MOKSLASplius.lt

Fermio ir Dirako skirstinys ir krūvininkų tankis

Fermio ir Diraco (FD) skirstinys statistikinėje kvantinėje mechanikoje nusako tikimybę dalelei būti tam tikros energijos būsenoje ir yra tampriai susijęs su Paulio principu, kuris teigia, kad du elektronai atome vienu metu negali būti vienoje ir toje pačioje kvantinėje būsenoje. Šis principas leido Pauliui paaiškinti atomo sandaros dėsningumus. Fermis ir Diracas pritaikė jį metalams. Iš Paulio principo sekė, kad laisvųjų krūvininkų kinetinė energija metale gali būti labai didelė net ir absoliutaus nulio temperatūroje. FD skirstinys plačiai taikomas, aprašant energinį krūvininkų pasiskirstymą leistinose metalų ir puslaidininkių energijų juostose bei krūvininkų pernašos reiškinius. Šiame skyriuje pasitelkę Fermio ir Diraco, o taip pat Boltzmanno skirstinius sumodeliuosime eksperimentuose stebimą laisvųjų krūvininkų tankio priklausomybę nuo temperatūros savajame ir donorais legiruotame puslaidininkyje.

Fermio ir Diraco skirstinys ir integralas

FD skirstinys nusako kvantinių dalelių ansamblius, kuriuose vienu metu dvi dalelės negali užimti vienos ir tos pačios kvantinės būsenos. Jei $ \varepsilon  $ yra dalelės energija, o $ T $ — absoliutinė sistemos (termostato), kurioje yra dalelė, temperatūra, FD skirstinys $ f_{FD}(\varepsilon) $ užrašomas tokiu pavidalu [Blakemore62]:
\[ f_{{\it FD}}(\varepsilon )=\frac {1}{1+\exp\bigl(\frac{e (\varepsilon -\varphi)}{k_B T}\bigr)}. \]
Čia $ k_B $ yra Boltzmanno pastovioji. Parametras $ \varphi $ yra vadinamas Fermio energija arba lygmeniu. Statistinėje fizikoje šis parametras turi ir kitą pavadinimą — ,,cheminis potencialas''. Puslaidininkių fizikoje Fermio lygmenį, pasitaręs su vienu iš žymiausiu XXa. italų fiziku E.Fermiu, pirmasis pradėjo taikyti W.Shockley — fizikos Nobelio premijos laureatas ir vienas iš tranzistoriaus išradėjų. Straipsnyje apie elektronų ir skylučių tankio skaičiavimą $ p-n $ sandūroje, kuris buvo atspausdintas prestižiniame fizikų žurnale Physical Review [Shockley51], Shockley parametrą $ \varphi $ pavadino ,,imref''. Kai paaiškėjo žodžio prasmė (skaitant atvirkščiai), parametrą $ \varphi $ imta vadinti Fermio lygmeniu. Vizualizuokime FD funkciją trims charakteringoms termostato temperatūroms.
\boldmath\begin{eqnarray*}&&FD[\{\varepsilon \_,\varphi \_\},T\_]:=\frac{1}{\mathrm{Exp}[\frac{e (\varepsilon -\varphi )}{k_B T}]+1}/.\{e\to 1.6*10^{19}(*C*),        k_B\to 1.38*10^{23}(*J/K*)\}\end{eqnarray*}

