MOKSLASplius.lt

Kvantinis osciliatorius I (tiesinis)

Kvantinis osciliatorius

Kvantų mechanikoje švytuoklės etalonas — tai kvantinis osciliatorius. Kvantinio osciliatoriaus modelis plačiai taikomas. Pavyzdžiui, juo aiškinamos fononinės kietųjų kūnų savybės, elementarieji elektromagnetinio lauko sužadinimai lauko teorijoje ir t.t. Harmoninio (dar vadinamo tiesiniu) osciliatoriaus sprendinius galima rasti bet kuriame kvantų mechanikos vadovėlyje. Tokio osciliatoriaus potencinė energija nuo koordinatės priklauso kvadratiškai. Bendresnį, anharmoninio osciliatoriaus uždavinį, analiziškai pavyksta išspręsti esant tik tam tikrai anharmoninio nario formai. Išnagrinėsime abu uždavinius ir pakeliui susipažinsime su matematinėje fizikoje bene dažniausiai sutinkama funkcija — hipergeometrine funkcija.

Osciliatoriaus lygtis

Panagrinėsime klasikinį pavyzdį — atomų virpesius diatomėje molekulėje. Atomus, kurių masės $ m_1 $ ir $ m_2 $, pavaizduosime skirtingo spindulio apskritimais, o tarpatominę jėgą — spyruokle, kaip parodyta brėžinyje žemiau. Visas koordinates atskaitysime atomų centrų $ x_1 $ ir $ x_2 $ atžvilgiu.

Klaida

Kvantų ir klasikinėje mechanikoje pilnutinę sistemos energiją $ E_{\mathrm{tot}} $ visada galima išskaidyti į sistemą sudarančių dalių kinetinių energijų sumą, prie kurios dar reikia pridėti sąveikos tarp dalių energiją. Diatomės molekulės atveju šis teiginys diferencialiniu pavidalu užrašomas taip:

\[  -\hbar^2\Big( \frac{1}{2 m_1}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x_1^2}+\frac{1}{2 m_2}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x_2^2}\Bigr)\Psi +V(x_1-x_2) \Psi = E_{\mathrm{tot}} \Psi\tag{1} \]

Čia $ \Psi $ yra molekulės banginė funkcija, $ x_1 $ ir $ x_2 $ — atitinkamai pirmojo ir antrojo atomo koordinačių operatoriai (toliau juos vadinsime tiesiog koordinatėmis), $ V $ — sąveikos tarp atomų operatorius (sąveikos potencialas) ir $ \hbar=\frac{h}{2\pi} $ — Plancko pastovioji. Įveskime naujas, patogesnes uždaviniui spręsti, koordinates: molekulės inercijos centro koordinatę $ X=\bigl(m_1 x_1 + m_2  x_2\bigr)/(m_1 + m_2) $ ir atomų santykinio judėjimo koordinatę $ x = x_1 - x_2 $. Kadangi galioja operatorinė lygybė

\[   \frac{1}{2 m_1}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x_1^2}+\frac{1}{2 m_2}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x_2^2} =  \frac{1}{2 (m_1+m_2)}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} X^2}+\frac{m_1+m_2}{2 m_1 m_2}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2} \tag{2} \]
Schrödingerio lygtį galima perrašyti taip:
\[  -\hbar^2\Big( \frac{1}{2 M}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} X^2}+\frac{1}{2 \mu}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\Bigr)\Psi +V(x) \Psi = E_{\mathrm{tot}} \Psi\tag{3} \]

Dydis $  \mu = \frac{m_1  m_2}{(m_1 + m_2)} $ yra vadinamas sistemos redukuotąja mase, $ M = m_1 + m_2 $ žymi visą molekulės masę. Kadangi naujoje $ (X,x) $ koordinačių sistemoje operatorius $ V(x) $ priklauso jau tik nuo vieno kintamojo, molekulės banginę funkciją galima išreikšti (čia ir slypi naujosios koordinačių sistemos patogumas) kaip dviejų funkcijų sandaugą: $ \Psi=\varphi (X) \psi (x) $. Įstatę $ \Psi $ į redukuotą Schrödingerio lygtį, turime

\[  -\hbar^2 \frac{1}{2 M}\frac{\mathrm{d}^2\varphi (X)}{\mathrm{d} X^2}\frac{1}{\varphi (X)}-\hbar^2 \frac{1}{2 \mu}\frac{\mathrm{d}^2\psi (x)}{\mathrm{d} x^2}\frac{1}{\psi (x)} +V(x) = E_{\mathrm{tot}}\tag{4} \]

Kadangi pilnutinė energija $ E_{\mathrm{tot}} $ yra kol kas nežinoma konstanta, tai tiek pirmasis narys (priklausantis tik nuo $ X $), tiek kiti du nariai (kurie priklauso tik nuo $ x $) taip pat turi būti konstantos. Jas pažymėkime atitinkamai: $ E_{\mathrm{trans}} $ ir $ E_{\mathrm{vibr}} $. Tuo būdu, lygtį galima pakeisti dviem nepriklausomomis lygtimis:

\begin{align*} &-\hbar^2 \frac{1}{2 M}\frac{\mathrm{d}^2\varphi (X)}{\mathrm{d} X^2}\frac{1}{\varphi (X)}=E_{\mathrm{trans}}\tag{5a}\\&-\hbar^2 \frac{1}{2 \mu}\frac{\mathrm{d}^2\psi (x)}{\mathrm{d} x^2}\frac{1}{\psi (x)} +V(x) = E_{\mathrm{vibr}}\tag{5b} \end{align*}
$ E_{\mathrm{trans}} $ yra molekulės centro judėjimo energija, o $ E_{\mathrm{vibr}} $ — atomų osciliacijų vienas kito atžvilgiu energija, kuri, kaip netrukus matysime, gali įgyti tik tam tikras griežtai apibrėžtas vertes. Abiejų energijų suma lygi pilnutinei molekulės energijai: $ E_{\mathrm{tot}}=E_{\mathrm{trans}} + E_{\mathrm{vibr}} $. Toliau mus domins tik antroji, atomų vibracijas aprašanti (5b), lygtis. Tokiu būdu dviejų molekulių svyravimo uždavinį pakeitėme vienos fiktyvios $ \mu $ masės dalelės judėjimo potenciniame lauke $ V(x) $ uždaviniu.

