MOKSLASplius.lt

Kvantinė dviejų lygmenų sistema

Dviejų lygmenų (2L) sistema yra etaloninis kvantinės mechanikos modelis, kuriuo aiškinama šuolių tarp energinių lygmenų dinamika. Kvantiniu šuoliu vadinamas elektrono ar kitokios kvantinės dalelės perėjimas iš vieno energinio lygmens į kitą, kai kvantinį objektą veikia laukas, pavyzdžiui, elektromagnetinis. Pradžią 2L modeliui davė dinaminiai eksperimentai su branduolio sukiniu, kuriuose buvo pastebėta visiškai naujo tipo (neaprašoma klasikine elektrodinamika) elektromagnetinio lauko sugertis, bei pereinamieji kvantiniai procesai, tokie kaip Rabio osciliacijos, kvantiniai aidai. Šie procesai sudaro šiuolaikinės taikomosios kvantinės elektronikos bei diagnostikos, pavyzdžiui, branduolinio magnetinio rezonanso introskopijos, kuri 2003m. įvertinta medicinos Nobelio premija, pagrindą. Iš visų daugialygmenių kvantinių sistemų apsiribosime pačia paprasčiausia — dviejų lygmenų sistema. Ją nagrinėdami išsiaiškinsime, kas yra Rabio osciliacijos, $ \pi /2 $ bei $ \pi $ šviesos impulsai ir besisukančios bangos metodas. Pastarasis labai paplitęs nagrinėjant kvantinių šuolių dinamiką daugialygmenėse kvantinėse sistemose, nes leidžia rasti apytikslius analizinius sprendinius.

Dviejų lygmenų sistema

Pradėsime nuo nestacionariosios Schr&ödingerio lygties, kuri aprašo vektoriaus, kurį paprastumo dėlei taip pat vadinsime bangine funkcija $ |\Psi (t)\rangle $, evoliuciją Hilberto erdvėje

\[ \mathrm{i} \hbar  \frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle=(H_0+V)|\Psi (t)\rangle .\tag{1} \]
Čia $ \mathrm{i}=\sqrt{-1} $, $ \hbar $ yra Plancko pastovioji, o $ H_0 $ — izoliuotos sistemos, kurią paprastumo dėlei vadinsime atomu, hamiltonianas. $ V $ operatorius aprašo atomo sąveiką su išoriniu elektromagnetiniu lauku.

Lauką aprašysime klasikinės elektrodinamikos lygtimis, kitaip tariant, neatsižvelgsime, kad elektromagnetinis laukas su atomu sąveikauja kvantais. T.y. laukas veikia atomą, tačiau atomo būsena neįtakoja paties žadinančio lauko. Tiksli kvantinė teorija (kvantinė elektrodinamika) atsižvelgia ir į atomo poveikį laukui. Toks aprašymas teisingas, jei elektromagnetinė banga yra intensyvi, t.y. kai turime daug šviesos kvantų. Tada į mažas šviesos kvantų porcijas galime neatsižvelgti ir laikyti, kad elektromagnetinio lauko energija yra sugeriama ir spinduliuojama tolydžiai. Tegu $ |\psi_{\!j}(t,\vec{r}) \rangle $ žymi izoliuoto, t.y. visiškai nesąveikaujančio su elektromagnetiniu lauku, atomo bangines funkcijas, o $ \varepsilon_j $ — jas atitinkančius energijos lygmenis, numeruojamus indeksu $ j=1,2,3,\dotsc $. Bendru atveju funkcijos $ |\psi_{\!j}\rangle  $ priklauso tiek nuo laiko, tiek nuo erdvinių koordinačių. Pastarųjų nerašysime, nes banginės funkcijos priklausomybės nuo koordinačių mes nenagrinėsime. Izoliuoto atomo atveju ($ V=0 $) atomo lygmens banginę funkciją $ |\psi_{\!j}(t,\vec{r})\rangle $ galime užrašyti kaip dviejų nepriklausomų dalių, koordinatinės $ |\psi_{\!j}\rangle \equiv |\psi_{\!j}(\vec{r})\rangle $ ir laikinės $ \exp(-\mathrm{i} \smash{\varepsilon_j} t/\hbar) $ dalies, sandaugą: $ |\psi_{\!j}(t,\vec{r})\rangle=|\psi_{\!j}\rangle \exp(-\mathrm{i}\varepsilon_j t/\hbar ) $. Čia $ |\psi_{\!j}\rangle $, kaip minėjome, yra izoliuoto atomo stacionariosios (nepriklausančios nuo laiko) Schrödingerio lygties $ H_0 |\psi_{\!j} \rangle =\varepsilon_j |\psi_{\!j} \rangle $ sprendiniai, kurie sudaro ortogonalią ir normuotą (ortonormuotą) stacionarių atomo banginių funkcijų bazę. Pasinaudoję Diraco žymėjimais, ortonormuotumo sąlygą užrašysime taip: $ \langle\psi_{i}|\psi_{\!j}\rangle =\delta_{ij} $, kur $ \delta_{ij}=1 $, kai $ i=j $ ir $ \delta_{ij}=0 $ visais kitais atvejais. Užrašas $ \langle\psi_i|\psi_{\!j}\rangle  $ reiškia, kad dvi banginės funkcijos yra sudauginamos ir suintegruojamos visoje erdvėje pagal anksčiau paminėtus ir toliau nežymimus erdvinius kintamuosius.

