MOKSLASplius.lt

Kvantiniai barjerai ir tuneliavimas

Klasikinė dalelė pralekia pro potencinį barjerą tik tada, kai jos kinetinė energija viršija barjero aukštį. Kvantinė dalelė, priešingai mūsų kasdienei patirčiai, gali atsidurti kitoje barjero pusėje net ir tada, kai jos enegija yra mažesnė už barjero aukštį. Šis reiškinys vadinamas kvantiniu tuneliavimu. Pradžioje išspręsime vieno barjero tuneliavimo uždavinį, kurio rezultatais vėliau pasinaudosime dviejų barjerų rezonansinio tunelinio diodo — vieno iš perspektyvių nanoelektronikos elementų — voltamperinei charakteristikai gauti. Kaip matysime, ši charakteristika turi neigiamo diferencialinio laidumo sritį, kuri gali sukelti nepaprastai spartų tunelinio diodo persijungimą iš vienos stabilios būsenos į kitą.

Vienas barjeras. Algebrinis sprendimo būdas

Pavaizduokime vienmatį stačiakampį aukščio $ V_0 $ ir ilgio $ L $ potencinį barjerą (2 sritis brėžinyje žemiau). Vingiuotomis linijomis 1 srityje pavaizduosime į barjerą krintančią ir nuo juo atsispindindėjusią elektroninę bangą. Praėjusi banga pavaizduota 3 srityje.

Vaizdavimo parinktys:

  

Dalelių sklaidos uždaviniai kvantinėje mechanikoje yra ypatingi tuo, kad pradinė ir (dažniausiai) galinė būsenos nėra surištos (lokalizuotos erdvėje). Dėl šios priežasties būsenų energijos gali būti bet kokios ir keistis tolydžiai. Iki šiol spręsdami kvantinės mechanikos uždavinius kraštines sąlygas formulavome taip, kad gautume diskretinį energijų spektrą. Pavyzdžiui, spręsdami dalelės, esančios potencinėje duobėje, uždavinį laikėme, kad tikimybė aptikti dalelę be galo toli nuo duobės yra lygi nuliui. Matėme, kad patenkinti tokias kraštines sąlygas galėjo tik sprendiniai, kurių energija buvo griežtai apibrėžta — kvantuota. Sklaidos uždaviniuose panašios kraštinės sąlygos neturi pagrindo. Pradžioje mes panagrinėsime atvejį, kai į potencinį barjerą krinta apibrėžto banginio vektoriaus $ \vec{k} $ (tuo pačiu ir apibrėžto dažnio $ \omega  $ arba energijos $ E_{inc} $) plokščia elektroninė banga. Elektroną įsivaizduosime ne kaip dalelę, kuri kiekvienu momentu turi apibrėžtą koordinatę, o kaip visoje erdvėje (nuo $ -\infty  $ iki $ +\infty  $) išplitusią bangą. Matematiškai plokščia banga aprašoma kompleksine eksponente $ \mathrm{e}^{\mathrm{i} \vec{k}\cdot \vec{r}} $, kuri, kaip nesunku įsitikinti, tenkina Schrödingerio lygtį tik tuo atveju, kai potencialas nepriklauso nuo koordinatės $ \vec{r} $. Jei imtume visus galimus $ \vec{k} $, tai užrašytos eksponentinės bangos sudarytų pilnutinę ortogonalių funkcijų sistemą. Deja, tokių funkcijų sistema netenkina įprastinės normavimo sąlygos. Jų normavimo problemą išsprendė P. Diracas įvedęs dabar visiems gerai žinomą $ \delta $ funkciją. Kita vertus, laisvojo judėjimo elektrono banginę funkciją galima normuoti taip, kad ji aprašytų vienetinio tankio dalelių (elektronų) srauto būseną. Paaiškinsime kiek plačiau.

Kai nagrinėjame dalelės sklaidos uždavinį klasikinėje mechanikoje, tai įsivaizduojame, kad atlekianti dalelė sąveikauja su taikiniu ir pakeitusi kryptį nuskrieja tolyn. Visas procesas trunka tam tikrą laiko tarpą. Nagrinėdami uždavinį kvantinėje mechanikoje laikysime, kad turime ,,dalelių'' srautą, prasidedantį begalybėje (nors sprendžiame vienos dalelės Schrödingerio lygtį!), kuris visą laiką krinta į taikinį (barjerą), o po sklaidos visos srauto dalelės vėl nutolsta į begalybę. Be to, laikysime, kad sritis, kur vyksta sąveika su taikiniu yra labai maža, lyginant su sritimi, kur dalelės sklinda plokščių bangų pavidalu. Ši prielaida leidžia mums nestacionariąją Schrödingerio lygtį pakeisti stacionariąja. Jei jos atsisakytume, tai negalėtume naudoti tuščios erdvės plokščių bangų bazės ir uždavinį spręsti būtų žymiai sunkiau. Mūsų užduotis yra suskaičiuoti, kiek dalelių (santykinai) per laiko vienetą mes tikimės aptikti įvairiose potencialo vietose — prieš barjerą, barjere ir už jo. Ši tikimybė laikui bėgant nesikeičia.

Vienmačio uždavinio atveju patogu laikyti, kad iš kairės pusės į taikinį (barjerą) krinta vienetinio tankio dalelių srautas. Jį aprašanti banga arba banginė funkcija tokiu atveju turės pavidalą $ \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- x} $ (bangos amplitudė yra vienetas). Atsispindėjusios bangos $ R\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- x} $ (minusas rodo priešingą sklidimo kryptį) amplitudę pažymėjome raide $ R $, o praėjusios pro barjerą bangos $ T\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_+ x} $ — raide $ T $. Plius ir minus indeksai prie $ k $ rodo, kad krintančios ir praėjusios bangos energijos bendru atveju gali skirtis. Taigi, mūsų uždavinio bazę sudaro begalinės tuščios erdvės eksponentinės funkcijos, kurių atžvilgiu išskleidėme Schrödingerio lygties (su barjeru) sprendinį. Mums reikia surasti koeficientus prie šių bazinių funkcijų, kurie yra bangos vektoriaus funkcijos: $ R\equiv R(k) $ ir $ T\equiv T(k) $. Kaip ir spręsdami potencinės duobės uždavinį, pradžioje rasime stacionariosios Schrödingerio lygties

\[ \Big(\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}+\frac{\hbar^2 k^2}{2m}-V(x)\Big) \Psi_k(x)=0\tag{1} \]
sprendinius atskirose potencialo srityse 1, 2, 3 srityse (žr. potencialo brėžinį viršuje), kuriuos vėliau mėginsime glodžiai sujungti. Indeksas $ k $ prie banginės funkcijos žymi laisvos bangos vektorių tose srityse, kur potecialas nepriklauso nuo koordinatės. Čia Schrödingerio lygties sprendiniai yra eksponentės su menamu rodikliu. Kai potencialo dydis bet koks, bet neviršija krintančios bangos energijos $ E_{inc}=\hbar^2 k^2/(2 m) $, Schrödingerio lygties sprendinys yra menama eksponentė $ \mathrm{e}^{\pm \mathrm{i} k_V x} $, tik su sumažėjusiu banginiu vektoriumi $ k_V =k \sqrt{1-V/E_{inc}} $, kur, priklausomai nuo srities, $ V=V_- $, $ V=V_0 $ arba $ V=V_+ $. Kai potencialo dydis viršija $ E_{inc} $, kvadratinės šaknies pošaknis tampa neigiamas, todėl turime eksponentiškai mažėjantį (didėjantį) sprendinį $ \mathrm{e}^{\pm \kappa\, x} $, kur $ \kappa =k \sqrt{V/E_{inc}-1} $.

Šiame eksperimente pasistengsime išlaikyti tuos pačius žymėjimus Mathematica komandose kaip ir teksto formulėse. Tai galima padaryti, jei naudosime komandą \boldmath$\mathrm{Symbolize}[~]$, kuri simbolius su indeksais, pavyzdžiui, $ k_- $ ar $ k_+ $, pervadina ilgais vardais ,,k_Subscript_Dash'' ir ,,k_Subscript_Plus'', t.y. paverčia paprastais simboliais. Ilgi vardai naudojami skaičiavimams branduolyje, tačiau prieš pavaizduojant ekrane jiems ,,sugrąžinama'' graži pradinio simbolio išvaizda. Komandą \boldmath$\mathrm{Symbolize}[~]$ iškviečiame iš paketo Notation. Pabrėšime, kad visus ,,simbolizuojamus'' dydžius būtina surinkti pasinaudojant atsiradusia palete.

