MOKSLASplius.lt

Elektrinės grandinės

Matome, kad dabar turime tris lygtis trims nežinomoms srovėms $ i_4 $, $ i_5 $ ir $ i_6 $ rasti. Lygčių sistemą išspręsime komanda \boldmath$\mathrm{Solve}[\ ]$. Iš visų sprendinių parodysime tik srovės $ i_6 $ tiltelio diagonalėje sprendinį. Be abejo, skaitytojas, gali pasirinkti jį dominančias sroves savo nuožiūra.

\boldmath$sprend2=\mathrm{Solve}[lygtis,$\boldmath$]//\mathrm{Flatten}//\mathrm{Simplify}$
\boldmath$./sprend2$

  

Tiltelis laikomas subalansuotu, kai jo diagonalėje srovė neteka ($ i_6=0 $). Kaip matyti iš gautos išraiškos skaitiklio, balanso salygą patenkinsime, jei priešinguose tiltelio pečiuose varžų sandaugos bus lygios, t.y. kai $ z_3 z_4=z_2 z_5 $. Praktiniu požiūriu svarbu tai, kad ši sąlyga nepriklauso nei nuo tiltelį maitinančio šaltinio evj, nei nuo šaltinio vidaus varžos $ z_1 $ ar indikatoriaus varžos $ z_6 $. Jei varžos $ z_2 $, $ z_3 $, $ z_4 $ yra žinomos, iš užrašytos balanso sąlygos nesunku surasti nežinomąją varžą $ z_5 $. Šiuo principu ir grindžiamas Wheatstone'o varžų matavimo tiltelis.

Nuoseklus ir lygiagretus LRC kontūrai

Kaip žinoma, grandinėje, sudarytoje iš elektrinės talpos $ C $ ir induktyvumo $ L $, galima sužadinti elektrinius virpesius. Nuosekliame kontūre kondensatorius ir induktyvumas jungiami nuosekliai, o lygiagrečiame — lygiagrečiai išorinės grandinės atžvilgiu. Abu kontūrai yra selektyvūs harmoninio signalo poveikiui. Kuo skiriasi vienas kontūras nuo kito, galima suprasti iš jų dažninės charakteristikos, kuri aprašo išėjimo signalo amplitudės ir fazės priklausomybę nuo žadinančio signalo dažnio. Nubraižykime nuoseklų ir lygiagretų LC kontūrus, susidedančius iš induktyvumo $ L $, kondensatoriaus $ C $ ir nuostolių varžos $ R $.

Nuoseklusis kontūras

Vaizdavimo parinktys:

  

Lygiagretusis kontūras

Vaizdavimo parinktys:

  

Talpiniu ir induktyviuoju impedansais (žr., pavyzdžiui, [1]) vadinami dydžiai $ Z_C=(\mathrm{i} \omega C)^{-1} $ ir $ Z_L=\mathrm{i} \omega L $, kur $ \omega $ yra ciklinis harmoninio signalo dažnis, o $ \mathrm{i}=\sqrt{-1} $. Įvedę įtampos ir srovės kompleksines amplitudes, kontūro elementus galime nagrinėti kaip varžų daliklius, kuriuose įtampos amplitudės dydis tarp elementų yra proporcingas elemento kompleksinės varžos dydžiui. Naudodami kompleksines amplitudes išėjimo signalą $ U_{out} $ tarp varžos $ R $ galų skaičiuojame lygiai tokiu pat būdu, kaip ir paprasto varžinio daliklio atveju. Jei įėjimo įtampos amplitudė $ U_{in} $ lygi vienam voltui, tai išėjimo amplitudės $ U_{out} $ išraiška nuosekliam kontūrui bus

\boldmath\begin{eqnarray*}&&Unuos=\mathrm{Together}[\frac{R}{R+\mathrm{i} L \omega +\frac{1}{\mathrm{i} \omega  C}}]\end{eqnarray*}

ir lygiagrečiam kontūrui —

\boldmath\begin{eqnarray*}&&Ulyg=\mathrm{Together}[\frac{R}{R+\frac{1}{C \mathrm{i} \omega +\frac{1}{\mathrm{i} \omega  L}}}]\end{eqnarray*}

Amplitudine charakteristika vadinama įtampų \boldmath$Unuos$ ir \boldmath$Ulyg$ absoliutinių verčių priklausomybė nuo ciklinio dažnio $ \omega $. Ją galėsime apskaičiuoti, jei schemos elementams suteikime konkrečias skaitines vertes. Dydžių dimensijas pažymėsime komentaruose $ \boldsymbol{(*\ldots *)} $.