Dabar atsižvelgsime į atomo sąveiką su elektromagnetiniu lauku. Kadangi izoliuoto atomo sprendiniai sudaro pilną ortonormuotų funkcijų bazę, ieškomąjį sprendinį galime išreikšti ortonormuotų stacionarių funkcijų $ |\psi_{\!j}\rangle $ begaline suma, jei kiekvieną jos narį padauginsime iš (kol kas nežinomos) laiko funkcijos $ a_j (t) $, dar vadinamos projekcija:

\[ |\Psi (t)\rangle =\sum_j  a_j(t) |\psi_{\!j} \rangle .\tag{2} \]
Įstatę $ |\Psi (t)\rangle $ į nestacionarią Schrödingerio lygtį, ją padauginę iš sujungtinės banginės funkcijos $ \langle\psi_i| $ ir pasinaudoję izoliuoto atomo tikrinių banginių funkcijų savybe $ \langle\psi_i|H_0|\psi_{\!j}\rangle =\varepsilon_i \delta_{ij} $, gausime begalinę diferencialinių lygčių sistemą nežinomoms laiko funkcijoms $ a_j(t) $ rasti:
\[ \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d} a_j(t)}{\mathrm{d} t}=\varepsilon_j a_j(t)+ \sum_i V_{j i} a_i(t).\tag{3} \]
Čia $ V_{j i}=\langle \psi_{\!j} |V|\psi_i\rangle $ žymi sąveikos su išoriniu lauku operatoriaus matricinius elementus (dažniausiai tai trimačiai integralai pagal erdvinius kintamuosius), kurių dydis nusako, kaip stipriai pasireiškia šuoliai tarp $ i- $jo ir $ j- $jo atomo lygmens. Indeksai $ i $ ir $ j $ prabėga visus izoliuoto atomo diskretinių lygmenų numerius. Kai matriciniai elementai yra lygūs nuliui, t.y. kai atomas nesąveikauja su elektromagnetiniu lauku, visos lygtys pasidaro viena nuo kitos nepriklausomos ir įgyja pavidalą
\[ \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d} a_j(t)}{\mathrm{d} t}=\varepsilon_j a_j(t).\tag{4} \]
Lengva įsitikinti, kad šios lygties sprendinys yra $ a_j(t)=c\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon_j t/\hbar} $, kur $ c $ — integravimo pastovioji. Taigi, gavome jau minėtą izoliuoto atomo $ j- $sios banginės funkcijos laikinės dalies daugiklį. Tuo atveju, kai matriciniai elementai nėra nuliai, tenka spręsti tarpusavyje priklausomų (,,susikabinusių'') lygčių sistemą. Praktikoje kartais būna taip, kad visų šuolių tikimybės yra artimos nuliui, išskyrus vieną ar kelias. Pavyzdžiui, taip atsitinka, kai turime du artimus energijos lygmenis, o elektronas yra viename iš jų. Jei tokią sistemą apšviesime elektromagnetine spinduliuote, kurios fotono energija artima energinių lygmenų skirtumui, tada šviesa žadins elektrono šuolius tarp šių artimų lygmenų, o tikimybė, kad elektronas bus sužadintas į kokį nors kitą lygmenį, bus be galo maža. Taigi, į ją galėsime neatsižvelgti. Aptartu atveju atomą galima aproksimuoti paprasčiausia dviejų lygmenų sistema, o visas funkcijas $ a_j(t) $ galime prilyginti nuliui, išskyrus dvi, pavyzdžiui, su numeriais $ j=1 $ ir $ j=2 $. Taip iš begalinės susikabinusių lygčių sistemos liks tik dvi tarpusavyje priklausomos diferencialinės lygtys, kurios iš esmės ir aprašo dviejų kvantinių lygmenų sistemą:
\[ \Bigg\{\begin{array}{cc}\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}  a_1 (t)}{\mathrm{d} t} =\varepsilon_1 a_1 (t)+ V_{11} a_1 (t)+V_{12} a_2 (t), \\[5pt]\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d} a_2 (t)}{\mathrm{d} t}=\varepsilon_2 a_2 (t)+V_{21} a_1(t)+V_{22} a_2(t)  .\end{array}\tag{5} \]
Kitos lygtys bus viena nuo kitos nepriklausomos, o jų sprendiniai bus jau minėtos eksponentės. Gautas lygtis patogu perrašyti matriciniu pavidalu
\[ \mathrm{i}  \hbar \Bigl(\begin{matrix}    a_1(t) \\    a_2(t)  \end{matrix}\Bigr)=\biggl[\Bigl(\begin{matrix}    \varepsilon_1&0 \\    0&\varepsilon _2  \end{matrix}\Bigr)+\Bigl(\begin{matrix}    V_{11}&V_{12} \\    V_{21}&V_{22}  \end{matrix}\Bigr)\biggr] \Bigl(\begin{matrix}    a_1(t) \\    a_2(t)  \end{matrix}\Bigr).\tag{6} \]
Tada įvedę vektorių ir dvi matricas
\boldmath\begin{eqnarray*}&&aVec=\{a_1[t],a_2[t]\};\\&&\varepsilon Mat=\{\{ \varepsilon _1, 0\},\{ 0 , \varepsilon _2\}\};\\&&VMat=\{\{ V_{11} , V_{12} \},\{ V_{21} , V_{22}\}\};\end{eqnarray*}

dviejų lygmenų sistemos lygtis Mathematica kalba galima parašyti tokiu būdu

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Thread}[\ii \hbar  \frac{\partial aVec}{\partial t}==\mathrm{Expand}[[VMat+\varepsilon Mat].aVec]]\end{eqnarray*}

Plancko pastoviąją įvedame palete File/Palettes/CompleteCharacters/Letter-like Forms/Technical Symbols arba klaviatūroje surinkę pilną simbolio pavadinimą \boldmath$\backslash [HBar]$, arba dar paprasčiau — sparčiaisiais klavišais EschbEsc.

Sukonkretinsime matricinius sąveikos operatoriaus elementus. Atomui sugeriant ir spinduliuojant šviesą, keičiasi ne tik jo energija, bet ir kitos charakteristikos. Kartu su energija elektromagnetinis spinduliavimas keičia atomo judesio kiekio momentą bei ,,lyginumą'' — savybę, kuri apibūdina atomo simetriją veidrodinių atspindžių atžvilgiu. Sudėtingo elektromagnetinio lauko konfigūraciją galima išreikšti (išskleisti eilute) per paprastesnės simetrijos konfigūracijas [Macomber76], vadinamas multipoliais. Multipolį apibūdina tam tikro momento $ L $ ir lyginumo $ P $ elektromagnetinis laukas. Kvantinėje elektrodinamikoje šios savybės yra priskiriamos atskiriems fotonams. Kadangi mes nagrinėjame nekvantuotą elektromagnetinį lauką, tai šviesos kvanto sąvokos mūsų uždavinyje nėra. Tokiu būdu klasikinis elektromagnetinis laukas (klasikinė ,,šviesa'') gali būti būsenose, kurios charakterizuojamos pilnutiniu momentu $ L=1,2,3,\dotsc $. Kiekvienai šių verčių tenka po dvi būsenas — teigiamo ir neigiamo lyginumo (tai susiję su nuline fotono rimties mase). Pagal šį požymį multipoliai skirstomi į elektrinius ir magnetinius:

  • Elektrinis $ 2^L $ multipolis nusakomas $ L $ momentu ir $ (-1)^L $ lyginumu,
  • Magnetinis $ 2^L $ multipolis nusakomas $ L $ momentu ir $ (-1)^{L+1} $ lyginumu.

