MOKSLASplius.lt

Kvantinis osciliatorius II (netiesinis)

Anharmoninis kvantinis osciliatorius

Kvadratinis sąveikos $ V(r) $ potencialas gerai aprašo diatomės molekulės virpesius tik tuo atveju, kai virpesių amplitudė maža. Kai ji pasidaro didelė — tai atitinka aukštas temperatūras — toks potencialas jau nebetinka. Vienas iš realesnių, leidžiančių atsižvelgti į atstumą tarp molekulių pusiausvyroje bei baigtinį potencialo nuokrypį nuo kvadratinio dėsnio, ir kuriam dar galima surasti tikslius sprendinius, yra Morses potencialas:

$$V(r)=d_e \bigr(1-\exp(-a (r-r_0))\big)^2 .$$
Čia $ d_e $ yra molekulės disociacijos energija, $ a>0 $ — modelio pastovioji, o $ r_0 $ žymi tarpbranduolinį atstumą pusiausvyros padėtyje. Nubraižysime Morses potencialą, į formulę įstatę vandenilio molekulės $ H_2 $ parametrus: $ d_e=4{,}7457~\mathrm{eV} $, $ a=1{,}94196\cdot 10^1~\mathrm{nm}^{-1} $, $ r_0 =0{,}74191\cdot 10^{-1}~\mathrm{nm} $. Redukuota vandenilio molekulės masė lygi $ \mu =m^2/(m+m) $, kur $ m=1{,}67258\cdot 10^{-27} $ kg yra vandenilio atomo masė.
\boldmath$H2Parametrai=\bigl\{$
\boldmath$d_e$\boldmath$\to$,disociacijos energija (konvertuojama į Džiaulius)
\boldmath$a$\boldmath$\to$,modelio parametras (žr. potencialo formulę)
\boldmath$r_0$\boldmath$\to$,tarpbranduolinis atstumas pusiausvyros padėtyje (metrais)
\boldmath$\hbar$\boldmath$\to$,Planko konstanta (J$ \cdot $s)
\boldmath$\mu$\boldmath$\to$Vandenilio atomo masė (kilogramais)
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}\bigl[\mathrm{Evaluate}[d_e \bigl(1-\mathrm{Exp}[-a (r-r0)]\bigr)^2/.H2Parametrai ],\{r,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$r_1$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$r_2$}*10^{-10}\},\mathrm{AxesLabel}\to \{"r\cdot 10^{-10} m","Potencialas, eV"\},\\&&\mathrm{Ticks}\to \{\mathrm{Map}[\{# * 10^{-10},# \}\& , \mathrm{Range}[0.5,2,0.5]],\mathrm{Map}[\{# *1.602*10^{-19},# \}\& ,\mathrm{Range}[0,10]]\},\\&&\mathrm{Epilog}\to \mathrm{Evaluate}[\{\mathrm{Text}["\mathrm{Disociacijos\ energija}",\{1.3*10^{-10},d_e\},\{0,-1\}],\mathrm{Text}[r_0,\{r0,1.602*10^{-19}\}],\\&&\{\mathrm{Dashing}[\{0.03,0.03\}],\mathrm{Line}[\{\{ 0, d_e\},\{ 5 , d_e\}\}]\}\}/.H2Parametrai]]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$r_1=$ iki \boldmath$r_2=$
Vaizdavimo parinktys: \boldmath$parinktys$=

  

Šį potencialą įstatę į atomų vibracijų lygtį (KOI-5b), kurioje kintamąjį $ x $ peržymėjome raide $ r $, o funkciją $ \psi  $ — raide $ S $, ir išskleidę Morses potencialo kvadratą, gauname

\[ \frac{\mathrm{d}^2 S(r)}{\mathrm{d} r^2}+\frac{2 \mu}{\hbar ^2}\Bigl( E_{vibr}-d_e+2 d_e \mathrm{e}^{-a (r-r_0)} -d_e \mathrm{e}^{-2a (r-r_0)}\Bigr) S(r)=0.\tag{19} \]
Tai molekulės vibracijų lygtis, kurioje nėra atsižvelgta į pataisas, atsirandančios dėl molekulės kaip visumos sukimosi. Šios lygties sprendinį 1929 m. gavo P.M. Morses, o lygties, kurioje atsižvelgta į molekulės sukimosi pataisą $ \frac{-\ell(\ell+1)}{r^2} $, kur $ \ell\in \dsN $, &mdash C.L. Pekeris 1934m. Molekulės sukimasis sukuria atstojamąją išcentrinę jėgą, kuri, savo ruožtu, įtakoja vibracinius energinius lygmenis. Tačiau norėdami suprasti, kodėl molekulė gali suktis tik tam tikrais kvantuotais cikliniais dažniais, ir tuo pačiu surasti to nario formą, turime spręsti trimatį uždavinį. Tai visiškai kitas uždavinys, kuriam reiktų skirti visą atskirą skyrių. Todėl jo sprendimą aptarsime tik bendrais bruožais.Pirmiausia užrašykime trimatę Schrödingerio lygtį sferinėje koordinačių sistemoje, nes ši sistema atspindi sprendžiamo uždavinio simetriją. Tai nesunku padaryti, jei, pasinaudoję vektorinės analizės paketu, prisiminsime, kaip atrodo Laplace'o operatorius sferinėje koordinačių sistemoje.
\boldmath\begin{eqnarray*}&&<< \mathrm{Calculus}`\mathrm{VectorAnalysis}`\\&&\mathrm{Expand}[\mathrm{Laplacian}[f[r,\theta ,\varphi ],\mathrm{Spherical}[r,\theta ,\varphi ]]]\end{eqnarray*}

