MOKSLASplius.lt

Fourier transformacija ir Fourier spektroskopija

Fourier transformaciją sugalvojo prancūzų matematikas Joseph Fourier. Pradžioje tai buvo metodas šilumos (bendresniu atveju, difuzijos) diferencialinei lygčiai spręsti, tam pasitelkiant trigonometrines eilutes. Fourier idėja tolydžią funkciją išreikšti trigonometrinių funkcijų suma tais laikais pasirodė tiek neįprasta, kad iš pradžių jai nepritarė net tokie žymus matematikai kaip J.L.Lagrange'as, L.Euleris, D.Bernoullis, J.d'Alambertas. Dabar, praėjus beveik dviem šimtams metų, diferencialinių lygčių sprendimas ortonormuotų funkcijų (nebūtinai trigonometrinių) bazėje tapo duona kasdienine ne tik fiziko teoretiko, bet ir eksperimentatoriaus metodų arsenale. Šiame skyriuje pirmiausia trumpai aptarsime, kaip naudotis Fourier transformacija Mathematica terpėje. Po to pereisime prie pagrindinės skyriaus temos — Fourier spektrometro, prietaiso, kurio veikimas yra pagrįstas elektromagnetinių bangų interferencija ir su kuriuo A.A.Michelsonas atliko savo istorinį šviesos sklidimo greičio eteryje matavimo eksperimentą.

Nustatymai

Pirmiausia nustatome atsakymų šrifto dydį šiame puslapyje taip, kad gerai matytume atsakymus
Šrifto dydis:

  

Diskretinė Fourier transformacija

Praktikoje Fourier transformacija dažniausiai taikoma laike kintančių procesų spektrinei analizei ir signalams apdoroti, pavyzdžiui, kai reikia signalą išvalyti nuo triukšmo [Rabiner75]. Tiesioginė Fourier transformacija proceso aprašą laiko ašyje (in time domain) keičia ekvivalentišku jo aprašu dažnių ašyje (in frequency domain). Atvirkštinė Fourier transformacija elgiasi priešingai — dažnių aprašą keičia aprašu laike. Proceso aprašas dažnių ašyje vadinamas jo spektru. Signalą ar tiriamą procesą transformuojant į spektrą galima nusakyti ne tik periodinio signalo sudėtį, aukštų ir žemų dažnių santykį ir t.t., bet taip pat palengvinti jo apdorojimą, pavyzdžiui, kai reikia išvalyti signalą ar, sakysim, pakeisti balso tembrą. Pažymėkime $ t $ raide laiką, o $ \omega $ — ciklinį dažnį. Tada ryšys tarp tiesioginės ir atvirkštinės Fourier transformacijų užrašomas tokia integralų pora [Carslaw50]:

\[ F(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \, \mathrm{d} t \qquad f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{-\infty }^{+\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}\, \mathrm{d} \omega\tag{1} \]
Čia $ f(t) $ ir $ F(\omega ) $ yra atitinkamai signalo aprašai (vaizdai) laiko ir dažnių ašyse. Skaitinių koeficientų prieš integralus parinkimas, o taip pat laipsnio rodiklio ženklas eksponentėje gali skirtis įvairiose Fourier transformacijos taikymų srityse. Mathematica gali rasti Fourier vaizdus tiek analiziškai, tiek skaitiškai. Apie visas su Fourier vardu susijusias transformacijas sužinosite, Mathematica sistemoje surinkę \boldmath$?*\mathrm{Fourier}*$

