MOKSLASplius.lt

Ciklotroninis rezonansas

Nagrinėdami elektrono judėjimą išsiaiškinome, kad sukryžmintuose nuostoviuose laukuose elektronas dreifuoja statmenai tiek elektriniam, tiek magnetiniam laukui. Tai reiškia, kad vidutiniškai elektronas iš elektromagnetinio lauko energijos nesugeria: paimdamas iš lauko energiją vienais laiko tarpais, ją grąžina kitais. Šiame skyriuje pamatysime, kad magnetiniame lauke judantį elektroną veikiant tam tikro dažnio harmoniniu elektriniu lauku, elektronas ima stipriai sugerti lauko energiją. Šis reiškinys vadinamas ciklotroniniu rezonansu. Eksperimente panagrinėsime du ciklotroninio rezonanso atvejus: 1) kai elektrono judėjimas yra visiškai netrikdomas ir 2) kai elektronas yra papildomai veikiamas atsitiktinių jėgų, permetančių jį iš vienos ciklotroninės orbitos į kitą. Pirmasis atvejis aprašo elektrono judėjimą ciklotroniniame greitintuve, antrasis — puslaidininkiuose ir jonizuotose dujose, kur atsitiktinių jėgų vaidmenį atlieka netvarkingi gardelės virpesiai arba elektronų susidūrimai su jonais.

Ciklotroninio rezonanso sąlygos

Perrašykime Lorentzo lygtis, pasinaudoję anksčiau įvestais elektrono koordinatės, elektrinio ir magnetinio laukų bei greičio pažymėjimais.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&R=\{X[t],Y[t],Z[t]\};\\&&v[r]=\{v_x,v_y,v_z\};\\&&\scE [r]=\{\scE_x,\scE_y,\scE_z\};\\&&\scB [r]=\{\scB_x,\scB_y,\scB_z\};\\&&judejimoLygtys=\Bigl(m \frac{\partial ^2 R}{\partial t^2}==e \bigl( v[r]\times \scB [r]+\scE [r]\bigr)\Bigr);\\&&(lorentz = \mathrm{Thread}[judejimoLygtys]) // \mathrm{ColumnForm}\end{eqnarray*}

Jei magnetinio lauko indukciją $ \scB_z $ nukreipsime $ z $ ašies kryptimi, o jai statmeną dažnio $ \omega  $ elektrinį lauką $ \scE_x $$ x $ ašies kryptimi, tada Lorentzo lygčių sistema bus

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\Bigl(lorentzExBz = \mathrm{Drop}[lorentz/.\bigl\{\scE_x\to  \scE_x*\mathrm{Sin}[\omega * t],\scE_y\to 0,\scE_z\to 0,\\&&\hphantom{\Bigl(lorentzErBz = lorentz/.\{}v_x\to X^\prime [t],v_y\to Y^\prime [t],\scB_x\to 0,\scB_y\to 0\bigr\},-1]\Bigr) //\mathrm{ColumnForm}\end{eqnarray*}

$ X(t) $ ir $ Y(t) $ yra elektrono koordinatės $ t $ momentu. $ Z $ koordinatės lygtis yra triviali, todėl ją eliminavome komanda \boldmath$\mathrm{Drop}[~]$. Rasime sistemos sprendinius, esant nulinėms pradinėms sąlygoms.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&sprendinysExBz=\mathrm{DSolve}[\{lorentzExBz,X[0]==0,Y[0]==0,X^\prime [0]==0,Y^\prime == 0\},\{X[t],Y[t]\},t]//\mathrm{FullSimplify}\end{eqnarray*}

Iš gautųjų sprendinių matome, kad turime dviejų skirtingo dažnio harmoninių virpesių superpoziciją: sukeltą išorinio lauko, kurio kampinis dažnis $ \omega $, ir taip vadinamo ciklotroninio, kurio kampinis dažnis $ \omega_c=e\scB_z /m $. Pastarasis priklauso nuo magnetinio lauko indukcijos, dalelės masės $ m $ ir krūvio $ e $. Suteiksime parametrams konkrečias vertes ir gautus sprendinius $ X(t) $ ir $ Y(t) $ vizualizuosime. Taip pat papildomai parodysime, kaip komanda \boldmath$\mathrm{Legend}[~]$ aprašyti brėžinyje pavaizduotas kreives. \boldmath$\mathrm{AbsoluteDashing}[~]$ panaudojimas vietoje \boldmath$\mathrm{Dashing}[~]$ užtikrina, kad brūkšneliai tiek grafike, tiek kreivių apraše (legendoje) bus vienodo ilgumo.