Griežtai kalbant, simbolizuoti reiktų visas ankstesniuose skyriuose naudotas indeksuotas išraiškas. To mes nedarėme, nes ,,gražius'' simbolius ten naudojome tik trumpiems pažymėjimams, o ne pilnaverčiams skaičiavimams. Šiame skyriuje indeksuotus simbolius naudosime visose komandose, kaip ir bet kuriuos kitus simbolius, todėl simbolizavimo išvengti negalime. Dar kartą pabrėžiame, kad žemiau parašytą komandą \boldmath$\mathrm{Symbolize}[~]$ nerenkame klaviatūra, o iškviečiame palete arba greitaisiais klavišais Esc symb Esc.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&<<\mathrm{Utilities}^\backprime\mathrm{Notation}^\backprime\end{eqnarray*}

Mes truputį pagudrausime ir iš karto ,,simbolizuosime'' visą eilę kitų simbolių, kurie bus reikalingi vėliau. Sugeneruoti ilgi vardai skiriasi vos keliom raidėm, todėl Mathematica mus perspės, kad gal būt juos rinkdami mes padarėme klaidą. Kadangi vardų rašyba esame tikri, perspėjimus išjungiame komanda \boldmath$\mathrm{Off}[~]$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Off}[General::spell];\mathrm{Off}[General::spell1];\\&&\mathrm{Map}[\mathrm{Symbolize}[#]\&,\{k_+,k_-,B_1,B_2,x_+,x_-,R_+,T_+,V_-,V_0,V_+,a_-,\dsE_{inc},x_1,x_2,x_3,x_4,V_1,V_2,\dsE_1,\dsE_2,\dsE_-,\dsE_+\}];\end{eqnarray*}

Žvelgdami į brėžinį viršuje dabar nesunkiai galime užrašyti bangines funkcijas visose trijose srityse. Rašant reikia kreipti dėmesį, kokia (didesnė ar mažesnė už barjero aukštį) yra sklaidomos bangos energija ir į kurią pusę banga sklinda.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\psi _1=R*\mathrm{Exp}[-\ii k_- *x]+\mathrm{Exp}[\ii k_-*x];\\&&\psi _2= B_1*\mathrm{Exp}[\kappa * x]+ B_2*\mathrm{Exp}[-\kappa * x];\\&&\psi _3=T*\mathrm{Exp}[\ii k_+ x];\end{eqnarray*}

Čia pastovioji $ \kappa  $, nusako sprendinio gesimo spartą, $ \kappa =\sqrt{2 m (V_0-E_{inc})}\big/ \hbar $, o $ B_1 $, $ B_2 $, $ R $, $ T $ yra kol kas nežinomi koeficientai. Juos rasime iš banginės funkcijos ir jos išvestinės tolydumo sąlygos barjero trūkio taškuose $ x=0 $ ir $ x=L $. Tuo tikslu sudarysime keturias algebrines lygtis

\boldmath\begin{eqnarray*}&&lygtys=\{\psi _1/.x\to 0==\psi _2/.x\to 0,\\&&\frac{\partial \psi _1}{\partial x}/.x\to 0==\frac{\partial \psi _2}{\partial x}/.x\to 0,\\&&\psi _2/.x\to L==\psi _3/.x\to L,\\&&\frac{\partial \psi _2}{\partial x}/.x\to L==\frac{\partial \psi _3}{\partial x}/.x\to L\}//\mathrm{TableForm}\end{eqnarray*}

Gautas lygtis sprendžiame nežinomų koeficientų $ B_1 $, $ B_2 $, $ R $, $ T $ atžvilgiu.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&(sprendinys=\mathrm{Flatten}[\mathrm{Solve}[lygtys,\{R,B_1,B_2,T\}]])//\mathrm{ColumnForm}\end{eqnarray*}

Patogumo dėlei, kaip tai darėme Bangų interferencijos eksperimente (dar neįvestas) ekperimente, pasinaudosime viršutine žvaigždute (jos pilnas pavadinimas \boldmath$\mathrm{SuperStar}[~]$) ir apibrėšime komandą, kuri $ z $ išraiškai suteikia kompleksiškai sujungtinį pavidalą $ z^* $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&z\_^*:=z/.\mathrm{Complex}[zr\_,zi\_]:\to \mathrm{Complex}[zr,-zi]\end{eqnarray*}

Dabar jau nesunku apskaičiuoti elektrono atspindžio \boldmath$RR$ ir tuneliavimo \boldmath$TT$ pro barjerą tikimybes, lygias atitinkamai $ R $ ir $ T $ modulio kvadratams.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\{R_1,T_1\}=\{R, T*\bigl(\sqrt{k_+\big/k_\_}\bigr)^2\}/.sprendinys;\\&&\{RR,TT\}=\mathrm{FullSimplify}[\mathrm{ExpToTrig}[\{R_1 R_1^*, T_1 T_1^*\}]]\end{eqnarray*}

Hiperbolinį kosinusą išreiškus eksponentėmis, iš paskutinės formulės nesunku pamatyti, kad elektrono tuneliavimo pro barjerą tikimybė eksponentiškai priklauso nuo barjero ilgio $ L $ ir kinetinės elektrono energijos (įeinančios į $ \kappa $ išraišką). Grafinę tuneliavimo tikimybės \boldmath$TT$ priklausomybę nuo energijos atvaizduosime žemiau.

Koeficientų \boldmath$RR$ ir \boldmath$TT$ suma yra vienetas, jei dalelių skaičius (srauto tankis) yra tvarus, t.y. nėra pagavimo ar dalelės virsmų. Iš tikrųjų, kai $ k_-=k_+ $, nepriklausomai nuo formulėse esančių koeficientų verčių gauname, kad jų suma lygi vienetui

\boldmath\begin{eqnarray*}&&tverme=\mathrm{Simplify}[\mathrm{Together}[ (RR+TT)/.k_\_\to k_+]]\end{eqnarray*}

Tačiau nesunku įsitikinti, kad paėmus $ k_-\neq k_+ $, dalelių srauto tvermės dėsnis būtų pažeidžiamas:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Simplify}[\mathrm{Together}[(RR+TT)]]\end{eqnarray*}

Kodėl taip atsitinka? Ką gi, prisiminkime, kad naudojama eksponenčių bazė aprašo tikrines būsenas, kai potencialas beveik visoje erdvėje (išskyrus barjero sritį) yra vienodas, tame tarpe ir $ x $ ašies priešinguose galuose (begalybėse). Kai $ k_-\neq k_+ $, taip jau nėra: begalybėse $ x=\infty  $ ir $ x=-\infty $ potencialas skiriasi pastoviu dydžiu $ V_+-V_- $. Tačiau galima įsitikinti, kad dalelių srauto tvermės dėsnį išsaugosime ir šiuo atveju, jei praėjimo pro barjerą koeficientą \boldmath$TT$ padauginsime iš $ k_-/k_+ $:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Simplify}[\mathrm{Together}[\bigl(RR+TT*(k_\_/k_+)\bigr)]]\end{eqnarray*}

Iš čia seka, kad eksponentinių funkcijų bazę galima naudoti ir tada, kai potencialo ,,lygis'' begaliniuose taškuose nėra vienodas, tik išsklaidytą bangą reikia pernormuoti: jos amplitudę padauginti iš $ \sqrt{k_-/k_+} $.

