražiems simboliams-operatoriams galima suteikti prasmę. Pavyzdžiui, viršutinei žvaigždutei suteiksime kompleksinio sujungtinio operatoriaus prasmę tokiu apibrėžimu:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{SuperStar}[a\_]:=a/.\mathrm{Complex}[x\_,y\_]\to \mathrm{Complex}[x,-y]\end{eqnarray*}

Pakeitimas \boldmath$\mathrm{Complex}[x\_{},y\_{}]\to\mathrm{Complex}[x,-y]$ kompleksinę išraišką, pavyzdžiui, $ a+\mathrm{i }b, $ kurios pilnas pavadinimas \boldmath$\mathrm{Plus}[a,\mathrm{Times}[\mathrm{Complex}[0,\,1],b]]$, pakeičia kompleksine sujungtine išraiška $ a-\mathrm{i} b $. Dabar virš simbolio pakanka uždėti žvaigždutę, kad gautume kompleksinį sujungtinį dydį. Ši taisyklė galioja tiek skaičiams, tiek simboliams, pavyzdžiui,

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\{(1 + 2*\ii)^*,(a + \ii*b)^*\}\end{eqnarray*}

Pratęsime atstojamojo elektrinio lauko intensyvumo skaičiavimus. Apskaičiuokime dydį $ |\scE|^2=\scE\,\scE^* $, proporcingą spindulio maksimaliam intensyvumui.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&maxIntensyvumas=\mathrm{TrigFactor}[\mathrm{ExpandAll}[\mathrm{ExpToTrig}[\scE \scE ^*]]]\end{eqnarray*}

Gautame kompleksinių eksponenčių sumų santykyje pirmiausia eksponentes pakeitėme trigonometrinėmis funkcijomis. Gautą rezultatą išskleidėme, o po to faktorizavome, nes taip pertvarkytas reiškinys yra paprasčiausias. Apskaičiuokime jo ribą, kai $ \theta \rightarrow 0 $:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Limit}[maxIntensyvumas,\theta \to 0]\end{eqnarray*}

Taigi, normuota šviesos intensyvumo priklausomybė nuo kampo $ \theta $ turi pavidalą

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\frac{maxIntensyvumas}{n^2}\end{eqnarray*}

Atvaizduokime rastą intensyvumo priklausomybę nuo kampo $ \theta  $ poliarinėje koordinačių sistemoje $ (r, \theta ) $ esant dviems $ (n=2) $ taškiniams spinduliavimo šaltiniams. Spindulys $ r $ poliarinėje koordinačių sistemoje nusako taško atstumą nuo koordinačių pradžios, todėl jis yra proporcingas šviesos intensyvumui ekrane. Kad galėtume nubrėžti brėžinį, reikia pasirinkti atstumą tarp šaltinių ir bangos ilgį. Juos atitinkamai paimsime $ d=0{,}5 $m ir $ \lambda =1 $m.

Klaida

Iš piešinio matome, kad antena sudaryta iš dviejų taškinių šaltinių, atstumas tarp kurių lygus pusei spinduliuojamos bangos ilgio, spinduliuoja simetriškai į abi puses. Didžiausias spinduliavimo intensyvumas yra nukreiptas $ \theta =0 $ ir $ \theta =\pi  $ kryptimis. Trimatį interferencijos intensyvumo vaizdą gautume, jei paveikslą apsuktume apie vertikalią simetrijos ašį. Atstumą tarp šaltinių padidinę tris kartus, t.y. prilyginę $ 1{,}5\lambda  $, o kitus dydžius palikę tuos pačius, gausime jau šešis vienodo intensyvumo lapelius.

