MOKSLASplius.lt

Elektromagnetinio lauko indukuotas praskaidrėjimas

Išsamiau elektromagnetinio lauko indukuoto praskaidrėjimo teorija paaiškinta knygoje "2L ir 3L atomai ir sistemos kvantinėje mechanikoje", kurios atitinkamą skyrių siūlome perskaityti prieš gilinantis į šį eksperimentą. Čia pateikiamas šios knygos skyriaus tekstas neturi reikalingų nuorodų į kituose skyriuose išvestas formules, reikalingas nuosekliam medžiagos supratimui. Taip pat skaitytojui gali būti įdomus ir neinteraktyvių apskaičiavimų puslapis

Pirmiausia nustatome atsakymų šrifto dydį šiame puslapyje taip, kad gerai matytume atsakymus

Šrifto dydis:

  

Pasigilinsime į kvantinį 3L sistemų reiškinį — elektromagnetinio lauko indukuotą praskaidrėjimą (electromagnetically induced transparency). Kaip žinome iš fizikos vadovėlių, medžiagos atsaką į silpną elektromagnetinį lauką apibūdina jos juta $ \chi(\omega) $. Realioji jutos dalis nusako medžiagos ar dujų lūžio rodiklį, o menamoji — nuostolius. Kai fotono energija $ \hbar\omega $ tampa artima atstumui tarp kokių nors dviejų energijos lygmenų (termų), elektrono šuolio į aukštesnį lygmenį tikimybė labai išauga. Medžiaga pradeda sugerti elektromagnetinį lauką ir dėl to tampa neskaidri šio dažnio šviesai. Kaip netrukus matysime, 3L medžiagą ar dujas galima praskaidrinti, jei galingu lazeriu žadinsime kitą termų porą. Tokio praskaidrėjimo priežastis nėra energijos lygmenų ištuštinimas, kuomet to pačio dažnio galingas lazeris ,,išsvaido`` visus galinčius sugerti elektronus iš užimamų lygmenų ir todėl nebelieka kam šviesos kvantus sugerti. Tikroji praskaidrėjimo priežastis yra dispersijos pobūdžio pasikeitimas silpnam signalui, kurį sukelia kito dažnio galingas lazeris. Jam veikiant, ties Lorentzo pavidalo sugerties kreivės maksimumu atsiranda ,,duobė``, o lūžio rodiklis tampa labai priklausomas nuo dažnio. Lūžio rodiklio osciliacijos sukelia ne tik dujų praskaidrėjimą, bet ir nepaprastai sumažina šviesos greitį dujose. Eksperimentiškai parodyta, kad šviesos greitis gali sumažėti nuo šimtų tūkstančių kilometrų iki vos keleto metrų per sekundę. Jei per tokių dujų sluoksnį praleisime šviesos impulsą, jis labai stipriai vėluos lyginant su šviesa vakuume, todėl palyginus plonas dujų sluoksnis gali tarnauti kaip šviesos užlaikymo elementas arba kaip dinaminė optinė atmintis.

Iš elektromagnetinės bangos sklidimo lygties seka, kad laike kintanti terpės poliarizacija yra elektromagnetinių bangų šaltinis (bangos sklidimo lygtis nėra homogeniška). Antra vertus, silpno lauko sukurta terpės poliarizacija $ P_1(\omega) $ yra tiesiogiai proporcinga elektrinio lauko amplitudei $ E_1 $ terpėje,

\[ P_1(\omega)=\varepsilon_0 \chi(\omega)E_1(\omega),\tag{1} \]
kur proporcingumo konstanta $ \chi(\omega) $ vadinama elektrine juta. Jei terpėje banga sklinda be nuostolių, $ \chi(\omega) $ yra realusis dydis, susijęs su medžiagos lūžio rodikliu. Tačiau bendru atveju $ \chi(\omega) $ yra kompleksinė dažnio funkcija, kurios menamoji dalis nusako bangos nuostolius terpėje. Nuostoliai įneša fazių skirtumą tarp poliarizacijos ir elektrinio lauko $ \mathbf{E}(t) $ vektorių. Kadangi poliarizaciją lemia elektrinio dipolio vektorius, o pastarasis, priklauso nuo tankio matricos elementų, tai silpno signalo jutą rasime apskaičiavę atitinkamus matricinius elementus. Trijų lygmenų sistemos tankio matricos dinamiką nusako lygčių sistema (). Ji buvo gauta besisukančios bangos metodu, eliminavus greitai osciliuojančias eksponentes.