Analizinę ar simbolinę Fourier transformaciją atlieka komanda \boldmath$\mathrm{FourierTransform}[~]$, o atvirkštinę — komanda \boldmath$\mathrm{InverseFourierTransform}[~]$. Šių komandų sintaksė yra labai panaši į Laplace'o transformacijos, kurią nagrinėjome "Pereinamieji procesai elektrinėse grandinėse" ir "Pereinamieji virpesiai LC konture" eksperimentuose, sintaksę. Kadangi kompiuteriu apdorojami duomenys visada pirmiausia diskretizuojami, šiame skyriuje apsistosime tik ties diskretine Fourier transformacija \boldmath$\mathrm{Fourier}[~]$. Pastaroji pačiu bendriausiu atveju yra apibrėžiama taip:

\[ {v_s}=\frac{1}{n^{(1-a)/2}} \mathop{\sum}\limits_{r=1}^n u_r \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\,b(r-1)(s-1)/n}.\tag{2} \]
Čia $ u_r $ yra diskretinis signalas laiko ašyje, išmatuotas vienodais laiko intervalais, o $ n $ — diskretinių taškų skaičius arba tiesiog duomenų sąrašo ilgis. $ 2\pi (s-1)/n $ yra diskretinių dažnių, kurie aproksimuoja signalo spektrą, rinkinys. Pastoviosios $ a $ ir $ b $ yra jau minėti parametrai, nuo kurių parinkimo priklauso konkretus Fourier transformacijos apibrėžimas. Juos keičia parinktis \boldmath$\mathrm{FourierParameters}\to \{a,\,b\}$. Dažniausiai sutinkamos $ a $ ir $ b $ reikšmės yra tokios: $ \{0, 1\} $ — standartinės vertės (default), $ \{-1, 1\} $ — naudojamos duomenų analizėje, $ \{1,-1\} $ — apdorojant signalus.

Diskretinę Fourier transformaciją atlieka komanda \boldmath$\mathrm{Fourier}[~]$, kurios argumente nurodome duomenų, išmatuotų vienodais laiko tarpais, sąrašą. Diskretinę Fourier transformaciją pailiustruosime, pasitelkę dviejų harmoninių virpesių sumos $ \sin t+2 \sin 2t $ signalą. Imsime $ 100 $ šios sumos verčių, ,,išmatuotų'' vienos sekundės intervalais, ir jas patalpinsime į vienmatį sąrašą \boldmath$duomenys$.

\boldmath$duomenys=\mathrm{N}[\mathrm{Table}[$\boldmath$,\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{t_{end}}$}\}]]$

Duomenys nuo pradinio \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=

  

Tokius duomenis geriausiai vizualizuoti komanda \boldmath$\mathrm{ListPlot}[~]$.

\boldmath\begin{eqnarray*}\mathrm{ListPlot}[duomenys,\mathrm{AxesLabel}\to\{"t","Signalas"\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešimo parinktys:

  

Parinktis \boldmath$\mathrm{PlotJoined}\to \mathrm{True}$ sujungė gretimus taškus. Jei norite matyti tik duomenų taškus, parinkties nenurodykite arba pakeiskite jos vertę į \boldmath$\mathrm{False}$. Signalo spektrą gausime duomenų sąrašą \boldmath$duomenys$ paveikę komanda \boldmath$\mathrm{Fourier}[~]$. Rezultatas yra kompleksinių skaičių (Fourier sandų) sąrašas. Pavaizduosime tik šių sandų amplitudes (modulius), kurias rasime komanda \boldmath$\mathrm{Abs}[~]$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&spektras=\mathrm{Fourier}[duomenys];\\&&\mathrm{ListPlot}[\mathrm{Abs}[spektras],\mathrm{AxesLabel}\to\{"\omega","Ampl."\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešimo parinktys:

  

Matome, kad kaip ir laikiniame signalo apraše, spektro sandų amplitudės skiriasi du kartus, tačiau spektre vietoje dviejų gavome keturias spektrines linijas, t.y. dvigubai daugiau nei turėtų būti. Iš jų tik pirmosios dvi yra tikros. Antroji, veidrodinė, pora aukštesnių dažnių srityje atsirado dėl signalo diskretizavimo ir diskretinės Fourier transformacijos ypatumų [Rabiner75,Wilf2002]. Be to, kaip matyti, po transformacijos gauti cikliniai dažniai skiriasi nuo tikrųjų. Tikrąsias dažnio vertes gausime padauginę horizontaliosios ašies vertes iš $ 2\pi / n $, kur $ n $ yra diskretinimo taškų skaičius: mūsų atveju $ n=100 $. Tuo galima įsitikinti, radus antros amplitudės maksimumo poziciją saraše \boldmath$spektras$ ir apskaičiavus jo dydį.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Position}[\mathrm{Abs}[spektras],\mathrm{Max}[\mathrm{Abs}[spektras]]]\end{eqnarray*}