Priklausomai nuo multipolio momento $ L $ vertės spinduliuotė vadinama:

  • dipoline, — kai $ L=1 $ (žymima E1, M1);
  • kvadrupoline, — kai $ L=2 $ (žymima E2, M2);
  • oktupoline, — kai $ L=3 $ ir t.t.

Taisyklės, kurios užtikrina, kad sugerties-spinduliavimo proceso metu nebūtų pažeidžiami $ L $ momento ir $ P $ lyginumo tvermės dėsniai, vadinamos atrankos taisyklėmis. Jos yra ,,paslėptos'' matriciniuose šuolių elementuose. Jei atrankos taisyklės tarp dviejų lygmenų leidžia keletą įvairaus multipoliškumo šuolių, beveik visada vyrauja sąveika, susieta su žemiausiu multipoliu. Šuolių su didesniu $ L $ tikimybė yra nepalyginamai mažesnė. Jei multipoliškumas vienodas, magnetinio multipolio spinduliavimo tikimybė yra daug kartų mažesnė už elektrinio. Taigi, elektrinio dipolinio E1 spinduliavimo tikimybė (jei tik jis leistinas) visada yra didžiausia. Tarsime, kad mūsų nagrinėjamoje sistemoje vyksta būtent tokie šuoliai. Šių šuolių sąveikos operatorius pats paprasčiausias: jis yra tiesiogiai proporcingas spinduliuotės elektrinio lauko stipriui $ \vec{\scE}(t) $, skaliariškai padaugintam iš pastovaus vektoriaus $ \vec{d}_{ji}=\int \langle \psi_{\!j}\big| e \vec{r}\big|\psi_i\rangle\, \mathrm{d}^3 \vec{r} $. Pastarasis charakterizuoja patį atomą ir konkrečius jo lygmenis

\[ V_{ji}=-\vec{d}_{ji}\cdot \vec{\scE}(t) .\tag{7} \]
Vektorius $ \vec{d}_{ji} $ vadinamas atomo elektrinio dipolinio momento matriciniu elementu, kadangi $ e \vec{r} $ yra elektrinis dipolis, kurio krūvis $ e $. Pastebėsime, kad dydis $ e \vec{r} $, vadinamas dar ir šuolio operatoriumi, yra nelyginė koordinačių funkcija, nes spindulys $ \vec{r} $ atspindėjus koordinačių sistemą pakeičia ženklą. Iš čia tuojau pat seka, kad dipolinio šuolio operatoriaus matricinis elementas, kai $ j=i $, yra lygus nuliui, nes nelyginės funkcijos integralas simetrinėje nulio atžvilgiu srityje visada yra nulis. Pastebėsime, kad paėmus $ i=j $, į integralą įeinančios banginės funkcijos modulio kvadratas yra lyginė funkcija (taigi atspindžio metu nepasikeičia), o integruojame visoje erdvėje, t.y. simetriškoje nulio atžvilgiu srityje. Kitaip tariant, elektrinis $ 2^1- $polis (dipolis) keičia lyginumą dydžiu $ (-1)^1 $, kaip jau buvo minėta. Pritaikę šias išvadas dviejų lygmenų sistemai, turime, kad $ V_{11}=V_{22}=0 $. Iš integralo taip pat lengva matyti, kad $ \vec{d}_{ji}=\vec{d}_{ji}^{*} $. Čia žvaigždutė žymi kompleksiškai jungtinį dydį. Taigi, dipolinio šuolio operatorių dviejų lygmenų sistemoje nusako vienui vienas matricinis elementas, pavyzdžiui, $ \vec{V}_{12} $.

Paprastumo dėlei pradžioje tarkime, kad turime tiesiškai poliarizuotos šviesos harmoniškai kintantį elektrinį lauką, kurio ciklinis dažnis yra $ \Omega  $: $ \vec{\scE}(t)=\vec{\scE}_0 \sin(\Omega t) $. Lauko amplitudės ir dipolio momento matricinio elemento sandaugą (padalintą iš Plancko pastoviosios) pažymėkime $ \omega_R=\vec{d}_{12}\cdot \vec{\scE}_0\big/\hbar $, o energiją pradėkime skaičiuoti nuo dviejų energijos lygmenų vidurio. Tada lygmenų energijos atitinkamai bus $ \varepsilon_1=-\frac{\omega}{2} $ ir $ \varepsilon_2 =\frac{\omega}{2} $. Iš čia seka, kad 2L sistemos evoliuciją, vykstant dipoliniam spinduliavimui ir sugerčiai, aprašys tokia apibendrinta lygčių sistema:

\[ \Bigg\{\begin{array}{rl}\mathrm{i}  \frac{ \mathrm{d} a_1 (t)}{\mathrm{d} t}&=-\frac{\omega}{2} a_1(t)-\omega_R\sin(\Omega t) a_2(t), \\[5pt]\mathrm{i}  \frac{\mathrm{d} a_2(t)}{\mathrm{d} t}&=\frac{\omega }{2} a_2(t)-\omega_R\sin(\Omega t) a_1(t) .\end{array}\tag{8} \]

Taigi, matome, kad harmonine jėga veikiamos 2L kvantinės sistemos dinamika priklauso tik nuo trijų parametrų: $ \omega $, $ \omega_R $ ir $ \Omega $. Tikimybė laiko momentu $ t $ aptikti elektroną viename iš energijos lygmenų, pavyzdžiui, $ i=1 $, yra

\[ \int \Psi _1^{*} \Psi_1 \mathrm{d}^3 \vec{r}=\langle \psi_1 a_1(t)\big|\psi_1 a_1(t)\rangle =a_1^{*}(t) a_1(t).\tag{9} \]
Nors naujoji diferencialinių lygčių sistema aprašo paprasčiausios kvantinės sistemos dinamiką, deja, jos analiziškai išspręsti negalime: sprendiniai neišsireiškia žinomomis matematinėmis funkcijomis. Lygčių sistemos (8) sprendinių ieškosime skaitiniais metodais.