Nagrinėsime $ \Lambda $ sistemą, pavaizduotą žemiau

Vaizdavimo parinktys:

  

Ši $ \Lambda $ sistema, aprašo koherentinį praskaidrėjimą. $ \Omega_{z}\equiv\Omega_{12} $ ir $ \Omega_v\equiv\Omega_{23} $ yra atitinkamai zondavimo ir valdančiojo lazerio Rabio dažniai. $ \Delta_1 $ ir $ \Delta_2 $ žymi lazerių išderinimus, $ \Gamma_{21} $, $ \Gamma_{23} $ — atvirkštines elektronų gyvavimo trukmes, o $ \gamma_{2\text{def}} $ ir $ \gamma_{3\text{def}} $ yra išsifazavimo spartos.

Kaskadinė ir V sistemos, griežtai kalbant, tam netinka, nes dėl baigtinės elektrono gyvavimo trukmės aukštesniuose lygmenyse įkalintos koherentinės būsenos yra metastabilios. Dėl šios priežasties indukuoto praskaidrėjimo eksperimentai paprastai atliekami $ \Lambda $ sistemose, kuriose žemiausias lygmuo $ \ket{1} $ yra stabilus. Būsenos $ \ket{2}{-}\ket{3} $ yra žadinamos didelio intensyvumo lazeriu, kurio Rabio periodas $ 2\pi/\Omega_{23} $ trumpesnis už elektrono gyvavimo trukmę viršutiniame lygmenyje $ \ket{3} $. Kitas mažo intensyvumo lazeris, kurio fotono energija artima šuolio tarp $ \ket{1}{-}\ket{2} $ lygmenų energijai, naudojamas sistemos atsakui matuoti. Aišku, Rabio dažniai tenkina sąlygą $ \Omega_{12}<<\Omega_{23} $. Šią sąlygą primena skirtingas linijos storis. Priminsime, kad šioje ir panašiose diagramose vertikali skalė žymi energiją, todėl strėlių ilgiai proporcingi lazerių, o ne Rabio dažniui. Pastarasis proporcingas atitinkamo dipolio ir lazerio elektrinio lauko stiprio sandaugai. Galimi lazerių išderinimai nusakomi dydžiais $ \Delta_1 $ ir $ \Delta_2 $.

Kai tenkinama sąlyga $ \Omega_z\equiv\Omega_{12}<<\Omega_{23}\equiv\Omega_{\text{v}} $, nebūtina spręsti pilną tankio matricos diferencialinių lygčių sistemą. Kai ji galioja ir zonduojančio lazerio elektrinis laukas yra silpnas, medžiagos jutą dideliu tikslumu galima apskaičiuoti išsprendus tik dviejų lygčių sistemą:

\[ \begin{split}\dot{\tilde{\rho}}_{12}&=-\bigl(\gamma_{12}-\ii\Delta_1\bigr)\tilde{\rho}_{12} +\ii\frac{\Omega_{12}}{2}\bigl(\tilde{\rho}_{11}-\tilde{\rho}_{22}\bigr)+\ii\frac{\Omega_{23}}{2}\tilde{\rho}_{13}\, ,\\\dot{\tilde{\rho}}_{13}&=-\bigl(\gamma_{13}-\ii(\Delta_1+\Delta_2)\bigr)\tilde{\rho}_{13} -\ii\frac{\Omega_{12}}{2}\tilde{\rho}_{23} +\ii\frac{\Omega_{23}}{2}\tilde{\rho}_{12}\, ,\end{split}\tag{2} \]
kurioje $ \Delta_1=\omega_{12}-(\varepsilon_1 -\varepsilon_2)/\hbar $ ir $ \Delta_{2}=\omega_{23}-(\varepsilon_2 -\varepsilon_3)/\hbar $ žymi lazerių išderinimus nuo atitinkamų rezonansinių dažnių. Pastoviosios $ \gamma_{ij}=(\Gamma_i+\Gamma_j)/2 $ yra relaksacijos koeficientai, nusakantys elektrono gyvavimo trukmes atitinkamuose lygmenyse. Relaksacijos koeficientus galima apibendrinti, jei papildomai įvesime elektrono banginės funkcijos išsifazavimo spartas $ \gamma_{2\text{def}} $ ir $ \gamma_{3\text{def}} $. 3L sistemai išsifazuojant elektronų energijos nesikeičia, t.y. elektronai pasilieka tuose pačiuose energijos lygmenyse, tačiau viso elektronų ansamblio požiūriu, išsifazavimas charakterizuoja procesą, kuriam vykstant atskirų elektronų banginių funkcijų fazės ima vis labiau skirtis viena kitos atžvilgiu. 3L sistema laikui bėgant praranda koherentiškumą taip pat ir dėl baigtinės elektronų gyvavimo trukmės sužadintuose lygmenyse, todėl įvesime bendresnes išsifazavimo spartas: $ \gamma_{21}\equiv\gamma_{12}=(\Gamma_2+\gamma_{2\text{def}})= (\Gamma_{21}+\Gamma_{23}+\gamma_{2\text{def}}) $ ir $ \gamma_{31}\equiv\gamma_{13}=(\Gamma_3+\gamma_{3\text{def}}) $. Jei bendras elektronų skaičius visuose lygmenyse nuo laiko nepriklauso, tada metastabiliems lygmenims turime pareikalauti $ \Gamma_1=\Gamma_3=0 $.