Harmoninis kvantinis osciliatorius

Harmoninio osciliatoriaus atveju sąveika tarp atomų aprašoma potencialu $ V(x) = \frac{k x^2}{2} $. Čia $ k $ — jėgos pastovioji. Taigi, kvantinio osciliatoriaus lygtis išreikštame pavidale yra

\[  -\hbar^2 \frac{1}{2 \mu}\frac{\mathrm{d}^2\psi (x)}{\mathrm{d} x^2}+\frac{k x^2}{2} = E_{\mathrm{vibr}}\psi (x)\tag{6} \]
Skirtingai nei klasikinėje fizikoje, kur konkretų diferencialinės lygties sprendinį išskiriančios sąlygos vaidina antraeilį vaidmenį, kvantinėje mechanikoje jos turi principinę reikšmę. Kvantinėje mechanikoje ieškodami sprendinio — banginės funkcijos $ \Psi $ — privalome iš anksto atsižvelgti į tai, kokias kraštines sąlygas mūsų sprendinys turės tenkinti. (Turime mintyje surištąsias būsenas — būsenas lokalizuotas erdvėje. Schrödingerio lygties sprendimui, kai būsenos nelokalizuotos, skirtas kitas eksperimentas (dar neįvestas).)

Kraštines sąlygas, savo ruožtu, nulemia fizikiniai reikalavimai banginei funkcijai. Paaiškinsime plačiau. Visų pirma, pagal kvantinę mechaniką, tikimybę aptikti dalelę taške $ x $ nusako jos banginės funkcijos modulio kvadratas $ \int | \Psi (x)| ^2 \mathrm{d} x $. Jei dalelės ieškosime visoje erdvėje, tai kur nors ją būtinai aptiksime, vadinasi integralas $ \int | \Psi (x)| ^2 \mathrm{d} x $ turi būti lygus vienetui. Antra, kadangi dalelės banginė funkcija yra laukas (ji apibrėžta kiekviename erdvės taške) tai sprendžiant nuo laiko nepriklausančią (stacionarią) antros eilės diferencialinę lygtį konkretus sprendinys paprastai išskiriamas, taikant kraštines sąlygas. Klasikinėje mechanikoje diferencialinės lygtys aprašo taškinių dalelių dinamiką, todėl konkrečius sprendinius patogiausia apibūdinti pradinėmis sąlygomis: dalelės koordinate ir greičiu duotu laiko momentu (Cauchy uždavinys). Nestacionarų kvantinės mechanikos uždavinį išspręsime kitame eksperimente (dar neįvestas).

Pavyzdžiui, jei nagrinėjame elektrono "judėjimą" centriniame lauke (elektronas atome), tai natūralu pareikalauti, kad tikimybė jį aptikti be galo toli nuo branduolio ($ r=\infty $) būtų lygi nuliui. Kokias kraštines sąlygas reikia patenkinti branduolyje ($ r=0 $), priklauso nuo sprendžiamo uždavinio pobūdžio.

Priminsime, kad paprastai branduolys laikomas teigiamai įkrautu tašku. Tam tikromis sąlygomis reikalavimas, kad banginė funkcija branduolyje būtų lygi nuliui, gali būti labai toli nuo realybės. Pavyzdžiui, jei sunkiame atome elektroną pakeisime "sunkiuoju elektronu" — miuonu, tai skaičiavimai rodo, kad žemiausia miuoninio atomo būsena gali būti lokalizuota branduolyje. Kitaip tariant, miuonas sukasi branduolyje. Dėl gana ilgos, matuojant atominiais mąsteliais, miuono gyvavimo trukmės $ 10^{-6} $s, judėdamas branduolio medžiagoje miuonas gali sukelti termobranduolinę reakciją, todėl tokiais atomais labai domimasi.

Nagrinėdami kvantinį osciliatorių turime laikyti, kad banginė funkcija be galo nutolusiuose į abi puses taškuose, $ x=-\infty $ ir $ x=+\infty $, yra lygi nuliui. Priešingu atveju integralas $ \int | \Psi (x)| ^2 \mathrm{d} x $ diverguos. Pasirodo, kad kraštines sąlygas banginės funkcijos patenkina NE visada, o tik esant tam tikriems diferencialinės lygties parametrams — mūsų atveju — tik esant tam tikroms energijoms $ E_{\mathrm{vibr}} $. Taigi, tikrasis uždavinys yra ne tik išspręsti pateiktą diferencialinę lygtį su iš fizikinių samprotavimų gaunamomis kraštinėmis sąlygomis, bet ir tuo pačiu metu nustatyti parametro $ E_{\mathrm{vibr}} $ vertes, kurioms esant tik ir egzistuoja ieškomasis sprendinys. Ši sunkesnė "dviguba" užduotis — rasti tikrines vertes ir jas atitinkančias tikrines funkcijas — vadinama Sturmo ir Liouville'o uždaviniu. Griežtą Sturmo ir Liouville'o uždavinio formulavimą žr. [1].

