MOKSLASplius.lt

Dvigubas kvantinis šulinys

Šis eksperimentas yra techniškai gana sudėtingas. Prieš jį nagrinėjant siūlome susipažinti su viengubu kvantiniu šuliniu .Pirmiausia nustatome atsakymų šrifto dydį šiame puslapyje taip, kad gerai matytume atsakymus

Šrifto dydis:

  

Panagrinėsime, kaip susidaro dvilygmenė sistema simetrijos plokštumą turinčiuose fizikiniuose objektuose, tokiuose kaip amoniako molekulė NH$ _3 $ arba kvantinių šulinių pora. Tuo pačiu prisiminsime svarbų kvantinės mechanikos reiškinį — materijos bangų interferenciją.

Pavaizduosime dvigubą kvantinį šulinį, kuriame yra tik vienas elektronas. Šuliniai 2 ir 4 sąveikauja vienas su kitu, nes juos skiriantis barjeras 3 yra baigtinio aukščio $ V_1 $. Išorinės šulinių sienos taip pat nėra begalinio aukščio, todėl elektronas iš šulinių gali pabėgti.

Vaizdavimo parinktys:

  

Jei barjeras būtų begalinio aukščio, kiekviename šulinyje būtų po vieną tos pačios energijos $ E $ lygmenį, kitaip tariant, sistema turėtų vieną du kartus išsigimusį energijos lygmenį. Kai barjero aukštis $ V_1 $ yra baigtinis, elektronas gali tuneliuoti pro jį, dėl ko šuliniai "jaučia" vienas kitą, todėl išsigimęs lygmuo suskyla į du skirtingos energijos lygmenis $ E_1 $ ir $ E_2 $, pažymėtus punktyrine linija.

Jei elektrono energija yra maža, $ E< V_1 $, dažniausiai jis bus kažkuriame iš šulinių. Kadangi vidinis potencinis barjeras $ V_1 $ yra baigtinio aukščio, elektronas gali kartas nuo karto pro jį pralįsti tuneliuodamas. Taigi, elektronas patalpintas į vieną iš šulinių po kurio laiko ims priklausyti abiems šuliniams vienu metu. Kitaip tariant, eksperimente jis kartais būtų registruojamas viename, o kartais — kitame šulinyje. Taip pat egzistuoja nors ir maža, tačiau nenulinė tikimybė elektroną užregistruoti ir barjere tarp šulinių arba už jo kraštų, todėl visos sistemos banginę funkciją ,,sudėliosime'' iš atskirų gabaliukų. Laikysime, kad barjere ir už šulinio kraštų, kur klasikiniu požiūriu elektronas negali patekti, jo banginė funkcija (kuri priklauso nuo koordinatės $ x $) turės augančios ir gęstančios eksponenčių sumos, o šuliniuose — stovinčios bangos pavidalą:

\[ \begin{array}{cl} \psi_1=&B_1\rm{e}^{\chi_c x},\\ \psi_2=&A_1\sin kx+C_1\cos kx, \\ \psi_3=&B_2\rm{e}^{\chi_b(a-x)}+B_3\rm{e}^{-\chi_b(a+b-x)}, \\ \psi_4=&A_2\sin k(2a+b-x)+C_2\cos k(2a+b-x), \\ \psi_5=&B_4\rm{e}^{\chi_c(2a+b-x)}, \end{array}\tag{1} \]
Raide $ k $ čia pažymėjome "laisvo" elektrono banginį vektorių, $ k=\sqrt{2m_0E/\hbar^2} $, kvantiniuose pločio $ a $ šuliniuose (toliau visur laikysime $ c=a $). Energijos $ E $ atskaitos pradžią pradedame nuo šulinių dugno (jie yra tame pačiame lygmenyje). Banginiai vektoriai barjere ir už šulinio ribų yra $ \chi_b=\sqrt{(2m_b/\hbar^2)(V_b-E)} $ ir $ \chi_c=\sqrt{(2m_c/\hbar^2)(V_c-E)} $. Formulėse įvedėme skirtingas elektronų mases, būtent, $ m_0 $ šuliniuose, $ m_b $ barjere ir $ m_c $ išorėje. Su čia nagrinėjama šulinių struktūra dažnai susiduriama nagrinėjant puslaidininkių heterostruktūras, kuriose dvibubas kvantinis šulinys sukuriamas iš nanometrinio dydžio sluoksnių, turinčių skirtingus draustinių energijų tarpus. Savo ruožtu tai sąlygoja skirtingas efektyvias elektrono mases srityse 1, 2 ir 3.