$ \varphi $ ir $ \varepsilon  $ dydžius toliau matuosime elektronvoltais, todėl funkcijų apibrėžime šiuos parametrus padauginome iš elementaraus krūvio $ e $. Paimkime Fermio lygmens energiją lygią $ \varphi =0{,}1 $ eV, o temperatūrą $ T $$ 500 $, $ 50 $ ir $ 5 $K.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&<< Graphics{}^\backprime Legend{}^\backprime \\&&\\&&\mathrm{ShowLegend}[\\&&\quad \mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{F\mathrm{D}[\{\varepsilon ,                      \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varphi}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{T_1}$}],F\mathrm{D}[\{\varepsilon ,                      \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varphi}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{T_2}$}],F\mathrm{D}[\{\varepsilon ,                      \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varphi}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{T_3}$}]\}],\{\varepsilon,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_{max}}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$},\\&&\quad\mathrm{AxesLabel}\to \{\varepsilon (eV),"FD skirstinys"\},\mathrm{DisplayFunction}\to \mathrm{Identity}],\\&&\{\{\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{3,0\}\}]\}],"T=5K"\},\\&&\quad\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{AbsoluteDashing}[\{5,5\}],\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{3,0\}\}]\}],"T=50K"\},\\&&\quad \{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{AbsoluteDashing}[\{10,10\}],\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{3,0\}\}]\}],"T=500K"\}\}\\&&\mathrm{LegendPosition}\to \{0.1,0\},\mathrm{LegendSize}\to \{0.6,0.3\}, \mathrm{LegendTextSpace}\to 1,\mathrm{LegendSpacing}\to -0.15\}]\end{eqnarray*}

Skaitinės Fermio lygmens energijos vertė \boldmath$\varphi$=
Temperatūrų vertės: \boldmath$T_1$=,\quad\boldmath$T_2$=,\quad\boldmath$T_3$=
Piešti nuo \boldmath$\varepsilon_{min}$= iki \boldmath$\varepsilon_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Brėžinyje matome, kad visos kreivės kertasi viename taške, kurio abscisė $ \varepsilon =0{,}1 $eV, o ordinatė (nepriklausomai nuo temperatūros) $ f_{FD}(\varepsilon)=\frac12 $. Ši energija ir yra Fermio energija $ \varphi $. Mūsų pavyzdyje $ \varepsilon =\varphi=0{,}1 $eV. Tokiu būdu ties Fermio energija pasiskirstymo funkcija lygi vienai antrajai ir, kaip matyti iš brėžinio, šio taško aplinkoje keičiasi sparčiausiai. Riboje $ T\rightarrow 0 $ FD skirstinys pereina į Heavyside'o laiptelio funkciją $ h(\varphi -\varepsilon) $, o aukštų temperatūrų ($ T\rightarrow \infty $) riboje virsta gerai žinomu klasikinėje statistikoje Boltzmanno skirstiniu.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&Boltzmann[\{\varepsilon \_,\varphi \_\},T\_]:=\mathrm{Exp}[-\frac{e (\varepsilon -\varphi )}{k_B T}]/.\{e\to 1.6*10^{-19}(*C*),        k_B\to 1.38*10^{-23}(*J/K*)\}\end{eqnarray*}

Palyginimui nubraižysime abu, Fermio ir Diraco bei Boltzmanno, skirstinius, kai elektrono energija $ \varepsilon >\varphi $, o $ T=500 $K.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{ShowLegend}[\\&&\quad \mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{FD}[\{\varepsilon ,                      \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varphi}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{T}$}],Boltzmann[\{\varepsilon ,                      \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varphi}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{T}$}]\}],\{\varepsilon,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_{max}}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$},\\&&\quad\mathrm{AxesLabel}\to \{\varepsilon (eV),"FD\ ir\ Boltzmanno\ skirstiniai"\},\mathrm{DisplayFunction}\to \mathrm{Identity}],\\&&\{\{\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{AbsoluteDashing}[\{3,3\}],\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{3,0\}\}]\}],"FD"\},\\&&\quad \{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{3,0\}\}]\}],"Boltzmann"\}\}\\&&\mathrm{LegendPosition}\to \{0,0\},\mathrm{LegendSize}\to \{0.47,0.2\}, \mathrm{LegendTextSpace}\to 3\}]\end{eqnarray*}