Taigi, matome, kad po diskretinės Fourier transformacijos diskretinimo žingsnio ribose dažnis $ \omega  $ gerai atspindi tikrąjį dydį. Antroji, netikra linija $ 69 $ pozicijoje, kaip minėjome, yra susieta su diskretinės transformacijos ypatumais. Ją duoda vadinamieji ,,neigiamieji dažniai'', glūdintys transformacijos simetrijoje. Trumpai tik pasakysime, kad Fourier transformacijos koeficientai turi simetriją $ v_\omega =v^*_{-\omega +2}=v^*_{n-\omega +2} $, kuria pasinaudoję dažnius $ \omega  $, didesnius už $ n/2 $, galime padaryti ,,neigiamais''. Pastarieji ir yra atsakingi už netikrų smailių, esančių intervale $ n/2<\omega <n $, pasirodymą. Jei neatsargus skaitytojas pamėgintų skaičiavimus pakartoti, pakeitęs funkciją $ \sin  (2t) $ į, pavyzdžiui, $ \sin (5t) $, tai atlikęs tiesioginę ir atvirkštinę Fourier transformacijas jau negautų teisingos dažnio vertės. Fourier transformacija čia niekuo dėta. Klaidos priežastis — netinkamas signalo diskretizavimo intervalas, t.y. greitai besikeičiančių funkcijų negalima korektiškai diskretizuoti naudojant ilgus diskretizavimo intervalus. Dirbant su diskretine Fourier transformacija, reiktų laikytis tokios bendros taisyklės: į tiriamo signalo aukščiausio spektrinio sando periodą turėtų pakliūti mažiausiai bent du diskretizavimo taškai (Kotelnikovo teorema).

Komanda \boldmath$\mathrm{InverseFourier}[~]$ atlikus atvirkštinę diskretinę Fourier tranformaciją nuo signalo spektro galima grįžti prie pradinių duomenų laikinio aprašo.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Chop}[\mathrm{InverseFourier}[spektras]-duomenys]//\mathrm{Shallow}\end{eqnarray*}

Kaip ir reikėjo tikėtis, iš spektro atgaminto signalo (\boldmath$\mathrm{InverseFourier}[spektras]$) ir tikrojo signalo \boldmath$duomenys$ skirtumas lygus nuliniam sąrašui. Operatorius \boldmath$\mathrm{Shallow}[~]$ parodo tik pirmuosius dešimt šių nulių. Likusius devyniasdešimt nulių rodo skaičius dvigubose kabutėse. Operatoriumi \boldmath$\mathrm{Chop}[~]$ pašalinome mažus, bendru atveju kompleksinius skaičius, kurie yra transformacijos ir skaičiavimo paklaidos.

Fourier spektroskopija

Standartinio, t.y. ne interferencijos ar superpozicijos principu pagristo, spektrometro pagrindinis elementas yra prizmė arba gardelė. Prizmė, vaizdžiai tariant, tiriamąjį šviesos spindulį paverčia vaivorykšte. Siauru plyšiu išskyrę iš vaivorykštės reikalingą spektrinį sandą (spalvą), jo intensyvumą galime išmatuoti šviesai jautriu detektoriumi. Detektoriaus rodyklė parodo išskirto sando intensyvumą. Spektrometro tobulumą nusako jo skiriamoji geba, parodanti, kiek spalvų (spektro sandų) spektrometras gali išskirti vaivorykštėje. Lyginant su standartiniais spektrometrais, aukštesnė spektrinė geba, bent jau infraraudonosios šviesos srityje, yra pasiekiama Fourier spektrometru [Bell72]. Fourier spektrometras yra svarbus instrumentas ne tik mokslo tyrimų laboratorijose, bet ir plačiai naudojamas, pavyzdžiui, palydovuose kosmoso infraraudonajai spinduliuotei tirti bei Žemės paviršiui žvalgyti [Persky95].