Perrašius išvestines standartiniais žymėjimais matyti, kad Laplace'o operatorius \index{operatorius!Laplace'o}\index{Laplace'o operatorius}turi tokį pavidalą:

\[ \Delta =\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial} {\partial r} +\frac{1}{r^2}\hat{A}.  \]
Čia $ \hat{A} $ žymi operatorių, priklausantį tik nuo sferinės koordinačių sistemos kampų $ \theta  $ ir $ \varphi $:
\[ \hat{A}=\frac{1}{\mathrm{tg} \theta}\frac{\partial }{\partial \theta }+ \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}. \]
Taigi, norėdami išspręsti trimatę Schrödingerio lygtį
\[ \Delta \psi (r,\theta ,\varphi )+2\frac{\mu }{\hbar^2}\bigl(E_{vibr}-V(r)\bigr)\psi (r,\theta ,\varphi )=0, \tag{22} \]
esant sferiškai simetriniam Morses potencialui $ V(r) $, pirmiausia turime rasti operatoriaus $ \hat{A} $ tikrines vertes ir funkcijas. Kai šias funkcijas žinosime, tai operatorių $ \hat{A} $ aukščiau užrašytoje Laplace'o operatoriaus $ \Delta $ išraiškoje galėsime pakeisti jo tikrine verte, ir tolesnė užduotis gerokai supaprastės.Lygties
\[ \hat{A}Y+\beta Y=\frac{1}{\sin  \theta }\frac{\partial}{\partial \theta }\Big(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}\Big) +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2}+\beta Y=0,  \]
kur $ \beta  $ yra kol kas nežinoma tikrinė vertė, sprendinių, kaip ir anksčiau, ieškosime kintamųjų atskyrimo metodu. Įstatę sprendinį $ Y(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi ) $ į lygtį ir padauginę ją iš $ \frac{\sin^2\theta }{\Theta (\theta )\Phi(\varphi)} $ turime:
\[ \frac{\sin \theta}{\Theta (\theta )}  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\Big(\sin \theta \frac{\mathrm{d} \Theta (\theta )}{\mathrm{d}  \theta }\Big)+\beta \sin^2\theta =-\frac{1}{\Phi(\varphi )}\frac{\mathrm{d}^2 \Phi (\varphi )}{\mathrm{d} \varphi^2}.  \]
Matome, kad lygties kairioji pusė priklauso tik nuo kintamojo $ \theta $, o dešinioji — tik nuo $ \varphi $. Kadangi $ \theta  $ ir $ \varphi $ yra nepriklausomi kintamieji, lygybė galima tik tada, kai abi pusės yra lygios tai pačiai, kol kas nežinomai konstantai. Ją pažymėsime $ m^2 $. Taigi, vieną lygtį dalinėmis išvestinėmis pakeitėme dviem paprastomis diferencialinėmis lygtimis:
\begin{align*} &-\frac{1}{\Phi (\varphi )}\frac{\mathrm{d}^2 \Phi (\varphi )}{\mathrm{d} \varphi^2}=m^2,\tag{25a} \\&\frac{\sin \theta }{\Theta (\theta )} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\Big(\sin \theta \frac{\mathrm{d} \Theta (\theta)}{\mathrm{d} \theta }\Big)+\beta \sin^2 \theta=m^2.\tag{25b} \end{align*}
Pradėkime nuo paprastenės (25a) lygties. Tai antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais, kurios charakteringoji lygtis $ \lambda ^2+m^2=0 $, o šaknys $ \lambda =\pm \mathrm{i} m $. Jos bendrasis sprendinys yra
\[ \Phi (\varphi )=\mathop{\mathrm{const}} \mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}  m  \varphi}. \]
Kraštinę sąlygą imsime tokią, kad ieškoma funkcija būtų periodinė. $ \Phi (\varphi)=\Phi (\varphi +2\pi) $. Taip bus tik tuo atveju, kai $ m=0,\pm 1,\pm 2,\dotsc  $. Pasinaudojus funkcijos periodiškumu iš normavimo sąlygos $ \int_0^{2\pi} |\Phi (\varphi )|^2\, \mathrm{d}\varphi=1 $ nesunku apskaičiuoti konstantą $ \mathrm{const}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} $. Periodiškumo reikalavimas seka iš fizikinių samprotavimų (vienareikšmiškumo): atsistoję ir apsisukę aplink ašį, pasaulį norime vėl matyti tokį, koks jis buvo prieš apsisukant. Griežtai kalbant, mikropasaulyje taip būna ne visada: pavyzdžiui, pusinio sukinio atveju sistema sugrįžta į pradinę padėtį tik apsukus ją du kartus. Jei dešinėje lygties (25a) pusėje būtume paėmę neigiamą konstantą, netrivialių periodinių sprendinių su realiu periodu nerastume.