Skaitinės Fermio lygmens energijos vertė \boldmath$\varphi$=
Temperatūros vertė: \boldmath$T$=
Piešti nuo \boldmath$\varepsilon_{min}$= iki \boldmath$\varepsilon_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Kaip matyti, kuo didesnė dalelės energija, tuo abu skirstiniai geriau sutampa. Elektronų statistikoje ir pernašoje labai dažnai sutinkamas Fermio ir Diraco integralas, kuris apibrėžiamas~[Blakemore62] taip:

\[ \scF_j (\eta)= \frac{1}{\Gamma (j+1)}\int _0^\infty \frac{\varepsilon^j}{1+\exp(\varepsilon -\eta )}\,\mathrm{d} \varepsilon \]
Čia $ \Gamma (n) $ yra gama funkcija, o $ \eta $ žymi normuotą Fermio lygmenį. Šį integralą Mathematica geba analiziškai suskaičiuoti, kai indeksas $ j $ yra didesnis už $ -1 $.
\boldmath\begin{eqnarray*}&&FDint[j\_,\eta \_]:=\frac{1}{\Gamma [j+1]}\int_0^{\infty } \frac{\varepsilon ^ j}{\ee^{\varepsilon -\eta }+1} \, \dd\varepsilon \\&&FDint[j,\eta]\end{eqnarray*}

Atsakyme pasirodžiusią \boldmath$\mathrm{If}[~]$ funkciją reikia suprasti taip. Kai $ \mathrm{Re}(j)>-1 $, FD integralas yra lygus polilogaritminės ir gama funkcijų sandaugai. Kai $ \mathrm{Re}(j)<-1 $, atsakyme matome pradinį integralą. Pamėginę jį apskaičiuoti skaitiškai (\boldmath$\mathrm{NIntegrate}[~]$), įsitikiname, kad integralas nekonverguoja,

\boldmath\begin{eqnarray*}&&FDint[j\_?(\mathrm{Re}[#1]<-1\&),\eta \_]:=\frac{1}{\Gamma [j+1]}\mathrm{NIntegrate}[\frac{\varepsilon ^j}{\ee^{\varepsilon -\eta }+1},\{\varepsilon ,0,\infty \}]\\&&\\&&FDint[\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{\vphantom{\eta}\smash{$j$}},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\eta$}]\end{eqnarray*}
Skaitinės normuoto Fermio lygmens energijos vertė \boldmath$\eta$=
Indekso vertė: \boldmath$j$=

  

nes pointegrinė funkcija yra singuliari taško $ \varepsilon =0 $ aplinkoje. Praktikoje dažnai tenka susidurti su svarbiu atveju, kada $ \eta <0 $ (aukštos temperatūros). Tokiu atveju FD integralą galima aproksimuoti nepriklausančia nuo indeso $ j $ eksponente: $ \scF_j(\eta )\approx \exp(\eta) $. Toliau modeliavime naudosime tik tam tikras indekso $ j $ reikšmes. Žemiau pavaizdavome tikslią FD integralo priklausomybę nuo parametro $ \eta $, kai $ j=1/2 $ ir $ j=-1/2 $, bei eksponentinį jų artinį $ \exp(\eta) $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{ShowLegend}[\\&&\quad \mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{FDint[\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{j_1}$} ,\eta],FDint[\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{j_2}$} ,\eta],Exp[\eta]\}],\{\eta,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\eta_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\eta_{max}}$}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$},\\&&\quad\mathrm{AxesLabel}\to \{\eta,"\scF_j(\eta)"\},\mathrm{DisplayFunction}\to \mathrm{Identity}],\\&&\{\{\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{3,0\}\}]\}],"\ee^\eta"\},\\&&\quad\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{AbsoluteDashing}[\{3,3\}],\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{3,0\}\}]\}],"\scF_{-1/2}(\eta)"\},\\&&\quad \{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{AbsoluteDashing}[\{5,5\}],\mathrm{Line}[\{\{0,0\},\{3,0\}\}]\}],"\scF_{1/2}(\eta)"\}\}\\&&\mathrm{LegendPosition}\to \{-0.4,0\},\mathrm{LegendSize}\to \{0.6,0.34\}, \mathrm{LegendSpacing}\to -0.08\}]\end{eqnarray*}

j vertės: \boldmath$j_1$=,\quad\boldmath$j_2$=
Piešti nuo \boldmath$\eta_{min}$= iki \boldmath$\varepsilon_{max}$=
Piešimo parinktys:

  