Fourier spektrometro pagrindą sudaro 1880 metais A.A.Michelsono išrastas interferometras. Jį Michelsonas panaudojo šviesos bangų sklidimui eteryje (dabar žinome, kad eteris neegzistuoja) tirti. Michelsonas žinojo apie T.Youngo eksperimentus, kuriuose šis pirmą kartą parodė, kad šviesa, sąveikaudama su savimi, gali sukurti šviesias ir tamsias interferencines juostas. Michelsono interferometras, kurį jis pavadino ,,diferencialiniu refraktometru'', leido pasiekti žymiai ryškesnę konstruktyviąją ir destruktyviąją šviesos sąveikas. Kitais žodžiais tariant, pasinaudojęs šviesos interferencijos reiškiniu Michelsonas interferometrą pavertė tobulu prietaisu. Mokslinėse publikacijose, o taip pat bendraudamas su savo kolegomis, Michelsonas labai nenoriai dalijosi savo patirtimi ir prietaiso konstrukcijos ypatumais, todėl Michelsono išrastas interferometras fizikiniuose eksperimentuose vėl plačiai imtas taikyti tik praėjus nemažam laiko tarpui, apie 1950 metus. Tai atsitiko po to, kai anglų mokslininkas P.Fellgettas surado būdą, kaip interferometru galima vienu metu registruoti visą spektrą plačiame bangos ilgių ruože [Persky95].

Vaizdavimo parinktys:

  

Pasinaudoję grafinėmis Mathematica komandomis, schemiškai pavaizduokime Michelsono interferometrą.

Dešinysis Fourier spektrometro veidrodis yra paslankus. Dvi jo padėtys, atstumas tarp kurių yra $ d/2 $, parodytos brėžinyje. Paaiškinsime Fourier spektrometro veikimo principą. Tarkime, kad šviesos šaltinio elektrinį lauką galime aprašyti plokščiomis bangomis:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathcal{E}[l\_,\,m\_, \, n\_]:=\frac{1}{2} \mathcal{E}_l \ee^{\ii [\omega _m t-k_m z_n]}\end{eqnarray*}

Čia $ \scE_l $ yra lauko amplitudė, $ \omega_m $ — ciklinis dažnis, o $ k_m $ — bangos skaičius. Laikas ir koordinatė pažymėti atitinkamai raidėmis $ t $ ir $ z_n $. Pradžioje panagrinėsime atvejį, kai šviesos šaltinis yra monochromatinis, t.y. kai turime tik vieną spektro sandą. Krintantį šviesos spindulį brėžinio viduryje pavaizduotas pusiau skaidrus veidrodis suskaido į du silpnesnius vienas kitam statmenus spindulius. Vienas jų, atsispindėjęs nuo viršutinio veidrodžio, patenka į detektorių, parodytą brėžinio apačioje. Kitas spindulys atsispindi nuo paslankaus veidrodžio. Tokiu būdu į detektorių pakliūna dvi koherentinės bangos — viena atsispindėjusi nuo viršutinio veidrodžio (jo padėtis fiksuota), o kita — atsispindėjusi nuo paslankaus dešiniojo veidrodžio. Užrašysime šių dviejų bangų elektrinių laukų superpoziciją ties detektoriumi.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Clear}[\omega ];\\&&E1=\mathcal{E}[1,1,1]+\mathcal{E}[1,1,2]\end{eqnarray*}

Kaip jau žinome, šviesos detektorius reaguoja ne į elektrinį šviesos lauką, o į šviesos intensyvumą. Pastarasis yra proporcingas elektrinio lauko modulio kvadratui:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{SuperStar}[a\_]:=a/.\mathrm{Complex}[x\_,y\_]\to \mathrm{Complex}[x,-y] \\&&signalas1=\mathrm{Factor}[\mathrm{ExpToTrig}[\mathrm{Expand}[E1*E1^*]]]/.\mathrm{Cos}[a\_]:\to \mathrm{Cos}[\mathrm{Factor}[a]]\end{eqnarray*}