Kitame skyrelyje mums prireiks žinoti laiptelio formos potencialo, kuris turi šuolį taške $ x_+ $, atspindžio amplitudės sprendinį $ R(x_+) $. Jį nesunkiai rasime pritaikę ką tik aprašytą procedūrą stačiakampio barjero formos potencialui. Kaip jau aptarėme, praėjusios bangos amplitudę reikia padauginti iš $ \sqrt{k_-/k_+} $. Tada banginės funkcijos ir jos išvestinės tolydumo taške $ x_+ $ sąlygos yra tokios:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\psi _a=\mathrm{Exp}[\ii k_-\, x]+ R_+\mathrm{Exp}[-\ii k_-\, x];\\&&\psi _b=\sqrt{\frac{k_-}{k_+}} T_+\mathrm{Exp}[\ii k_+ \, x];\\&&\mathrm{TableForm}[\mathrm{Simplify}[lygtysLaiptelio=\{(\psi _a/.x\to x_+)==(\psi _b/.x\to x_+),\\&&\quad \bigl(\frac{\partial \psi _a}{\partial x}/.x\to x_+\bigr)==\bigl(\frac{\partial \psi _b}{\partial x}/.x\to x_+\bigr)\}]]\end{eqnarray*}

Išsprendę lygčių sistemą $ R_+ $ ir $ T_+ $ atžvilgiu, turime:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&  sprendinysLaiptelio=\mathrm{Flatten}[\mathrm{Solve}[ lygtysLaiptelio,\{R_+,T_+\}]]//\mathrm{ColumnForm}\end{eqnarray*}

Peržymime kintamuosius ir randame amplitudžių modulių kvadratų sumą:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\{r, t\} = \{R\_+, T\_+\} /.sprendinysLaiptelio;\\&&\{rr, tt\} = \{(r\ r^*), (t\ t^*)\} // \mathrm{ExpToTrig}//\mathrm{FullSimplify}\end{eqnarray*}

Kaip matome, dabar dalelių srauto tvermės dėsnis galioja.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&(rr+tt)//\mathrm{Together}//\mathrm{Simplify}\end{eqnarray*}

Vienas barjeras. Skaitinis sprendimo būdas

Analiziškai išspręsti ankstesnio poskyrio uždavinį mums pavyko todėl, kad parinkome labai paprastos formos potencialą: potencialas pačiame barjere, prieš ir už jo nepriklausė nuo koordinatės, o barjero riboje keitėsi šuoliškai (trūkis). Todėl Schrödingerio lygties sprendinys buvo realaus rodiklio eksponentė, kai bangos energija mažesnė už barjero aukštį, ir menamo — kai didesnė. Jei potencialas už barjero augtų tiesiškai proporcingai kordinatei, uždavinio sprendinį vis dar būtų galima analiziškai išreikšti Airy funkcijomis. Įdomu tai, kad Airy funkcijos yra pirmos eilės diferencialinės lygties sprendiniai, tuo tarpu kai Schrödingerio lygtis, kurią mes sprendėme laiptelio formos potencialams, yra aukštesnės — antros eilės — lygtis. Iš čia sektų, kad vienmačius sklaidos uždavinius galima formuluoti pirmos eilės diferencialinėmis lygtimis. Tam pakanka užduoti tik vieną kraštinę sąlygą. Jei spręstume antros eilės diferencialinę lygtį, tektų nurodyti dvi kraštines sąlygas. Pirmoje potencialo srityje, kur interferuoja krintanti ir atsispindėjusi nuo barjero bangos, nurodyti kraštinę sąlygą sunku, nes nežinome atsispindėjusios bangos amplitudės. Jei kraštinę sąlygą pamėgintume nuspėti, o vėliau ją tikrinti ir koreguoti skaitinio sprendimo eigoje, stebėtume sprendinio ,,sprogimo'' reiškinį: pasiekus tam tikrą didelę koordinatės $ x $ reikšmę, Schrödingerio lygties sprendinys imtų staigiai augti į begalybę, jei tik kraštinė sąlyga nebūtų atspėta labai tiksliai (diskretinio spektro atveju apie tai kalbėjome Kvantinis osciliatorius I, II ir Kvantinis šulinys eksperimentuose). Taigi, kitas labai svarbus skaitinio sprendimo aspektas yra sprendinio stabilumas. Visai neseniai vienmatės sklaidos uždaviniams spręsti buvo pasiūlytas naujas labai patogus metodas [Ventra98], kuris uždavinį suveda į pirmos eilės diferencialinę lygtį. Jį čia trumpai paaiškinsime ir pritaikysime praktiškai.

Įsivaizduokime, kad vietoje stačiakampio dabar turime bet kokios formos barjerą, kaip parodyta brėžinyje žemiau.

Vaizdavimo parinktys:

  

Aišku, kad srityse $ x<x_-=0 $ ir $ x>x_+=L $, kur potencialas nepriklauso nuo koordinatės, sprendinys (banginė funkcija) niekuo nesiskirs nuo stačiakampio barjero funkcijų

\[ \Psi_k(x)=\Bigg\{\begin{array}{ll}    \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- x}+R\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- x},&\quad \textrm{kai}\quad  x\leq x_- \\     \sqrt{\frac{\phantom{|}\smash{k_-}}{k_+}} T\, \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_+ x}, &\quad \textrm{kai}\quad  x\geq x_+ .  \end{array}\tag{2} \]
Skaitiniam sprendimui vietoje šių funkcijų yra patogiau naudoti pernormuotas Josto funkcijas
\[ f_k(x)=\sqrt{\frac{\phantom{|}\smash{k_+}}{\phantom{|}\smash{k_-}}} \frac{1}{T} \Psi_k (x),\tag{3} \]
kurios skiriasi nuo $ \Psi_k $ tik daugikliu $ \frac{1}{T}\smash{\sqrt{\frac{k_+}{\phantom{|}\smash{k_-}}}} $. Priminsime, kad atspindžio amplitudė $ T $ priklauso nuo bangos skaičiaus $ k $: $ T\equiv T(k) $. Šio daugiklio įtaka yra labai svarbi. Srityse, kur potencialas nuo koordinatės nepriklauso, Josto funkcija tenkina tokias kraštines sąlygas:
\[ f_k(x)=\Bigg\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{k_+}{\phantom{|}\smash{k_-}}}\bigl(\frac{1}{T} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- x}+    \frac{R}{T} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- x}\bigr), &\quad \textrm{kai}\quad  x\leq x_-   \\[3pt]   \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_+ x}, &\quad \textrm{kai}\quad x\geq x_+ .\end{array}\tag{4} \]
Taip pernormavus, praėjusios pro barjerą bangos amplitudė visada lygi vienetui, nepriklausomai nuo barjero $ V(x) $ formos. Pasinaudoję šia savybe, dabar įvesime pagalbinių potencialų šeimą, kuri mums leis tolydžiai transformuoti stačiakampį laiptelį į realų mus dominantį potencialą. Šią šeimą apibrėšime tokiu būdu. Tegu yra duotas tikrasis potencialas $ V(x) $. Naują potencialą $ V^\sigma (x) $ ($ \sigma  $ žymi šeimos narį) apibrėšime taip, kad jis sutaptų su ,,asimptotiniu'' (pastoviu) potencialu $ V_- $, kai $ x\leq \sigma $, ir su užduotu potencialu $ V(x) $, kai $ x>\sigma $:
\[  V^\sigma (x)=\bigg\{\begin{array}{ll}   V_-, &\quad \textrm{kai}\quad x\leq \sigma  \\    V(x),&\quad \textrm{kai}\quad x>\sigma  \end{array}.\tag{5} \]
Tokia potencialų šeima pavaizduota brėžinyje žemiau.
Vaizdavimo parinktys:

  

Tikrąjį potencialą gausime, žymę $ \sigma $ nustūmę į barjero pardžią: $ \sigma \rightarrow x_-=0 $. Kiekvieną $ V^\sigma (x) $ potencialą atitinkanti Josto funkcija $ f^\sigma(x) $ tenkina tą pačią kraštinę sąlygą $ x= x_+ =L $ taške ir tą pačią diferencialinę lygtį, kai $ x>\sigma  $, t.y. $ f^\sigma (x)=f(x) $ visiems $ x>\sigma  $. Taigi, visos funkcijos $ f^\sigma (x) $ tenkina vieną ir tą pačią kraštinę sąlygą $ x= x_+ $ taške, nepriklausomai nuo to, koks potencialas yra intervale $ [x_-,\sigma ] $. Šia savybe pasinaudodami išvesime dvi pirmos eilės diferencialines lygtis, aprašančias, kaip keičiasi $ T $ ir $ R $ amplitudės, sluoksnelis po sluoksnelio priauginant po siaurą stačiakampį barjerą taip, kad jis vis geriau atitiktų realų potencialą (žr. brėžinį).

