MOKSLASplius.lt
Į pradžią » virtualūs eksperimentai » 2L ir 3L sistemos

Kvantiniai aidai

---

Išsamiau kvantinių aidų teorija paaiškinta knygoje, kurios atitinkamą skyrių siūlome perskaityti prieš gilinantis į šį eksperimentą.Pirmiausia nustatome atsakymų šrifto dydį šiame puslapyje taip, kad gerai matytume atsakymus

Šrifto dydis:

  

Sukinių laisvoji precesija pirmą kartą buvo aptarta ir pritaikyta branduolio sukinio dinamikos tyrimuose. Per pastaruosius penkiasdešimt metų sukinių precesijos metodas buvo labai ištobulintas ir tapo standartiniu instrumentu ne tik fizikoje ir chemijoje, bet ir biologijoje bei medicinoje, kur jis taikomas gyvų organizmų magnetinio rezonanso tomografiniams vaizdams gauti. Vienas iš nuostabių tokio impulsinio žadinimo reiškinių yra sukinių, o taip pat optiniai aidai. Jie stebimi laiko intervale $ T_2\ll t\ll T_1 $, kur $ T_1 $ ir $ T_2 $ yra išilginė ir skersinė relaksacijos trukmės. Pasirodo, parinkus tam tikrą sukinius žadinančių radioimpulsų seką galima pakeisti laiko ženklą. Tai reiškia, kad po tokios impulsų sekos tiriamoje sistemoje laikas ima tekėti atgal. Kitaip tariant, jei pradinėje sistemoje laikui bėgant netvarka didėja, apgręžus laiką ji ima grįžti į pradinę tvarkingą būseną. Toks reiškinys ir yra vadinamas kvantiniu aidu. Skyriuje aptarsime aidų atsiradimą 2L sistemoje klasikinės fizikos, o po to ir kvantinės mechanikos požiūriu.

Išnagrinėsime paprastą dipolinį modelį, kuriame magnetinių dipolių ansamblio kiekvieną narį nusako precesijos lygtis

\[ \frac{\dd\mathbf{M}}{\dd t}=\gamma\,\mathbf{M}\times\mathbf{B}.\tag{1} \]
Jei magnetinė indukcija $ \mathbf{B} $ yra lygiagreti $ z $ ašiai, o pradiniu laiko momentu įmagnetėjimo vektorius $ \mathbf{M} $ guli $ x{-}y $ plokštumoje, tai iš (1) gauname, kad laikui bėgant $ \mathbf{M} $ ir toliau suksis toje pačioje plokštumoje
\[ \mathbf{M}(t)=|\mathbf{M}(0)| (\cos\theta(t),\sin\theta(t)). \]
Vektoriaus sukimosi plokštumoje kampas yra periodinė laiko $ t $ funkcija,
\[ \theta (t)=\hat{\Phi}_t\theta(0)=\mathop{\mathrm{mod}}\bigl(\theta (0)+\omega t,2\pi\bigr),\qquad\omega=\gamma B, \]
kur $ \hat{\Phi}_t $ — periodinis operatorius, o $ \mathop{\mathrm{mod}} $ žymi, kad imame tik trupmeninę santykio $ (\theta (0)+\omega t)/2\pi $ dalį.

Tegu tam tikru laiko momentu $ t=\tau $ magnetinės indukcijos $ \mathbf{B} $ kryptis ir stipris pasikeičia iš $ \mathbf{B}\parallel z $ į $ \mathbf{B}^{'}\parallel x $, t. y. iš lygiagrečios $ z $ ašiai ji tampa lygiagreti $ x $ ašiai. Naujoji magnetinė indukcija veikia baigtinį $ \Delta t^\prime=\pi/(\gammaB^\prime) $ laiko tarpą, kuriam pasibaigus atstatoma pradinė magnetinė indukcija $ \mathbf{B} $. Trumpai veikiančios indukcijos $ \mathbf{B}^\prime $ stipris parenkamas taip, kad dipolinis momentas aplink $ x $ ašį apsisuktų kampu $ \pi $. Pasibaigus tokiam $ \pi $ impulsui kampas $ \theta(\tau)=\mathop{\mathrm{mod}}\bigl(\theta(0)+\omega\tau,2\pi\bigr) $ pereina į kampą $ \theta^\prime(\tau+\Delta t^\prime)=2\pi -\mathop{\mathrm{mod}}\bigl(\theta(0)+\omega\tau,2\pi\bigr) $ $ =\mathop{\mathrm{mod}}\bigl(2\pi -\theta(0)-\omega\tau,2\pi\bigr)=\mathop{\mathrm{mod}}\bigl(-\theta(0)-\omega\tau,2\pi\bigr) $. Kitaip tariant, įvykdyta transformacija pakeičia kampą jo veidrodiniu atspindžiu $ x{-}z $ plokštumos atžvilgiu. Šią transformaciją taip ir pažymėsime:

\[ \label{refl}\hat{\mathcal{R}}(\theta,\omega)=(2\pi-\theta,\omega). \]
Jei $ \mathbf{B}^\prime $ veikimo laikas $ \Delta t^\prime $ yra labai trumpas lyginant su precesijos periodu, jį galime tiesiog praleisti ir tolesnę evoliuciją iki momento $ t=2\tau $ užrašyti taip:
\[ \theta(\tau+\Delta t^\prime+\tau)\approx\theta(2\tau)=\text{mod}\bigl(\theta^\prime(\tau)+\omega\tau\bigr) = 2\pi -\theta(0). \]
Taigi, praėjus laikui $ 2\tau $ sistema grįžo į pradinę būseną $ \theta(0) $. Tiesa, pasikeitė funkcijos ženklas ir papildomai atsirado konstanta $ 2\pi $. Toks sistemos grįžimas į pradinę būseną ir yra vadinamas aidu. Aido reiškinys būdingas bet kokioms periodinėms ar tenkinančioms periodines kraštines sąlygas sistemoms. Intuityviai jį bus lengva suvokti, jei įsivaizduosime, kad tam tikru laiko momentu dalelių greičiai staiga pasikeičia į priešingus. Periodinėse sistemose toks dalelių krypties pasikeitimas į priešingą vyksta kas pusė periodo. Taigi, nors visų ansamblio dalelių greičių pakeitimas iš pirmo žvilgsnio atrodo techniškai neišsprendžiama užduotis, eksperimentiškai ją realizuoti, pasirodo, visai paprasta. Reikia tik specialiai sukonstruotu impulsu pakeisti sistemos, susidedančios iš daugelio mikrosistemų-dipolių, fazę į priešingą.

Tuo tikslu panagrinėkime ansamblį, susidedantį iš $ N $ magnetinių dipolių $ \mathbf{M}^{(i)} $, $ i=1,2,\ldots,N $, kurių atsitiktiniai kampiniai dažniai $ \omega^{(i)} $ yra iš intervalo $ [\omega_{\rm min},\omega_{\rm max}] $. Pavaizduosime tokio ansamblio evoliuciją $ \theta{-}\omega $ fazinėje plokštumoje, paėmę $ N=500 $, $ \omega_{\rm min}=0{,}75 $, $ \omega_{\rm max}=1{,}25 $ ir $ \tau=100 $ (laiką matuosime $ 2\pi $ vienetais).

\boldmath$n$=Dipolių skaičius
$ \omega_{\mathrm start} $=dažnių ruožo pabaiga
$ \omega_{\mathrm end} $=dažnių ruožo pabaiga

  

Tą atliksime tokiu būdu. Pirmiausia sugeneruojame $ \vartheta $ ir $ \omega $ verčių sąrašą $ \vartheta\omega Rand0 $.$ t=0 $ laiko momentu visas pradines fazes imame lygias nuliui, $ \theta(0)=0 $, t.y. visi dipoliai tegu būna orientuoti išilgai $ x $ ašies. Praėjus tam tikram laiko tarpui dėl skirtingų kampinių greičių taškai fazinėje plokštumoje $ \theta{-}\omega $ pasiskirsto chaotiškai. Keisdami $ t $ vertes galime stebėti šios vertės evoliucionuoja laikui bėgant. Piešinyje mes pavaizdavome kaip jos atrodo $ t=100 $ laiko momentu. Skaitytojui siūlome pačiam įsitikinti kaip nuo pradinio tvarkingo rinkinio $ t=0 $ momentu sistema evoliucionavo iki chaotinio, pavaizduoto $ t=100 $ momentu

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&\vartheta\omega Rand0=\mathrm{Table}[\{\mathrm{RandomReal}[\{\omega_{\mathrm start},\omega_{\mathrm end}\}],0\},\{x,n\}];\\&\mathrm{Function}[\{t\},\mathrm{ListPlot}[{#[[1]],\mathrm{Mod}[\#[[2]]+\#[[1]]*t *2 \pi,2 \pi]}\&/@\vartheta\omega Rand0]][t]\end{split}\end{equation*}

laiko momentas: Vaizdavimo parinktys:

  

Toliau pasirinkime laiko momentą, kurio metu visus dipolius paveikia atspindžio transformacija. Mes imame $ t=100 $. Fazinių taškų pasiskirstymą prieš ir tuoj po transformacijos žymi fotografijos $ \tau^{-} $ ir $ \tau^{+} $. Paveiksle matome, kad praėjus laikui $ 2\tau $ dipoliai vėl orientuojasi lygiagrečiai $ x $ ašiai (taškai fazinėje plokštumoje išsidėsto į linijas). Tai ir yra kvantinio aido reiškinys.

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&t100=Function[\{t\},\{\#[[1]],Mod[\#[[2]]+\#[[1]] *t *2 \pi,2 \pi]\}\&/@\vartheta\omega Rand0][t_a];\\&theta100=\#[[2]]\&/@t100;\\&thetaTau=(2 \pi-\#)\&/@theta100;\\&\vartheta\omega Rand0\tau=\mathrm{Table}[\{\vartheta\omega Rand0[[n,1]],thetaTau[[n]]\},\{n,\mathrm{Length}[\vartheta\omega Rand0]\}];\\&\mathrm{Function}[\{t\},\mathrm{ListPlot}[{#[[1]],\mathrm{Mod}[\#[[2]]+\#[[1]]*t *2 \pi,2 \pi]}\&/@\vartheta\omega Rand0\tau]][t]\end{split}\end{equation*}

Apsukimo laiko momentas $ t_a $: laiko momentas vaizdavimui po apsukimo (pridedamas prie apsukimo laiko): Vaizdavimo parinktys:

  

‹ Dvigubas kvantinis šulinysElektromagnetinio lauko indukuotas praskaidrėjimas ›viršun
spausdinti