Nesunku įsitikinti (padarykite tai dviejų lapelių atveju), kad didinant šaltinių skaičių, spinduliavimo lapelių plotis siaurėja, t.y. lapeliai darosi labiau ištempti, o jų intensyvumas didėja proporcingai šaltinių skaičiaus antrajam laipsniui: $ |\scE|^2 \sim n^2 $. Šios savybės yra labai svarbios radiolokacijoje tolimiems taikiniams aptikti. Didinant šaltinių skaičių, be pagrindinio lapelio, taip pat formuojasi ir maži papildomi spinduliavimo lapeliai. Pavyzdžiui, paėmę keturis vienoje tiesėje išdėstytus taškinius šaltinius gausime tokią intensyvumo priklausomybę nuo kampo $ \theta  $. Kadangi kampas $ \theta  $ čia kinta intervale nuo $ -\pi /2 $ iki $ \pi /2 $, tai brėžinyje (kurį skaitytojas nesunkiai pats sugeneruos pakeisdamas parametrus) matome tik pusę intesyvumo lapelių. Likusius gausime atspindėję piešinį vertikalios ašies atžvilgiu.

Antenos spindulio valdymas

Ankstesniame skyrelyje paprastumo dėlei laikėme, kad taškinių šaltinių spinduliuojamų bangų fazės $ \delta  $ buvo vienodos ir lygios nuliui. Tačiau praktikoje šios fazės vaidina gana svarbų vaidmenį: atitinkamu būdu parenkant ir keičiant atskirų šaltinų pradines fazes, galima keisti antenos išspinduliuojamo lapelio kryptį erdvėje. Šiuo principu grindžiamas radiolokatorių spindulio krypties valdymas, kai radiolokacinis spindulys nukreipiamas į norimą tašką, nepasukant pačios antenos.

Tarkime, vėl turime du bangų šaltinius. Kompleksinėje plokštumoje juos galima įsivaizduoti kaip iš skirtingų taškų išeinančius ir apie šiuos atskaitos taškus besisukančius vektorius $ \scE_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} $ ir $ \scE_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t+\delta)} $. Vektoriai sukasi tuo pačiu kampiniu greičiu $ \omega  $ (šaltinių koherencijos sąlyga). Kartu su vektoriais tuo pačiu kampiniu dažniu besisukančioje koordinačių sistemoje abu vektoriai bus fiksuoti ir pasukti vienas kito atžvilgiu $ \delta  $ kampu. Svarbu, kad fazių skirtumas $ \delta $ nesikeistų laikui bėgant.

Nubraižykime du kompleksinius elektrinio lauko vektorius (kompleksines amplitudes) ir jų vektorinę sumą. Jei besisukančioje koordinačių sistemoje pirmojo šaltinio elektrinio lauko amplitudę pažymėsime $ \scE_1 $, tada antrojo šaltinio elektrinis laukas bus $ \scE_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} \delta} $, kur fazė $ \delta $ atskaitoma pirmojo šaltinio elektrinio lauko atžvilgiu, kaip parodyta paveiksle.

Vaizdavimo parinktys:

  

Vektorinė pirmojo ir antrojo šaltinio elektrinių laukų suma šiame taške sukurs atstojamąjį lauką $ \scE =\scE_1 + \scE_2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \delta} $, kur eksponentė atsirado dėl papildomo fazių skirtumo $ \delta $ tarp gretimų šaltinių. Į registravimo ekraną pakliuvusių spindulių iš dviejų šaltinių pilnas fazių skirtumas dabar susideda iš pastovios $ \delta $ ir priklausančios nuo ekrano taško $ \varphi $ dalių sumos: $ \varphi +\delta $. Tolimesni samprotavimai lieka tokie patys, todėl atstojamajam intensyvumui apskaičiuoti pasinaudosime jau turėta formule, tik joje $ \varphi $ pakeisime į $ \varphi+\delta $. Jei turime ne du, o daugiau šaltinių, reikia žinoti, kaip šių šaltinių fazės pasuktos viena kitos atžvilgiu. Panagrinėsime uždavinį, kai didėjant šaltinio numeriui šaltinio spinduliuojamos bangos fazės skirtumas didėja proporcingai jos numeriui. Tam reikia kokiu nors būdu (praktikoje šiam tikslui naudojami specialūs fazės suktuvai) $ m $-jo šaltinio spinduliuojamos bangos fazę pirmojo šaltinio atžvilgiu pastumti per $ m\, \delta $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&ElaukasDelta=\sum _{m=1}^n \mathrm{Exp}[i (m-1)*(\delta +\varphi)];\\&&intensyvumasDelta=\mathrm{FullSimplify}[\mathrm{ExpToTrig}[\frac{ElaukasDelta*ElaukasDelta^*}{n^2}]]\end{eqnarray*}