Rabio osciliacijos

Remdamiesi gautais rezultatais, įvesime naują nuo laiko priklausantį hamiltonianą $ H_1 $

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{MatrixForm}[HH_1=\{\{ -\frac{\omega }{2} , -\omega _R \sin [\Omega  t] \},\{ -\omega _R \sin [\Omega  t] , \frac{\omega }{2}\}\}\end{eqnarray*}

Juo pasinaudoję užrašysime diferencialinių lygčių sistemą būsenos vektoriui $ \big(\begin{smallmatrix}    a_1(t) \\    a_2(t)  \end{smallmatrix}\big) $.Sistemą papildysime pradinėmis sąlygomis$ \big(\begin{smallmatrix}    a_1(0) \\    a_2(0)  \end{smallmatrix}\big) $,kurios charakterizuoja būsenos vektorių laiko momentu $ t=0 $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&(lygtys2L1=\mathrm{Flatten}[\{\mathrm{Thread}[\{i a_1'[t],i a_2'[t]\}== H_1.aVec],a_1[0]==a_{10},a_2[0]==a_{20}\}])//\mathrm{MatrixForm}\end{eqnarray*}

Pirmiausia išspręsime diferencialinių lygčių sistemą tuo atveju, kai patenkinamos rezonanso sąlygos, t.y. kai sistema apšviečiama elektromagnetine banga, kurios dažnis yra lygus energiniam atstumui tarp sistemos lygmenų: $ \omega =\Omega  $. Laikysime, kad pradiniu laiko momentu elektronas (su tikimybe, lygia vienetui) buvo pirmame lygmenyje, t.y. $ a_1(0)=1 $ ir $ a_2(0)=0 $.

\boldmath$parametrai2L1=\bigl\{$
\boldmath$\omega$\boldmath$\to$energetinis tarpas tarp lygmenų
\boldmath$\Omega$\boldmath$\to$išorinio lauko ciklinio dažnio vertė
\boldmath$\omega_R$\boldmath$\to$ \boldmath$\omega_R$vertė
\boldmath$a_{10}$\boldmath$\to$amplitudės koeficiento $ t=0 $ momentu rasti elektroną pirmąjame lygmenyje vertė
\boldmath$a_{10}$\boldmath$\to$amplitudės koeficiento $ t=0 $ momentu rasti elektroną antrąjame lygmenyje vertė
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&sprendinys2L1a=\mathrm{NDSolve}[lygtys2L1/.parametrai2L1,\{a_1[t],a_2[t]\},\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\}]\end{eqnarray*}

Spręsti diferencialinę lygtį nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=

  

Gautas atsakymas — banginių funkcijų $ a_1(t) $ ir $ a_2(t) $ priklausomybė nuo laiko — turi kompleksinį pavidalą, nes sprendėme kompleksinių diferencialinių lygčių sistemą. Pastebėsime, kad banginėmis funkcijomis vadinome Schrödingerio lygties sprendinius. $ a_1(t) $ ir $ a_2(t) $ iš tiesų yra banginės funkcijos skleidimo koeficientai (banginės funkcijos projekcijos), kurie dviejų lygmenų sistemos atveju sutampa su pačiomis banginėmis funkcijomis. Tokia dviprasmė terminologija, deja, paplitusi literatūroje. Atvaizduosime banginių funkcijų modulių kvadratus. Modulius apskaičiuosime komanda \boldmath$Abs[~]$

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{|a_1[t]|^2,|                a_2[t]|^2\}/.sprendinys2L1a],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\},  AxesLabel\to \{t,|a_1|^2,|a_2|^2 \},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti trajektorijas nuo laiko \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Matome, kad laikui bėgant tikimybė aptikti elektroną pirmajame lygmenyje mažėja, o antrajame — didėja. Abiejų tikimybių suma bet kuriuo laiku momentu, kaip ir turi būti, išlieka lygi vienetui. Pavyzdžiui, laiko momentu $ t=5 $ turime

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Flatten}[\mathrm{Evaluate}[\{|a_1[t]|^2,|a_2[t]|^2,|a_1[t]|^2+a_2[t]|^2\}/.sprendinys2L1a]/.t->\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{t_0}$}]\end{eqnarray*}
Pasirinktas laiko momentas \boldmath$t_0=$

  

Atkreipkite dėmesį, kad abi tikimybės keičiasi šuoliukais. Intervalas tarp šuoliukų lygus elektrinio lauko kitimo pusperiodžiui $ \pi /\Omega $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{N}[\pi/\Omega/. parametrai2L1]\end{eqnarray*}

Pailginkime sistemos evoliucijos trukmę iki $ 100 $ sekundžių ir dar kartą išspręskime diferencialinių lygčių sistemą. Dabar pasidomėsime, kaip laikui bėgant keičiasi antrojo lygmens banginės funkcijos realioji ir menamoji dalys

\boldmath\begin{eqnarray*}&&<<\mathrm{Graphics}^\backprime \mathrm{Legend}^\backprime\\&&sprendinys2L1b=\mathrm{NDSolve}[lygtys2L1/.parametrai2L1,\{a_1[t],a_2[t]\},\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 5pt{}}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 5pt{}}\smash{t_{end}}$}\}]\\&&\mathrm{ShowLegend}[\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{Re}[a_2[t]],\mathrm{Im}[a_2[t]]\}/.sprendinys2L1b],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{end}}$}\},\mathrm{DisplayFunction}\to \mathrm{Identity}],\\&&\{\{\{\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{Line}[\{\{0, 0\},\{2, 0\}\}]\}],\mathrm{StyleForm}["\mathrm{Re}(a_2)",\mathrm{FontSize}\to 10]\},\\&&\{\mathrm{AbsoluteDashing}[\{10,10\}],\mathrm{Graphics}[\{\mathrm{Line}[\{\{0, 0\},\{3, 0\}\}]\}],\mathrm{StyleForm}["\mathrm{Im}(a_2)",\mathrm{FontSize}\to 10]\}\\&&\},\mathrm{LegendPosition}\to \{0,0.4\},\mathrm{LegendSize}\to \{0.5,0.2\},\mathrm{LegendTextSpace}\to 1, \mathrm{LegendSpacing}\to -0.15\}]\end{eqnarray*}