Suteikime skaitines vertes magnetinio ir elektrinio lauko stipriams, jų dažniui bei elektrono masei ir krūviui.

\boldmath$skaitinesVertes=\bigl\{$
\boldmath$\scB_z$\boldmath$\to$,magnetinio lauko $ z $ sando vertė
\boldmath$\scE_x$\boldmath$\to$,elektrinio lauko $ x $ sando vertė
\boldmath$\omega$\boldmath$\to$,išorinio lauko dažnis
\boldmath$m$\boldmath$\to$,elektrono masės vertė
\boldmath$e$\boldmath$\to$elektrono krūvio vertė
\boldmath$\bigr\}$

  

Trajektorijos sandus nubraižysime braižymo komanda \boldmath$\mathrm{Plot}[~]$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&<< Graphics{}^\backprime Legend{}^\backprime \\&&\\&&\mathrm{ShowLegend}[\\&&\quad \mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{X[t],Y[t]\}/.sprendinysExBz/.skaitinesVertes],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{max}}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$},\\&&\mathrm{Ticks}\to \{False,\{\{"-\frac{1.}{10^{12}}" ,"-10^{-12}" \},\{"\frac{1}{10^{12}}" , "10^{-12}"\}\}\},AxesLabel\to \{t,X,Y\},\\&&\qquad\mathrm{DisplayFunction}\to \mathrm{Identity}],\\&&\{\{\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{1,0\}\}]\}],"X koord."\},\\&&\quad \mathrm{Graphics}[\{\mathrm{AbsoluteDashing}[\{3,3\}],\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{1,0\}\}]\}],"Y koord."\}\},\\&&\mathrm{LegendPosition}\to \{0.25,0.3\},\mathrm{LegendSize}\to \{0.62,0.2\}, \mathrm{LegendTextSpace}\to 4,\mathrm{LegendShadow}\to \mathrm{None}\}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{min}$= iki \boldmath$t_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Sparčiosios osciliacijos matomos tik $ x $ koordinatės kreivėje, nes jas sukelia lygiagrečiai $ x $ ašiai virpantis harmoninis elektrinis laukas. Pasinaudoję tuo pačiu sprendiniu, trajektoriją taip pat vizualizuosime $ x-y $ plokštumoje \boldmath$\mathrm{ParametricPlot}[~]$ komanda

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{ParametricPlot}[ \mathrm{Evaluate}[\{Y[t],Z[t]\}/.sprendinysExBz/.skaitinesVertes],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{max}}$}\},\\&&\quad AxesLabel\to \{X, Y\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{min}$= iki \boldmath$t_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Atkreipiame dėmesį, kad trajektorija nėra uždara. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodys sprendiniai ciklotroninio rezonanso sąlygomis, t.y. kai elektrinio lauko svyravimų dažnis sutampa su ciklotroniniu dažniu: $ \omega =\omega_c $. Esant rezonansui, gautieji sprendiniai $ X(t) $, $ Y(t) $ netinka, nes jų vardikliai virsta nuliais. Todėl iš naujo išspręsime tą pačią lygčių sistemą, dažnį $ \omega $ prilyginę ciklotroniniam dažniui.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&lorentzExBzRez= lorentzExBz/.\omega \to \frac{e\, \mathcal{B}_z}{m};\\&&sprendinysExBzRez=\mathrm{DSolve}[\{lorentzExBz,X[0]==0,Y[0]==0,X^\prime [0]==0,Y^\prime == 0\},\{X[t],Y[t]\},t]//\mathrm{FullSimplify}\end{eqnarray*}