Šiame skyriuje susidūrėme su fizikiniams kompiuteriniams eksperimentams būdinga situacija. Viena vertus, tobulėjant kompiuteriams ir skaičiavimo metodams, funkcijų vertes, kurių anksčiau tekdavo ieškoti lentelėse, dabar galima dideliu tikslumu apskaičiuoti kompiuteriu. Tai labai patogu. Antra vertus, sudėtingus uždavinius galima intuityviai geriau suvokti, jei jiems aprašyti naudojame gerai žinomas funkcijas, pavyzdžiui, eksponentes. Iki paplintant personaliniams kompiuteriams fizikoje vyravo antrasis būdas, todėl polilogaritmines funkcijas fizikas stengdavosi aproksimuoti eksponentėmis, su kuriomis dirbti buvo nepalyginamai patogiau. Tačiau, kaip matyti iš pateikto pavyzdžio, kompiuterizacijos amžiuje jau nebūtina taip elgtis. Kompiuteriu galima greitai apkaičiuoti ir vizualizuoti sudėtingą funkciją, o jos savybes panagrinėti tiesiog kompiuterio ekrane.

Laisvųjų krūvininkų tankis savajame puslaidininkyje

Integralas $ \scF_{1/2}(\eta ) $ (kai $ j=1/2 $) sutinkamas aprašant krūvininkų tankį puslaidininkiuose. Šio integralo lentelės pateiktos knygoje [Blakemore62], tačiau jų mums neprireiks, nes reikalingus integralus nesunkiai apskaičiuoja pati Mathematica. Išsiaiškinsime, kaip keičiasi elektronų ir skylučių tankis savajame puslaidininkyje kintant temperatūrai. Savuoju yra vadinamas nepaprastai grynas puslaidininkis, kuriame laisvųjų krūvininkų tankį apsprendžia terminis elektronų ir skylučių porų žadinimas gardelės virpesiais. Kad atsirastų elektrono ir skylutės pora, virpesių sužadintas valentinis elektronas turi įveikti draustinės juostos tarpą $ E_g $, kuris lygus viršutinio valentinės juostos lygmens ir apatinio laidumo juostos lygmens energijų skirtumui. Elektronui peršokus iš valentinės į laidumo juostą, valentinėje juostoje atsiradusią vakansiją galime įsivaizduoti kaip teigiamą krūvininką — skylutę. Yra žinoma, kad savajame puslaidininkyje elektronų $ n $ ir skylučių $ p $ tankiai išreiškiami per integralą $ \scF_{1/2}(\eta) $ tokiu būdu [Blakemore62]:

\[ \begin{alignat}{2}n&=N_c \scF_{1/2}(\eta )&&=2\Big(\frac{2\pi m_c k_B T}{h^2}\Big)^{3/2} \scF_{1/2} \Big(\frac{\varphi_n-E_c}{k_B T}\Big),\\p&=N_v \scF_{1/2} (-\varepsilon_g-\eta)&&=2\Big(\frac{2\pi m_h k_B T}{h^2}\Big)^{3/2} \scF_{1/2} \Big(\frac{-E_g-\varphi_p+E_c}{k_B T}\Big).\end{alignat}\tag{1} \]
Aptarkime formulėje naudojamus dydžius. $ E_c $ yra žemiausio (apatinio) laidumo juostos lygmens energija. Laikysime, kad $ E_c=0 $, t.y. susitarsime visas energijas matuoti laidumo juostos apačios atžvilgiu. $ \varepsilon_g $ žymi draustinės juostos tarpą, padalytą iš $ k_B\,T $: $ \varepsilon_g=E_g\big/(k_B\,T) $. Efektinės elektrono ir skylutės masės pažymėtos atitinkamai $ m_c $ ir $ m_h $. Daugikliai $ N_c $ ir $ N_v $ prieš FD integralus yra vadinami laidumo ir valentinės juostų lygmenų tankiais. Termodinaminėje pusiausvyroje elektronų ir skylučių tankiai vienalyčiame puslaidininkyje yra randami iš dviejų prielaidų:
  • Puslaidininkis visur yra neutralus. Tai reiškia, kad visame puslaidininkio tūryje $ n=p $,
  • Fermio lygmuo (energija) visur vienodas: $ \varphi_n=\varphi_p=\varphi $.
Įvedę identifikatorius