Piešti trajektorijas nuo laiko \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Matome, kad realioji ir menamoji dalys osciliuoja $ \omega/ 2 $ dažniu ir viena kitos atžvilgiu yra pastumtos per ketvirtį periodo. Be greitųjų svyravimų abi dalys dar turi lėtai osciliuojančią gaubiančiąją. Pagal kvantinę mechaniką nei realioji, nei menamoji banginės funkcijos dalis atskirai paėmus neturi jokios fizikinės prasmės. Fizikinę prasmę turi tik banginių funkcijų $ a_1(t) $ ir $ a_2(t) $ modulių kvadratai. Jie nusako lygmenų populiacijos (užimtumo) kitimą laike, t.y. tikimybę elektroną aptikti pirmame arba antrame lygmenyje. Tačiau atskirų realiosios ir menamosios dalių atvaizdavimas šiuo atveju turėtų padėti skaitytojui suprasti, kaip atsiranda laipteliai lygmenų populiacijos piešinyje. Tam tereikia prisiminti, kad kompleksinės funkcijos modulio kvadratą galima apskaičiuoti sudėjus realiosios ir menamosios dalių kvadratus.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{|a_1[t]|^2,|                a_2[t]|^2\}/.sprendinys2L1b],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\},AxesLabel\to \{t,"|a_1|^2,|a_2|^2" \}, \\&& PlotLabel\to "\Omega =\omega _R",\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti trajektorijas nuo laiko \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Tokiu būdu gavome, kad tikimybė elektroną aptikti pirmame ir antrame lygmenyje laikui bėgant lėtai osciliuoja. Kai $ \omega=\Omega  $ (rezonanso atvejis), ši tikimybė keičiasi nuo nulio ir vieneto. Keičiant parametro $ \omega_R=\vec{d}_{12}\cdot \vec{\scE}_0\big/\hbar $, vertę galima įsitikinti, kad lėtų osciliacijų dažnis priklauso nuo šviesos elektrinio lauko amplitudės dydžio. Ši priklausomybė yra tiesinė. Čia pavaizduotas lėtas energijos lygmenų populiacijos kitimas laike yra vadinamas Rabio (I.I.Rabi) osciliacijomis, mokslininko, kuris jas pirmą kartą aprašė 1937 metais, vardu. Norint stebėti Rabio osciliacijas eksperimente, reikia užtikrinti, kad 2L~sistema silpnai sąveikautų su aplinka. Stipri sąveika sparčiai kaitalioja osciliuojančios banginės funkcijos fazę, todėl po kiekvienos elementarios sąveikos su aplinka 2L sistemos greitos osciliacijos prasideda vis kita faze. Tai savo ruožtu atsiliepia Rabio osciliacijų fazėje. Jei turime daug atomų (2L sistemų ansamblį) ir kiekvienas iš jų sąveikauja su aplinka nepriklausomai bei atsitiktinai, tai po tam tikro laiko kiekvienoje iš osciliacijų nusistovės vis kita fazė. Tokių nesuderintų fazių svyravimų suminis efektas jau neleis eksperimente stebėti lėtų viso ansamblio Rabio osciliacijų. Taigi sistemose, kur sklaida yra stipri, Rabio osciliacijų stebėti negalėsime. Jei norime matyti makroskopinį, t.y. daugelio atomų sukeltą, Rabio osciliacijų reiškinį, reikia, kad visų 2L lygmenų sparčios osciliacijos būtų sinchroniškos. Sąveika su aplinka kaip tik ir ardo osciliacijų sinchroniškumą. Pastebėsime, kad nors banginės funkcijos sparčiųjų osciliacijų tiesiogiai stebėti negalime, jų įtaka, kaip matome, netiesiogiai pasireiškia ansamblio banginių funkcijų išsifazavimu.

Šviesos elektrinis laukas sukelia elektrono šuolį tiek iš pirmojo energijos lygmens į antrąjį, tiek iš antrojo (didesnės energijos) lygmens į pirmąjį. Pirmasis procesas atitinka šviesos sugertį, antrasis — indukuotą šviesos spinduliavimą. Indukuotą spinduliavimą pirmą kartą postulavo A. Einsteinas kvantinės mechanikos aušroje tam, kad galėtų paaiškinti sistemos, sudarytos iš daugelio dalelių, ir spinduliuotės pusiausvyrą. Taigi į Rabio osciliacijas galime žiūrėti ir kaip į sugerties bei indukuoto spinduliavimo konkurenciją. Priminsime, kad lazerio veikimo principas yra pagrįstas indukuoto šviesos spinduliavimo reiškiniu.

Dabar pažiūrėkime, kaip keičiasi Rabio osciliacijų pobūdis, kai šviesos šaltinio dažnis $ \Omega $ šiek tiek skiriasi nuo lygmenų rezonansinio dažnio $ \omega_R $. Paimkime mažesnę už rezonansinį dažnį $ \Omega $ vertę, o kitus sistemos parametrus palikime tuos pačius.