Kai $ x<\sigma  $, funkcijos $ f(x) $ ir $ f^\sigma (x) $ skiriasi. Šioje srityje funkcija $ f^\sigma (x) $ jau yra asimptotinė

\[ f^\sigma (x)=\sqrt{\frac{k_+}{\phantom{|}\smash{k_-}}} \Big(\frac{1}{T^\sigma}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- x}+\frac{R^\sigma}{T^\sigma} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- x}\Big),\tag{6} \]
kai tuo tarpu $ f(x) $ — dar ne. Ją išdiferencijavę pagal $ x $ turime
\[ \frac{\mathrm{d} f^\sigma (x)}{\mathrm{d} x}=\mathrm{i}\sqrt{k_-\smash{k_+}}\, \Big(\frac{1}{T^\sigma}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- x}- \frac{R^\sigma}{T^\sigma} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- x}\Big).\tag{7} \]
Čia $ T^\sigma $ ir $ R^\sigma $ žymi atitinkamai tuneliavimo ir atspindžio amplitudes, atitinkančias potencialą $ V^\sigma $. Kadangi $ f^\sigma (x) $ yra tolydi (kaip kintamojo $ x $) funkcija ir sutampa su $ f(x) $ (kai $ x>\sigma  $), tai taške $ x=\sigma  $ galioja lygybė
\[ f(x)=f^\sigma (x=\sigma)=\sqrt{\frac{k_+}{\phantom{|}\smash{k_-}}}\Big(\frac{1}{T^\sigma} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- \sigma}+\frac{R^\sigma }{T^\sigma}  \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- \sigma}\Big).\tag{8} \]
Iš funkcijos $ f^\sigma (x) $ išvestinės tolydumo taške $ x=\sigma $ seka, kad
\[ \frac{\mathrm{d} f^\sigma (x)}{\mathrm{d} x}=\mathrm{i} \sqrt{k_-\smash{k_+}}\,\Big(\frac{1}{T^\sigma}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- \sigma}-\frac{R^\sigma}{T^\sigma} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- \sigma}\Big).\tag{9} \]
Kadangi šios lygybės galioja bet kokiai iš anksto parinktai parametro $ \sigma  $ vertei, tai $ \sigma  $ žymę galime pakeisti funkcine priklausomybe nuo atstumo $ x $. Pavyzdžiui, $ R(x)=R^\sigma $ ir $ T(x)=T^\sigma $ mes interpretuosime kaip atspindžio ir tuneliavimo amplitudes potencialams, ,,nukirptiems'' $ x $ taške. Pakeitę paskutinėse dviejose formulėse $ \sigma  $ į $ x $ ir išdiferencijavę (8) lygtį matome, kad rezultatas turi sutapti su (9). Sulyginę abi puses gauname lygtį koeficientams $ T $ ir $ R $
\[ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \Big(\frac{1}{T(x)}\Big)\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- x}+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \Big(\frac{R(x)}{T(x)}\Big) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- x}=0.\tag{10} \]
Antrą lygtį koeficientams gausime, jei dar kartą išdiferencijuosime (9) lygtį ir rezultatą įstatysime į Schrödingerio lygtį. Tik reiktų nepamiršti, kad $ \Psi (x)=\sqrt{k_-/k_+} T f(x) $, kur $ T $ čia dar nėra laikoma $ x $ funkcija.
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Big(\frac{1}{T(x)}\Big) \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- x}- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \Big(\frac{R(x)}{T(x)}\Big) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- x}=2 a_- (x)\Big(\frac{1}{T(x)} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- x}+\frac{R(x)}{T(x)} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- x} \Big). \tag{11} \]
Čia pažymėjome $ a_- = -\frac{k_-}{2\mathrm{i}}\Big(\frac{E_{inc}-V(x)}{E_{inc}-V_-}-1\Big) $ ir $ E_{inc}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m} $. Sudėję ir atėmę (10) ir (11) užrašome lygtis atskirai amplitudėms $ T(x) $ ir $ R(x) $:
\begin{alignat}{2}&&\frac{\mathrm{d} R(x)}{\mathrm{d} x} &=& -a_-(x) \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} k_- x}\big( R(x)\mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} k_- x} + 1\big)^2& ,\tag{12}\\&&\frac{\mathrm{d} T(x)}{\mathrm{d} x} &=& -a_- (x) T(x) \big( R(x)\mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} k_- x} + 1\big). &\tag{13}\end{alignat}
Šios lygtys ir yra mūsų pertvarkymų tikslas. Pirmos eilės diferencialinė lygtis (12) atspindžio amplitudei yra paprastesnė, nes joje figūruoja tik viena ieškomoji funkcija $ R(x) $. Tuneliavimo amplitudės lygties galima visai nespręsti, nes žinant atspindžio amplitudę, perdavimo koeficientą visada paprasčiau apskaičiuoti iš tapatybės $ |R|^2+|T|^2=1 $, kurią ,,aptikome'' spręsdami stačiakampio potencialo uždavinį. Diferencialinę lygtį (12) integruosime pagal koordinatę iš dešinės į kairę, nuo $ x_+ $ iki $ x_- $. Skaitiniam sprendimui mums dar reikia nurodyti vieną (nes lygtis yra pirmos eilės) pradinę sąlygą dešinėje barjero pusėje. Šią sąlygą $ R(x_+)=\frac{k_- - k_+}{k_- +k_+ } \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} k_- x_+} $ mes gavome pirmojo skyrelio pabaigoje (žr. ten gautas išraiškas $ R_+ $ ir $ T_+ $). Skaitiniam metodui patikrinti išspręsime jau analiziškai nagrinėto stačiakampio barjero uždavinį.

Pirmiausia apibrėžkime konkrečias stačiakampio barjero koordinates. Trūkias funkcijas geriausia aprašyti vienetiniu laipteliu \boldmath$UnitStep[~]$. Taip apibrėžus Mathematica jas sugeba diferencijuoti ir integruoti (nors šių veiksmų mes čia ir nenaudosime).

\boldmath\begin{eqnarray*}&&U[x_\_]:=V_-*\mathrm{UnitStep}[-x]+V_0*(\mathrm{UnitStep}[x]-\mathrm{UnitStep}[x-L])+V_+*\mathrm{UnitStep}[x-L];\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[U[x]/.\{L\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{L_0}$},V_-\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{V0_-}$},V_0\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{V0_0}$},V_+\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{V0_+}$}\}],\{x,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{x_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{x_{end}}$}\},\\&&\\[-14pt]&&\quad \mathrm{AxesLabel}\to\{"x (nm)","V(x)"\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$x_{start}$= iki \boldmath$x_{end}$=
Parametrai \boldmath$L_{0}$=
Potencialų dydžiai srityse \boldmath$V0_{-}$=, \boldmath$V0_{0}$=, \boldmath$V0_{+}$=
Piešimo parinktys:

  

Skaičiavimus atliksime atominių vienetų sistemoje $ e=m_0=\hbar =1 $, kurią trumpai aptarėme Dviejų lygmenų eksperrimente (dar neįvestas). Potencinį barjerą charakterizuos realaus puslaidininkinio nanodarinio parametrai: barjero aukštis — $ V_0=0{,}2 $ eV, barjero ilgis — $ L=10 $ nm, krintančio elektrono energija $ E_{inc}=0{,}3 $ eV. Asimptotinius potencialus $ V_- $ ir $ V_+ $ imsime nulinius. Elektrono masė puslaidininkyje dėl periodinės gardelės įtakos gali efektyviai tiek sumažėti, tiek padidėti. Ją laikysime lygia galio arsenido laidumo juostos elektrono efektyvinei masei, būtent, $ m=0{,}067\,m_0 $. Apibrėšime atominius vienetus