Užraštyta banginė funkcija turi aštuonis nežinomos koeficientus, kurie turi būti apskaičiuoti. Aišku, pasinaudojus uždavinio simetrija nežinomų koeficientų skaičius galėtų būti sumažintas. Tačiau mes tuo nesirūpinsime. Už mus visą darbą automatiškai atliks Gröbnerio bazės algoritmas. Prieš jį panaudodami turime užduoti kraštines sąlygas, kurias ieškoma banginė funkcija ir jos išvestinė turėtų tenkinti, nes fizikinę prasmę banginė funkcija (1) ir jos išvestinė turi tik tada, kai abi jos yra tolydžios funkcijos. Taip yra dėl to, kad tikimybė aptikti elektroną dviejuose be galo artimuose taškuose bei tikimybės srauto (jis proporcingas išvestinei) į barjerą ir iš barjero skirtumas negali keistis šuoliškai. Banginių funkcijų ir jų išvestinių tolydumo reikalavimas sujungimo ribose uždeda sąlygas koeficientams. Mes imsime bendriausias BenDaniel-Duke kraštines sąlygas, kurios atsižvelgia į skirtingas elektrono mases šulinyje ir už jos ribų. Banginės funkcijos sujungimo taškai yra $ X=0 $, $ X=a $, $ X=a+b $ ir $ X=2a+b $. Juose reikalaujame, kad būtų išpildytos šios sąlygos

\[ \begin{array}{cl}\psi_{r}(X^+)&=\psi_{l}(X^-)\, ,\\\frac{1}{m_r}\frac{\partial\psi_{r}}{\partial x}\Big\vert_{X^+}&=\frac{1}{m_l}\frac{\partial\psi_{l}}{\partial x}\Big\vert_{X^-}.\end{array} \]
Pliusas ir minusas reiškia, kad sąlygos galioja bet kuriems gretimiems sujungimo taškams.

Tokiu būdu užrašytos banginės funkcijos ir jų sujungimo sąlygos duoda aštuonių tiesiškai nepriklausomų lygčių sistemą

\[ \begin{array}{l}&B_1-C_1=0, \\&-A_1 k/m_0+B_1\chi_c/m_c=0,\\&-B_2-B_3\rme^{-b\chi_b}+A_1\sin ak+C_1\cos ak =0,\\&(B_2\chi_b-B_3\chi_b\rme^{-b\chi_b})/m_b+(A_1k\cos ak-C_1k\sin ak)/m_0 =0,\\&B_3+B_2\rme^{-b\chi_b}-A_2\sin ak-C_2\cos ak =0,\\&(B_3\chi_b-B_2\chi_b\rme^{-b\chi_b})/m_b+(A_2k\cos ak-C_2k\sin ak)/m_0 =0,\\&-B_4+C_2=0, \\ &-A_2 k/m_0+B_4\chi_c/m_c=0\, .\label{eqs8}\end{array} \]
.

Mathematica kalba jos gali būti gaunamos tokiu būdu (indeksus prie raidės $ \chi $ pakeitėme skaičiais 1,2 ir 3):