\boldmath$parametrai2L2=\bigl\{$
\boldmath$\omega$\boldmath$\to$energetinis tarpas tarp lygmenų
\boldmath$\Omega$\boldmath$\to$išorinio lauko ciklinio dažnio vertė
\boldmath$\omega_R$\boldmath$\to$ \boldmath$\omega_R$vertė
\boldmath$a_{10}$\boldmath$\to$amplitudės koeficiento $ t=0 $ momentu rasti elektroną pirmąjame lygmenyje vertė
\boldmath$a_{10}$\boldmath$\to$amplitudės koeficiento $ t=0 $ momentu rasti elektroną antrąjame lygmenyje vertė
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&sprendinys2L2=\mathrm{NDSolve}[lygtys2L1/.parametrai2L2,\{a_1[t],a_2[t]\},\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\}]\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{|a_1[t]|^2,|                a_2[t]|^2\}/.sprendinys2L2],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{end}}$}\},AxesLabel\to \{t,"|a_1|^2,|a_2|^2" \}, \\&& PlotLabel\to "\Omega <\omega _R",\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Spręsti diferencialinę lygtį ir piešti sprendinį nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Iš brėžinio matome, kad dabar elektrono šuolio iš vieno lygmens į kitą tikimybė niekada nepasiekia vieneto. Galima įsitikinti, kad didėjant skirtumui $ \Omega -\omega $ Rabio osciliacijų amplitudės sparčiai mažėja. Šis faktas atspindi gana bendrą daugelio kvantinių sistemų savybę: sistemos šuolis iš vienos būsenos į kitą turi rezonansinį pobūdį. Sistema maksimaliai reaguoja į išorinį poveikį tik tuo atveju, jei jo dažnis sutampa su sistemos savuoju dažniu. Mūsų nagrinėjamu atveju tai atsitinka tada, kai spinduliuojamo šviesos kvanto energija tampa lygi energiniam atstumui tarp 2L sistemos lygmenų $ \Omega =\omega $. Jei brėžinyje atidėtume Rabio osciliacijų amplitudės priklausomybę nuo $ \Omega $, gautume Lorentzo pavidalo rezonansinę kreivę. Jos matematinė išraiška yra $ (\Delta /\pi )\big/\big((\Omega-\omega )^2+\Delta^2\big) $. Čia parametras $ \Delta $ nusako Lorentzo kreivės pusplotį. Dar reiktų pastebėti tai, kad tolstant nuo rezonanso, t.y. didėjant išderinimui, Rabio osciliacijų dažnis taip pat didėja.

\boldmath$\pi/2$ ir \boldmath$\pi$ šviesos impulsai

ki šiol laikėme, kad elektromagnetinės spinduliuotės intensyvumas nepriklauso nuo laiko, todėl dydis $ \omega_R=\vec{d}_{12}\cdot \vec{\scE}_0\big/\hbar $ buvo pastovus. Dabar panagrinėkime kiek painesnį atvejį: 2L sistemą apšvieskime trumpu, susidedančiu iš nedidelio skaičiaus osciliacijų, impulsu. Tuo tikslu harmoninio signalo amplitudę $ \omega_R $ padauginkime iš gaubiamosios funkcijos, pavyzdžiui, gausoidės $ \exp\big(-\frac{t-t_d}{t_p}\ln 2\bigr) $. Čia $ t_d $ žymi impulso vėlinimo laiką, o $ t_p $ — gaubiamosios pusplotį pusės impulso aukštyje. Papildomas daugiklis $ \ln 2 $ vėliau mums leis užrašyti paprastesnes galutines išraiškas. Įvedus baigtinės trukmės impulsą hamiltoniane $ H_1 $ harmoninį narį $ \omega_R\sin(\Omega t) $ reikia pakeisti trumpu impulsu

\boldmath\begin{eqnarray*}&&gauss=-\omega_R * \mathrm{Exp}[-\mathrm{Log}[2]*\Bigl(\frac{t-t_p}{t_p}\Bigr)^2]*\mathrm{Sin}[\Omega t]\end{eqnarray*}

Suteikime parametrams skaitines vertes ir pažiūrėkime, kaip kinta elektrinis šviesos impulso laukas.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[gauss/.\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{parametraiLaikini}$}],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{end}}$}\},AxesLabel\to \{t,"\scE (t)" \}, \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

\boldmath$parametraiLaikini=\bigl\{$
\boldmath$\Omega$\boldmath$\to$išorinio lauko ciklinio dažnio vertė
\boldmath$\omega_R$\boldmath$\to$ \boldmath$\omega_R$vertė
\boldmath$t_{d}$\boldmath$\to$ vėlinimo laikas
\boldmath$t_{p}$\boldmath$\to$Gauso impulso gaubiamosios pusplotis pusės impulso aukštyje
\boldmath$\bigr\}$

Piešti nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Dviejų lygmenų sistemos hamiltonianas, kurį dabar žymėsime $ H_2 $, įgyja tokį pavidalą:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&(H_2=\{\{ -\frac{\omega }{2} , gauss \},\{ gauss , \frac{\omega }{2}\}\})//\mathrm{MatrixForm}\end{array}\end{eqnarray*}

Kaip ir anksčiau sudarome lygčių sistemą ir užduodame pradines sąlygas ieškomoms banginėms funkcijoms $ a_1(t) $ ir $ a_2(t) $:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&(lygtys2L2=\mathrm{Flatten}[\{\mathrm{Thread}[\{\ii a_1'[t],\ii a_2'[t]\}== H_2 . aVec],a_1[0]==a_{10},a_2[0]==a_{20}\}])//\mathrm{MatrixForm}\end{eqnarray*}

Eksperimentuose su 2L sistemomis labai svarbūs yra taip vadinami $ \pi /2 $ ir $ \pi $ impulsai. Pirmasis iš jų su lygia vienetui tikimybe perkelia elektroną iš pirmojo energijos lygmens į antrąjį (arba atvirkščiai, iš antrojo į pirmąjį). Antrasis impulsas — $ \pi $ impulsas — apšvitintą 2L sistemą palieka pradinėje būsenoje, tarytum sąveikos iš viso ir nebūtų buvę. $ \pi /2 $ ir $ \pi $ impulsus galima sukurti parenkant tam tikras šviesos impulso puspločio ir amplitudės reikšmių kombinacijas. Pavyzdžiui, labai panašų į $ \pi /2 $ impulsą gausime, kai $ \omega_R=0{,}5\ \mathrm{s}^{-1} $ ir $ t_p=30 $s.