Dabar trumpai aptarkime sudėtingesnės (25b) lygties sprendimą. Lygtį padauginę iš $ \frac{\Theta (\theta)}{\sin^2\theta} $ gauname:

\[ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\Big(\sin \theta \frac{\mathrm{d} \Theta (\theta)}{\mathrm{d} \theta }\Big) +\Big(\beta -\frac{m^2}{\sin^2\theta}\Big)\Theta (\theta )=0. \]
Prie racionalių funkcijų pereisime pakeitę $ \cos \theta \rightarrow x $. Tada $ \sin \theta ={\sqrt{1-x^2}} $; $ \mathrm{d} x=-\sin(\theta)\mathrm{d} \theta  $:
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Big((1-x^2)\frac{\mathrm{d} \Theta (x)}{\mathrm{d} x}\Big) +\Big(\beta -\frac{m^2  }{1-x^2}\Big) \Theta (x)=0.\tag{28} \]
Išdiferencijavus vėl nesunku įsitikinti, kad gavome apibendrintojo hipergeometrinio tipo lygtį su $ \sigma (x)=1-x^2 $, $ \tilde\tau (x) =-2x $, $ \tilde \sigma (x)=\beta (1-x^2)-m^2 $. Čia tik aptarsime kraštines lygties sąlygas. Ieškomas sprendinys $ Y(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi ) $ turi būti vienareikšmis esant bet kokioms $ \varphi,\theta  $ vertėms. Taškai $ \theta =-\pi  $ arba $ \theta =\pi  $ sferinėje koordinačių sistemoje atitinka šiaurinį ir pietinį polius. Kampas $ \varphi $ čia neapibrėžtas, todėl kraštinė sąlyga $ \Phi (\varphi) =\Phi (\varphi +2\pi ) $ šiuose taškuose negali užtikrinti viso sprendinio vienareikšmiškumo. Jį užtikrinsime tik pareikalavę, kad sprendinys $ \Theta (\theta ) $ abiejuose poliuose virstų nuliu. Taigi, naujais kintamaisiais kraštinės sąlygos lygčiai (28) yra $ \Theta (x=\pm 1)=0 $. Tikrinės funkcijos $ Y(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi ) $ vadinamos sferinėmis harmonikomis ir žymimos
\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{SphericalHarmonicY}[\ell ,m,\theta ,\varphi ]//\mathrm{TraditionalForm}\end{eqnarray*}

kur raide $ \ell  $ pažymėjome dydį $ \beta =\ell (\ell +1) $. Su (28) lygties konstanta $ m $ jis susijęs tokiu būdu: $ \ell =m+n $; $ n=0,1,2,\dotsc  $; $ m=-\ell ,-\ell -1,\dotsc ,\ell -1,\ell $. Abiejų diferencialinių lygčių tikrinės vertės, kaip matome, yra susijusios tarpusavyje. Šie sąryšiai plačiai ir išsamiai aptarti judesio kiekio momento teorijos knygose. Taigi uždavinys išspręstas: operatoriaus $ \hat{A} $ tikrinės funkcijos yra sferinės harmonikos, o gautos diskretinės tikrinės vertės &mdash $ \ell (\ell +1) $, kurių fizikinė prasmė yra judesio kiekio momentas — rodo, kad pagal kvantinę mechaniką molekulė gali įgyti tik tam tikras sukimo momento vertes, t.y., klasikinės mechanikos žodžiais gali suktis tik griežtai nustatytais cikliniais dažniais.Dabar jau galime spręsti lygtį (22) pilnutinei funkcijai $ \psi (r,\theta ,\varphi ) $. Akivaizdu, kad įstatę $ \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r) Y(\theta ,\varphi ) $ gauname vienmatę diferencialinę lygtį radialinei funkcijai $ R(r) $:

\[ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2}R(r)+\frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} R(r)+\Bigl(\frac{\ell (\ell +1)}{r^2}+2\frac{\mu }{\hbar ^2}\bigl(E_{vibr} V(r)\bigr)\Bigr) R(r)=0\tag{29} \]
Tai jau gana sudėtinga lygtis, ir Morses potencialo atveju (kai $ \ell \neq 0 $), griežtai kalbant, nėra tiksliai analiziškai išsprendžiama. Narį $ \frac{\ell (\ell +1)}{r^2} $ galima laikyti sistemos potencine energija, kurią nulemia sukimosi išcentrinė jėga. Toliau visur laikysime, kad molekulė nesisuka, t.y. $ \ell =0 $. Lygtis (29) iš pirmo žvilgsnio gerokai skiriasi nuo osciliacijų lygties (KOI-6). Tačiau jei vietoje funkcijos $ R(r) $ ieškosime naujos funkcijos $ R(r)=S(r)/r $, tada ją įstatę į (29) ir padauginę gautą rezultatą iš $ r $ gausime poskyrio pradžioje užrašytą lygtį (tik išskleistą) funkcijai $ S(r) $:
\boldmath\begin{eqnarray*}&&R[r]=\frac{S[r]}{r};\\&&lygtisS=\mathrm{Factor}\bigl[\mathrm{Expand}\bigl[\frac{\partial ^2R[r]}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial R[r]}{\partial r}+ \Bigl(\frac{\ell (\ell +1) }{r^2}+\frac{2 \mu  \bigl(E_{vibr}-V[r]\bigr)}{\hbar ^2}\Bigr) R[r]/.\ell \to 0\bigr]\bigr]\\&&\mathrm{Expand}\Bigr[\bigl(lygtisS * r/.V[r]\to d_e \bigl(1-\mathrm{Exp}[-a (r-r0)]\bigl)^2\Bigr]=0\end{eqnarray*}

Ją dabar ir išspręsime. Pradžioje aptarsime kraštines ieškomos funkcijos sąlygas. Kadangi virpanti molekulė yra lokalizuota, tai jos banginė funkcija begalybėje turi būti lygi nuliui: $ S(r=\infty)=0 $. Taške $ r=0 $ (kai branduoliai persikloja) Morses potencialas yra baigtinis, todėl banginė funkcija, griežtai kalbant, gali ir skirtis nuo nulio. Laikysime, kad taške $ r=0 $ potencialas yra pakankamai didelis. Tai reiškia, kad banginė funkcija šiame taške yra nykstamai maža.Kaip ir anksčiau, galime tikėtis, kad perėjus prie bedimensių kintamųjų lygtis kiek supaprastės. Vietoje ilgio dimensiją turinčio dydžio $ r-r_0 $ eksponentės rodiklyje įveskime bedimensį: $ z=\frac{r-r_0}{r_0} $. Tada turėsime $ \mathrm{d} z=\frac{\mathrm{d} r}{r_0}\quad $, $ \frac{\mathrm{d} \psi }{\mathrm{d} r}=\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} z} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} r} =\frac{1}{r_0}\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} z}\quad $, $ \frac{\mathrm{d}^2 S}{\mathrm{d} r^2}=\frac{1}{r_0^2}\frac{\mathrm{d}^2 S}{\mathrm{d} z^2} $. Pakeitę kintamuosius ir pažymėję $ \alpha =a r_0 $, $ \quad\varepsilon =E_{vibr}-d_e $, $ \quad\beta^2=-\frac{2 \mu \varepsilon r_0^2}{\hbar^2} $, $ \quad\gamma^2=\frac{2 \mu d_e  r_0^2}{\hbar^2} $, gauname iš tiesų kiek paprastesnę lygtį:

\[ \frac{\mathrm{d}^2 S(z)}{\mathrm{d} z^2}+\big(-\beta ^2+2 \gamma^2 \mathrm{e}^{-\alpha z}-\gamma^2 \mathrm{e}^{-2\alpha z}\big) S(z)=0.\tag{30} \]
Nuo koordinatės nepriklausantis bedimensis narys $ \beta ^2 $ yra ieškomoji tikrinė osciliatoriaus energija. Lygtis iš esmės supaprastėtų, jei surastume pakeitimą, po kurio lygties koeficientai virstų racionaliomis funkcijomis. Toks pakeitimas egzistuoja:
\[ x=\zeta \mathrm{e}^{-\alpha z}, \]
kur raide $ \zeta $ pažymėjome konstantų santykį $ \zeta =\frac{2\gamma }{\alpha} $.Tada
\begin{align*} &&\mathrm{d}x=-\alpha \zeta \mathrm{e}^{-\alpha z}\mathrm{d}  z=-\alpha  x\ \mathrm{d} z, \\&&\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} x}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z}=-\alpha x\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} x}, \end{align*}
ir
\[ \frac{\mathrm{d}^2 S}{\mathr{d} z^2}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}\Bigl(\alpha x\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} x}\Bigr)=\alpha^2 x  \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} x}+\alpha^2 x^2 \frac{\mathrm{d}^2 S}{\mathrm{d} x^2}. \]
Viską sustatę į bedimensę lygtį (30) ir kiekvieną narį padalinę iš $ \alpha^2 x $, pagaliau gauname apibendrinto hipergeometrinio tipo diferencialinę lygtį:
\[ x\frac{\mathrm{d}^2 S(x)}{\mathrm{d} x^2}+\frac{\mathrm{d} S(x)}{\mathrm{d} x} + \frac{\big(-\frac{\beta^2}{\alpha^2} +\frac{\gamma}{\alpha}x-\frac{1}{4} x^2\big)}{x}S(x)=0 . \]
Išties, palyginę ją su tiesinio osciliatoriaus eksperimente įvestais pažymėjimais, matome, kad: $ \sigma (x)=x $, $ \tilde \tau (x) =1 $, $ \tilde\sigma (x)=-\frac{\beta^2}{\alpha^2} +\frac{\gamma}{\alpha} x-\frac{1}{4} x^2 $. Kaip jau minėjome, tokia lygtis susiveda į paprastą hipergeometrinio tipo lygtį, kurią Mathematica sugeba išspręsti. Tam reikia atlikti pakeitimą $ S(x)=v_a(x) \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{\beta }{\alpha }} $, kur $ v_a(x) $ yra nauja ieškomoji funkcija. Kadangi $ z $ kinta rėžiuose $ [-1,\infty ) $, naujas kintamasis $ x $ kis nuo $ \zeta \mathrm{e}^\alpha $ iki $ 0 $. Be galo nutolusius atomus ($ r=\infty  $) naujose koordinatėse atitiks atstumas $ x=0 $, todėl šiame taške funkcija $ v_a (0) $ turi virsti nuliu. Pastebėsime, kad eksponentinis daugiklis taške $ x=\zeta \mathrm{e}^\alpha $, įstačius vandenilio molekulės parametrus, bus didelis, todėl funkcija $ S(\zeta \mathrm{e}^\alpha) $ (kai branduoliai persikloja) bus artima nuliui, kaip ir turi būti. Kadangi šį kartą kintamųjų pakeitimo skaičiavimai ilgesni, pasinaudokime Mathematica.
\boldmath\begin{eqnarray*}&&S[x]=v_a[x] \mathrm{e}^{-x/2} x^{\beta /\alpha }\\&&keit=\mathrm{Factor}\bigl[\mathrm{Expand}\bigl[ x*\frac{\partial ^2S[x]}{\partial x\, \partial x} +  \frac{\partial S[x]}{\partial x}+\frac{\bigl(-\frac{1}{4}x^2+\frac{\gamma }{\alpha }x-\frac{\beta ^2}{\alpha ^2}\bigr)}{x} S[x]\bigr]\bigr]\end{eqnarray*}

Padalinę lygtį iš bendro daugiklio $ -\frac{1}{2\alpha} \mathrm{e}^{-x/2} x^{\frac{\beta}{\alpha}} $, gausime hipergeometrinio tipo lygtį.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&oscAnh=-2\alpha *\mathrm{e}^{x/2} *x^{-\beta /\alpha }*keit //\mathrm{Simplify}\end{eqnarray*}

Kaip matome, vietoje polinomų santykio dabar turime paprastus polinomus, o prie ieškomos funkcijos išvestinių polinomo laipsniai nepadidėjo. Hipergeometrinio tipo lygtį {\itshape Mathematica} išsprendžia:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{DSolve}[oscAnh==0,v_a[x],x]\end{eqnarray*}

Atkreipkite dėmesį, kad tai šiek tiek kitokia hipergeometrinė funkcija. Kaip ir Hermite'o funkcijos atveju, Laguerre'o funkciją taip pat galima išreikšti kitomis hipergeometrinėmis funkcijomis, bet šį kartą to nedarysime. Taigi, turime iš esmės tą pačią, tik techniškai kiek sudėtingesnę situaciją. Tikrines vertes galima įžvelgti išskleidus funkcijas, pavyzdžiui, \boldmath$\mathrm{HypergeometricU}[~]$ arba \boldmath$\mathrm{LaguerreL}[~]$, Tayloro eilute apie tašką $ x=0 $. (Čia skleisime \boldmath$\mathrm{HypergeometricU}[~]$ funkciją, nes Mathematica 5.2 versija skleisdama \boldmath$\mathrm{LaguerreL}[~]$ funkciją susiduria su problema. Ankstesnėse versijose galima buvo skleisti bet kurią iš jų. Radę tikrines reikšmes vėl grįšime prie Lagero funkcijų, nes jos tradiciškai naudojamos daugelyje vadovėlių.)