Sistemoje (2) yra daugiau nežinomųjų negu turime lygčių. Pirmiausia pasinaudosime sąlyga $ \Omega_{12}<<\Omega_{32} $, kuri leidžia išmesti priešpaskutinį narį antroje lygtyje. Jo įtaka yra maža, lyginant su paskutiniu nariu. Į pirmą iš lygčių dar įeina nežinomas populiacijų skirtumas $ (\tilde{\rho}_{11}-\tilde{\rho}_{22}) $ tarp pirmojo ir antrojo lygmens. Šio nario lengva ranka išmesti negalime, nes būtent jis apsprendžia tiesinį atsaką, kai valdantis lazeris įjungtas. Tačiau jei zonduojančio lazerio intensyvumą laikysime be galo mažu, šis skirtumas nuo laiko nepriklausys, nebent išjungtume žadinantį lazerį, todėl manysime kad $ (\tilde{\rho}_{11}-\tilde{\rho}_{22})=c_{12}\le 1 $, kur $ c_{12} $ yra pastovioji. $ \Lambda $ sistemos atveju yra užpildytas pirmasis lygmuo (plikojo atomo būsena $ \ket{1} $), todėl galime imti $ c_{12}=1 $. Pritaikius abi prielaidas, sprendžiama lygčių sistema tampa uždara

\[ \begin{split}\dot{\tilde{\rho}}_{12}&=-\bigl(\gamma_{12}-\ii\Delta_1\bigr)\tilde{\rho}_{12} +\ii\frac{\Omega_{12}}{2}c_{12} +\ii\frac{\Omega_{23}}{2}\tilde{\rho}_{13}\, ,\\\dot{\tilde{\rho}}_{13}&=-\bigl(\gamma_{13}-\ii(\Delta_1+\Delta_2)\bigr)\tilde{\rho}_{13}+\ii\frac{\Omega_{23}}{2}\tilde{\rho}_{12}\, .\end{split}\tag{3} \]
Stacionariniai šios lygčių sistemos matricinių elementų sprendiniai yra
\[ \tilde{\rho}_{12}=-\frac{2 c_{12}\Omega_{12}\bigl(\Delta_1+\Delta_2+\ii\gamma_{13}\bigr)}{4\bigl(\Delta_1+\ii\gamma_{12}\bigr)\bigl(\Delta_1+\Delta_2+\ii\gamma_{13}\bigr)-\Omega_{23}^2}\, , \]
ir
\[ \tilde{\rho}_{13}=-\frac{2 c_{12}\Omega_{12}\Omega_{23}}{4\bigl(\Delta_1+\ii\gamma_{12}\bigr)\bigl(\Delta_1+\Delta_2+\ii\gamma_{13}\bigr)-\Omega_{23}^2}\, . \]
Formulė rodo, kad juta priklauso ne tik nuo išderinimo ir relaksacijos spartų, bet taip pat ir nuo žadinančio $ 2{-}3 $ šuolius antrojo lazerio intensyvumo. Kai žadinantis lazeris išjungtas, $ \Omega_{23}=0 $, išraiška virsta standartine Lorentzo formule.
\[ \tilde{\rho}_{12}\sim\frac{1}{\Delta_1+\ii\gamma_{12}}\, , \]
kurios menamoji dalis aprašo nuostolius (sugertį), o realioji — terpės lūžio rodiklio pokytį, kurį sukelia elektronų šuoliai tarp pirmojo ir antrojo lygmenų.