Čia komanda \boldmath$SuperStar[~]$ (viršutinė žvaigždutė, plačiau aptarta "Bangų interferencija"eksperimente) apibrėžia kompleksinio sujungtinio dydžio operatorių. Antroje eilutėje lauko modulio kvadratą apskaičiuojame kaip lauko amplitudės ir jos kompleksinio jungtinio dydžio sandaugą. Taigi, gauname, kad vieno harmoninio signalo atveju detektoriaus registruojamo signalo stiprumas

\[ \mathrm{signalas1}=\scE_1^2\bigl(1+\cos (2\pi k_1 d)\bigr)\big/ 2\tag{3} \]
priklauso nuo dešiniojo spindulio kelių skirtumo $ d=z_1-z_2 $, kaip parodyta brėžinyje viršuje. Taigi, keičiant paslankaus veidrodžio padėtį, detektoriaus registruojamas signalas osciliuos tarp nulio ir maksimalios vertės.

Dabar tarkime, kad šaltinis skleidžia dvi skirtingo dažnio bangas. Pagal fundamentalų bangų superpozicijos principą vėl turime sumuoti į detektorių pakliuvusių bangų elektrinius laukus. Atstojamasis šviesos elektrinis laukas detektoriuje bus lygus abiejų bangų laukų sumai:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&E2=\mathcal{E}[1,1,1]+\mathcal{E}[1,1,2]+\mathcal{E}[2,2,1]+\mathcal{E}[2,2,2]\end{eqnarray*}

\boldmath\begin{eqnarray*}&&signalas2=\mathrm{Factor}[\mathrm{ExpToTrig}[\mathrm{Expand}[E2*E2^*]]/.\mathrm{Cos}[a\_]:\to \mathrm{Cos}[\mathrm{FullSimplify}[a]]]/.(z_1-z_2)\to d\end{eqnarray*}

Matome, kad dabar gavome dviejų tipų narius: vieni priklauso nuo dažnių skirtumo $ (\omega_1-\omega_2) $, kiti nuo jo nepriklauso. Realus detektorius visada šiek tiek inertiškas, todėl į skirtuminį aukšto dažnio signalą reaguoti nespėja. Skirtuminio signalo atžvilgiu jis elgiasi tartum aukštų dažnių filtras, ir, todėl ,,jaučia'' tik tuos signalus, kurie kinta sąlyginai lėtai. Taigi, detektoriaus išėjime bus matuojamas tik narių

\[ \mathrm{signalas2}=\frac12 \bigl(\scE_1^2 (1+\cos (k_1 d))+\scE _2^2 (1+\cos (k_2 d))\bigr)\tag{4} \]
įnašas. Tokiu būdu, kai $ d $ yra proporcingas laikui, dviejų spektrinių linijų atveju detektorius registruoja du panašios formos signalus. Kadangi jų dažniai artimi, detektoriuje pasireikš ir harmoninių signalų mušimo reiškinys (priklausantis nuo laiko), kurį aptarėme "Pereinamieji virpesiai LC konture" eksperimente). Jei paslankaus veidrodžio atstumą $ z_2 $ tolygiai keisime, t.y. veidrodį trauksime pastoviu greičiu, mušimo dažnis priklausys nuo bangos skaičių $ k_1 $ ir $ k_2 $ skirtumo bei nuo to, kokiu greičiu didinsime ar mažinsime skirtumą $ d=z_1-z_2 $. Formulėje taip pat matome nuolatinį signalą $ \scE_1^2/2 $. Jis nėra pageidautinas, nes neteikia jokios naudingos informacijos, be to, gali sukelti detektoriaus grandinės srovės nepastovumą. Todėl realiuose prietaisuose paslankusis veidrodis stumdomas pastoviu greičiu ir detektoriaus schema registruoja tik mušimo signalą.