\boldmath$values=\bigl\{$
\boldmath$R$\boldmath$\to$,varžos vertė
\boldmath$L$\boldmath$\to$,Induktyvumo vertė
\boldmath$C$\boldmath$\to$Talpumo vertė
\boldmath$\bigr\}$

  

Lygiagretaus ir nuoseklaus kontūro amplitudines charakteristikas pavaizduosime viename brėžinyje:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\mathrm{Abs}[\{Unuos,Ulyg\}/.values]],\{\omega ,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\omega_{min}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\omega_{max}$}\},\\&& PlotStyle -> \{RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,1,0]\},AxesLabel\to \{\omega, Amplitud\unicode{0117}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$parin\smash{kt}ys$}]\end{eqnarray*}
Piešti nuo \boldmath$\omega_{min}$= iki \boldmath$\omega_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Kaip matyti, rezonanso metu $ (\omega =5\ \mathrm{s}^{-1}) $ nuoseklaus kontūro impedansas tampa nulinis, o išėjimo įtampos amplitudė pasiekia vienetą. Lygiagrečiame kontūre yra priešingai. Kontūro varža rezonanso metu pasidaro begalinė, todėl išėjimo signalo amplitudė tampa lygi nuliui. Abiem atvejais rezonanso sąlyga yra $ \mathrm{i} \omega L+(\mathrm{i} \omega C)^{-1}=0 $, iš kur ir apskaičiuojame rezonansinį dažnį.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Solve}[\mathrm{i} \omega L +\frac{1}{\mathrm{i} \omega  C} ==0,\omega]\end{eqnarray*}

Mūsų atveju, kaip matėme, rezonansas įvyksta, kai $ \omega $ vertė pasiekia

\boldmath\begin{eqnarray*}&&1\Big/ \sqrt{L\, C}/.values\end{eqnarray*}

Elektrinėje grandinėje, sudarytoje iš talpų ir induktyvumų, srovės ir įtampos svyravimai yra pastumti tam tikra faze vienas kito atžvilgiu. Fazinė charakteristika nusako kampo tarp išėjimo srovės ir pridėtos įtampos priklausomybę nuo ciklinio dažnio $ \omega  $. Ją rasime, pavaizdavę išėjimo įtampos menamąją dalį, prieš tai ją padaliję iš išėjimo varžos $ R $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\mathrm{ArcTan}[\mathrm{Im}[\{Unuos,Ulyg\}/R/.values]]],\{\omega ,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\omega_{min}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\omega_{max}$}\},\\&& PlotStyle -> \{RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,1,0]\},AxesLabel\to \{\omega, Fazė\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$parin\smash{kt}ys$}]\end{eqnarray*}
Piešti nuo \boldmath$\omega_{min}$= iki \boldmath$\omega_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Matome, kad abiem atvejais rezonanso metu įtampos ir srovės fazės sutampa. Tačiau nuosekliame kontūre ties rezonansu srovės fazė keičiasi šuoliškai.