\boldmath\begin{eqnarray*}&&avSistema = \{m\to 0.067,\hbar\to 1, e\to 1\} ;\\&&avEnergija = 27.21 (*eV*);\\&&avIlgis=0.0529 (*nm*);\end{eqnarray*}

ir įvesime (12) lygties ir visų į ją įeinančių dydžių pažymėjimus:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&k[\varepsilon \_,V\_]:=\frac{\sqrt{2 m (\varepsilon -V)}}{\hbar }\\&&a[\varepsilon \_]:=\frac{\ii }{2} k[\varepsilon ,V_-] \bigl(\frac{\varepsilon -U[x]}{\varepsilon -V_-}-1\Bigr)\\&&sklaidosLygtis[\varepsilon \_]:= \Bigl(R^\prime [x]==\mathrm{Evaluate}[-a[\varepsilon ] \ee^{2\ii k[\varepsilon ,V_-] x} \bigl(                \ee^{-2\ii k[\varepsilon ,V_-] x} R[x]+1\bigl)^2]\Bigr)\end{eqnarray*}

Tegul barjeras yra tik truputėlį didesnis už krintančio elektrono energiją. Tada barjero ilgis, aukštis ir krintančio į barjerą elektrono energija atominiais vienetais bus

\boldmath$parametraiTuneliavimo=\bigl\{$
\boldmath$L$\boldmath$\to$,barjero ilgis
\boldmath$V_-$\boldmath$\to$,potencialo aukštis prieš laiptelį
\boldmath$V_0$\boldmath$\to$,potencialo laiptelio aukštis
\boldmath$V_+$\boldmath$\to$potencialo aukštis už laiptelio
\boldmath$\dsE_{inc}$\boldmath$\to$krintančio elektrono energija
\boldmath$\bigr\}$

  

Apibrėšime pradinę (minimalią) $ x_- $ ir galinę (maksimalią) $ x_+ $ integravimo koordinates, o taip pat pradinę diferencialinės lygties sprendinio vertę:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&x_-=-\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{x0_{start}}$}\big/avIlgis;x_+=L+\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{x0_{end}}$}/.parametraiTuneliavimo;\\&&R_+=R_+/.sprendinysLaiptelio/.\{k_-\to k[\mathbb{E}_{inc},V_-],k_+\to k[\mathbb{E}_{inc},V_+]\}/.avSistema/.parametraiTuneliavimo\end{eqnarray*}
\boldmath$x0_{start}$\boldmath$\to$
\boldmath$x0_{end}$\boldmath$\to$


  

Skaitiškai integruosime nuo $ x_+ $ iki $ x_- $ (žr. mūsų standartinius įvedimus). Pastebėsime, kad Mathematica sugeba integruoti kompleksinio pavidalo diferencialines lygtis.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&sprendinys1=\mathrm{NDSolve}[\{sklaidosLygtis[\mathbb{E}_{inc}]/.avSistema/.parametraiTuneliavimo,R[x_+]==R_+\},R,\{x,x_+,x_-\}]\end{eqnarray*}

Pavaizduokime gautą sprendinį — atspindžio koeficiento modulio kvadrato priklausomybę — nuo barjero storio. Barjero ribas žymi raudonas stačiakampis.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\mathrm{Abs}[R[x]]^2/.sprendinys1],\{x,x_-\,,x_+\},Ticks\to \{(\{#/avIlgis,#\}\&)/@\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{a}\smash{\textrm{žymės}}$},Automatic\},\\&&\quad Prolog\to \mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{RGBColor}[1,0,0], \mathrm{Polygon}[\{\{0,0\},\{0, 0.1\},\{L,0.1\},\{L,0\}\}]\}/.parametraiTuneliavimo],\\&&\\[-14pt]&&\quad \mathrm{AxesLabel}\to \{"x,(nm)","|R|^2"\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

x ašies žymės taškuose:
Piešimo parinktys:

  

Gautą rezultą sutikrinkime su anksčiau gauta analizine \boldmath$RR$ formule

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\{RR/.\{k_-\to k[\mathbb{E}_{inc},V_-],k_+\to k[\mathbb{E}_{inc},V_+],  \kappa \to k[\mathbb{E}_{inc},V_-] \sqrt{\frac{V_0}{\mathbb{E}_{inc}}-1}\}/.avSistema/.parametraiTuneliavimo,\\&&\mathrm{Abs}[R[0]]^2/.sprendinys1\}\end{eqnarray*}

Matome, kad kai barjeras platus, beveik visa elektroninė banga atsispindi: $ |R|^2\approx 1 $. $ |R|^2 $ kitimas barjere, kuris parodytas raudona juosta brėžinyje, rodo, kaip atspindžio koeficientas priklauso nuo barjero storio.

Dabar panagrinėkime atvejį, kai elektrono energija didesnė už barjero aukštį. Šiam atvejui analizinės formos neišvedėme, bet tai nebus sunku skaitytojui padaryti pačiam. Mes panagrinėsime skaitinį sprendinį.

\boldmath$parametrai1=\bigl\{$
\boldmath$L$\boldmath$\to$,barjero ilgis
\boldmath$V_-$\boldmath$\to$,potencialo aukštis prieš laiptelį
\boldmath$V_0$\boldmath$\to$,potencialo laiptelio aukštis
\boldmath$V_+$\boldmath$\to$potencialo aukštis už laiptelio
\boldmath$\dsE_{inc}$\boldmath$\to$krintančio elektrono energija
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&sprendinys1=\mathrm{NDSolve}[\{sklaidosLygtis[\mathbb{E}_{inc}]/.avSistema/.parametrai1,R[x_+]==R_+\},R,\{x,x_+,x_-\}]\\&&\\[-3pt]&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\mathrm{Abs}[R[x]]^2/.sprendinys1],\{x,x_-\,,x_+\},Ticks\to \{(\{#/avIlgis,#\}\&)/@\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{a}\smash{\textrm{žymės}}$},Automatic\},\\&&\quad Prolog\to \mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{RGBColor}[1,0,0], \mathrm{Polygon}[\{\{0,0\},\{0, 0.1\},\{L,0.1\},\{L,0\}\}]\}/.parametrai1],\\&&\\[-14pt]&&\quad \mathrm{AxesLabel}\to \{"x,(nm)","|R|^2"\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}
x ašies žymės taškuose:
Piešimo parinktys:

  

Elektroninės bangos atspindžio koeficientą atskaitome nuo $ x=0 $, kur, kaip matyti iš brėžinio, jis lygus $ 0{,}2 $. Perdavimo koeficientą randame iš sąryšio $ |T|^2=1-|R|^2=0{,}8 $. Priminsime, kad surastoji atspindžio koeficiento priklausomybė nuo koordinatės turi tokią prasmę: integruodami diferencialinę lygtį nuo $ x_+ $ iki koordinatės $ x $ barjere randame, kaip keičiasi atspindžio koeficientas $ R(x) $ keičiantis barjero pločiui $ L $. Esant mažesniems pločiams ($ x\approx 2{,}5 $nm) atspindžio koeficientas tampa lygus nuliui (tai atitinka $ |T|^2=1 $, t.y. turime skaidrų barjerą), tačiau kai barjero pločiai dar mažesni ($ x\approx 6{,}3 $nm), barjeras pasidaro mažiau skaidrus: $ |T|^2=0{,}75 $. Taip atsitinka todėl, kad elektroninės bangos, atsispindėjusios dėl staigaus potencialo pasikeitimo, viena su kita konstruktyviai arba destruktyviai interferuoja. Suraskime $ |T|^2 $ priklausomybę nuo elektrono energijos.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&Tkvadratas[\varepsilon_-\,param_-]:=1-\mathrm{Abs}[R[0]]^2/.\mathrm{NDSolve}[\{sklaidosLygtis[\varepsilon ]/.avSistema/.param,R[x_+]==R_+\},R,\{x,x_+,x_-\}]\\&&\\[-3pt]&&\mathrm{Plot}[Tkvadratas[energ,parametrai1],\{energ,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_{end}}$}\},Ticks\to \{(\{#/avEnergija,#\}\&)/@\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{a}\smash{\textrm{žymės}}$},Automatic\},\\&&\quad Prolog\to \mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{RGBColor}[0,0,1], \mathrm{Polygon}[\{\{0,0\},\{0, 0.15\},\{0.2/avEnergija,0.15\},\{02/avEnergija,0\}\}]\}],\\&&\\[-14pt]&&\quad \mathrm{AxesLabel}\to \{"\varepsilon ,(eV)","|T|^2"\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{:}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}
Piešti nuo $ \varepsilon_{start} $= iki $ \varepsilon_{end} $=
Energijų ašies žymės taškuose:
Piešimo parinktys:

  

Iš brėžinio matyti, kad perdavimo koeficientas pradeda staigiai didėti, kai elektrono energija priartėja prie barjero aukščio (jis piešinyje pažymėtas $ 0{,}2 $eV platumo mėlyna juosta). Atkreipkite dėmesį, kad perdavimo koeficientas nėra nulis net tuo atveju, kai elektrono energija mažesnė už barjero aukštį. Tai kvantinio tuneliavimo pasekmė. Kai elektrono energija yra didesnė už barjero aukštį, perdavimo koeficientas osciliuoja ir artėja prie vieneto. Kaip jau buvo minėta, maksimumai ir minimumai susidaro dėl elektroninės bangos interferencijos barjere. Panašus reiškinys stebimas optikoje, kai tarp dviejų pusiau skaidrių paviršių susidaro rezonanso ir antirezonanso sąlygos, kurios arba stiprina, arba slopina fotoninės bangos perdavimą.