Kad Sturmo ir Liouville'o uždavinį būtų lengviau spręsti, pertvarkykime diferencialinę lygtį. Pastebėta, kad uždavinio forma supaprastėja (6) lygtį perrašius bedimensiais kintamaisiais:

\[  \frac{\mathrm{d}^2\psi (x)}{\mathrm{d} \xi ^2}-(\xi^2 -\varepsilon)\psi = 0\tag{7} \]
kur $ \xi $ ir $ \varepsilon $ yra bedimensė kvantinio osciliatoriaus koordinatė ir energija
\[  x^2=\hbar\frac{\xi ^2}{\sqrt{\mu k}}\qquad E_{\mathrm{vibr}}=\frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{k}{\mu}}\ \varepsilon .\tag{8} \]

Lygtis (7) priklauso apibendrintojo hipergeometrinio tipo diferencialinių lygčių klasei [1,2]. Taip vadinamos lygtys, turinčios pavidalą

\[ \sigma (x) u''(x)+\tilde \tau (x) u'(x) + \frac{\tilde \sigma (x)}{\sigma (x)} u(x)=0.\tag{9} \]

Čia simboliai $ \sigma (x) $ ir $ \tilde \sigma(x) $ žymi bendru atveju skirtingus, bet ne aukštesnius kaip antro laipsnio (kvadratinius) polinomus, $ \tilde \tau (x) $ — ne aukštesnį kaip pirmo laipsnio polinomą, o $ u''(x), u'(x) $ ir $ u(x) $ yra atitinkamai antroji ir pirmoji ieškomosios funkcijos išvestinės bei pati funkcija. Svarbu, kad lygtyje prie $ u''(x) $ ir vardiklyje būtų tas pats polinomas $ \sigma (x) $. Lengva matyti, kad osciliatoriui $ \sigma (x)=1 $, $ \tilde \tau (x)=0 $, $ \tilde \sigma (x)=\xi ^2 -\varepsilon $. Į apibendrintojo hipergeometrinio tipo lygtis galima suvesti daug etaloninių kvantinės mechanikos uždavinių: harmoninio osciliatoriaus, dalelės judėjimo centriniame lauke (vandenilio atomo uždavinys), Kratzerio potencialo uždavinį dviatomių molekulių atveju, standaus rotatoriaus, net Diraco lygties dalį ir t.t.. Skyriuje nagrinėjamą anharmoninį osciliatorių taip pat redukuosime į hipergeometrinio tipo lygtį. Nors šių lygčių sprendimo metodai yra gerai žinomi [1,2] ir lengvai algoritmizuojami, tačiau jų sprendimas vadovėliuose neaptariamas nuosekliai. Dažniausiai lygtims spręsti yra panaudojami iš anksto žinomi kintamųjų pakeitimai, palydimi fraze ,,lengva matyti'', arba, geriausiu atveju, ,,išvedami'' iš pageidaujamos ieškomo sprendinio formos. Po atliktų pakeitimų sprendžiama lygtis, kaip taisyklė, pavirsta paprasta hipergeometrinio tipo lygtimi
\[ \sigma (x) u''(x)+\tau (x) u'(x)+\lambda u(x)=0,\tag{10} \]
kurioje dabar matome esminį supaprastėjimą: vietoje dviejų polinomų santykio atsirado konstanta $ \lambda $ (po pakeitimo vienas polinomas ,,gražiai'' pasidalija iš kito). Polinomas $ \tau(x) $, nors ir pasikeitęs, išlieka pirmojo laipsnio. Hipergeometrinio tipo lygtis turi nuostabią savybę, kurios dėka ją ir galima išspręsti analiziškai: būtent, jei jūs radote šios lygties sprendinį, tai jo išvestinė (o taip pat integralas) vėl yra hipergeometrinės (bendru atveju kitos) lygties sprendinys. Tuo nesunku įsitikinti, jei pastebėsime, kad diferencijuojant hipergeometrinio tipo lygtį antro laipsnio polinomo išvestinė yra pirmojo laipsnio polinomas, kurį galima ,,prijungti'' prie to paties laipsnio polinomo $ \tau (x) $. Tuo tarpu diferencijuojamas pirmo laipsnio polinomas $ \tau (x) $ ,,virsta'' konstanta, kuri sumuojasi su konstanta $ \lambda $. Taigi, diferencijavimas lygties tipo nepakeičia. Tai labai svarbi simetrijos savybė, kuria pasinaudojama ieškant lygties sprendinių.

Kodėl lygtis (10) vadinama hipergeometrine? Pasirodo, jei šios lygties sprendinio ieškotume eilutės $ \sum_{n=0}^\infty c_n x^n $ pavidalu, tai pamatytume, kad ieškomi $ a_i $ koeficientai tenkina sąryšį

\[ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{P(n)}{Q(n)}=\frac{(n+a_1)(n+a_2)\dotsm (n+a_p)}{(n+b_1)(n+b_2) \dotsm (n+b_q)},\tag{11} \]
kur $ P(n) $ ir $ Q(n) $ yra indekso $ n $ polinomai. $ a_k $ ir $ b_k $ koeficientai vadinami atitinkamai viršutiniais ir apatiniais parametrais.