\boldmath\begin{alignat*}{2}&\begin{array}{rl}\textbf{all}\psi =&(\bigl\{\psi 1=B1* \mathrm{e}^{x \chi 1} ,\\&\psi 2=A1*\textbf{Sin}[k*x]+C1*\textbf{Cos}[k*x],\\&\psi 3=B2 *\mathrm{e}^{-(x-a) \chi 2}+B3 *\mathrm{e}^{-(a+b-x) \chi 2},\\&\psi 4=A2 *\textbf{Sin}[k (a+b+c -x)]+C2 *\textbf{Cos}[k (a+b+c -x)],\\&\psi 5=B4* \mathrm{e}^{-(x-(a+b+c)) \chi 1}\bigr\}/.c\rightarrow a);\end{array}\\[3pt]&\{eq12a = (\psi 1 - \psi 2) /. x \rightarrow 0, \\  & eq12b = (D[\psi 1, x]/mV0 - D[\psi 2, x]/m0) /. x \rightarrow 0\} /. c \rightarrow a;\\&\{eq23a = (\psi 2 - \[psi 3) /. x \rightarrow a, \\    & eq23b = (D[\psi 2, x]/m0 - D[\psi 3, x]/mV1) /. x\rightarrow a\} /. c \rightarrow a;\\&\{eq34a = (\psi 3 - \psi 4) /. x\rightarrow (a + b),\\     & eq34b = (D[\psi 3, x]/mV1 - D[\psi 4, x]/m0) /. x \rightarrow (a + b)\} /.  c \rightarrow a;\\&\{eq45a =(\psi 4 - \psi 5) /. x\rightarrow (a + b + c),  \\  & eq45b = (D[\psi 4, x]/m0 - D[\psi 5, x]/mV0) /.   x \rightarrow (a + b + c)\} /. c \rightarrow a;\\&\{{eq12a,eq12b,eq23a,eq23b,eq34a,eq34b,eq45a,eq45b}\}\end{alignat*}

Surinkime koeficientus prie ieškomų koeficientų ir apskaičiuokime gautos koeficientų matricos determinatą

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}detMatrixRaw =  &\mathrm{Det}[\mathrm{Coefficient}[\{eq12a, eq23a, eq34a, eq45a, eq12b, eq23b, eq34b,        eq45b\\&\quad\} /. c \rightarrow a, \#] \& /@ \{B1, A1, C1, B2, B3, A2, C2, B4\}]\end{split}\end{equation*}

Laikydami, kaip minėjome, kad $ c=a $, determinatą galime faktorizuoti į du daugiklius. Vienas iš svarbus simetrinei, kitas antisimetrinei banginei funkcijai. Kaip žinome, norint gauti netrivialų užrašytos lygčių sistemos sprendinį determinatą turime prilyginti nuliui

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}detMatrix = &\mathrm{Map}[\mathrm{Collect}[\#, \mathrm{Exp}[\_]] \&, (\mathrm{Factor}[detMatrixRaw])] == 0;\\&(detMatrix /. c \rightarrow a) // \mathrm{Factor}\end{split}\end{equation*}

Tolesniems pertvarkymams mums naudinga įvesti pusės kampo tangento pakeitimo taisykles

\boldmath\begin{equation*}halfTangentRules = \{\mathrm{Cos}[arg_] :> (1 - \mathrm{Tan}[arg/2]^2)/(1 + \mathrm{Tan}[arg/2]^2),   \mathrm{Sin}[arg_] :> (2 *\mathrm{Tan}[arg/2])/(1 + \mathrm{Tan}[arg/2]^2)\}\end{equation*}

Simetrinis sprendinys

Netrukus matysime, kad simetrinį sprendinį atitinka šis determinanto daugiklis

\boldmath\begin{equation*}detMatrix[[1, 7]]\end{equation*}

Prilyginkime šį daugiklį nuliui ir pridėkime gautą lygtį prie anksčiau gautų aštuonių sujungimo sąlygų lygčių. Nors gautoji dabar jau devynių lygčių sistema atrodo gana sudėtingai, Mathematica sistemoje realizuotas Gröbner bazės algoritmas ją gana nesunkiai įveikia. Dar daugiau, pasirodo galima rasti šios lygčių sistemos sprendinį į kurį neįeina $ \mathrm{Tan}[a k/2] $ funkcija. Tuo tikslu apskaičiuosime Gröbnerio bazę eliminuodami minėtą funkciją. Tai atliekama tokiu būdu:

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&lygtysIrDetdaugiklis2 = (\mathrm{Thread}[(\{eq12a, eq23a, eq34a, eq45a, eq12b,          eq23b, eq34b, eq45b, \\&\hphantom{lygtysIrDetdaugiklis2 = (\mathrm{Thread}[(\{}detMatrix[[1, 7]]\} /. c \rightarrow a //.        halfTangentRules) == 0]);\\&coeffGB2 = \mathrm{GroebnerBasis}[lygtysIrDetdaugiklis2 /. \{\mathrm{Tan}[a k/2] \rightarrow ktana\}, \\&\hphantom{lygtysIrDetdaugiklis2 = (\mathrm{Thread}[(\{}\{B1, A1, C1, B2, B3, A2, C2, B4\}, \{ktana\}, \mathrm{MonomialOrder} \rightarrow \mathrm{EliminationOrder}];\\&coeffGB2[[\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{elementas}$}]]\end{split}\end{equation*}

elementas=

  

Apskaičiuota Gröbnerio bazė yra gana didelė (ją sudaro 146 elementai), todėl skaitytojas gali ją savarankiškai apžiūrėti išvesdamas į ekraną po vieną įvesdamas atitinkamą skaičių iš šio intervalo, arba raktinį žodį $ \mathbf{All} $, jei nori pamatyti visą bazę.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&sols2 = \mathrm{Solve}[ \mathrm{Thread}[coeffGB2[[\#]] \& /@ \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{elementuSarasas}$} == 0], \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{koeficientuSarasas}$}] \\ &&\quad//    \mathrm{FullSimplify} // \mathrm{PowerExpand} // \mathrm{FullSimplify}\end{eqnarray*}


Imami elementai =
Sprendžiami koeficientai=

  

Apskaičiuojant Gröbnerio bazę koeficientų išvardijimo tvarka yra labai svarbi: nuo jos iš esmės priklauso bazės apskaičiavimo laikas ir jos dydis. Dėl minėtų priežasčių šiame eksperimente jos keisti neleidžiame. Išsprendžiant konkrečius koeficientus mūsų valioje, kurį koeficientą palikti laisvą, tačiau nuo to labai priklauso gautų išraiškų sudėtingumas. Taip pat gana svarbu, kuriuos iš Gröbnerio bazės elementų naudoti koeficientų išsprendimui. Toli gražu ne visi pasirinkimai leidžia išspręsti visus pageidaujamus koeficientus. Pavyzdžiui jei laisvu koeficientu pasirenkame $ C_2 $ (šio koeficiento neįrašėme į išsprendžiamų koeficientų sąrašą aukščiau), gauname tokią banginę funkciją (pasirenkame antrąjį sprendinį):

\boldmath\begin{eqnarray*}&&Sym\psi = (all\psi /. sols2[[\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{sprendinioNumeris}$}]])\end{eqnarray*}


Sprendinio numeris =

  

Aišku, kad šį likusį koeficientą galime surasti iš normavimo sąlygos:

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&normIntSym =  \mathrm{Assuming}[\{\chi 1 > 0\}, \\&     \mathrm{Integrate}[Sym\psi[[1]]^2, \{x, -\mathrm{Infinity}, 0\}] + \\&     \mathrm{Integrate}[Sym\psi[[2]]^2, \{x, 0, a\}] + \\&      \mathrm{Integrate}[Sym\psi[[3]]^2, \{x, a, a + b\}] + \\&     \mathrm{Integrate}[Sym\psi[[4]]^2, \{x, a + b, a + b + c /. c \rightarrow a\}] + \\&      \mathrm{Integrate}[Sym\psi[[5]]^2, \{x, a + b + c /. c \rightarrow a, \mathrm{Infinity}\}]\\&] /. halfTangentRules\end{split}\end{equation*}

Pasinaudodami kvantavimo sąlyga, tangentą galima užrašyti kaip

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&energQuantCondSym = \mathrm{Flatten}[\mathrm{Solve}[\mathrm{Expand}[detMatrix[[1, 7]]/\mathrm{Cos}[a k]] == 0, \mathrm{Tan}[a k]]][[1]]\end{split}\end{equation*}