Du barjerai

Su dviem barjerais galime sudaryti žymiai geresnes sąlygas perdavimo rezonansams ir antirezonansams pasireikšti. Barjerų koordinates pažymėsime $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $, $ x_4 $, o jų aukščius — $ V_1 $, $ V_2 $. Tada potencialo priklausomybę nuo koordinatės nusakys formulė

\boldmath\begin{eqnarray*}&&U[x\_]:=V_- \mathrm{UnitStep}[-x-x_1]+V_2 \bigl(\mathrm{UnitStep}[x-x_3]-\mathrm{UnitStep}[x-x_4]\bigr)\\&&\hphantom{U[x\_]:=V_-} +V_+  \mathrm{UnitStep}[x-x_4]+V_1 \bigl(\mathrm{UnitStep}[x-x_1]-\theta [x-x_2]\bigr)\end{eqnarray*}

Tegul barjerų dydžiai bus tokie: $ x_1=0 $nm, $ x_2=2 $nm, $ x_3=4 $nm, $ x_4=6 $nm, $ V_1=V_2=0{,}3 $eV, $ V_-=V_+=0 $, o krintančios elektroninės bangos energija $ E_{inc}=0{,}3 $eV. Skaičiuosime atominių vienetų sistemoje. Aišku, lankytojas gali įvesti savo vertes.

\boldmath$parametrai2=\bigl\{$
\boldmath$x_1$\boldmath$\to$,pirmojo barjero pradžios koordinatė
\boldmath$x_2$\boldmath$\to$,pirmojo barjero pabaigos koordinatė
\boldmath$x_3$\boldmath$\to$,antrojo barjero pradžios koordinatė
\boldmath$x_4$\boldmath$\to$,antrojo barjero pabaigos koordinatė
\boldmath$V_-$\boldmath$\to$,potencialo aukštis prieš laiptelį
\boldmath$V_1$\boldmath$\to$,pirmojo barjero aukštis
\boldmath$V_2$\boldmath$\to$,antrojo barjero aukštis
\boldmath$V_+$\boldmath$\to$potencialo aukštis už laiptelio
\boldmath$\dsE_{inc}$\boldmath$\to$krintančio elektrono energija
\boldmath$\bigr\}$

  

Pradžioje pavaizduokime potencialo profilį $ V(x) $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[U[x]/.parametrai2],\{x,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{x_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{x_{end}}$}\},\mathrm{AxesLabel}\to\{"x (nm)","V(x)"\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$x_{start}$= iki \boldmath$x_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Tolimesni skaičiavimai labai panašūs į vieno barjero skaičiavimus.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\{x_-=\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{x0_{start}}$}, x_+=x_4+\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{x0_{end}}$}/.parametrai2,R_+=0\}\end{eqnarray*}
\boldmath$x0_{start}$\boldmath$\to$
\boldmath$x0_{end}$\boldmath$\to$


  

Integruojame diferencialinę lygtį ir jos sprendinį

\boldmath\begin{eqnarray*}&&sprendinys2=\mathrm{NDSolve}[\{sklaidosLygtis[\mathbb{E}_{inc}]/.avSistema/.parametrai2,R[x_+]==R_+\},R,\{x,x_+,x_-\}]\end{eqnarray*}

vizualizuojame, papildomai stačiakampiais pažymėję barjerų ribas:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\mathrm{Abs}[R[x]]^2/.sprendinys2],\{x,x_-\,,x_+\},Ticks\to \{(\{#/avIlgis,#\}\&)/@\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{a}\smash{\textrm{žymės}}$},Automatic\},\\&&Prolog\to \mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{RGBColor}[1,0,0], \mathrm{Polygon}[\{\{x_1,0},\{x_1,0.05\},\{x_2, 0.05\},{x_2,0\}\}],\\&&\hphantom{Prolog\to \mathrm{Evaluate}[\{ }\mathrm{Polygon}[\{\{\smash{x_3},0},\{\smash{x_3},0.05\},\{\smash{x_4}, 0.05\},{\smash{x_4},0\}\}]\}/.parametrai2],\\&&\\[-14pt]&&\quad \mathrm{AxesLabel}\to \{"x,(nm)","|R|^2"\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

x ašies žymės taškuose:
Piešimo parinktys:

  

Brėžinyje matyti, kad trijose srityse, kur potencialas lygus nuliui, atspindžio koeficientas nepriklauso nuo koordinatės. Be to, atkreipkite dėmesį: kai elektrono energija lygi barjerų aukščiui ($ 0{,}3 $ eV), perdavimo koeficientą gavome mažesnį už vienetą: $ |T|^2=1-|R|^2\approx 0{,}56 $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&1-\mathrm{Abs}[R[0]]^2/.sprendinys2\end{eqnarray*}

Dabar raskime $ |T|^2 $ priklausomybę nuo krintančio elektrono energijos. Apibrėšime minimalią ir maksimalią elektrono energijas, žingsnį ir barjero parametrus.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[Tkvadratas[energ,parametrai2],\{energ,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_{end}}$}\},Ticks\to \{(\{#/avEnergija,#\}\&)/@\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{a}\smash{\textrm{žymės}}$},Automatic\},\\&&\quad Prolog\to \mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{RGBColor}[0,0,1], \mathrm{Polygon}[\{\{0,0\},\{0, 0.15\},\{0.3/avEnergija,0.15\},\{03/avEnergija,0\}\}]\}],\\&&\\[-14pt]&&\quad \mathrm{AxesLabel}\to \{"\varepsilon ,(eV)","|T|^2"\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}
Piešti nuo $ \varepsilon_{start} $= iki $ \varepsilon_{end} $=
Energijų ašies žymės taškuose:
Piešimo parinktys:

  

Kaip ir anksčiau, mėlyna juosta žymi barjerą. Iš grafiko matome, kad perdavimo koeficientas yra artimas vienetui, kai krintančio elektrono energija yra šiek tiek mažesnė už barjero aukštį. Klasikinės mechanikos požiūriu toks elektrono pralėkimas pro barjerus yra neimanomas. Tai grynai kvantinis reiškinys. Čia atsitinka panašiai kaip optiniame Fabri ir Perot rezonatoriuje, kur tarp dviejų pusiau skaidrių veidrodžių rezonanso metu krintančios ir atsispindėjusios bangos interferuoja konstruktyviai, dėl ko bangos amplitudė už veidrodžių padidėja iki vieneto, t.y. interferometras tampa skaidrus.