Šį sąryšį skaitytojas lengvai gaus, įstatęs minėtą eilutę į (10) lygtį. Supaprastinimui laikykite, kad polinomas $ \sigma (x) $ neturi laisvojo nario (konstantos). Tada išdiferencijavę ir surinkę narius prie tų pačių $ x $ laipsnių pastebėsite, kad gautoje algebrinėje lygtyje yra tik $ x^n $ ir $ x^{n-1} $ nariai. Begalinėse sumose pastūmę sumavimo indeksą $ n-1\rightarrow n $, gausite užrašytą sąryšį koeficientams. Jei polinomas $ \sigma (x) $ turi laisvą narį, tuomet jį galima faktorizuoti $ \sigma (x)=(x-b)(c-x) $ ir atlikti tiesinį kintamųjų pakeitimą $ x\rightarrow b+(c-b)y $. Lengva matyti, kad po pakeitimo laisvasis narys išnyksta. Jei polinomo $ \sigma (x) $ šaknys kartotinės, hipergeometrinę lygtį galima pakeisti taip, kad $ \sigma (x) $ virstų pirmojo laipsnio polinomu, taigi sąryšyje vėl pasiliks tik $ x^n $ ir $ x^{n-1} $ nariai.

Prisiminę mokykloje nagrinėtą geometrinę progresiją $ a+a c +a c^2 +a c^3 +\dotsb  $, kurios gretimų narių santykis visada yra ta pati konstanta ($ \frac{a c}{a}=\frac{a c^2}{a c} =\frac{a c^3}{a c^2}=\dotsb =\frac{a c^{n+1}}{a c^n}=c $), matome, kad rekurentinis sąryšis yra geometrinio apibendrinimas, kai gretimų eilutės narių santykis yra polinomų, priklausančių nuo $ n $, santykis. Todėl tiek pats rekurentinis sąryšis, tiek lygtis, kurios eilutės tipo sprendiniai šį sąryšį tenkina, vadinami hipergeometriniais (pažodžiui, — ,,viršgeometriniais'').

Hipergeometrinį sąryšį tenkina daugelis skaitytojui žinomų funkcijų, o pačios hipergeometrinės funkcijos, priklausomai nuo to, kokio laipsnio polinomai $ P(n) $ ir $ Q(n) $ yra rekurentinio sąryšio skaitiklyje ir vardiklyje, žymimos $ {}_p F_q\Big(\begin{smallmatrix}    a_1 a_2\cdots a_p \\    b_1 b_2\cdots b_q\end{smallmatrix}\Big|x\Big) $. Čia $ p $ ir $ q $ žymi atitinkamų polinomų laipsnius. Mathematica sistemoje hipergeometrinės funkcijos žymimos ilgais vardais, būtent Hypergeometric0F1, Hypergeometric1F1, Hypergeometric2F1, HypergeometricPFQ, HypergeometricU, Hypergeometric0F1Regularized, Hypergeometric1F1Regularized, Hypergeometric2F1Regularized, Hypergeometric2F1Regularized, HypergeometricPFQRegularized

Standartinius hipergeometrinių funkcijų žymėjimus parodo TraditionalForm išvedimo forma.

Klaida

Klaida

Kaip matome, bendras hipergeometrinės funkcijos, kurios abu polinomai rekurentiniame sąryšyje yra tik pirmo laipsnio, pavidalas yra Hypergeometric1F1[a,b,x]. Keičiant parametrus $ a $ ir $ b $ bei kintamąjį $ x $ fgalima gauti daugelį gerai žinomų elementariųjų funkcijų, pavyzdžiui, eksponentę:

Klaida

Taigi, hipergeometrinė funkcija, didėjant jos argumentui, gali augti į begalybę labai sparčiai &ldash; eksponentiškai. Kai $ a=1/2 $, $ b=3/2 $ ir $ x = - z^2 $, skaitytojas nesunkiai įsitikins, kad gauname paklaidų funkciją $ \mathrm{erf} (z) $

Keičiant tik du koeficientus, hipergeometrinėmis funkcijomis galima išreikšti daugelį žinomų funkcijų. Hipergeometrinių funkcijų, kurių polinomai rekurentiniame sąryšyje yra aukštesnio laipsnio, mums neprireiks. Tačiau susidomėjusiam skaitytojui galime rekomenduoti knygą [3] , kuri ne tik išsamiai atsakys į visus jo klausimus apie hipergeometrines funkcijas, tačiau ir parodys milžinišką šių funkcijų svarbą ir įspūdingus pasiekimus algoritmiškai ieškant rekurentinių lygčių sprendinių.

Grįžkime prie apibendrintojo hipergeometrinio tipo diferencialinės lygties sprendimo. Mathematica jau išmoko spręsti ir apibendrinto hipergeometrinio tipo diferencialines lygtis. Skaitytojas, kuris nori perprasti apibendrintojo hipergeometrinio tipo lygties sprendimo algoritmą (tinkamą sprendimui popieriaus lape), o tuo pačiu sužinoti, kaip surasti žemiau naudojamą kintamųjų pakeitimą, turėtų perskaityti lietuvišką knygutę [2]. (Gal reiks ją nuskenuoti į djvu formatą).

Kaip daroma daugelyje vadovėlių, diferencialinėje lygtyje pakeisime kintamuosius $ \psi =v_h (\xi ) \exp(-\xi^2 /2) $, kur $ v_h (\xi) $ pažymėjome naują ieškomą funkciją. Suraskime lygtį įvestai funkcijai $ v_h (\xi) $, į redukuotą kvantinio osciliatorius lygties (7) kairiąją pusę įstatę $ \psi $ išraišką:

Klaida

Padauginkime atsakymą iš $ \exp(\xi^2/2) $. Tai suprastins kiekviename naryje esančią priešingo ženklo eksponentę $ \exp(-\xi^2/2) $:

Klaida

Palyginę naują išraišką su ką tik aptartomis lygtimis, matome, kad apibendrintojo hipergeometrinio tipo lygtis iš tiesų pavirto paprasta hipergeometrine. Pastebėsime, kad pakeitime esanti eksponentė $ \exp(-\xi^2/2) $, didėjant argumento vertei, labai greitai artėja prie nulio, todėl automatiškai užtikrina teisingas kraštines sąlygas taškuose $ \pm \infty $, jei tik ieškoma funkcija $ v_h(\xi ) $ neauga greičiau už $ \exp(\xi^2/2) $. Reikia pasakyti, kad daugelyje kvantinės mechanikos tikrinių verčių uždavinių analiziniai sprendiniai užrašomi kaip eksponentiškai greitai mažėjančios funkcijos ir lėtai augančios funkcijos sandauga. Paprastai ,,lėta'' funkcija $ v_h(\xi ) $ yra polinomas, vadinamas hipergeometriniu polinomu. Jis užtikrina reikiamas kraštines sąlygas baigtiniuose atstumuose, o eksponentė — begalybėje.