Impedanso spektroskopija

Legiruotų puslaidininkių elektrinį laidumą nulemia pašaliniai (priemaišiniai), o ne puslaidininkio gardelę sudarantys atomai. Priemaišiniai donoriniai atomai silicio gardelėje gali būti stibis ar fosforas. Silicio gardelė žymiai sumažina priemaišų jonizacijos energiją, dėl to gardelės virpesių veikiami priemaišų atomai labai lengvai išlaisvina po vieną savo elektroną. Laisvieji elektronai juda silicio gardelėje ir dalyvauja srovės pernašoje. Tačiau tokį legiruotą silicį (beje, jūsų kompiuterio mikroprocesorius yra pagamintas iš silicio luisto, legiruoto įvairiomis priemaišomis) žymiai atšaldžius, gardelės virpesių energija pasidaro pernelyg maža priemaišų atomams jonizuoti. Todėl žemoje temperatūroje puslaidininkis srovės nepraleidžia, kitaip sakant, jis virsta dielektriku. Temperatūra, kurioje puslaidininkis pereina iš laidžios į nelaidžią būseną, priklauso nuo priemaišos tipo, nes skirtingos priemaišos turi skirtingas jonizacijos energijas. Impedanso spektroskopija [2,3], leidžia surasti temperatūrą, kurioje vyksta priemaišinių atomų jonizacija, o tuo pačiu ir puslaidininkio virsmą dielektriku. Ekvivalentinė puslaidininkinio bandinio schema, kuri paaiškina impedanso spektroskopijos principą, nubraižyta paveiksle

Vaizdavimo parinktys:

  

Čia varža $ R_c $ ir kondensatorius $ C_c $ žymi puslaidininkio varžą ir elektrinę talpą. Impedanso spektroskopijai paruošto puslaidininkinio bandinio kontaktai turi pasižymėti specialiomis savybėmis: vieno iš kontaktų varža turi būti labai maža, o kito, priešingai, — labai didelė (pavyzdžiui, juo gali būti labai plonas dielektriko sluoksnis). Paveiksle jį pavaizdavome kontaktine talpa $ C_b $. Eksperimentiškai nustatyta, kad puslaidininkio varža $ R_c $ eksponentiškai priklauso nuo priemaišinių atomų jonizacijos energijos ir gardelės temperatūros $ T $. Taigi, ją aprašo formulė $ R_c=R_\infty \exp(\varepsilon /k T) $. Čia $ \varepsilon $ yra priemaišinio atomo, sakysim, stibio, jonizacijos energija, o $ k $ — Boltzmanno pastovioji. $ R_\infty $ yra bandinio varža labai aukštoje temperatūroje, kai visi stibio atomai jau yra jonizuoti. Pasinaudojus schema, nesunku apskaičiuoti atstojamąjį bandinio admitansą $ Y $. Admitansu arba kompleksiniu laidumu vadinamas dydis, atvirkščias impedansui.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&Y=\frac{1}{\frac{1}{Cc \mathrm{i} \omega +\frac{1}{Rc}}+\frac{1}{\mathrm{i} \omega  Cb}}\end{eqnarray*}

Eksperimento metu matuojama admitanso $ Y $ realiosios arba menamosios dalies priklausomybė nuo puslaidininkio gardelės temperatūros $ T $. Prieš skaičiuodami realią ir menamą $ Y $ dalį pastebėsime, kad, dirbant su ,,raidinėmis'' formulėmis, visus simbolius Mathematica traktuoja kaip kompleksinius. Todėl pageidautina iš anksto nurodyti, kurie dydžiui turi būti traktuojami kaip realūs, o kurie — kaip kompleksiniai. Tai galima atlikti keliais būdais, pavyzdžiui, naudojant simbolio prielaidų technologiją (tam Mathematica 4.0 versija), arba iškvietus standartinį algebros paketą \boldmath$ReIm$, su papildomomis taisyklėmis. Realus dydis jame apibrėžiamas kaip simbolis su lygia nuliui menamąja dalimi.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&<< Algebra{}^\backprime ReIm{}^\backprime \\&&Rc/:Im[Rc]=0;\\&&Cc/:Im[Cc]=0;\\&&Cb/:Im[Cb]=0;\\&&\omega/:Im[\omega]=0;\end{eqnarray*}

Šiuose užrašuose, pavyzdžiui, pirmoji eilutė yra skaitoma taip: ,,apibrėžk simbolį \boldmath$Rc$ su sąlyga, kad jo menamoji dalis bus lygi nuliui''. Simbolius \boldmath$/:$ ir \boldmath$=$ šiuose užrašuose reikia interpretuoti kaip vieną \boldmath$TagSet[\ ]$ komandą. Įvedę šiuos apribojimus, rasime realiąją ir menamąją admitanso dalis.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&{YRe=\mathrm{Re}[Y],YIm=\mathrm{Im}[Y]}//\mathrm{Simplify}\end{eqnarray*}