Dabar jau nesunku išreikšti elektrinę jutą

\[ \chi(\omega)=P_1(\omega)\big/(\varepsilon_0 E_1), \]
kur $ E_1 $ dabar žymi zonduojančio lauko amplitudę. Medžiagos poliarizacijos amplitudė $ P_1(\omega) $, kaip jau matėme, yra proporcinga atomų tankiui $ N $, dipoliniam momentui $ d_{12} $ ir tankio matricos elementui, atsakingam už optinį elektrono šuolį $ P_1=N\tilde{\rho}_{12}d_{12} $. Kadangi $ 1{-}2 $ šuolio Rabio dažnis yra $ \hbar\Omega_{z}=\hbar\Omega_{12}=-d_{12}E_1 $, iš formulės seka tokia galutinė medžiagos (dujų) elektrinės jutos formulė:
\[ \chi({\omega})=\frac{N|d_{12}|^2}{\varepsilon_0\hbar} \frac{4 \bigl(\Delta_1+\Delta_2+\ii\gamma_{13}\bigr)}{4\bigl(\Delta_1+\ii\gamma_{12}\bigr)\bigl(\Delta_1+\Delta_2+\ii\gamma_{13}\bigr)-\Omega_{23}^2}\,. \]
Ją išvedant laikėme, kad $ c_{12}=1 $. Formulė ir aprašo valdančiojo lazerio indukuotą praskaidrėjimą. Ištirti kaip ji priklauso nuo zonduojančio lazerio išderinimo $ \Delta $, bei kitų parametrų ir yra šio eksperimento tikslas.

Kai valdantysis lazeris išjungtas, $ \Omega_{23}=0 $. Matome, kad rezonanso sąlygomis, kai $ \Delta=0 $, sistemos sugertis yra maksimali, o jos pavidalą nusako Lorentzo kreivė. Įjungus dažnio $ \Omega_{23}=0{,}5 $ žadinantį lazerį, tiesinis terpės atsakas į elektromagnetinio lauko spinduliuotę iš esmės pasikeičia. Matome, kad dabar $ \Delta=0 $ taške atsiranda siauras minimumas. Tai reiškia, kad terpė tapo skaidri zonduojančio lazerio bangos ilgiui. Tuo tarpu realioji jutos dalis, kurios fizikinė prasmė yra lūžio rodiklis, taško $ \Delta =0 $ aplinkoje patiria staigius svyravimus. Kaip gerai žinome, aplinkos lūžio rodiklis lemia joje sklindančios šviesos greitį. Ryškus grupinis šviesos sulėtėjimas 3L~atomų dujose dabar jau yra gerai patvirtintas eksperimentinisfaktas.

\boldmath\begin{equation*}re=\frac{(4 \delta (\Omega c^2-4 \delta \Delta)-4\Delta \gamma 21^2)}{Abs[\Omega c^2+(\gamma 31+I*2 \Delta)(\gamma 21+I*2 \delta)]^2}/.\delta\rightarrow (\Delta-\Delta2)\end{equation*}

\boldmath\begin{equation*}im=\frac{8 \delta^2 \gamma 31+2 \gamma 21 (\Omegac^2+\gamma 21 \gamma 31)}{Abs[\Omega c^2+(\gamma 31+I*2 \Delta)(\gamma 21+I*2 \delta)]^2}/.\delta\rightarrow (\Delta-\Delta2)\end{equation*}

\boldmath\begin{equation*}\chi1=(re+I*im)/.\Delta]>0//\mathrm{FullSimplify}\end{equation*}

\boldmath$toParam1 =\bigl\{$
\Omega c=Dipolių skaičius
$ \Delta 2 $=dažnių ruožo pabaiga
$ \gamma 21 $=dažnių ruožo pabaiga
$ \gamma 31 $=dažnių ruožo pabaiga
\boldmath$\bigl\}$

  

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{Re}[\chi 1],\mathrm{Im}[\chi1]\}/.toParam1],\{\Delta,-2,2\},parinktys]\end{split}\end{equation*}

Vaizdavimo parinktys:

  

Knygos tekste pateikiami brėžiniai yra apskaičiuoti šiems parametrų rinkiniams:
\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&\{\Omega c\to 2,\Delta 2\to 0,\gamma 21\to 1,\gamma 31\to 1\};\\&\{\Omega c\to 0.5,\Delta 2\to 0,\gamma 21\to 0,\gamma 31\to 1\};\\&\{\Omega c\to 0.5,\Delta 2\to 0,\gamma 21\to 0.2,\gamma 31\to 1\};\\&\{\Omega c\to 0,\Delta 2\to 0,\gamma 21\to 0,\gamma 31\to 1\};\\\end{split}\end{equation*}

spausdinti