\boldmath$parametrai2L\pi puse=\bigl\{$
\boldmath$\omega$\boldmath$\to$energetinis tarpas tarp lygmenų
\boldmath$\Omega$\boldmath$\to$išorinio lauko ciklinio dažnio vertė
\boldmath$\omega_R$\boldmath$\to$ \boldmath$\omega_R$vertė
\boldmath$t_{d}$\boldmath$\to$vėlinimo laikas
\boldmath$t_{p}$\boldmath$\to$Gauso impulso gaubiamosios pusplotis pusės impulso aukštyje
\boldmath$a_{10}$\boldmath$\to$amplitudės koeficiento $ t=0 $ momentu rasti elektroną pirmąjame lygmenyje vertė
\boldmath$a_{10}$\boldmath$\to$amplitudės koeficiento $ t=0 $ momentu rasti elektroną antrąjame lygmenyje vertė
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&sprendinys2L\pi puse=\mathrm{NDSolve}[lygtys2L2/.parametrai2L\pi puse,\{a_1[t],a_2[t]\},\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\}]\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{|a_1[t]|^2,|                a_2[t]|^2\}/.sprendinys2L\pi puse],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{end}}$}\},AxesLabel\to \{t,"|a_1|^2,|a_2|^2" \}, \\&& PlotLabel\to "\frac{\pi}{2} impulsas",\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Spręsti diferencialinę lygtį ir piešti sprendinį nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Gautos lygmenų populiacijų kreivės rodo, kad ,,šviesos impulso viduryje'' tikimybė elektroną aptikti pirmajame ir antrajame lygmenyse yra vienoda, o pasibaigus impulsui elektronas būtinai perkeliamas iš vieno lygmens į kitą. Ir tikrai, apskaičiavę tikimybes $ |a_1|^2 $ ir $ |a_2|^2 $ laiko momentu $ t=100 $s, gauname labai artimas nuliui ir vienetui vertes:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Flatten}[\mathrm{Evaluate}[\{|a_1[t]|^2,|a_2[t]|^2,|a_1[t]|^2+a_2[t]|^2\}/.sprendinys2L\pi puse]/.t->\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{t_0}$}]\end{eqnarray*}
Pasirinktas laiko momentas \boldmath$t_0=$

  

Pastebėsim, kad $ \pi /2 $ impulsais yra vadinami bet kokio, nebūtinai Gausso, pavidalo, impulsai. Tereikia, kad impulsas su tikimybe, lygia vienetui, perkeltų elektroną iš vieno lygmens į kitą. Iš brėžinio taip pat matyti, kad $ \pi $ impulsą galima gauti iš $ \pi /2 $ impulso, jei $ \omega_R $ vertę padidinsime du kartus. Praktikoje tam pakanka du kartus padidinti šviesos lauko amplitudę.

\boldmath$parametrai2L\pi=\bigl\{$
\boldmath$\omega$\boldmath$\to$energetinis tarpas tarp lygmenų
\boldmath$\Omega$\boldmath$\to$išorinio lauko ciklinio dažnio vertė
\boldmath$\omega_R$\boldmath$\to$ \boldmath$\omega_R$vertė
\boldmath$t_{d}$\boldmath$\to$vėlinimo laikas
\boldmath$t_{p}$\boldmath$\to$Gauso impulso gaubiamosios pusplotis pusės impulso aukštyje
\boldmath$a_{10}$\boldmath$\to$amplitudės koeficiento $ t=0 $ momentu rasti elektroną pirmąjame lygmenyje vertė
\boldmath$a_{10}$\boldmath$\to$amplitudės koeficiento $ t=0 $ momentu rasti elektroną antrąjame lygmenyje vertė
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&sprendinys2L\pi=\mathrm{NDSolve}[lygtys2L2/.parametrai2L\pi,\{a_1[t],a_2[t]\},\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\}]\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{|a_1[t]|^2,|                a_2[t]|^2\}/.sprendinys2L\pi],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{end}}$}\},AxesLabel\to \{t,"|a_1|^2,|a_2|^2" \}, \\&& PlotLabel\to "\frac{\pi}{2} impulsas",\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Spręsti diferencialinę lygtį ir piešti sprendinį nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Pasibaigus $ \pi $ impulsui sistema sugrižo į pradinę būseną. Dviejų lygmenų sistemos savybe sugrįžti į būseną, kurioje ši buvo prieš apšviečiant ją $ \pi $ impulsu, galima paaiškinti kai kurių medžiagų praskaidrėjimą, medžiagas apšvietus trumpais ir galingais lazerio šviesos impulsais. Jei po sąveikos su $ \pi $ impulsu 2L objektai pasilieka toje pačioje būsenoje, kokioje jie buvo prieš sąveiką, vadinasi, šviesos energija nebuvo absorbuota. Taigi tokios medžiagos plokštelė yra skaidri. Antra vertus, nereiktų pamiršti, kad iš tikrųjų šviesa ne tik sąveikauja su 2L kvantinėmis sistemomis plokštelėje, bet tuo pat metu joje ir sklinda. Todėl, analizuojant plokštelės praskaidrėjimą, 2L sistemos lygtis reiktų papildyti Maxwello lygtimis. Jei išspręstume tokį sudėtingesnį uždavinį, gautume dar vieną įdomų kvantinį reiškinį: plokštelės praskaidrėjimo metu šviesos impulso greitis žymiai (tūkstančius kartų) sulėtėja. Tai aiškinama tuo, kad elektronui ,,užkelti'' ir jam ,,sugrąžinti'' į pradinį energijos lygmenį reikia tam tikro laiko. Kadangi šviesa medžiagoje sklinda perspinduliuojama 2L sistemų, tai jos greitis labai sumažėja [Alperin87].

Besisukančios bangos metodas

Kaip jau buvo minėta, 2L sistemos analiziniai sprendiniai nėra žinomi. Tenka pripažinti, kad kvantinėje mechanikoje yra labai mažai uždavinių, kuriuos galima išspręsti tiksliai. Dėl šios priežasties čia nepaprastai svarbūs įvairūs artutiniai metodai. Vienas iš tokių metodų ir yra besisukančios bangos metodas (rotating wave approximation), kuris plačiai taikomas kvantinėje optikoje ir kurį mes dabar trumpai aptarsime. Jis dažnai naudojamas ne tik 2L sistemų analizėje, bet ir tiriant trijų, keturių ir t.t. lygmenų sistemas. Šiuo metodu galima gauti analizinius sprendinius, kurie mažai skiriasi nuo tikslių skaitinių sprendinių. Pasitelkę 2L sistemą parodysime, kuo skiriasi besisukančios bangos metodu gauti sprendiniai nuo tikslių. Šiuo tikslu dviejų lygmenų sistemoje padarykime tokį kintamųjų pakeitimą:

\[ \bigg\{\arraycolsep=0.5\arraycolsep\begin{array}{rl}a_1(t)&=b_1(t) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t/2},\\a_2(t)&=b_2(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t/2}.\end{array}\tag{10} \]
Be to, $ \sin (\Omega t) $ perrašykime kompleksinių eksponenčių suma
\[ \sin(\Omega t)=\frac{1}{2 \mathrm{i}} \bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \Omega t}\bigr) .\tag{11} \]
Kadangi praktikoje dažniausiai nagrinėjamas atvejis, kai šviesos kvanto energija yra artima atstumui tarp atomo energijos lygmenų, t.y. kai $ \Omega  $ yra artimas $ \omega  $, naujoje diferencialinių lygčių sistemoje paliksime tik lėtai osciliuojančius narius, t.y. tokius, kurie priklauso tik nuo abiejų dažnių skirtumo $ \Omega-\omega $. Greitai osciliuojantys nariai, pavyzdžiui, $ \Omega+\omega  $, atsakyme duos greitas osciliacijas, kurias eksperimentiškai stebėti yra sunku. Tokiu būdu, atmetę greitai osciliuojančius narius, gauname tokią apytikslę diferencialinių lygčių sistemą:
\[ \left\{\arraycolsep=0.5\arraycolsep\begin{array}{rl}    \frac{\mathrm{d} b_1(t)}{\mathrm{d} t} &=\frac{\omega_R}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Omega -\omega ) t} b_2(t), \\[5pt]    \frac{\mathrm{d} b_2 (t)}{\mathrm{d} t} &=-\frac{\omega_R}{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\Omega -\omega ) t} b_1(t). \end{array}\right.\tag{12} \]
Užrašykime ją Mathematica kalba
\boldmath\begin{eqnarray*}&&bVec=\{b_1[t],b_2[t]\};\\&&H_3=\{\{0,\frac{\omega_R}{2} \mathrm{Exp}[\ii (\Omega-\omega) t] \},\{ -\frac{\omega_R}{2} \mathrm{Exp}[-\ii (\Omega-\omega) t] , 0\}\};\\&&(lygtys2L3=\mathrm{Flatten}[\mathrm{Thread}[\{\ii b_1'[t],\ii b_2'[t]\} == H_3 . bVec]])//\mathrm{MatrixForm}\end{array}\end{eqnarray*}

Šitaip supaprastintą diferencialinių lygčių sistemą jau galima išspręsti analiziškai. Mes panagrinėsime dar paprastesnį — rezonanso $ \omega =\Omega  $ atvejį. Pasinaudoję diferencialinių lygčių sprendimo komanda \boldmath$DSolve[~]$ gauname tokį bendrąjį sprendinį:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&sprendinys2Lapprox=\mathrm{DSolve}[lygtys2L3/.\Omega\to\omega ,\{b_1[t],b_2[t]\},t]\end{array}\end{eqnarray*}

Atsakyme C[1] ir C[2] yra laisvi parametrai, kurių vertes parinksime taip, kad uždavinį suderintume su anksčiau naudotomis pradinėmis būsenomis. Kai $ t=0 $, gautas analizinis sprendinys pereina į

\boldmath\begin{eqnarray*}&&sprendinys2Lapprox/.t\to 0\end{array}\end{eqnarray*}

Iš čia matyti, kad paėmę C[1]$ =1 $ ir C[2]$ =0 $, galėsime palyginti besisukančios bangos metodu gautus sprendinius su anksčiau gautu skaitiniu rezultatu. Pavaizduosime apytikslio analizinio sprendinio lygmenų populiacijų kreives:

\boldmath$parametrai2Lapprox=\bigl\{$
\boldmath$\omega_R$\boldmath$\to$ \boldmath$\omega_R$vertė
\boldmath$C[1]$\boldmath$\to$bendrojo sprendinio pirmojo koeficiento vertė
\boldmath$C[2]$\boldmath$\to$bendrojo sprendinio anrojo koeficiento vertė
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{|b_1[t]|^2,|                b_2[t]|^2\}/.sprendinys2Lapprox/.parametrai2Lapprox],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{t_{end}}$}\},\\&&AxesLabel\to \{t,"|b_1|^2,|b_2|^2" \}, \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti analizinį sprendinį nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Matome, kad gautasis sprendinys nuo tikslaus (žr. brėžinį Rabio osciliacijų skyrelyje) skiriasi tik tuo, kad dabar populiacijų užimtumo kreivės yra glotnios. Jose dingo greiti (sinchroniški išoriniam laukui) virpesiai. Iš tikrųjų šios kreivės vaizduoja lygmenų populiacijų osciliacijas (Rabio osciliacijas), kurios turi labai paprastą pavidalą $ |\sin (t \omega_R /2)|^2 $ arba $ |\cos (t \omega_R /2)|^2 $, ir kur $ \omega_R=\vec{d}_{12}\cdot \vec{\scE}_0\big/\hbar $. Taigi, Rabio osciliacijų dažnis yra proporcingas dipolinio matricinio elemento ir elektromagnetinio spinduliavimo elektrinio lauko amplitudžių skaliarinei sandaugai. Be 2L sistemų, panašiu būdu nagrinėjamos 3L, 4L ir daugiau lygmenų turinčios kvantinės sistemos [Shore95,Bergmann98,TerMikaelyan97].

Literatūra

J. D. Macomber, "The dynamics of spectroscopic transitions", John Wiley & Sons, New York, 1976 Yra rusiškas vertimas: Дж. Макомбeр, "Динамика спектроскопических переходов", Мир, Москва, 1979

М.М. Алперин, Я.Д. Клубис, АІ. Хижняк, "Введение в физику двухуровневых систем", Наукова Думка, Киев, (1987)

B. W. Shore, "Examples of counter-intuitive physics", Contemp. Phys., Vol. 36, p.15-28 (1995)

K. Bergmann, H. Theur , B.W. Shore "Coherent population transfer among quantum states of atoms and molecules", Rev. Mod. Phys. Vol. 70, No.3, p.1003-1025 (1998)

М. Л. Тер-Микаелян "Простейшие атомные системы в резонансных лазерных полях", Усп.Физ.Наук, Т. 167, No.12, п.1249-1294 (1997)

spausdinti