Pažymėkime \boldmath$ek \mathnormal =\varepsilon /k$ ir imkime tipiškas puslaidininkio modelio dydžių vertes: $\mathbf{ek}=500$ ($ \varepsilon =0{,}0431 $eV) ir \(\mathbf{ek}=1000\) ($ \varepsilon =0{,}0862 $eV), $ R_c=0{,}1~\Omega $, $ C_c=5 $pF, $ \omega =1{,}5\times 10^4\mathrm{s}^{-1} $.

\boldmath$vertes=\bigl\{$
\boldmath$Rc$\boldmath$\to$,varžos $ R_c $ vertė
\boldmath$Cc$\boldmath$\to$,Talpos $ C_c $ vertė
\boldmath$Cb$\boldmath$\to$,Talpos $ C_b $ vertė
\boldmath$\omega$\boldmath$\to$ Ciklinio dažnio $ \omega $ vertė
\boldmath$\bigr\}$

  

Raskime admitanso realiosios ir menamosios dalies priklausomybę nuo temperatūros.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&yreal=\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[YRe/.vertes/.ek\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$ek_0$}],\{T,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$T_{min}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$T_{max}$}\},\\&&PlotStyle\to \mathrm{RGBColor}[0,0,1],AxesLabel\to \{T,\mathrm{Re}[Y]\},DisplayFunction\to Identity];\\&&yimag=\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[YIm/.vertes/.ek\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$ek_0$}],\{T,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$T_{min}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$T_{max}$}\},\\&&PlotStyle\to \mathrm{RGBColor}[1,0,0],AxesLabel\to \{T,\mathrm{Im}[Y]\},DisplayFunction\to Identity];\\&&\mathrm{Show}[\mathrm{GraphicsArray}[\{yreal,yimag\}],DisplayFunction\to \$DisplayFunction,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$parin\smash{kt}ys$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$T_{min}$= iki \boldmath$T_{max}$=
Parametro \boldmath$ek_0$ vertė: \boldmath$ek_0$=
Piešimo parinktys:

  

Brėžiniuose pavaizduota dviejų priemaišų spektrograma, kai parametro $ ek $ vertė yra $ 500 $. Jei skaitytojas nupieš spektrogramą kitai $ ek $ vertei, pavyzdžiui $ 1000 $, tai pamatys, kad realiosios dalies \boldmath$\mathrm{Re}(Y)$ smailės ir menamosios dalies \boldmath$\mathrm{Im}(Y)$ laiptelio pasirodymo temperatūra priklauso nuo priemaišos aktyvacijos energijos. Kuo priemaišos aktyvacijos energija mažesnė, tuo žemesnėje temperatūroje pasirodo smailė ir laiptelis. Kai puslaidininkyje yra kelių rūšių priemaišos su skirtingomis aktyvacijos energijomis, tada spektrogramoje matomos persiklojančios smailės ir laipteliai. Iš jų padėties ir formos galima nustatyti, kokios priemaišos yra puslaidininkyje ir koks jų tankis. Impedanso (rečiau vadinama admitanso) spektroskopija yra taikoma ne tik puslaidininkių, bet ir elektrolitų bei kitų medžiagų, kurių varžos priklausomybė nuo temperatūros turi aktyvacinį pobūdį, tyrimuose

Papildomi failai

Statinis Mathematica sąsiuvinis, stiliaus failas, sąsiuvinyje naudojamas RCL paketas ir papildomas sąsiuvinis

Literatūra

[1].  S. Masiokas "Elektrotechnika", Kaunas, "Candela", 1994

[2].  T. W. Hickmott  "Admittance measurements of acceptor freezeout and impurity-conduction in Be-doped GaAs", Phys. Rev. B, V.44, No. 24, p.13487-13496, (1991)

[3].  D. L. Losee  "Admittance spectroscopy of impurity levels in Schottley bariers", J. Appl. Phys., V.46, No. 5, p.2204-2214, (1975)

spausdinti