Supaprastintos hipergeometrinės diferencialinės lygties bendrąjį sprendinį, kaip minėjome, Mathematica surasti sugeba: atsakymas yra Hermite'o ir hipergeometrinė $ {}_1F_1 \textstyle\big(\begin{smallmatrix}    (1-\varepsilon )/4 \\    1/2\end{smallmatrix}\Big|x\big) $ funkcijos:

Klaida

Taigi, atrodytų uždavinys visiškai išspręstas: surastas bendrasis harmoninio osciliatoriaus diferencialinės lygties sprendinys. Pavaizduokime jį grafiškai, prieš tai $ v_h(\xi ) $ padauginę iš daugiklio $ \exp(-\xi^2/2) $ ir paėmę pirmą pasitaikiusią energijos $ \varepsilon $ vertę. Kad nereiktų apibrėžti integravimo pastoviųjų C[1] ir C[2], Hermite'o ir hipergeometrinės funkcijos narius pavaizduosime atskirai, atitinkamai raudona ir žalia spalvomis.

Klaida

Gavome, kad esant atsitiktinėms energijoms abu sprendiniai nė nemano artėti prie nulio (vizualiai — eksponentiškai auga), kai $ \xi  $ tolsta į begalybę. Dar blogiau. Kadangi jų simetrija skirtinga (vienas simetrinis, o kitas ne), tai nėra galimybės šiuos du sprendinius tiesiškai sujungiant užtikrinti nulines kraštines sąlygas $ \pm \infty $ taškuose. Taip ir turi būti, nes bendrasis diferencialinės lygties sprendinys yra ir fundamentalusis, t.y. abu sprendiniai tiesiškai nepriklausomi. Tuo galima įsitikinti, apskaičiavus jų wronskianą $ W(y_1,y_2)=\det\Big(\begin{smallmatrix}    y_1 & y_2 \\   y'_1 & y'_2\end{smallmatrix}\Big) $, kuris, jei sprendiniai tiesiškai nepriklausomi neturi būti lygus nuliui:

Klaida

Wronskianas nė viename taške nėra nulis. Tuo skaitytojas įsitikins jį nubraižęs:

Klaida

Reikia pasakyti, kad diferencialinės lygties bendrąjame sprendinyje pasirodžiusią Hermite'o funkciją, kai pirmasis argumentas yra sveikas skaičius, taip pat galima užrašyti per hipergeometrinę funkciją. Tuo nesunku įsitikinti, į abi išraiškas įstačius bet kokį natūrinį skaičių, pavyzdžiui, $ n=17 $, ir atėmus vieną išraišką iš kitos. Gautasis nulis rodo, kad atimamos išraiškos yra lygios. Skaitytojas tuo gali įsitikinti paėmęs ir bet kokią kitą sveiką $ n $ vertę.


Klaida

Klaida

Grįžkime prie sprendžiamo uždavinio. Iš šios atrodytų beviltiškos padėties stengiantis patenkinti reikalingas kraštines sąlygas mus išgelbės toks pastebėjimas. Pasirodo, yra tam tikri "stebuklingi" skaičiai, vadinami tikrinėmis energijos vertėmis, pavyzdžiui, $ \varepsilon=1; 5; 9; 13; 17,\ldots $, kai bendrieji sprendiniai begalybėje artėja prie nulio. Tuo lengva įsitikinti grafiškai, paėmus, pavyzdžiui, $ \varepsilon=5 $. Skaitytojas gali išmėginti kitas išvardytas natūrines $ \varepsilon $ vertes

Klaida

Pastebėsime, kad esant šioms vertėms wronskianas virsta nuliu:

Klaida

Taigi, sprendiniai tampa tiesiškai priklausomi. Kokios apskritai gali būti tikrinės vertės? Griežtai tariant, jų turėtume ieškoti iš wronskiano lygties. Tai sudėtingas matematinis uždavinys, todėl praktikoje retai taikomas. Paprastai tikrinėms energijos vertėms rasti pasinaudojama tuo, kad sprendžiama lygtis turi ypatingų taškų. Apibendrinto hipergeometrinio tipo lygtis jų turi du, nes polinomas $ \sigma(x) $ esantis prie $ u''(x) $ yra kvadratinis. Ypatinguose diferencialinės lygties taškuose "sueina" daug lygties sprendinių. Taigi, tiriant bendruosius sprendinius šių taškų aplinkose ir atsižvelgiant į tai, kokias kraštines sąlygas jie turi tenkinti, galima spręsti ir apie tikrines sprendinių vertes. Pavyzdžiui, harmoninio osciliatoriaus uždavinyje komanda Series[ ] taško $ x=0 $ aplinkoje išskleidę Hypergeometric1F1[ ] funkciją iki $ \xi^9 $ eilės narių, turėsime.

Klaida

Griežtai kalbant, nulis nėra harmoninio osciliatoriaus ypatingas taškas, tačiau jį kerta pusės visų būsenų banginės funkcijos (išskyrus lygines). O tai mums ir yra svarbiausia. Lyginės būsenos šiame taške taip pat elgiasi ypatingai: jų liestinės šiame taške yra lygiagrečios koordinačių ašiai.