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\varepsilon _g=\frac{E_g}{k_B T};\quad N_c=  2 \Bigl(\frac{2 \pi  m_c k_B T}{h^2}\Bigr)^{3/2};\quad N_v=  2 \Bigl(\frac{2 \pi  m_h k_B T}{h^2}\Bigr)^{3/2}\end{eqnarray*}

bei pasirėmę minėtomis prielaidomis, sudarome lygtį elektronų ir skylučių porų tankiams skaičiuoti.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&(neutralumoLygtis=(n=N_c FDint[\frac{1}{2},\eta];\     p=N_v FDint[\frac{1}{2},-\eta -\varepsilon _g];\ n==p)//\mathrm{TraditionalForm}\end{eqnarray*}

Čia $ \eta =\varphi \big/(k_B \,T) $, o panaudoję tradicinę išvedimo formą funkciją \boldmath$\mathrm{PolyLog}[~]$ užrašėme matematikos knygose įprastu žymėjimu $ \mathrm{Li}_k $. Gautą transcendentinę lygtį skaitiškai išspręsime normuoto Fermio lygmens $ \eta $ atžvilgiu, panaudodami komandą \boldmath$\mathrm{FindRoot}[~]$. Priklausomai nuo pastarosios sintaksės, Mathematica pati pasirinks atitinkamą šaknies paieškos metodą. Jei nurodysime intervalą, kur, kaip tikimės, yra šaknis, bus taikomas vienas iš intervalų dalijimo metodų. Metodas naudingas tada, kai sunku ar net neįmanoma analiziškai apskaičiuoti ieškomos funkcijos išvestinę. Jei skaičiuojant išvestines problemų nekyla, paprasčiau nurodyti tik paieškos pradžios tašką. Tuomet taikomas vienas iš nusileidimo metodų, pavyzdžiui, greičiausiojo nusileidimo. Kadangi mes nežinome, kokiame intervale galime tikėtis šaknies, o funkcijos \boldmath$\mathrm{PolyLog}[~]$ analizines išvestines nesunku apskaičiuoti, šaknies ieškosime antruoju metodu. Paiešką pradėsime nuo laisvai pasirinkto taško, pavyzdžiui, $ \eta =4 $. Modeliavimui naudosime plačiai paplitusio elektronikoje puslaidininkinio junginio GaAs (galio arsenido) parametrus [Dargys94]. Jo draustinės juostos tarpas yra lygus $ E_g=1{,}43 $eV. Gardelės temperatūrą imsime lygią $ 500 $K.

\boldmath$konstantos=\bigl\{$
\boldmath$\varphi$\boldmath$\to$,Fermio energija
\boldmath$e$\boldmath$\to$,elektrono krūvis
\boldmath$k_B$\boldmath$\to$,Boltzmano konstanta
\boldmath$m0$\boldmath$\to$,elektrono masė
\boldmath$h$\boldmath$\to$Planko konstanta
\boldmath$\bigr\}$

\boldmath$parametraiGaAs=\bigl\{$
\boldmath$m_c$\boldmath$\to$,efektinė elektrono masė
\boldmath$m_h$\boldmath$\to$,efektinė skylės masė
\boldmath$E_g$\boldmath$\to$
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{FindRoot}[\mathrm{Evaluate}[        neutralumoLygtis/.T\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{T_0}$}/.parametraiGaAs/.konstantos],\{\eta ,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\eta_0}$}\},    \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}
Temperatūros vertė \boldmath$T_0$\boldmath$\to$
Pradinis paieškos taškas \boldmath$\eta_0$\boldmath$\to$
\boldmath$\mathrm{FindRoot}$ komandos parinktys:

  

Nors Mathematica mus perspėjo, kad negali pasiekti 6~ženklų tikslumo, gautasis atsakymas mus tenkina. Kaip kalbėta, esant didelei neigiamai šaknies $ \eta  $ vertei, FD integralą galima aproksimuoti eksponente. Taip padarę, tolesnius skaičiavimus atliksime analiziškai. Neutralumo lygtis šiame artinyje turi tokį pavidalą:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&apytiksleNeutralumoLygtis=(n=N_c \mathrm{Exp}[\eta ];p=N_v \mathrm{Exp}[-\eta -\varepsilon _g];  n==p)\end{eqnarray*}