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{DSolve}[oscAnh==0,v_a[x],x]\end{eqnarray*}

Atidus skaitytojas galėjo pastebėti, kad norėdami gauti harmoninio osciliatoriaus tikrines vertes, bendrajį sprendinį skleidėme eilute apie $ r=0 $, o anharmoninio — apie $ r=\infty  $ tašką. Kurį iš ypatingų taškų pasirinkti, priklauso nuo mūsų. Pavyzdžiui, knygoje Fluge71, sprendžiant Morses potencialo uždavinį, imamas ypatingas taškas $ r=0 $. Tačiau tai esmingai ypatingas taškas, todėl Tayloro eilutės skleidinys jo aplinkoje neegzistuoja. Taigi, vietoje paprasto Tayloro eilutės skleidinio autoriai yra privesti naudotis daug sudėtingesniais asimptotiniais metodais.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Simplify}\bigl[\mathrm{Normal}\bigl[\mathrm{Map}[\mathrm{Factor}[\mathrm{ExpandNumerator}[#]]\&,\mathrm{Series}[\mathrm{HypergeometricU}[{-\frac{-\alpha -2 \beta +2 \gamma }{2 \alpha },{1+\frac{2 \beta }{\alpha },x],\{x,0,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$x_2$}\}]]\bigr]\bigr]\end{eqnarray*}

Skleidinio eilė \boldmath$x_2=$

  

Kaip matyti, eilutė nutrūks esant tik tam tikroms (kvantuotoms) normuotos energijos $ \beta $ reikšmėms:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&tikrinisSarysis=\beta\to \gamma-\frac12 \alpha\bigl(2*n+1\bigr)\end{eqnarray*}

kur $ n =0,1,2,3,\dotsc $. Šios vertės užtikrina, kad skaitikliai prie visų $ x $ laipsnių virstų nuliais (jos nutraukia begalinį skleidinį).

Polinomai, gaunami iš Laguerre'o funkcijos, kai $ n=\frac{-\alpha -2 \beta +2 \gamma}{2 \alpha} $ vadinami Laguerre'o polinomais.

\boldmath\begin{eqnarray*}$$lageroPolinomai=\mathrm{Simplify}[\mathrm{LaguerreL}[{\frac{-\alpha -2 \beta +2 \gamma }{2 \alpha },{\frac{2 \beta }{\alpha },x]/.tikrinisSarysis]\end{eqnarray*}

Nesunku užrašyti juos ir išreikštai:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{TableForm}[\mathrm{Table}[\mathrm{Collect}[lageroPolinomai,x],\{n,0,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$n_2$}\}]\end{eqnarray*}

Polinomų užrašytų išreikštai skaičius \boldmath$n_2=$

  

Pastebėsime, kad į sprendinius įstačius tikrines parametrų vertes, wronskianas

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{wronskian}[y1\_\,, y2\_][x\_] := y1*D[y2\,, x] - y2*\mathrm{D}[y1, x]\\&&OscAnhWronskian=\mathrm{wronskian}[\mathrm{LaguerreL}{\frac{-\alpha -2 \beta +2 \gamma }{2 \alpha },{\frac{2 \beta }{\alpha }},x],\mathrm{HypergeometricU}[-\frac{-\alpha -2 \beta +2 \gamma }{2 \alpha },1+\frac{2 \beta }{\alpha},x]][x]\end{eqnarray*}

kaip ir turi būti, virsta nuliu:

\boldmath\begin{eqnarray*}\mathrm{Simplify}[\mathrm{FullSimplify}[OscAnhWronskian/.\beta \to \gamma -\frac{1}{2} \alpha  \bigl(2 n+1\bigr),n\in \mathrm{Integers}]/.n\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$n_0$}]\end{eqnarray*}

Būsenos numeris \mathbold$n_0 =$

  

Atkreipkite dėmesį, kaip prastindami apskaičiuotą wronskianą panaudojome sąlygą, kad $ n $ yra sveikasis skaičius: n\in \dsZ. Ankstesnė Mathematica 5.1 programos versija galėjo šią tapatybę įrodyti ir nenurodant konkrečios būsenos vertės.

Taigi, sprendiniai vėl tampa tiesiškai priklausomi, ir nelabai svarbu, kurį iš jų toliau naudosime. Prisiminę pakeitimą $ S(x)=v_a (x) \mathrm{e}^{-x/2} x^{\beta/\alpha} $ matome, kad diferencialinės lygties (30) sprendinys $ S(x) $ yra polinomo $ v_a (x) $ ir funkcijos $ \mathrm{e}^{-x/2} x^{\beta/\alpha } $ sandauga. Kai $ x\rightarrow 0 $ (tai atitinka $ r\rightarrow\infty  $), banginė funkcija turi būti lygi nuliui. Taip bus tik tada, jei parametrai $ \alpha  $ ir $ \beta  $ tenkins nelygybę $ \frac{\beta }{\alpha}\ge 0 $. Pasinaudodami apibrėžimų formulėmis $ \alpha =a r_0 $, $ \gamma^2=\frac{2\mu d_e r_0^2}{\hbar^2} $ apskaičiuokime jų vertes vandenilio molekulei.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\alpha \gamma Parametrai=\{\alpha \to a r0,\gamma \to \sqrt{\frac{2 \mu  d_e r0^2}{\hbar ^2}}\}/.H2Parametrai\end{eqnarray*}

Tada septyniolikai pirmųjų būsenų ši nelygybė galioja (aštuonioliktoji, matome, jau tampa neigiama):

