MOKSLASplius.lt

Kvantinių trajektorijų metodas pritaikytas 2L sistemai

Kvantinių trajektorijų metodas aprašytas knygoje "2L ir 3L atomai ir sistemos kvantinėje mechanikoje", kurios atitinkamą skyrių, bei išsamų apskaičiavimų aprašymą "Kvantinių trajektorijų metodas pritaikytas 2L sistemai " siūlome perskaityti prieš gilinantis į šį eksperimentą. Čia pateikiama glausta interaktyvi šių apskaičiavimų realizacija Mathematica sistemoje, laikant kad skaitytojas jau yra susipažinęs su metodu.

Pirmiausia nustatome atsakymų šrifto dydį šiame puslapyje taip, kad gerai matytume atsakymus

Šrifto dydis:

  

Pirmiausia apibrėšime Paulio matricas bei iš jų sukonstruotus pakėlimo ir nuleidimo operatorius bazėje {|1>, |2>}

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&\sigma z=\{\{1,0\},\{0,-1\}\};\\&\sigma y=\{\{0,-I\},\{I,0\}\};\\&\sigma x=\{\{0,1\},\{1,0\}\};\\&\{(\sigma P=(\sigma x+I*\sigma y)/2),\\&(\sigma M=(\sigma x-I*\sigma y)/2)\}\end{split}\end{equation*}

Įvedame efektyvinį hamiltonianą

21b_skyrius_52.gif

\boldmath\begin{equation*}(Heff=((\omega 12-I/2 \kappa )\sigma M.\sigma P)-(\mu 12 * \mathrm{Conjugate}[Ft]* \sigma M)-(\mu 12 Ft \sigma P))//\mathrm{MatrixForm}//\mathrm{TraditionalForm}\end{equation*}

Spontaninę fotonų emisiją iš 2L sistemos nagrinėsime Monte Carlo banginės funkcijos metodu, kuris aprašytas straipsnyje [1], (5) formulė  iš šio straipsnio:

21b_skyrius_55.gif

kur efektyvinis hamiltonianas sutampa su aukščiau užrašytuoju

21b_skyrius_56.gif

Pastebėsime, kad hamiltoniamas nėra ermitinis (vienas iš diagonalinių elementų yra kompleksinis dydis, todėl hamiltoniano tikrinės vertės nebus realios).
Pagrindinio ir sužadinto lygmens banginės funkcijos yra 21b_skyrius_57.gif ir  21b_skyrius_58.gif. Šių būsenų evoliuciją aprašo lygtys

21b_skyrius_59.gif

Jose įvedėme pažymėjimus:
ω = lazerio dažnis,
21b_skyrius_60.gif = 21b_skyrius_61.gif energijų skirtumas tarp pagrindinio (ground) ir sužadinto (excited)  lygmens,
21b_skyrius_62.gif = 21b_skyrius_63.gif electrinis dipolinis momentas,
F  = elektrinio lauko amplitudė,
κ = spontaninės emisijos sparta iš sužadinto lygmens,

Lygtis užrašome Mathematica kalba

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&atomicEq=\{(I \psi g'[t]==-\mu_{eg} F (Cos[ \omega t]+I Sin[ \Omega t] )  \psi e[t]),\\&(I \psi e'[t]==(\omega_{eg}-I \kappa/2)\psi e[t]-\mu_{eg} F (Cos[ \omega t]-I Sin[ \omega t] )   \psi g[t])\}\end{split}\end{equation*}

Įvedame apskaičiavimams būtinus parametrus

\boldmath$toParam1 =\bigl\{$
\omega =lazerio dažnis
$ \omega_{eg}  $=energijų skirtumas tarp pagrindinio (ground) ir sužadinto (excited) lygmens
$ \mu_{eg} $=electrinis dipolinis momentas
$ F $=elektrinio lauko amplitudė
$ \kappa $=spontaninės emisijos sparta iš sužadinto lygmens
\boldmath$\bigl\}$

  

Sužadinto lygmens amplitudės modulio kvadrato kitimas iki laiko momento tend atrodo taip:

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&sol=\mathrm{NDSolve}[\{atomicEq/.toParam1,\psi g[0]==1,\psi e[0]==0\}//\mathrm{Flatten},\{\psi g,\psi e\},\{t,0,tend\},\mathrm{MaxSteps}\to 2000]//\mathrm{Flatten}\\&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{Abs}[\psi e[t]]^2/(\mathrm{Abs}[\psi g[t]]^2+Abs[\psi e[t]]^2)/.sol],/.toParam1],\{t,0,tend\},parinktys]\end{split}\end{equation*}

Laiko pabaigos momentas: tend=
Vaizdavimo parinktys:

  

Žemiau pateikiamas programos kodas generuoja vieną atsitiktinę kvantinę trajektoriją. Atskirai kiekvienos iš šios programos dalių veikimo aprašymas paaiškintas statiniame puslapyje "Kvantinių trajektorijų metodas pritaikytas 2L sistemai ". Kelis kartus įvykdydami šią ląstelę, galite stebėti, kad evoliucija yra pertraukiama skirtingais laiko momentais, o jas sudaro kintantis dalių skaičius.

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&norm[t\_] := (\mathrm{Abs}[\psi g[t] /. sol]^2 + \mathrm{Abs}[\psi e[t] /. sol]^2);\\&time[x\_] := t /. \mathrm{FindRoot}[norm[t] == x, \{t, 0, tend\}];\\&tn[x\_] := time[\mathrm{If}[minNorm > (1 - x), minNorm, 1 - x]];\\&realization[seIntervals\_List] := \mathrm{Piecewise} @@ \{\{(\mathrm{Abs}[\psi e[t - \#[[1]]] /. sol]^2/norm[t - \#[[1]]]), \\&\quad \#[[1]] <= t <= \#[[2]]\} \& /@ seIntervals\};\\&singleRealization[tmax\_?NumberQ] :=  \mathrm{Module}[\{sol, tnList, seIntervals\}, \\&sol = \mathrm{NDSolve}[\{atomicEq /. toParam1, \{  \psi g[0] == 1, \psi e[0] == 0\}\} // \mathrm{Flatten},\{\psi g, \psi e\}, \{t, 0, tmax\}] //\mathrm{Flatten}; \\&\mathrm{NestWhile}[tn[\mathrm{RandomReal}[ ]] \&,    tn[RandomReal[]], (tnList = \mathrm{Most}[{\#\#}]; \mathrm{Plus}[\#\#] < tmax) \&, \mathrm{All}]; \\& seIntervals =    \mathrm{Partition}[    \mathrm{Prepend}[\mathrm{Accumulate}[\mathrm{AppendTo}[tnList, tmax - (\mathrm{Plus} @@ tnList)]], 0],     2, 1]; \\&realization[seIntervals]];\\&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\#],\{t,0,tend\}, parinktys]\&[singleRealization[tend]]\end{split}\end{equation*}

Vaizdavimo parinktys:

  

Sumuodami šias atsitiktines kvantines trajektorijas galime aprašyti sistemos evoliuciją laikui bėgant. Kadangi brėžiamą funkciją sudaro labai daug gabalais tolydžių funkcijų, jos vaizdavimas yra lėtas

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\mathrm{Sum}[singleRealization[tend],\{i,nv\}]/nv],\{t,0,tend\},parinktys]\end{split}\end{equation*}

Kiek trajektorijų sumuoti: (max 100) nv=
Vaizdavimo parinktys:

  

Vaizdavimą galima ženkliai pagreitinti jei vaizduosime tik diskretinių taškų seką.

\boldmath\begin{equation*}\begin{split}&\mathrm{ListPlot}[\mathrm{Transpose}[\{\mathrm{Table}[t,\{t,0,tend,tstep\}],\\&\quad \mathrm{Total}[\mathrm{Table}[\mathrm{Table}[\mathrm{Evaluate}[singleRealization[tend]],{t,0,tend,tstep}],\\&\{nv\}]]/nv\}],\mathrm{PlotJoined}\to\mathrm{True}]\end{split}\end{equation*}

Kiek trajektorijų sumuoti: (max 600) nv=
Grūdėtumo žingsnis tstep=: (reikalaujame nv/tstep < 50000, dėl CPU laiko)
Vaizdavimo parinktys:

  

Literatūra

[1]. R. Dum, A. S. Parkins, P. Zoller, C. W. Gardiner. Monte Carlo simulation of master equations in quantum optics for vacuum, thermal, and squeezed reservoirs. Phys. Rev. A, 46(7):4382–4396, 1992

spausdinti