Imkime $ \delta =\pi /4 $ ir palyginkime interferencinį paveikslą su gautu anksčiau. Intensyvumo lapelis, kaip dabar matyti, yra kiek pasuktas žemyn:

Klaida

Siauresnį lapelį ir akivaizdesnį spinduliavimo krypties valdymo paveikslą gausime, paėmę keturis taškinius šaltinius. Nubraižysime tris brėžinius trims skirtingoms $ \delta $ reikšmėms, $ \delta =-\pi /4 $, $ 0 $ ir $ \pi/4 $.

Klaida

Skyriuje naudotos paprastos kompleksinių eksponenčių sumos formulės leidžia akivaizdžiai parodyti elektroniškai valdomo spindulio veikimo principą. Realioje antenoje taškinių šaltinių vaidmenį atlieka mažos antenėlės, iš kurių ir sudaryta visa antena. Kad visų antenėlių atstojamasis spindulys turėtų cigaro formą, jos išdėstomos vienoje plokštumoje. Atskirų antenėlių $ \delta $ fazės yra valdomos kompiuteriu. Tokį cigaro pavidalo spindulį galima nukreipti į bet kokį taikinį nepaprastai greitai. Sumuojant spinduliuojančių šaltinių elektrinių laukų kompleksines amplitudes galima nesunkiai sužinoti, kas atsitiks, jei pakeisime šaltinių skaičių, bangos ilgį, o taip pat — kas atsitiks su spinduliu, jei vienas ar keli šaltiniai išeis iš rikiuotės. Panorėjęs šiuos eksperimentus atliks pats skaitytojas.

Skyriuje aprašyti kompiuteriniai bangų interferencijos eksperimentai su taškiniais šaltiniais iš esmės remiasi Huygenso principu, kuris sako, kad bet kokį bangos frontą galima pakeisti spinduliuojančiais sferines bangas taškiniais šaltiniais. Dėl interferencijos tokių šaltinių visuma nusako bangos frontą vėlesniu laiko momentu. Jei lazeriu apšviestume lakštą su skylutėmis, tada pagal Huygenso principą skylutės taptų naujais sferinių bangų šaltiniais. O.Huygensas (1629-1695), norėdamas paaiškinti, kaip susidaro bangų interferencijos sukeltos keteros, skriestuvu braižė apskritimus, kurių spinduliai buvo kartotiniai bangos ilgiui. Tokių koncentrinių apskritimų šeimos susikirsdamos priminė vandens paviršiuje stebimus interferencinius paveikslus. Nors mes nebraižėme apskritimų, tačiau, kaip ir O.Huygensas, naudojomės ta pačia bangų erdvinio periodiškumo savybe. Be to, apskaičiavimams pritaikėme dar vieną — kompleksinių elektrinio lauko amplitudžių superpozicijos principą, kuris Huygenso laikais dar nebuvo žinomas. Šie du principai kompiuterio ekrane ir leido gauti eksperimentuose stebimus interferencinius paveikslus. Pirmuosius interfencinius eksperimentus su šviesa pademonstravo Thomas Youngas (1773-1829).

Literatūra

R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, "The Feynman Lectures on Physics", Addison-Wesley publishing company, inc., 1963

B. Mechtly, A. A. Bartlett "Graphical representation of Fraunhofer interference and diffraction", Am. J. Phys. V.62, No 6, p.501-510 (1994)

spausdinti