Nors iš gautos formulės seka, kad mušimo reiškinį galima stebėti esant bet kokio didumo kelių skirtumui $ d $, praktikoje taip būna ne visada. Iš tiesų, supaprastintoje analizėje nebuvo atsižvelgta į vieną labai svarbią šviesos charakteristiką, būtent, į bangos koherentiškumo ilgį. Koherentiškumo ilgis nusako atstumą, kuriame banga, išskaidyta į dvi dalis, inerferuodama pati su savimi vis dar duoda tamsias ir šviesias juostas. Lazerių spinduliuojama šviesa pasižymi dideliu koherentiškumo ilgiu. Tuo tarpu žvakės šviesos koherentiškumo ilgis labai mažas. Pabrėšime, kad koherentiškumas yra šviesos fotonų savybė (ne lazeris yra koherentiškas, o koherentiška jo šviesa). Todėl bangos koherentiškumo dydis nepriklauso nuo to, arti ar toli nuo spinduliavimo šaltinio jį matuosime. Koherentiškumo ilgis yra tampriai susijęs su spektrinės linijos pločiu: kuo koherentiškumo ilgis didesnis, tuo spektrinė linija siauresnė. Empiriškai į koherentiškumo ilgį $ l_c $ galima atsižvelgti, signalų formulėse figūruojančius kosinusus papildomai padauginus iš gęstančios eksponentės. Tokiu būdu detektoriaus registruojamo vienos sinusinės bangos, kurios koherentiškumo ilgis yra $ l_c $, atsako formulę reikėtų pakeisti tokia:

\[ \mathrm{signalas1}=\frac{F_1^2}{2}\bigl(1+\mathrm{e}^{-d/l_c} \cos (k_1 d)\bigr) .\tag{5} \]

Jei turėtume ne vieną, o kelias bangas, tektų susumuoti keletą panašaus pavidalo išraiškų. Tokiu būdu šviesa, kurią registruoja detektorius Fourier spektrometre, susideda iš sandų, turinčių skirtingas amplitudes, bangos skaičius ir koherentiškumo ilgius. Pavyzdžiui, kai šviesos šaltinio spektrą sudaro trys spektrinės linijos, jų amplitudes, bangos skaičius ir gesimo ilgius nusako tokie sąrašai:

\boldmath$fAmpl$\boldmath$=$bangos amplitudės vertė
\boldmath$kBangSkaicius$\boldmath$=$bangos skaičių vertės
\boldmath$lcKohIlgis$\boldmath$=$gęsimo ilgių vertės

  

Kadangi absoliuti šviesos lauko amplitudė paprastai eksperimente nebūna žinoma, ją nusakėme santykiniais vienetais ir dimensijos nerašėme. Bangos skaičius matuojamas atvirkštiniais centimetrais. Sudarydami atstojamajį signalą detektoriuje pasinaudosime tuo, kad kosinusas ir eksponentė turi \boldmath$\mathrm{Listable}$ atributą.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&signalas=fAmpl*\mathrm{Cos}[kBangSkaicius*d]\mathrm{Exp}[-d/lcKohIlgis]\end{eqnarray*}

Kaip minėta, nepriklausanti nuo $ d $ nuostovioji dedamoji (žr. formules (4) ir (3)), eksperimente yra eliminuojama, todėl trijų elementų sąraše jos neįrašėme. Laikysime, kad $ d $ keičiasi nuo \boldmath$dmin$ iki \boldmath$dmax$, o šiame intervale turime $ 400 $ eksperimentinių interferogramos taškų.

Kiekvienas interferogramos taškas, kaip paaiškinome, yra gaunamas sumuojant eksponentiškai gęstančius harmoninius virpesius. Visa interferograma yra sąrašas, kurį sudaro atstumo $ d $ ir detektoriaus parodymų poros. Sąrašą sudarome komanda \boldmath$Apply[~]$ (santrumpa \boldmath$@@$), o vizualizuojame \boldmath$ListPlot[~]$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&interferograma=\mathrm{Table}[\{d,\mathrm{Plus}@@signalas\},\{d,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{dmin}$},                \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{dmax}$},\frac{dmax-dmin}{\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{n}$}}\}];\\&&\mathrm{ListPlot}[interferograma,\mathrm{AxesLabel}\to \{d,Signalas\},    \mathrm{PlotLabel}\to "INTERFEROGRAMA",\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