Kaip, žinant atspindžio $ R(x) $ bei skaidrumo $ T(x) $ koeficientus, būtų galima atstatyti banginę funkciją? Srityse už $ x>x_+ $ ir prieš $ x<x_- $ barjerus sprendinio pavidalą buvome apibrėžę. Srityje $ x_-<x<x_+ $ norimą išraišką galima atspėti iš formulių (3)] ir (8). Tam lygtyje (8) $ T_k^\sigma $ reikia pakeisti funkcija $ T(x) $, o lygtyje (3) vietoj koeficiento $ T_k $ — paimti skaidrumo koeficiento vertę taške $ x_- $, t.y. $ T(x_-) $, kurį randame išsprendę diferencialinę lygtį. Kodėl būtent šiame taške? Nes esant šiai koeficiento vertei srityje $ x<x_- $ funkcija sutampa su mūsų rasta skaitine verte taške $ x_- $. Beje, tolydumą $ x_+ $ taške mums užtikrina pradinė sąlyga $ R_+ $. Taigi, atsakymas yra

\[ \Psi (x_-<x<x_+)=\frac{T(x_-)}{T(x)}\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_- x}+R(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_- x}\bigr).\tag{14} \]
Pasinaudojus tapatybe $ T^2(x)+R^2(x)=1 $, atsakymą patogiau išreikšti vien per atspindžio koeficientą $ R(x) $. Pakėlę šios funkcijos modulį kvadratu turėsime
\[ |\Psi_k (x)|^2=\frac{1-|R(x_-)|^2}{1-|R(x)|^2}\bigl(1+|R(x)|^2+2\mathop{Re} (R(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} 2 k_- x})\bigr).\tag{15} \]
Šioje išraiškoje mums pakanka žinoti tik $ R(x) $ priklausomybę nuo koordinatės $ x $. Nubraižysime banginę funkciją, atitinkančią didžiausią perdavimo koeficientą. Tam pirmiausia surasime perdavimo koeficiento maksimumą, kuris yra ties energija, artima barjero aukščiui. Jam rasti panaudosime \boldmath$FindMinimum[~]$, tik pakeisime ieškomos funkcijos ženklą į priešingą, t.y. neigiamos funkcijos minimumas atitiks teigiamos funkcijos maksimumą.
\boldmath\begin{eqnarray*}&&Tkvadratas2[    energ\_?\mathrm{NumericQ}]:=-\mathrm{First}[        Tkvadratas[energ,parametrai2]];\\&&maxEnergija=\mathrm{FindMinimum}[Tkvadratas2[          energ],\{energ,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_{end}}$}\}]\end{eqnarray*}

Iešoti energijos maksimumo intervale nuo
$ \varepsilon_{start}= $ iki $ \varepsilon_{end}= $

  

Šiai energijos vertei atominėje vienetų sistemoje apskaičiuosime Josto banginę funkciją:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&maxEnergijosFunkcija=\mathrm{First}[ R/.\mathrm{NDSolve}[\\&&\quad \{sklaidosLygtis[energ/.\mathrm{Last}[maxEnergija]]/.avSistema/.parametrai2,\\&&\qquad R[x_+]=R_+\},R,\{x,x_+,x_-\}]]\end{eqnarray*}

Pasinaudoję ką tik rastu atitikimu, nubraižysime tikrosios funkcijos modulio kvadrato grafiką.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&k_-=k[energ/.\mathrm{Last}[maxEnergija],V_-]/.avSistema/.parametrai2;\\&&Plot[\mathrm{Evaluate}[\\&&\frac{\bigl(1-|maxEnergijosFunkcija[x_-]|^2\bigr) \bigl(|              maxEnergijosFunkcija[x]|^2+2 \mathrm{Re}[ maxEnergijosFunkcija[x] \ee^{-\ii 2 k_- x}]+1\bigr)}{1-|            maxEnergijosFunkcija[x]|^2}\\[2pt]&&],\{x,x_-,x_+\},AxesLabel\to \{x (nm),|\psi |^2\},  Ticks\to \{(\{\frac{#}{avIlgis},#\}\&)/@\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{\textrm{žymės}}$},Automatic\},\\&&Prolog\to \mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{RGBColor}[1,0,0], \mathrm{Polygon}[\{\{x_1,0},\{x_1,0.05\},\{x_2, 0.05\},{x_2,0\}\}],\\&&\hphantom{Prolog\to \mathrm{Evaluate}[\{ }\mathrm{Polygon}[\{\{\smash{x_3},0},\{\smash{x_3},0.05\},\{\smash{x_4}, 0.05\},{\smash{x_4},0\}\}]\}/.parametrai2],\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}
Koordinačių ašies žymės taškuose:
Piešimo parinktys:

  

Aiškiai matome, kad tarp barjerų ($ 2<x<4 $) tikimybė rasti elektroną rezonanso metu stipriai išauga. Barjeruose ji gęsta eksponentiškai ir pasiekia vienetą, t.y. pasidaro lygi krintančios ir praėjusios bangos amplitudėms toli nuo barjerų — net ir dešinėje pusėje, nes šią energijos vertę atitinka rezonansas ir nulinis atspindžio keoficientas.

Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo elektroninė banga ties tuneliavimo koeficiento minimumu (apytiksliai ties $ \varepsilon \approx 0{,}4 $ eV). Matysime, kad dabar banga nėra simetriška barjerų atžvilgiu.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&funkcijaTiesMinimumu=\mathrm{First}[ R/.\mathrm{NDSolve}[\\&&\quad \{sklaidosLygtis[energ/.\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_0}$}]/.avSistema/.parametrai2,\\&&\qquad R[x_+]=R_+\},R,\{x,x_++\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{x0_+}$},x_-+\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{x0_-}$}\}]]\end{eqnarray*}

Tiriama energija $ \varepsilon_0= $
Pataisos x kraštams $ x0_+= $ ir$ x0_-= $

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&k_-=k[energ/.\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varepsilon_0}$},V_-]/.avSistema/.parametrai2;\\&&Plot[\mathrm{Evaluate}[\\&&\frac{\bigl(1-|funkcijaTiesMinimumu[x_-]|^2\bigr) \bigl(|              funkcijaTiesMinimumu[x]|^2+2 \mathrm{Re}[funkcijaTiesMinimumu[x] \ee^{-\ii 2 k_- x}]+1\bigr)}{1-|            funkcijaTiesMinimumu[x]|^2}\\&&],\{x,x_-+\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{x0_-}$},x_++\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{x0_+}$}\},AxesLabel\to \{x (nm),|\psi |^2\},  Ticks\to \{(\{\frac{#}{avIlgis},#\}\&)/@\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{\textrm{žymės}}$},Automatic\},\\&&Prolog\to \mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{RGBColor}[1,0,0], \mathrm{Polygon}[\{\{x_1,0},\{x_1,0.05\},\{x_2, 0.05\},{x_2,0\}\}],\\&&\hphantom{Prolog\to \mathrm{Evaluate}[\{ }\mathrm{Polygon}[\{\{\smash{x_3},0},\{\smash{x_3},0.05\},\{\smash{x_4}, 0.05\},{\smash{x_4},0\}\}]\}/.parametrai2],\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}
Koordinačių ašies žymės taškuose:
Piešimo parinktys:

  

Kaip ir anksčiau, barjerus pavaizdavome juostelėmis. Dabar tikimybė surasti dalelę prieš barjerą ($ x<0 $) osciliuoja. Tai atsitinka dėl krintančios ir atsispindėjusios elektroninių bangų interferencijos. Už barjerų, kai $ x>6 $nm, tikimybė rasti dalelę yra visur vienoda.

Voltamperinė dvibarjerio rezonansinio tunelinio diodo charakteristika

Šiuolaikinė molekulinio pluoštelio technologija leidžia pagaminti nanometrinio storio sluoksnius, atliekančius kvantinių barjerų vaidmenį. Statmena tokiems sluoksniams kryptimi elektronai pernešami iš esmės dėl jų tuneliavimo pro sluoksnių potencinius barjerus. Elektrono tuneliavimo tikimybę pro barjerus galima keisti prijungus išorinę įtampą. Laikysime, kad prie nagrinėjamos dvibarjerės struktūros galų $ x_1 $ ir $ x_4 $ pridėta įtampa $ U $. Jei kraštinės (kairioji ir dešinioji) nanostruktūros pusės yra laidžios (tam jos stipriai legiruojamos priemaišomis), tada visa įtampa kris tarp taškų $ x_3 $ ir $ x_4 $ (žr. brėžinį). Išorinės įtampos $ U $ nulemtą potencialą $ V(x) $ aprašysime tokiu pavidalu:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&Uouter[x\_]:=  x \mathcal{E} \bigl(\mathrm{UnitStep}[x_4-x]-\mathrm{UnitStep}[x_1-x]\bigr)+\mathcal{E} x_4 \mathrm{UnitStep}[x-x_4]\end{eqnarray*}
kur $ \scE  $ yra elektrinio lauko stipris barjeruose ir šulinyje tarp dviejų barjerų. Imdami konkrečias parametrų vertes brėžinyje atidėkime suminę, t.y. struktūros ir pridėtos įtampos sąlygoto potencialo priklausomybę nuo koordinatės dvibarjeriame darinyje.