Matome, kad dabar sprendinyje atsirado proporcingai laikui augantys nariai (panašiai buvo eksperimente, kur nagrinėjom $ L C $ kontūro rezonansinį žadinimą). Pavaizduokime sprendinį, esant toms pačioms laukų vertėms ir kiek gražiau apipavidalinkim legendą.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{ShowLegend}[\\&&\quad \mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{X[t],Y[t]\}/.sprendinysExBzRez/.skaitinesVertes],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{max}}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$},\\&&\mathrm{Ticks}\to \{False,\{\{"\frac{1.}{10^{10}}" ,"0.1" \},\{"\frac{2}{10^{10}}" , "0.2"\}\}\},AxesLabel\to \{t,"X,Y (nm)"\},\\&&\qquad\mathrm{DisplayFunction}\to \mathrm{Identity}],\\&&\{\{\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{1,0\}\}]\}],"X koord."\},\\&&\quad \mathrm{Graphics}[\{\mathrm{AbsoluteDashing}[\{3,3\}],\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{1,0\}\}]\}],"Y koord."\}\},\\&&\mathrm{LegendPosition}\to \{-0.5,0.3\},\mathrm{LegendSize}\to \{0.62,0.2\}, \mathrm{LegendTextSpace}\to 4\}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{min}$= iki \boldmath$t_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Matome, kad bėgant laikui $ X $ ir $ Y $ koordinačių amplitudės didėja tiesiškai. Jei elektrono trajektoriją atidėsime $ x-y $ plokštumoje, gausime išsisukančią iš centro spiralę.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{ParametricPlot}[ \mathrm{Evaluate}[\{Y[t],Z[t]\}/.sprendinysExBzRez/.skaitinesVertes],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{max}}$}\},\\&&\quad \mathrm{AxesLabel}\to \{X, Y\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{min}$= iki \boldmath$t_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Iš gauto analizinio sprendinio matyti, kad elektrono sukimosi (ciklotrininis) periodas $ T=2 \pi /\omega_c=2 \pi m/(e \scB_z) $ priklauso tik nuo magnetinės indukcijos $ \scB_z $, tuo tarpu radialinis judėjimas priklauso nuo abiejų laukų $ \scE_x $, $ \scB_z $. Dėl šios priežasties trajektorijos spindulys laikui bėgant auga ne tiesiškai, kaip galėtų pasirodyti iš pirmo žvilgsio, o kiek sudėtingiau. Kad tuo įsitikintume, panagrinėkime spindulio $ R(t)=\sqrt{\vphantom{x^2}\smash{X^2(t)+Y^2(t)}} $ priklausomybę nuo laiko $ t $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[ \mathrm{Evaluate}[\sqrt{\vphantom{X}\smash{X[t]^2+Y[t]^2}}/.sprendinysExBzRez/.skaitinesVertes],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{t_{max}}$}\},\\&&\quad \mathrm{AxesLabel}\to \{t \times 10^{-10} s, R(t)\},\mathrm{Ticks}\to \{\{\frac{#1}{10^{10}},\mathrm{ToString}[#1]\}\&/@\mathrm{Range}[        3],\mathrm{Automatic}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{min}$= iki \boldmath$t_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Taigi, spindulys tik vidutiniškai proporcingas laikui. Besisukančio elektrono greitis didėja, nes ciklotroninio rezonanso metu elektronas kiekvieno apsisukimo metu absorbuoja tam tikrą energijos porciją iš elektromagnetinio lauko. Šia savybe ir pagrįstas ciklotroninių greitintuvų veikimas. Jei ciklotroninio rezonanso sąlyga nepatenkinama, elektronas iš lauko absorbuotą energiją po tam tikro laiko pradeda grąžinti atgal laukui, todėl vidutiniškai iš lauko energijos jis neima.(Pataisyti: kadangi laukas išorinis "grąžinti" neturi prasmės: laukas tiesiog stabdo) Čia pravartu prisiminti Pereinamieji virpesiai LC konture eksperimente nagrinėtą srovės mušimo $ L C $ kontūre reiškinį, kai išorinis dažnis nesutapo su savuoju kontūro dažniu. Ten energija periodiškai buvo įpumpuojama ir išpumpuojama iš kontūro.