Lengva pastebėti, kad prie kiekvieno tolimesnio lyginio $ \xi $ laipsnio atsiranda naujas dvinaris daugiklis, kurio pirmasis skaičius yra vienetu didesnis. Šis skaičius ir nusako diferencialinės lygties tikrines vertes, nes pradedant juo visi tolesni eilutės nariai virsta nuliais. Begalinė eilutė nutrūksta — virsta hipergeometriniu polinomu. Tokiu būdu iš eilutės matome, kad energijos tikrinės vertės yra $ \varepsilon =1, 5, 9, 13, 17,\dotsc  $. Ar turime daugiau tikrinių verčių? Tą sužinosime išskleidę $ \mathbf{HermiteH}\boldsymbol{[\frac{-1+\varepsilon}{2} ,\xi ]} $ narį. Jį išskleisti eilute kiek sunkiau, todėl pasinaudosime anksčiau užrašytu sąryšiu tarp hipergeometrinės ir Hermite'o funkcijų

Klaida

Klaida

Nežinant Hermite'o funkcijų išraiškų hipergeometrinėmis funkcijomis, galėtume pakartotinai išskleisti pirmojo skleidinio narius, pavyzdžiui

Klaida
Taigi, dabar, be jau žinomų verčių $ \varepsilon=1;5;9;13;17,\ldots $, gauname eilę naujų, $ \varepsilon=3;7;11;15, \ldots $, vėl besiskiriančių per keturis. Šios vertės atitiks kitokios simetrijos bangines funkcijas.

Dabar jau galime suprasti, kodėl visos šios tikrinės vertės yra ,,stebuklingos'': jos begalines eilutes paverčia baigtiniais polinomais ir tuomet mūsų pakeitimo daugiklis $ \exp(-\xi ^2/2) $ jau gali užtikrinti norimas kraštines sąlygas. Be to, mums visiškai nereikia Hypergeometric1F1[ ] sprendinio, nes paėmus tikrines vertes jį visiškai įkomponuoja HermiteH[ ] sprendinys (nes wronskianas nulis). Be abejo, paėmus kitokias kraštines sąlygas, kaip matyti iš bendrojo sprendinio, vien Hermite'o funkcijų gali nepakakti ir į sprendinį tektų įtraukti antrą hipergeometrinę funkciją. Kai energijos $ \varepsilon $ vertės yra sveikieji skaičiai, funkcija HermiteH[ ] vadinama Hermite'o polinomu. Pastebėsime, kad aukščiau apskaičiuoti pirmieji Hermite'o polinomai, atitinkantys energijos vertes $ \varepsilon =1, 5, 9, 13, 17,\dotsc $, aprašo simetrinę banginę funkciją, nes polinomai nesikeičia po transformacijos $ \xi\rightarrow -\xi $. Galima spėti, kad Hermite'o polinomai, atitinkantys energijas $ \varepsilon =3, 7, 11, 15, 19,\dotsc $, atlikus tą pačią transformaciją elgsis kaip tik priešingai — pakeis ženklą. Taip ir yra. Kadangi lyginis daugiklis $ \exp(-\xi^2/2) $ ženklo nekeičia, lygties sprendinys aprašo nelygines bangines funkcijas.


Klaida

Tokiu būdu gavome, kad harmoninio osciliatoriaus bangines funkcijas galima išreikšti eksponentės $ \exp(-\xi^2/2) $ ir Hermite'o polinomo sandauga, o redukuotos tikrinės energijos yra

\[ \varepsilon {}=(2  n+1),\tag{12} \]
kur $ n=0, 1, 2, 3, \dotsc $ vadinamas energiniu kvantiniu skaičiumi.

Kaip minėjome, banginės funkcijos modulio kvadratas yra interpretuojamas kaip tikimybė surasti dalelę tam tikroje vietoje ar būsenoje. Kadangi maksimali tikimybė (reiškianti, kad dalelę tikrai kur nors surasime) yra 1, tai mums dar reikia pasirūpinti tinkamu banginės funkcijos normavimu: rasti laisvąją konstantą $ C[1] $. Normavimo pastoviąją galėsime nustatyti tik esant tikrinėms $ \varepsilon $ reikšmėms, nes, kaip matėme, kai $ \varepsilon $ reikšmės bet kokios, sprendiniai didėjant $ \xi $ begalybėje auga ir sunormuoti nepavyksta. Skaitytojui siūlome pačiam apskaičiuoti normavimo daugiklį, paėmus kokią nors vieną tikrinę $ \varepsilon $ vertę. Bendras rezultatas yra $ 2^n n! \sqrt{\pi} $. Pavaizduokime pagrindinės ir pirmos sužadintos būsenos tikimybės priklausomybę nuo atstumo tarp atomų $ \xi =\xi_1-\xi_2 $.Kaip atrodo kitų būsenų tikimybės, skaitytojas matys įrašęs kitus energijos kvantinius skaičius.