"Eksperimentinių" taškų skaičius\boldmath$n=$
Judančio veidrodžio postūmio minimali \boldmath$dmin=$ ir maksimali \boldmath$dmax=$ vertės
Piešimo parinktys:

  

Gautoje interferogramoje matome, kaip detektoriaus signalo mušimas priklauso nuo paslankaus veidrodžio postūmio $ d $ (priminsim, kad tam veidrodis turi būti traukiamas pastoviu greičiu). Panašaus pavidalo interferogramos yra stebimos realiuose eksperimentuose. Jei apskaičiuosime\linebreak interferogramos Fourier atvaizdą, rasime šaltinio spektrą, t.y. linijų intensyvumo ir jų pločio priklausomybę nuo bangos skaičiaus. Bangos skaičius $ k $, kaip žinome, yra proporcingas fotono dažniui: $ \omega =c k $ (čia $ c $ yra šviesos greitis). Kadangi interferograma yra sąrašas, naudosime diskretinę Fourier transformaciją. Tačiau komandos \boldmath$\mathrm{Fourier}[~]$ darbui reikalingas tik vienas sąrašas, kurį turi sudaryti interferogramos intensyvumo vertės: mūsų atveju — antrieji interferogramos elementai. Juos išrinksime, operatoriumi \boldmath$\mathrm{Last}[~]$ paveikę visas sąrašo \boldmath$interferograma$ poras.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&spektras=\mathrm{Abs}[\mathrm{Fourier}[\mathrm{Last}/@interferograma]];\\&&\mathrm{ListPlot}[spektras,\mathrm{AxesLabel}\to\{"n","Intensyvumas"\},\mathrm{PlotLabel}\to "SPEKTRAS"\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešimo parinktys:

  

Gavome dvi simetriškai išsidėsčiusias spektrogramas. Fizikinę prasmę, kaip buvo minėta, turi tik kairioji. Tikrąsias banginio skaičiaus vertes gausime $ n $ padauginę iš \boldmath$2 \pi /dmax$. Atkreipkite dėmesį, kad mušimą interferogramoje iš esmės sukelia dvi artimos ir siauros spektro linijos. Trečioji linija turi mažesnę amplitudę ir yra platesnė, nes jos koherentiškumo ilgis $ l_c $ mažas. Ši linija įtakoja tik pradinę interferogramos dalį. Todėl interferogramos pradžioje matome sudėtingą vaizdą, o esant didelėms $ d $ reikšmėms lieka tik mušimas tarp dviejų turinčių didelį koherentiškumo ilgį virpesių. Kadangi dirbame su diskretiniais duomenimis, maksimalus bangos skaičius neturi viršyti dydžio \boldmath$2 \pi /dmax$.

Aprašytas inteferogramos ir spektro skaičiavimo algoritmas leidžia kompiuterio ekrane minimaliomis pastangomis išsiaiškinti ryšius tarp konkrečių interferogramų ir spektrogramų. Skaitytojas gali toliau eksperimentuoti keisdamas spektrinių linijų skaičių, jų pavidalą ar šviesos sandų koherencijos ilgį.

Atnaujinta 2010.12.30

Literatūra

L. R. Rabiner, B. Gold, "Theory and Application of Digital Signal Processing", Prentice-Hall, New Jersey (1975)

H. S. Carslaw, "An Introduction to the Theory of Fourier's Series and Integrals", Dover Publications, New York (1950)

R. J. Bell, "Introductory Fourier Transform Spectroscopy", Academic Press, New York (1972)

M. J. Persky, "A review of spaceborne infrared Fourier spectrometers for remote sensing", Rev. Sci. Instrum. Vol. 66, No 10, p.4763-4797 (1995)

H. S. Wilf, "Algorithms and Complexity", A K Peters Ltd., (2002),second edition, ISBN 1-56881-178-0, yra interneto leidimas http://www.cis.upenn.edu/~wilf.

spausdinti