Ciklotroniai greitintuvai yra naudojami ir kitoms krūvį turinčioms dalelėms, pavyzdžiui, protonams greitinti. Jei dalelės greitis artimas šviesos greičiui, pagal reliatyvumo teoriją reikia atsižvelgti į reliatyvistines masės pataisas. Kadangi dalelei greitėjant jos masė didėja, tai sukimosi periodas $ 2 \pi /\omega_c $ ilgėja. Daug kartų dalelei apsisukus šis vėlavimas pasidaro žymus, ir dėl susidariusio fazės postūmio išorinis laukas nustoja dalelę greitinti, o vėliau net pradeda stabdyti. Taigi, padidėjusi dalelės masė pažeidžia rezonanso sąlygą, todėl ciklotroninis greitintuvas turi natūralią greitinimo ribą. Protonams ši riba yra apie $ 12 $MeV. Norint daleles dar labiau pagreitinti, būtina keisti jas greitinančio lauko dažnį, atsižvelgiant į dalelių reliatyvistinį pasunkėjimą taip, kad dalelės visą laiką būtų ant greitinančios ,,bangos'' viršaus. Taip ir daroma sudėtinguose šiuolaikiniuose greitintuvuose, pavyzdžiui, sinchrotronuose. Kaip naudojant Mathematica "suprojektuoti'' savo greitintuvą, galima paskaityti straipsnyje [Alves98].

Lorentzo lygtys taip pat neatsižvelgia į tai, kad judančios ratu įelektrintos dalelės spinduliuoja elektromagnetines bangas. Tai veda prie radiacinių nuostolių, kurie didėja dalelėms vis greičiau sukantis. Todėl žiediniai greitintuvai turi dar ir kitą natūralią greitinimo ribą, pasiekiamą kuomet dalelei per apsisukimo periodą suteikiama tiek energijos, kiek ji apskriedama ratą jos išspinduliuoja. Taigi, suprojektuoti ir pastatyti šiuolaikinius greitintuvus yra sudėtinga. Vis dėlto suvienijus bendras daugelio šalių pastangas jie statomi. Daug atradimų tikimasi iš 2006 metais pradėsiančio veikti didžiojo hadronų greitintuvo (Large Hadron Collider) CERNe. Hadronais vadinamos dalelės, dalyvaujančios stipriojoje sąveikoje. Toks, pavyzdžiui, yra protonas, $ 939 $ kartus sunkesnė už elektroną ir turinti priešingą krūvį dalelė. Šiame greitintuve kiekvienas iš priešpriešais judančių protonų pluoštų bus pagreitinamas iki $ 7 $TeV energijos (tera arba $ \mathrm{T}=10^{12} $).

Kita vertus, kuo dalelė lengvesnė, tuo radiaciniai nuostoliai didesni, todėl lengvas daleles (elektronus), dar labiau pagreitinti įmanoma tik tiesiniais, daugelio kilometrų ilgumo, greitintuvais.

Ciklotroninis rezonansas puslaidininkiuose ir dujose

Aprašytas ciklotroninis elektrono judėjimas gali vykti tik vakuume. Jei elektronas juda dujose arba puslaidininkyje, jo judėjimą trikdo susidūrimai su molekulėmis arba chaotiniai puslaidininkio gardelės atomų virpesiai. Ciklotroninio rezonanso metu dūžiai riboja begalinį elektrono energijos didėjimą. Į atsitiktinius susidūrimus galima atsižvelgti, įvedus trinties jėgą Lorentzo lygtyse [Kittel75]. Kadangi susiduriama tuo dažniau, kuo greičiau elektronas juda, laikysime, kad trinties jėga yra tiesiog proporcinga elektrono greičiui: $ \vec{F}_{tr}= m \vec{v}/\tau $. Dydis $ \tau $ formulėje žymi vidutinę elektrono laisvojo lėkio ciklotronine orbita trukmę. Jei įjungsime harmoninį elektrinį lauką, tai po tam tikro laiko tarp stabdančio trinties ir greitinančio elektrinio lauko poveikių nusistovės pusiausvyra. Elektrono judėjimo lygtis, kurioje atsižvelgiama į trintį, skiriasi tik papildomais jėgos nariais greičio sanduose.