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Table}[\Bigl(\beta =\gamma -\frac{1}{2} \alpha  (2*n+1)\Bigr)/.\alpha \gamma Parametrai,\{n,0,17\}]\end{eqnarray*}

Tai neprieštarauja teiginiui, kad anksčiau įvestus sąryšius $ \beta^2=-\frac{2 \mu (E_{vibr}-d_e) r_0^2}{\hbar^2} $ ir $ E_{vibr}\leq d_e $ gali patenkinti tik baigtinis $ (n+1) $ energijos lygmenų skaičius. Jį kitaip rasime, pastebėję, kad kai $ E_{vibr}\rightarrow 0 $, parametras $ \beta^2 $ pereina į $ \gamma^2 $. Jei $ r_0 $ pakeisime santykiu $ r_0=\alpha /a $ ir paimsime $ \alpha =1 $, vandenilio molekulei apytiksliai gausime

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\gamma \to \sqrt{\frac{2 \mu  d_e \bigl(\frac{\alpha }{a}\bigr)^2}{\hbar ^2}}/.H2Parametrai/.\alpha \to 1\end{eqnarray*}

t.y. vandenilio molekulė turi $ 17 $ vibracinių energinių lygmenų. Taigi, Morses potencialo atveju, priešingai nei vandenilio atomo uždavinyje (Coulombo potenciale $ 1/r $), energijos lygmenų skaičius yra baigtinis, nors abiem atvejais potencialas begalybėje lygus nuliui. Jei tikriniame sąryšyje $ \beta = \gamma -\frac12 \alpha (n+1) $ paimsime $ n=0 $, o vibracinio lygmens energiją prilyginsime disociacijos energijai $ E_{vibr}=d_e $, gausime sąlygą, kada molekulė gali susidaryti: $ \alpha<2\gamma $.

Kita kraštinė vertė $ x\rightarrow \zeta \mathrm{e}^\alpha $ (tai atitinka $ z\rightarrow -1 $ arba $ r=0 $) įstačius vandenilio molekulės parametrus duoda $ \zeta  \mathrm{e}^\alpha \approx 147 $. Kaip matysime iš skaitinių skaičiavimų, ši vertė yra pakankamai didelė, todėl banginė funkcija $ \zeta \mathrm{e}^\alpha $ taške yra labai artima nuliui: $ S(\zeta \mathrm{e}^\alpha)\approx 0 $. Analizinius sprendinius galėsime rasti, jei šią kraštinę sąlygą pakeisime kita: $ S(\infty )=0 $. Fizikiniu požiūriu ji reiškia, kad svyravimų metu atomai gali ne tik persikloti, bet ir prasilenkti į priešingas puses ($ z=-\infty $). Be to, prasilenkus atomų atostūmį pakeičia tokio pačio dydžio trauka taip, kad esant neigiamoms $ z $ reikšmėms potencialas vis didėja eksponentiškai. Ši, fizikos požiūriu nepagrįsta, prielaida mums leidžia rasti tikslius analizinius sprendinius. Be abejo, baigtiniame $ \zeta \mathrm{e}^\alpha $ taške analizinis sprendinys bus labai artimas, tačiau nelygus nuliui, kaip ir numatėme esant baigtiniam, bet dideliam potencialui.

Kad galėtume spręsti apie būsenos tikimybę, banginę funkciją reikia normuoti. Gauti Morses potencialo banginės funkcijos normavimo daugiklio bendrąją išraišką gana painu. Tačiau, kaip minėjome, jei tašką $ \zeta \mathrm{e}^\alpha $ pakeisime begalybe, konkrečiu kvantiniu skaičiumi $ n $ apibūdinamos būsenos banginės funkcijos daugiklį analiziškai apskaičiuosime tokiu algoritmu:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{normavimoDaugiklis}[n\_\mathrm{Integer}]:=\mathrm{normavimoDaugiklis}[n]\\&&=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{Integrate}[\Bigl(\mathrm{e}^{-x/2} x^{-\frac{1}{2}-n+(\gamma /\alpha )} \mathrm{LaguerreL}[n,-2 n+\frac{2 \gamma }{\alpha} -1,x]\Bigr)^2,\{x,0,\infty \},\mathrm{Assumptions}\to \mathrm{Re}[\frac{\gamma }{\alpha }]>n]}}\end{eqnarray*}

Paėmę, pavyzdžiui, $ n=1 $, matome, kad normavimo daugiklį galima išreikšti $ \Gamma $ funcijomis. Kuo didesnis $ n $, tuo daugiklių išraiškos sudėtingesnės.