Todėl šis koeficientas užsirašo sąlyginai paprastai

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&c2RuleSym =  \mathrm{Solve}[\mathrm{Apart}[        \mathrm{Apart}[\mathrm{Together}[            \mathrm{TrigToExp}[\\&\quad (normIntSym /. halfTangentRules /.                energQuantCondSym)]]] // \mathrm{ExpToTrig} // \mathrm{Simplify]} == 1,\\ &    C2][[2]] // \mathrm{FullSimplify} // \mathrm{PowerExpand} // \mathrm{Simplify}\end{split}\end{equation*}

Taigi, pagaliau turime pilną simetrinės banginės funkcijos išraišką. Lygiai taip pat apskaičiuojama antisimetrinė banginė funkcija, tik reikia imti kitą determinanto daugiklį. Taupydami vietą čia to nedemonstruosime, o iš karto pereisime prie grafinio rezultatų pavaizdavimo.

Pirmiausia įveskime visų skaitinių parametrų vertes. Būtent, potencialų dydžius

\boldmath$parameterRules=\bigl\{$
\boldmath$\hbar$\boldmath$\to$Planko konstanta
\boldmath$V_0$\boldmath$\to$Potencialo $ V_0 $ aukštis (žr brėžinį pradžioje)
\boldmath$V_1$\boldmath$\to$Potencialo $ V_1 $ aukštis
\boldmath$\bigr\}$

  

Elektrono efektyviąsias mases regionuose 1,2 ir 3:

\boldmath$\{mV0,m0,mV1\}=\bigl\{$
Efektyvioji masė potenciale $ V_0 $
Efektyvioji masė duobėje
Efektyvioji masė potenciale $ V_1 $
\boldmath$\bigr\}$

  

Ir šulinio parametrus a ir b (žr šulinio brėžinį viršuje).

\boldmath$\{aTest, bTest\} =\bigl\{$
a strities plotis
b srities plotis
\boldmath$\bigr\}$

  

Turėdami skaitines vertes galime grafiškai nupiešti transcendentinės lygties, kurios sprendiniai (raudonų ir mėlynų kreivių susikirtimo taškai) yra tikrinių energijų vertės kairiąją ir dešinę puses. Simetrinėms funkcijoms tikrines energijas aprašo tokių kreivių šeima.

Vaizdavimo parinktys:

  

Jų susikirtimai ir yra tikrinės simetrinių funkcijos energijos vertės. Būtent, susikirtimo taškai yra šie (Pasitaiko, kad čia naudojama šaknų paieškos programa kai kurias energijos vertes praleidžia. Būtent dėl šios priežasties pasitikrinimui brėžiame grafinį vaizdą.)

Visus apskaičiavimus pakartojame antisimetrinėms funkcijoms. Kaip matome, norint matyti skirtumą mažų energijų vertėms, lygtis turime spręsti labai dideliu tikslumu (ypač tuo atveju, kai sprendinių daug)

Vaizdavimo parinktys:

  

Visos tikrinės vertės, kurioms atitinka antisimetrinės funkcijos yra:

Pagaliau žinodami tikrines vertes galime nupiešti tikrines funkcijas, kurioms ši tikrinė vertė atitinka.Taigi, pasirenkame kokią nors k vertę ir piešiame tame pačiame piešinyje simetrinę ir antisimetrinę funkcijas.Piešinio viršuje matome, kurioms konkrečioms tikrinėms k vertėms kiekviena iš funkcijų atitinka. Kaitaliodamas šias pradines paieškos vertes skaitytojas gali paeiliui nusipiešti visas tikrines funkcijas. Deja, programos kurios realizuoja šias galimybes yra kiek per sudėtingos tnagrinėjimui naršyklės ekrane. Besidomintis skaitytojas jas galės apžiūrėti atsisiuntęs tikrą Mathematica sąsiuvinį pateiktą autorių asmeniniuose puslapiuose.

Pradinė k paieškos vertė:
Grafiko užribio reikšmė:
Vaizdavimo parinktys:

  

spausdinti