\[ \bigg\{ {\arraycolsep=0.6\arraycolsep \begin{array}{rcl} m\, \mathrm{d} v_x /\mathrm{d} t &=&e (\scE_x+v_y \scB_x)-m v_x /\tau,\\m\, \mathrm{d} v_y /\mathrm{d} t &=&-e v_x \scB_x-m v_y /\tau.\end{array}} \tag{1} \]

\boldmath\begin{eqnarray*}&&lorentzSuTrintimi=\mathrm{Thread}\Bigl(m \frac{\partial ^2 R}{\partial t^2}==e \bigl( v[r]\times \scB [r]+\scE [r]\bigr)\Bigr)-m v[r]/\tau];\\&&\Bigl(lorentzExBzSuTrintimi = \mathrm{Drop}[lorentzSuTrintimi/.\bigl\{\scE_y\to 0,\scE_z\to 0,\\&&\hphantom{\Bigl(lorentzExBz = lorentz/.\{}v_x\to X^\prime [t],v_y\to Y^\prime [t],\scB_x\to 0,\scB_y\to 0\bigr\},-1]\Bigr)//\mathrm{ColumnForm}\end{eqnarray*}

Bendrąjį judėjimo lygčių, kuriose atsižvelgta į trintį, sprendinį surasti yra gana sudėtinga. Gerokai lengviau surasti nusistovėjusius (stacionarius) sprendinius, t.y. sprendinius, kurie aprašo sistemos elgesį praėjus pakankamai ilgam laiko tarpui po periodinio lauko ,,įjungimo''. Išties, periodiškai trikdomoje sistemoje po ilgo laiko tarpo gali išlikti tik periodinis sprendinys. Todėl stacionaraus sprendinio ieškosime tokiame pavidale, kokį turi išorinis veiksnys. Mūsų uždavinyje šis išorinis veiksnys yra harmoniškai kintantis elektrinis laukas, nukreiptas $ x $ ašies kryptimi. Uždavinyje su trintimi harmoninį elektrinį lauką patogu aprašyti kompleksine eksponente $ \scE_x \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} $, kurioje amplitudę $ \scE_x $ laikysime realiu dydžiu. Sprendinio ieškosime tokiame pat pavidale $ c_{1,2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} $, kurį įstatę į gautas lygtis vietoje diferencialinių lygčių gausime algebrines. Pastarąsias išsprendę ieškomų kompleksinių amplitudžių $ c_{1,2} $ atžvilgiu, rasime norimą sprendinį.

Sekdami aprašytu sprendimo metodu pirmiausia į judėjimo su trintimi lygtis įstatykime išorinio elektrinio lauko išraišką ir ,,spėjamuosius'' sprendinius su nežinomomis amplitudėmis \boldmath$c1$ ir \boldmath$c2$:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&spejamosLygtys=  lorentzExBzSuTrintimi/.\{X^{\prime\prime}[t]\to c1* \mathrm{D}[\mathrm{Exp}[\ii \omega  t],\{t,2\}],\\&&\quad           X'[t]\to c1 * \mathrm{D}[\mathrm{Exp}[\ii \omega  t],t],            X[t]\to c1*\mathrm{Exp}[\ii \omega  t],            Y^{\prime\prime}[t]\to c2* \mathrm{D}[\mathrm{Exp}[\ii \omega  t],\{t,2\}],\\&&\quad            Y'[t]\to c2*\mathrm{D}[\mathrm{Exp}[\ii \omega  t],t],            Y[t]\to c2*\mathrm{Exp}[\ii \omega  t],\mathcal{E}_x\to \mathcal{E}_x \mathrm{Exp}[\ii \omega  t]\}\end{eqnarray*}