Išsprendę ją $ \eta $ atžvilgiu ir įstatę atsakymą į $ n\approx N_c \exp(\eta ) $, rasime elektronų (pagal pirmąją prielaidą — tuo pačiu ir skylučių) tankio priklausomybę nuo puslaidininkio gardelės temperatūros.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&apytikslisSprendinys=\mathrm{Simplify}[\mathrm{PowerExpand}[\mathrm{Flatten}[\mathrm{Solve}[apytiksleNeutralumoLygtis,\eta ]]]]\end{eqnarray*}
\boldmath\begin{eqnarray*}&&n=\mathrm{PowerExpand}[\mathrm{Expand}[N_c \ee^{\eta }/.apytikslisSprendinys]]\end{eqnarray*}

Komandomis \boldmath$\mathrm{PowerExpand}[~]$, \boldmath$\mathrm{Simplify}[~]$, \boldmath$\mathrm{Expand}[~]$ supaprastinome atsakymą. Matome, kad gautoje apytikslėje išraiškoje elektronų tankis eksponentiškai priklauso nuo temperatūros ir draustinės juostos tarpo pločio $ \varepsilon_g $. Iš gautosios išraiškos taip pat seka, kad elektronų ir skylučių tankis gryno GaAs kubiniame metre kambario temperatūroje yra

\boldmath\begin{eqnarray*}&&n/.parametraiGaAs/.konstantos/.T\to 300(*K*)\end{eqnarray*}

Puslaidininkiniai prietaisai paprastai būna kubinio milimetro ar mažesnio dydžio. Taigi, tokiame milimetriniame prietaise turime apie du tūkstančius $ (2{,}12\times 10^{12}/10^9=2{,}12\times 10^3) $ savųjų elektronų ir skylučių. Krūvininkų tankio puslaidininkyje priklausomybę nuo temperatūros eksperimentatoriai dažnai vaizduoja pusiau logaritminėje skalėje (koordinačių sistemoje $ \lg n-T^{-1} $). Šio ir panašaus tipo grafikams piešti Mathematica turi specialias komandas, pavyzdžiui, \boldmath$\mathrm{LogPlot}[~]$, \boldmath$\mathrm{LogLinearPlot}[~]$ ir \boldmath$\mathrm{LogLogPlot}[~]$, bei jų diskretinius analogus (\boldmath$\mathrm{LogListPlot}[~]$ ir pan.), jei kreivės pateiktos lentelių pavidale. Norėdami pasinaudoti paminėtomis komandomi turime į branduolį įkelti standartinį paketą \boldmath$\mathrm{Graphics}${}^\backprime\mathrm{Graphics}{}^\backprime$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&<< Graphics{}^\backprime Graphics{}^\backprime \\&&\\[2pt]&&\mathrm{LogPlot}[n/.parametraiGaAs/.konstantos/.T\to 1/Ttemp,\{Ttemp,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{V}\smash{Ttemp_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{V}\smash{Ttemp_{end}}$}\},\\&& AxesLabel\to \{"1/T","n (m^{-3})"\},PlotLabel\to GaAs,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$Ttemp_{start}$= iki \boldmath$Ttemp_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Atkreipkite dėmesį, kad koordinačių sistemoje $ \lg n-T^{-1} $ gavome tiesę. Iš jos polinkio galima surasti draustinės juostos tarpo plotį. Iš tiesų, paėmę krūvininkų tankio logaritmą

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{PowerExpand}[\mathrm{Log}[n]]\end{eqnarray*}

matome, kad tik paskutinysis narys yra tiesinė $ 1/T $ funkcija (kiti nariai yra konstantos). Koeficientas $ -\frac{\varepsilon_g}{2 k_B} $ prie $ T^{-1} $ ir nusako tiesės polinkį. Taip rastas draustinės energijos tarpas vadinamas terminiu. Aprašytas būdas yra plačiai taikomas eksperimentinėje praktikoje, tiriant ne tik puslaidininkius, bet ir kitas medžiagas, kurių laidumas eksponentiškai priklauso nuo temperatūros. Tolimesniame skyrelyje šį tyrimo metodą pritaikysime legiruotiems puslaidininkiams.