Klaida

Matome, kad jei pagrindinėje būsenoje atomai daugiausia laiko praleidžia netoli centro, tai pirmoje sužadintoje būsenoje didžiausia tikimybė juos aptikti yra toliau nuo centro. Be to, tam tikruose taškuose jų neaptiksime niekada. Jei vieno iš atomų masė daug didesnė už kito $ m_1\ll m_2 $, tada sunkesnis atomas beveik nejudės, o lengvasis osciliuos atžvilgiu pirmojo. Ar galima kvantinio osciliatoriaus elgesį palyginti su klasikiniu osciliatoriumi? Pastarąjį paprasčiausia įsivaizduoti kaip rutuliuką, be trinties besiridinėjantį parabolės formos duobėje. Jei rutuliukas judėtų tamsoje, tai atsitiktiniais laiko tarpais fotoaparato blykste apšviečiant osciliatorių, galėtume gana tiksliai ,,išmatuoti'' tikimybę aptikti rutuliuką įvairiose duobės vietose. Kokių nuotraukų būtų daugiausia? Apskaičiuokime tikimybę $ \DoubleStruckW \mathrm{d}  x $ aptikti klasikinę dalelę koordinačių intervale $ [x-\mathrm{d} x, x+\mathrm{d} x] $, lokalizuotame apie tašką $ x $. Be abejo, kuo dalelė nagrinėjamame intervale praleis daugiau laiko, tuo mes ją dažniau užfiksuosime. Tai, savo ruožtu, priklauso nuo svyravimų periodo $ T $:

\[ \DoubleStruckW  \mathrm{d} x=\frac{\mathrm{d} t}{T}=\frac{\omega }{2\pi }\frac{\mathrm{d} x}{|v|}. \]
Dalelės judėjimo greitį $ v $ lengva apskaičiuoti iš klasikinio osciliatoriaus sprendinio $  x(t)=A \cos(\omega t +\beta) $, kur $ \omega =\sqrt{k/\mu} $ ir energija $ E=\frac12\mu A^2 \omega^2 $. Jį rasime sprendinį tiesiog išdiferencijavę: $ v=\mathrm{d} x(t)/\mathrm{d} t $. Gautą sinuso funkciją, pasinaudojus savybe $ \sin^2 x+\cos^2 x=1 $, patogiausia vėl išreikšti per koordinatę $ x(t) $: $ v=-A\omega \textstyle\sqrt{1-\big(\frac{x(t)}{A} \big)^2} $. Perėję prie bedimensinio (8) kintamojo $ \xi $, gauname:
\[ \DoubleStruckW \mathrm{d}\, x=\frac{\mathrm{d}x}{2\pi}\frac{\omega}{|v|} = \frac{\mathrm{d}\xi }{2\pi \sqrt{\varepsilon}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\vphantom{X}\smash{\xi^2}}{\varepsilon}}}. \]
Įstatę diskretines kvantinio osciliatoriaus vertes (12) , galime palyginti klasikinę ir kvantinę tikimybes. Tai atliksime didelio sužadinimo, pavyzdžiui, $n=17$, būsenai:

Klaida

Matome, kad didesnė tikimybė yra klasikinę dalelę aptikti arti intervalo galų (brūkšniuota kreivė). Tai suprantama, nes ten ji turi sustoti ir pakeisti judėjimo kryptį. Tuo tarpu pro centrinę dalį dalelė pralekia maksimaliu greičiu, todėl čia ją aptikti sunkiausia. Aukštai sužadintoms kvantinio osciliatoriaus būsenoms (ištisinė linija) stebime panašią tendenciją — kraštuose tikimybė yra gerokai didesnė. Taigi, esant dideliems kvantiniams skaičiams, be banginių savybių (stovinčios bangos), pradeda pasireikšti ir dalelinės savybės, nes tikimybė sužadinimą aptikti arčiau kraštų išauga. Palyginkite šį brėžinį su pagrindine kvantinio osciliatoriaus būsena, pavaizduota anksčiau, kur turime tik vieną kvantinės bangos pusbangį: jis niekuo neprimena klasikinės dalelės koordinatės pasiskirstymo.

Skaitinis tikrinių funkcijų radimas, kai žinomos tikrinės vertės

Surasime bangines kvantinio osciliatoriaus funkcijas skaitiškai. Pasinaudosime tuo, kad

  • teisingos banginės funkcijos norma turi būti lygi vienetui,
  • banginė funkcija visada gęsta begalybėje, jei tik energija lygi tikrinei.

Kadangi banginė funkcija turi būti normuota į vienetą, įvesime normavimo integralą

$$u(\xi )=\int _{-\infty}^\xi|\psi (z)|^2\, \mathrm{d} z,\qquad u(\infty )=1.$$
Jį išdiferencijavę pagal koordinatę $ \xi  $ gauname lygtį
$$\mathrm{d} u(\xi )/\mathrm{d}  \xi =|\psi (\xi )|^2,$$
kurią spręsime kartu su osciliatoriaus lygtimi
$$\mathrm{d}^2 \psi /\mathrm{d}  \xi^2-(\xi^2-\varepsilon )\psi =0.$$
Lygtims išspręsti turime apibrėžti funkcijų $ \psi $, $ \mathrm{d} \psi /\mathrm{d} \xi $ ir $ u $ pradines sąlygas, paėmę neigiamą ir pakankamai nutolusį tašką $ \xi_\infty $. Jei pasirinkta $ \varepsilon  $ vertė yra tikrinė, $ \psi $ sprendiniai elgsis tvarkingai, o normavimo integralas integruojant didės nuo nulio iki vieneto. Priešingu atveju, esant didelėms, $ \xi  $ reikšmėms jie nuo tam tikrų verčių ims augti į begalybę. Diferencialinių lygčių integravimui naudosime šaudymo metodą ( shooting method), taikomą diferencialinėms lygtims su dviem kraštinėmis sąlygomis integruoti. Jo esmė labai paprasta: kadangi pradinė $ \psi (-\infty) $ vertė žinoma, tai pradinę išvestinę $ \frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} \xi}\Big|_{-\infty} $ tame pačiame taške reikia parinkti taip, kad sprendinio ,,trajektorija'' pataikytų į antrą kraštinę sąlygą. Kitaip tariant, pasirinkę vieną kraštinį tašką, keisdami išvestinę (t.y. išeinančios trajektorijos kampą) ,,šaudome'' tol, kol galiniame taške trajektorija pataiko ten, kur norime. Mes jau žinome, kad taip atsitiks tik tuo atveju, kai sprendiniai nedidėja begalybėje. Tarkime, kad tikrines energijos vertes žinome. Paimkime, pavyzdžiui, $ n=1 $.
Klaida