Padauginę abi lygčių puses iš $ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} $ gausime algebrines lygtis nežinomiems koeficientams \boldmath$c1$ ir \boldmath$c2$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&algebrinesLygtys=\mathrm{Map}[\bigl(\mathrm{Exp}[-\ii \omega  t]*# \bigr)\&,spejamosLygtys,\{2\}]//\mathrm{FullSimplify}\end{eqnarray*}

Šias lygtis išsprendę nežinomų koeficientų atžvilgiu ir juos įstatę į spėjamas funkcijas randame stacionariuosius diferencialinių lygčių sistemos sprendinius.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&cKoeficientai = \mathrm{Flatten}[\mathrm{Solve}[algebrinesLygtys, \{c1, c2\}]];\end{eqnarray*}

\boldmath\begin{eqnarray*}&&stacionarusSprendinys = \{X[t] \to c1*\mathrm{Exp}[\ii*\Omega *t],        Y[t] \to c2*\mathrm{Exp}[\ii*\Omega *t]\} /. cKoeficientai // \mathrm{FullSimplify};\end{eqnarray*}

Prieš pasinaudodami gautu stacionariu sprendiniu pastebėsime, kad Mathematica gali rasti ir bendrąjį nagrinėjamos lygties sprendinį, nors skaičiavimai trunka gerokai ilgiau.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&& sprendinysPilnasExBz=\mathrm{FullSimplify}[\mathrm{First}[\mathrm{Flatten}[\mathrm{DSolve}[ \\&&\quad\{\mathrm{Sequence}@@[lorentzExBzSuTrintimi/.\mathcal{E}_x\to \mathcal{E}_x \ee^{\ii \omega  t}],X^\prime [0]==0,Y^\prime [0]==0,X[0]==0,Y[0]==0\},\{X[t],Y[t]\},t]]]]\end{eqnarray*}

Net ir suprastinus sprendinys yra gerokai sudėtingesnis už stacionarųjį, todėl parodėme tik jo $ X(t) $ sandą. Įstatę skaitines vertes, ir pavaizdavę pilnojo ir stacionaraus sprendinio skirtumo realią dalį, kaip netrukus įsitikinsime, jau po $ 3\times 10^{-11} $ sekundės (t.y. po laiko intervalo, trumpesnio negu ciklotroninis periodas) abu sprendiniai praktiškai niekuo nesiskiria. Menamosios funkcijų dalys atsižvelgia į svyravimų fazes. Nubraižysime pereinamojo ir stacionaraus sprendinio realių dalių skirtumą.

