MOKSLASplius.lt

Elektrinės grandinės

Pradėsime nuo paprastų kompiuterinių eksperimentų. Panaudoję Kirchhoffo dėsnius, panagrinėsime Wheatstone'o impedansų tiltelį, nuoseklųjį ir lygiagretųjį induktyvinį-talpuminį kontūrus, paaiškinsime, kas yra dažninė charakteristika. Pabaigoje susipažinsime su impedanso spektroskopija ir, atlikę kompiuterinį eksperimentą, gausime legiruoto puslaidininkio impedanso spektrogramą.

Impedansų tiltas

Vaizdavimo parinktys:

  

Vienas iš labiausiai paplitusių metodų elektrotechninėms grandinėms analizuoti remiasi Kirchhoffo dėsniais [1]. Nors Kirchhoffo dėsniai istoriškai buvo suformuluoti tik nuostoviosios srovėsgrandinėms, įvedus kompleksines sroves, įtampas ir varžas, juos galima taikyti ir kintamosios srovės grandinėms. Pagal Kirchhoffo dėsnius sudarius tiesinių algebrinių lygčių sistemą ir ją išsprendus, galima rasti srovės tekančios bet kuriuo grandinės elementu bei įtampos tarp elemento galų vertes. Tiesa, taip skaičiuojant sroves ir įtampas Kirchhoffo metodu, susiduriame su sunkumais, jei elektrinė grandinė yra sudėtinga: kartais iškyla keblumų sudarant tiesiškai nepriklausomų lygčių sistemą, nes neapgalvotas Kirchhoffo dėsnių taikymas duoda arba nepilną, arba perteklinę lygčių sistemą. Pasitelkus Mathematica minėtų sunkumų galima išvengti, o darbą gerokai paspartinti. Žemiau, pasinaudoję Kirchhoffo lygtimis, rasime Wheatstone'o varžų tiltelio balanso sąlygą. Kompleksinių varžų (impedansų) atveju sprendimo kelias būtų lygiai toks pat, tik vietoje realių dydžius visur turėtume kompleksinius. Dėl šios priežasties varžą kai kada tapatinsime si impedansu.

Wheatstone'o varžų tiltelio balansas

Tegu $ i_k $ žymi srovę, tekančią per $ k $-jį elementą, o $ u_k $ — įtampą tarp jo galų. Elemento impedansas (kitaip dar vadinamas kompleksine varža) yra santykis $ z_k=u_k\big/i_k $. Pagal pirmąjį Kirchhoffo dėsnį, $ n $ elementų, kurie sudaro bet kokį uždarą ir savęs nekertantį kontūrą, įtampų verčių suma yra lygi kontūre esančių $ m $ elektrovaros šaltinių stiprumų $ e_j $ sumai: $ \sum_{k=1}^n u_k=\sum_{k=1}^m e_k $. Antrasis Kirchhoffo dėsnis sako, kad kiekviename mazge įtekančių (in) srovių suma yra lygi iš mazgo ištekančių ( out) srovių sumai (t.y. mazgas nėra srovės šaltinis): $ \sum_{k=1}^{n_{in}} i_k=\sum_{k=1}^{n_{out}} i_k $. Čia $ n_{in} $ ir $ n_{out} $ žymi atitinkamai įtekančių ir ištekančių srovių skaičių. Nagrinėjamame tiltelyje turime šešias sroves, kurioms surasti reiktų sudaryti šešias tiesiškai nepriklausomas lygtis. Tiltelyje yra keturi mazgai. Remiantis antruoju Kirchhoffo dėsniu, jiems galime parašyti keturias srovės balanso lygtis. Skaitytojas gali sudaryti kitas lygtis.

\boldmath$KirI=$

  

Išsprendę šią nepilną keturių lygčių sistemą gauname tik tris tiesiškai nepriklausomus sprendinius:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Off}[\mathrm{Solve::svars}] \\&&sprend1=\mathrm{Flatten}[\mathrm{Solve}[KirI,\{i1,i2,i3,i4,i5,i6\}]]\end{eqnarray*}

Eilutė \boldmath$Off[Solve::svars]$ išjungia pranešimą apie aptiktą tiesiškai priklausomą lygtį.

Pilnai sistemai sudaryti reikia dar trijų nepriklausomų algebrinių lygčių. Jas rasime pasinaudodami pirmuoju Kirchhoffo dėsniu. Imsime kontūrus, kurie apimtų kuo daugiau elektrovaros šaltinių. Tada bus mažesnė tikimybė kurį nors iš jų netyčia praleisti. Skaitytojas, vėlgi, gali sudaryti savo lygtis.

\boldmath$KirU=$

  

Į gautas lygtis įstatykime jau surastas sroves ir rezultatą vizualizuokime \boldmath$\mathrm{TableForm}[\ ]$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&(lygtis=KirU/.sprend1)//\mathrm{TableForm}\end{eqnarray*}

spausdinti