Elektronų tankis legiruotame donorais puslaidininkyje

Donoru yra vadinamas toks pašalinis atomas puslaidininkio gardelėje, kuris gardelės virpesių veikiamas išlaisvina vieną ar kelis elektronus. Elektrono išlaisvinimo tikimybė priklauso nuo donoro jonizacijos energijos $ E_D $, kuri gali būti maža, pavyzdžiui, dešimtosios ar šimtosios elektronvolto dalys plačiai naudojamuose puslaidininkiuose Ge, Si ar GaAs [Dargys94], t.y. ji yra palyginama su $ k_B T $ verte kambario temperatūroje. Atliksime skaitinį ekperimentą, laikydami, kad termiškai išlaisvintų iš donorų elektronų tankis žymiai viršija savųjų elektronų tankį, todėl į savųjų elektronų įtaką neatsižvelgsime. Simboliu $ N_D $ pažymėsime donorų tankį puslaidininkyje, o $ N_{D_0} $ — neutralių, t.y. dar nejonizuotų donorų tankį. Jį rasime, $ N_{D} $ padauginę iš tikimybės jonizuoti donorą, t.y. iš Fermio ir Diraco skirstinio:

\[ N_{D_0}=\frac{N_D}{1+\beta \exp\big(\frac{E_c-E_D-\varphi}{k_B T}\big)}=\frac{N_D}{1+\beta \exp (-\eta -\varepsilon_D)} \]
Čia $ \beta =1/2 $ yra pataisa, kuria atsižvelgiame į laisvojo elektrono sukinį: jonizuotasis donoras gali būti neutralizuotas dviem būdais (pagavus laisvą elektroną, kurio sukinys nukreiptas aukštyn arba žemyn). $ \varepsilon_D $ yra donoro jonizacijos energija $ E_D $, padalyta iš $ k_B T $.
\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Clear}[n];\\&&N_{D_0}=\frac{N_D}{\frac{1}{2} \ee^{-\eta -\varepsilon _D}+1};\end{eqnarray*}

Donorų išlaisvintų elektronų tankiui surasti pasinaudosime neutralumo sąlyga, $ n_\mathrm{laisvi}=N_D-N_{D_0} $, kuri sako, kad laisvųjų elektronų tankis $ n_\mathrm{laisvi}=N_c \scF_{1/2}(\eta) $ laidumo juostoje turi būti lygus jonizuotų donorų tankiui $ N_D-N_{D_0} $. Apsiribosime paprastesniu atveju, kai FD integralą galima aproksimuoti eksponente $ \exp(\eta ) $. Tada legiruoto puslaidininkio neutralumo sąlyga atrodo taip:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&apytiksleNeutralumoLygtisSuDonorais=(n_{laisvi}=N_c \ee^{\eta }; d_{jonizuoti}=N_D-N_{D_0};n_{laisvi}==d_{jonizuoti})\end{eqnarray*}

Išsprendę pastarąją $ \eta  $ atžvilgiu gauname

\boldmath\begin{eqnarray*}&&apytikslisSprendinysSuDonorais=\mathrm{PowerExpand}[\mathrm{Flatten}[\mathrm{Solve}[apytiksleNeutralumoLygtisSuDonorais,\eta ]]]\end{eqnarray*}

Kitas sprendinys duoda neigiamus (nefizikinius) tankius, todėl juo nesidomėsime. Pirmąjį sprendinį vizualizuosime, paėmę tipines donorų tankio $ N_D=10^{22} $m$ {}^{-3} $ ir jonizacijos energijos $ E_D=0{,}03 $eV vertes.