\boldmath$avItampa=514$V/nm
\boldmath$parametrai3=\bigl\{$
\boldmath$x_1$\boldmath$\to$,pirmojo barjero pradžios koordinatė
\boldmath$x_2$\boldmath$\to$,pirmojo barjero pabaigos koordinatė
\boldmath$x_3$\boldmath$\to$,antrojo barjero pradžios koordinatė
\boldmath$x_4$\boldmath$\to$,antrojo barjero pabaigos koordinatė
\boldmath$V_-$\boldmath$\to$,potencialo aukštis prieš laiptelį
\boldmath$V_1$\boldmath$\to$,pirmojo barjero aukštis
\boldmath$V_2$\boldmath$\to$,antrojo barjero aukštis
\boldmath$V_+$\boldmath$\to$potencialo aukštis už laiptelio
\boldmath$\bigr\}$

  

Elektrinio lauko vienetas atominėje sistemoje lygus $ 514 $V/nm.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[ U[x]+Uouter[ x]/.parametrai3/.\{\mathcal{E}\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 5pt{}}\smash{\mathcal{E}_0}$},\mathbb{E}_{inc}\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 5pt{}}\smash{\mathbb{E}_0}$}\}],\{x,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{x_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 5pt{}}\smash{x_{end}}$}\},\\&& AxesLabel\to \{x,"V[x]=U[x]+Uouter[x]"\}, Ticks\to \{\mathrm{Map}[\{\frac{\mathrm{First}[#]}{avIlgis},\mathrm{Last}[#]\}\&,\\&&\{\{0.01,    x_1\},\{ 2,    x_2 \},\{ 4 ,   x_3 \},\{ 6,    x_4\}\}],\mathrm{Map}[\{\frac{#}{avEnergija},#\}\&,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{\textrm{žymės}}$}],\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Parametrai \boldmath$\mathcal{E}_0$= ir \boldmath$\mathbb{E}_0$= Piešti nuo \boldmath$x_{start}$= iki \boldmath$x_{end}$=
Potencialo ašies žymės taškuose:
Piešimo parinktys:

  

Dabar laisvojo elektrono bangos vektoriai kairėje ir dešinėje barjerų pusėje nėra vienodi, nes potencialai tarp taškų $ x_1 $ ir $ x_4 $ skiriasi dydžiu $ U $. Taigi, ,,asimptotiniai'' bangos vektoriai $ k_- $ ir $ k_+ $ taip pat yra skirtingi. Apskaičiuosime perdavimo koeficiento priklausomybę nuo pridėtos prie struktūros įtampos: $ U=\scE \,(x_4-x_1) $. Pradžioje naikiname kintamiesiems anksčiau suteiktas vertes.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Clear}[k_-,x_-,x_+];\end{eqnarray*}

Koeficientas $ a_-(x) $ dabar dar turi ir išorinio lauko sandą $ U_{outer}(x) $, o diferencialinės lygties pradinė salyga $ R(x_+) $ taip pat priklauso nuo išorinio lauko vertės:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&a[\varepsilon \_]:=\frac{1}{2} \bigl(\ii k[\varepsilon , V_-]\bigr) \bigl(\frac{\varepsilon -(U[x]+Uouter[x])}{\varepsilon -V_-}-1\bigr);\\&&Rprad[eLaukas\_]:=  R_+/.sprendinysLaiptelio/.\{k_-\to (k[\mathbb{E}_{inc},V_-]/.V_-\to 0),\\&& \qquad k_+\to \bigl(k[\mathbb{E}_{inc},V_+]/.V_+\to \mathcal{E} (x_4-x_1)\bigr)\}/.avSistema/.parametrai3/.\mathcal{E}\to eLaukas\\&&TkvadratasUout[\varepsilon \_,param\_,eLaukas\_]:=  1-|R[0]|^2/.\mathrm{NDSolve}[\\&&\quad \{sklaidosLygtis[\varepsilon ]/.avSistema/.param/.\mathcal{E}\to eLaukas,\\&&\qquad R[x_+]==Rprad[eLaukas]\}, R,\{x,x_+,x_-\}]\end{eqnarray*}

Krintančio į barjerą elektrono energiją prilyginsime $ 0{,}025 $eV. Tokią vertę turi elektronas, esantis termodinaminėje pusiausvyroje su puslaidininkio gardele kambario temperatūroje. Kitus barjero parametrus paliksime tuos pačius.

\boldmath$parametrai3=\mathrm{Append}[parametrai3,\mathbb{E}_{inc}\to$\boldmath$];$
\boldmath\begin{eqnarray*}\{x_-,  x_+\}=\{x_1-1/avIlgis,x_4\}/.parametrai3\end{eqnarray*}

  

Pro dvibarjerę struktūrą tekanti srovė yra proporcinga perdavimo koeficiento modulio kvadratui $ |T|^2 $, todėl $ |T|^2 $ priklausomybė nuo įtampos vaizduoja dvibarjerio rezonansinio tunelinio diodo voltamperinę charakteristiką.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&<<\mathrm{Graphics}^\backprime \mathrm{Arrow}^\backprime\\&&\mathrm{Plot}[TkvadratasUout[\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{\mathbb{E}0_{inc}}$},parametrai3, itampa],\\&&\{itampa,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{itampa_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 6pt{}}\smash{itampa_{end}}$}\},AxesLabel\to \{"\mathcal{U}, (V)","|T|^2"\},\\&&\\[-13pt]&&Ticks\to \{\mathrm{Map}[\{\frac{#}{avItampa*avIlgis (x_4-x_1)/.parametrai3},#\}\&,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 4pt{}}\smash{\textrm{žymės}}$}],Automatic\}, \\[2pt]&&Epilog\to \mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{Arrow}[\{-0.000135, 0.44\},\{-0.00072,0.44\}]\}],\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{\vbox to 5pt{}}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Krintančio elektrono energija \boldmath$\mathbb{E}0_{inc}}=$=
Piešti nuo \boldmath$itampa_{start}$= iki \boldmath$itampa_{end}$=
Koordinačių ašies žymės taškuose:
Piešimo parinktys:

  

Brėžinyje matome, kad didinant įtampą (jos ženklas neigiamas) tarp nanostruktūros legiruotų sričių $ x_1-x_4 $ srovė per dvibarjerį darinį pasiekia maksimumą, minimumą ir po to vėl iš lėto didėja. Realioje grandinėje, priklausomai nuo elektrinės grandinės elementų, prie kurių jungiamas dvibarjeris darinys, srovė gali kisti kiek kitaip. Pasiekus srovės maksimumą (jį atitinka perdavimo koeficiento vertė $ 0{,}44 $), labai nedidelis įtampos padidėjimas gali vesti prie staigaus jos šuolio (kurį žymi rodyklė) nuo $ -0{,}44 $V iki $ \sim -2{,}3 $V. Kadangi elektronas tuneliuoja nepaprastai greitai, tai susidaro sąlygos labai staigiam įtampos persijungimui iš vienos jos vertės į kitą. Aprašyta dvibarjerė struktūra yra vadinama rezonansiniu tuneliniu diodu. Jis sudaro šiuolaikinės nanoelektronikos (elektronikos, kurios elementai yra nanometro arba dešimties angstremų dydžio) pagrindą. Iš nanodarinių konstruojami spartūs perjungėjai, pavyzdžiui, kompiuteriams, bei aukštadažniai srovės generatoriai. Parenkant barjerų parametrus galima optimizuoti elemento voltamperinę charakteristiką, t.y. maksimumą padidinti, o minimumą sumažinti. Jei imsime ne du, o daugiau barjerų, gausime jau ne vieną, o kelias rezonansines smailes. Rezonansiniai tuneliniai diodai išsamiai aprašyti knygoje [Mizuta95].

Literatūra

M. Di Ventra and C.J. Fall, "General solution scheme for second order differential equations: Application to quantum transport", Computers in Physics, Vol.12, No.3, 248-253 (1998)

H. Mizuta and T. Tanoue, "The Physics and Applications of Resonant Tunnelling Diodes", Cambridge University Press, 1995

spausdinti