\boldmath$skaitinesVertesSuTrintimi=\bigl\{$
\boldmath$\scB_z$\boldmath$\to$,magnetinio lauko $ z $ sando vertė
\boldmath$\scE_x$\boldmath$\to$,elektrinio lauko $ x $ sando vertė
\boldmath$m$\boldmath$\to$,elektrono masės vertė
\boldmath$e$\boldmath$\to$elektrono krūvio vertė
\boldmath$\bigr\}$
\boldmath$tauOmega=\bigl\{$
\boldmath$\omega$\boldmath$\to$,išorinio lauko dažnis
\boldmath$\tau$\boldmath$\to$,vidutinė elektrono laisvojo lėkio trukmė
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\mathrm{Re}[((X[t]/.sprendinysPilnasExBz)-(X[t]/.stacionarusSprendinys)) \\&& \quad /.skaitinesVertesSuTrintimi/.tauOmega]],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{t_{max}}$}\},Ticks\to \{\{\frac{#1}{10^{12}},\mathrm{ToString}[#1]\}\&/@\mathrm{Range}[10],Automatic\},\\&&AxesLabel\to \{t 10^{-12}(s),skirtumas\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}];\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{min}$= iki \boldmath$t_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Dabar surasime energiją, kurią elektronas sugeria per elektrinio lauko svyravimo periodą $ T=2\pi /\omega $. Kitaip tariant, surasime darbą, kurį atlieka osciliuojantis elektrinis laukas vieno svyravimo periodo metu. Kadangi laukas osciliuoja, tai laiko momentu $ t $ elektrinio lauko dydis yra $ \mathrm{Re}(\scE_x \ee^{\ii\omega t}) $, kur $ \mathrm{Re} $ žymi realią dalį. Į osciliacijų fazę atsižvelgia menamoji dalis. Iš bendros darbo $ W $ skaičiavimo formulės, $ W=\int_\mathrm{trajektorija} \vec{F}\cdot \mathrm{d} \vec{\ell} $, seka, kad elektrinio lauko atliekamą darbą galima apskaičiuoti taip: $ W=e\int_0^t\vec{\scE}\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{\ell}}{\mathrm{d} t} \,\mathrm{d} t $. Taškas formulėse žymi dviejų vektorinių dydžių skaliarines sandaugas: pirmoje formulėje jėgos $ \vec{F}=e\vec{\scE} $ ir kelio elemento $ \mathrm{d} \vec{\ell} $, antroje — greičio $ \vec{v}=\mathrm{d}\vec{\ell}/\mathrm{d} t $ ir elektrinio lauko $ \vec{\scE} $. Antroji formulė patogesnė apskaičiavimams, nes elektrono greitį lengva surasti išdiferencijavus sprendinį. Taigi, atsižvelgus į osciliuojantį jėgos ir trajektorijos pobūdį, svyravimų periodo metu iš lauko imamas galingumas (darbas, padalintas iš periodo) gali būti išreikštas tokiu būdu: $ \frac{1}{T}e \int_0^T\mathrm{Re}(\vec{\scE}) \cdot \mathrm{Re}(\vec{v})\,\mathrm{d} t $. Pradžioje apskaičiuokime skaliarinę pointegrinio reiškinio sandaugą.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&skaliarineSandaugaRe=\mathrm{ComplexExpand}[\mathrm{Re}[(\mathrm{D}[\{X[t],Y[t]\}/.stacionarusSprendinys,t])]\, .\, \mathrm{Re}[\{\mathcal{E}_x \ee^{\ii \omega  t},0\}],\\&&\quad  TargetFunctions\to \{\mathrm{Re},\mathrm{Im}\}];\end{eqnarray*}

Suintegravę gautą rezultatą randame, kad absorbuotas iš lauko galingumas yra

\boldmath\begin{eqnarray*}&&e*\omega/(2*\pi)*\mathrm{Integrate}[skaliarineSandaugaRe,\{t,0,2*\pi/\omega\}]//\mathrm{FullSimplify}\end{eqnarray*}

Kadangi iš tikrųjų vidurkinome dydį $ \frac{1}{T}\int_0^T \cos^2(\omega t)\,\mathrm{d} t $, kuris lygus $ \frac12 $, tą patį rezultatą gautume paprasčiausiai sudauginę lauko amplitudės $ \scE_x $ (padaugintos iš elektrono krūvio) ir greičio $ x $ sando realiąsias dalis bei po to padalinę viską pusiau.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{FullSimplify}[\frac{1}{2} e \mathrm{ComplexExpand}[\mathcal{E}_x \mathrm{Re}[\mathrm{D}[X[t]/.stacionarusSprendinys, t]/.t\to 0],\mathrm{TargetFunctions}\to \{\mathrm{Re,Im}\}]]\end{eqnarray*}

Taigi, elektrono absorbuojamas galingumas yra proporcingas realiai elektrono greičio, nukreipto elektrinio lauko kryptimi, daliai. Pavaizduokime pastarosios priklausomybę nuo dažnio $ \omega  $, kai relaksacijos trukmės $ \tau  $ yra $ 30 $, $ 10 $ ir $ 3 $ pikosekundės. Efektyviąją elektrono masę laikykime lygia dešimtadaliui laisvojo elektrono masės. Tokia efektyviosios elektrono masės vertė yra būdinga laisviesiems elektronams puslaidininkiuose.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&greitisXRe=\mathrm{Together}[\mathrm{ComplexExpand}[\mathrm{Re}[\mathrm{D}[X[t]/.stacionarusSprendinys,t]/.t\to 0],\mathrm{TargetFunctions}\to \{\mathrm{Re,Im}\}]]\end{eqnarray*}