\boldmath$parametraiGaAsSuDonorais=\bigl\{$
\boldmath$E_D$\boldmath$\to$,jonizacijos energija
\boldmath$m_c$\boldmath$\to$,efektinė elektrono masė
\boldmath$N_D$\boldmath$\to$,donorų tankis
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\varepsilon _D=\frac{E_D*e}{k_B T}/.parametraiGaAsSuDonorais;\\[4pt]&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[N_c \ee^{\eta }/.apytikslisSprendinysSuDonorais[[2]]/.parametraiGaAsSuDonorais/.konstantos],\{T,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{T_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{T_{end}}$}\},\\&&\qquad \mathrm{AxesLabel}\to \{T,"n(m^{-3}")\},\mathrm{PlotLabel}\to "GaAs\ su\ donorais"]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$T_{start}$= iki \boldmath$T_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Matome, kad kambario ($ T\approx 300 $K) ar aukštesnėje temperatūroje laisvųjų elektronų tankis artimas donorų tankiui, t.y. praktiškai visi donorai yra jonizuoti. Tokiu būdu, keisdami donorų tankį puslaidininkyje, galime keisti jo laidumą. Tai labai svarbi puslaidininkių savybė, pritaikoma puslaidininkiniuose prietaisuose. Žemiau kambario temperatūros laisvųjų elektronų tankis mažinant temperatūrą eksponentiškai mažėja. Tai pamatysime aiškiau, jei elektronų tankį pavaizduosime pusiau logoritminiame grafike $ \lg n=f(1/T) $. Gausime kreivę, kuri žemose temperatūrose virs tiese.

Iš tiesės polinkio eksperimentatoriai nustato donoro jonizacijos energiją. Kadangi skirtingi donorai dažnai turi skirtingas jonizacijos energijas, tai matuojant polinkį galima nustatyti, kokiu donoru buvo legiruotas puslaidininkis, o išmatavus krūvininkų tankį, sakysim, kambario temperatūroje, kada visi donorai jonizuoti, galima surasti įvestų į puslaidininkų donorų kiekį. Tai labai paplitęs metodas, ypač mažiems donorų (o taip pat akceptorių) tankiams nustatyti. Puslaidininkyje viename kubiniame centimetre yra apie $ (1-5)\times 10^{22} $ atomų. Šiuo metodu žemose temperatūrose (kai į savuosius krūvininkus jau galima neatsižvelgti) išmatuojami mažesni kaip $ 10^{10} $cm$ {}^{-3} $ donorinių elektronų tankiai. Taigi metodas leidžia aptikti vieną donorinį atomą tarp $ (1-5)\times 10^{12} $ puslaidininkio atomų. Tokiu superjautrumu kol kas nepasižymi nė vienas žinomas cheminės analizės metodas. Pabaigai dar kartą priminsime, kad didinant puslaidininkio temperatūrą savųjų krūvininkų tankis jame eksponentiškai didėja, t.y. aukštoje temperatūroje puslaidininkyje įsivyrauja savasis laidumas. Temperatūrą žeminant donorai ir akceptoriai vis mažiau ir mažiau jonizuojami: legiruotas puslaidininkis pasidaro panašesnis į dielektriką. Dėl abiejų priežasčių puslaidininkinių mikroprocesorių darbas tiek aukštoje, tiek žemoje temperatūroje sutrinka, ką, tur būt, patyrė kiekvienas dirbantis kompiuteriu skaitytojas.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{LogPlot}[N_c \ee^{\eta }/.apytikslisSprendinysSuDonorais[[2]]/.parametraiGaAsSuDonorais/.konstantos/.T\to 1/Ttemp,\\[3pt]&&\{Ttemp,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{V}\smash{Ttemp_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{V}\smash{Ttemp_{end}}$}\},AxesLabel\to \{"1/T","n (m^{-3})"\},PlotLabel\to "GaAs\ su\ donorais",\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$Ttemp_{start}$= iki \boldmath$Ttemp_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Literatūra

J. S. Blakemore, "Semiconductor Statistics", Pergamon Press, Oxford, 1962

N. Shockley, M. Sparks, G.K. Teal, "p-n junction transistors", Phys. Rev., Vol. 81, No. 1, p. 151-162, (1951)

A. Dargys, J. Kundrotas, "Handbook on Physical Properties of Ge, Si, GaAs and InP", Science and Encyclopedia Publishers, Vilnius, 1994

spausdinti