Kadangi banginė funkcija greitai gęsta, vietoje begalinių $ \xi  $ rėžių imkime baigtinius (pavyzdyje $ -5 $ ir $ 5 $). Jie ir bus mūsų begalybės: laikysime, kad šiuose taškuose banginės funkcijos vertė jau yra tokia maža, kad ją galima pakeisti nuliu.Išvestinės vertės mes nežinome, tačiau jei laikysime, kad funkcija yra pakankamai tolydi ir ,,begalybėje'' artima nuliui, tai funkcija ten sparčiai keistis neturi, t.y. funkcijos išvestinė bus artima nuliui. Tikslią jos vertę rasime su \boldmath$\mathrm{FindRoot}[\ ]$.

Klaida

Paaiškinsime, kaip programa veikia. Iš tiesų mes norime rasti lygties $ u(\infty )=1 $ šaknį. Tačiau $ u(\infty) $ vertę sužinosime tik išsprendę diferencialinę lygtį. Taigi, sprendžiame diferencialinę lygtį, sprendinį įstatome į $ u(\xi ) $ ir apskaičiuojame šią vertę begalybėje (tiksliau, taške \boldmath$\xi max$. Gautąją reikšmę komanda \boldmath$\mathrm{FindRoot}[\ ]$ lygina su vienetu ir, keisdama parametrą \boldmath$kampas$, stengiasi gauti kuo tikslesnį lygties sprendinį nurodytame intervale $ [-0{,}04;0{,}04] $. Rastą vertę atitinkantį diferencialinės lygties sprendinį išsaugome kintamajame \boldmath$sprendinys1$. Išsprendę diferencialines lygtis, atidėsime funkcijos $ \psi $, tikimybės $ \psi^2 $ ir normavimo integralo $ u $ (primename, kad jis priklauso nuo viršutinio rėžio) priklausomybę nuo koordinatės viename brėžinyje.

Klaida

Matome, kad jau esant $ \xi =3 $ normavimo integralas priartėja prie $ 1 $, o kai $ \xi =5 $, skaičiuojant mašininiu tikslumu jis visai nesiskiria nuo vieneto:

Klaida
Deja, taip skaičiuojant lieka neišspręsta esminė problema, kurios čia neaptarsime. Kaip skaitiškai surasti tikrinę energijos vertę? Jei paimta energija skiriasi nuo tikrinės, pavyzdžiui, yra tik procento dalimi didesnė \boldmath$energija=\textrm{3.005}$, pritaikę tą pačią procedūrą, gausime visai kitokį sprendinio elgesį. Tegu skaitytojas pats pakartoja skaičiavimus įrašęs šią, kiek besiskiriančią nuo tikrinės, energijos vertę.Matome, kad tada esant didelėms $ \xi  $ reikšmėms sprendinys ,,sprogsta'', t.y. $ \xi $ didėjant, banginė funkcija pradeda eksponentiškai augti į $ +\infty  $ ar $ -\infty  $. Normavimo integralas ne ,,įsisotina'', kaip anksčiau (nors jo vertė ir pasiekia vienetą), o labai greitai keičiasi.Taigi, tik vieninteliu atveju, kai $ n $ yra tiksliai lygus ,,stebuklingoms'' vertėms (kurias atitinka griežtai apibrėžtos energijų vertės), sprendiniai begalybėje artėja prie nulio, o normavimo integralas prie vieneto keičiasi lėtai. Tokiu būdu kvantinis osciliatorius gali virpėti tik tam tikrais griežtai nustatytais dažniais.


Literatūra

[1].  A. F. Nikiforov, V. B. Uvarov, "Specialnye funkcii matematicheskoi fiziki", Nauka, Moskva (1978), 320p.

[2].  A. Bolotinas, A. Raudeliūnas, "Specialiųjų funkcijų taikymas kvantinėje mechanikoje", Vilnius, 1988, 75p.

[3]. M. Petkovšek, H.S. Wilf, D. Zeilberg "A=B", 2-th edition, A K Peters Ltd., (1997).
yra interneto leidimas:  http://www.cis.upenn.edu/~wilf .

[4]. W. H. Press, S. A. Teukolsky. W. T. Vetterling, B. P. Flannery, "Numerical Recipes in Fortran", Cambridge University Press,  1992, 17 skyrius

[5]. C. C. Marston, G. G. Balint-Kurti, "The Fourier grid Hamiltonian method for bound state eigenvalues and eigenfunctions", J.Chem.Phys. Vol. 91 No. 6, 1989, p. 3571-3576

[6]. P. M. Morse, "Diatomic molecules according to the wave mechanics. II.~Vibrational levels", Phys. Rev. 34, 1929, p. 57

[7]. C. L. Pekeris,"The rotational-vibrational coupling in diatomic molecules", Phys. Rev. 45, 1934, p. 98

[8]. A.P.Jucys, A.A.Banzaitis, "Judėjimo kiekio momento teorija kvantinėje mechanikoje", Vilnius, Mintis, 1965.

[9]. D.A.Varshalovich, A.H.Moskalev, V.K.Khersonskii, "Kvantovaya teoriya uglovogo momenta", Nauka, 1975

[10]. S. Flugge, "Practical Quantum Mechanics I", Springer-Verlag, 1971
    yra rusiškas vertimas: Z. Fliugge, "Zadachi po kvantovoi mechanike", tom I, Moskva, 1974

spausdinti