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{ShowLegend}[\\&&\quad \mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{greitisXRe /. \tau \to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{\tau_1}$}, \tau \to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{\tau_2}$},\tau \to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{\tau_3}$}\} /. skaitinesVertesSuTrintimi],\{\omega,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\omega_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\omega_{max}}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$},\\&&\quad \mathrm{AxesLabel}\to \{"\omega,(1/s)","sugertis"\},\mathrm{DisplayFunction}\to \mathrm{Identity}],\\&&\{\{\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{Line}[\{\{0, 0\}, \{3., 0\}\}]\}], \mathrm{ToString}[\tau_1]\}, \\&&\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{AbsoluteDashing}[\{5, 5\}], \mathrm{Line}[\{\{0, 0\}, \{3., 0\}\}]\}],       \mathrm{ToString}[\tau_2]\}, \\&&\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{AbsoluteDashing}[\{10, 10\}], \mathrm{Line}[\{\{0, 0\}, \{3., 0\}\}]\}],       \mathrm{ToString}[\tau_3]\}\}, \\&&\mathrm{LegendPosition}\to  \{0, 0\},     \mathrm{LegendSize} \to \{0.9, 0.3\}, \mathrm{LegendTextSpace} \to 1.8, \mathrm{LegendSpacing} \to -0.1\}];\end{eqnarray*}

Parametro $ \tau $ vertės \boldmath$\tau_{1}$=\boldmath$\tau_{2}$=\boldmath$\tau_{3}$=
Piešti nuo \boldmath$\omega_{min}$= iki \boldmath$\omega_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Matome, kad ties ciklotroniniu dažniu $ \omega_c $, kuris nagrinėjamu atveju lygus

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\frac{e \mathcal{B}_z}{m}/.skaitinesVertesSuTrintimi\end{eqnarray*}

turime sugerties maksimumą. Sugerties smailės aukštis priklauso nuo $ \omega_c $ ir $ \tau  $ sandaugos. Jai didėjant smailė žemėja ir platėja. Sandaugai sumažėjus apytiksliai iki vieneto smailė visiškai išnyksta. Ciklotroninis rezonansas naudojamas laisvųjų krūvininkų puslaidininkiuose efektinei masei ir relaksacijos trukmei nustatyti. Kadangi elementaraus krūvio dydis yra žinomas, tai išmatavę magnetinio lauko indukciją ir dažnį $ \omega_c $, kuriam esant stebimas ciklotroninis rezonansas, galėsime sužinoti krūvininko efektinę masę. Kaip matyti iš brėžinio, rezonansinės smailės plotis priklauso nuo relaksacijos trukmės $ \tau $, todėl iš smailės ploto galima įvertinti krūvininkų sklaidos intensyvumą. Be to, svarbu, kad linijos padėtis beveik nepriklauso nuo relaksacijos trukmės $ \tau  $.

Aišku, kad tokiu pat būdu galima išmatuoti ir jonų, dalyvaujančių dujinės plazmos išlydyje, mases. Kadangi $ \omega_c=e \scB_z/m $ dydis priklauso nuo jono masės ir krūvio, keičiant magnetinį lauką stebėsime ne vieną, o daug smailių, nes plazmą sudaro skirtingos masės ir krūvių jonai. Kaip ir puslaidininkių atveju, iš smailės pločio nustatomas plazmos sklaidos stiprumas. Tik šiuo atveju parametras $ \tau  $ nusako jono charakteringąją laisvo lėkio trukmę, kurio kita interpretacija yra atvirkštinis susidūrimų plazmoje dažnis.

Literatūra

Rui Alves-Pires and Rui Dilo "The Design of Synchrotron Accelerators", Mathematica in Education and Research, Nr. 7, (1998), p. 6-11

C. Kittel "Introduction to Solid State Physics", John Wiley, NewYork,1975, 4-th edition

spausdinti