\boldmath$\mathrm{normavimoDaugiklis}[$\boldmath$]$

  

Atkreipkite dėmesį, kad grynąją funkciją \boldmath$\mathrm{normavimoDaugiklis}[~]$ priskiriame ir uždelstuoju ir paprastu priskyrimo operatoriais. Tai dinaminio programavimo bruožas. Taip apipavidalinus kiekviena apskaičiuojama funkcijos reikšmė yra įsimenama, todėl paprašius jos dar kartą, programa iš naujo funkcijos neskaičiuoja, o pasinaudoja jau kartą apskaičiuota verte. Todėl normuotoje funkcijoje

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{\Psi oscAnh}[n\_,x\_]:=\mathrm{e}^{-x/2} x^{-n+\frac{\gamma }{\alpha }-\frac{1}{2}} *\mathrm{LaguerreL}[n,-2 n+\frac{2 \gamma }{\alpha}-1,x]*\mathrm{normavimoDaugiklis}[n]/.\alpha \gamma Parametrai\end{eqnarray*}

kiekvieną kartą kreipiantis į \mathbold$\mathrm{normavimoDaugiklis}[n]$ jo nereikės kas kartą perskaičiuoti. Dabar, kai viską žinome, nesunku apskaičiuoti tikimybę aptikti osciliatorių bet kurioje energinėje būsenoje. Nubraižykime, pavyzdžiui, antros būsenos banginę funkciją.
\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\mathrm{\{\Psi oscAnh}[\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$n_1$},x]\}/.H2Parametrai],\{x,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$x_1$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$x_2$}\},\\&&AxesLabel\to \{x,\Psi [x]\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$parin\smash{kt}ys$}]\end{eqnarray*}

\boldmath$n_1$=
\boldmath$x_1$=
\boldmath$x_2$=
\boldmath$parinktys$=

  

Jei taške $ x=\zeta \mathrm{e}^\alpha\approx 147 $ (priminsime — tai atitinka koordinačių pradžią) apskaičiuotume skaitinę funkcijos vertę, gautume, kad net ir priešpaskutinei sužadintai būsenai $ n=16 $ ji tebėra artima nuliui.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{\Psi oscAnh}[\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$n$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$x$}]/.H2Parametrai\end{eqnarray*}

Būsenos numeris \boldmath$n=$
Funkcijos vertė taške \boldmath$x=$

  

Mathematica šią vertę skaičiuoja ilgai, nes reikia analiziškai apskaičiuoti normavimo daugiklio integralą, todėl interaktyvioje versijoje šioje vietoje mes naudojame iš anksto apskaičiuotų analizinių rezultatų lentelę.

Skaitinis sprendimas, kai žinomos energijos

Kaip matėme, Morses potencialo atveju kvantavimo sąlygai gauti turėjome pareikalauti, kad vibracinė banginė funkcija, užrašyta kintamaisiais $ x $, būtų lygi nuliui, kai molekulės atomai yra be galo toli vienas nuo kito. Norėdami turėti analizinę normavimo formulę ir analizinius sprendinius, vandenilio atomams leidome ,,persikloti'' ir net prasilenkti, nors tokia tikimybė yra be galo maža. Skaitiniame sprendinyje, kaip ir harmoninio osciliatoriaus uždavinyje, banginės funkcijos vertę užduosime tik viename taške, o antrą kraštinę sąlygą pakeisime banginės funkcijos normavimo sąlyga

\[ u(\xi )=\int _{-\infty }^\xi |\psi (z)|^2 \, \mathrm{d} z,\quad u(\infty )=1.\tag{(36)} \]
Kadangi tikrines energijas žinome tiksliai, pakanka skaitiškai suintegruoti pradinę lygtį
\[ \frac{\mathrm{d}^2 \psi (z)}{\mathrm{d} z^2}+\bigl(-\beta^2 +2 \gamma^2 \mathrm{e}^{-\alpha z}- \gamma^2 \mathrm{e}^{-2\alpha z}\bigr) \psi (z)=0 \]
pagal kintamąjį $ z $. Priminsime, kad reikalingas tikrines energijų vertes rasime, jei įstatysime kvantuotas $ \beta^2=-\frac{2 \mu \varepsilon r_0^2}{\hbar^2} $ parametro vertes ir prisiminsime, kad $ \varepsilon =E_{vibr}-d_e $.
\boldmath\begin{eqnarray*}&&energija=\mathrm{Flatten}[\mathrm{Solve}[\{\beta ^2==-\frac{2 \mu  \varepsilon  r0^2}{\hbar ^2}/.\beta \to \gamma -\frac{1}{2} \alpha  (2 n+1),\varepsilon ==Evibr-d_e\},\{Evibr,\varepsilon \}]]\end{eqnarray*}

Įstatę gautas išraiškas į diferencialinę lygtį, paėmę $ n=5 $ ir pasinaudoję vandenilio molekulės parametrais, turėsime tokią diferencialinę lygtį:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&lygtisN=\psi ^{\prime\prime}[z]+\bigl(-\beta ^2-\gamma ^2 \mathrm{e}^{-2 \alpha  z}+2 e^{-\alpha  z} \gamma ^2\bigr) \psi [z]==0/.tikrinisSarysis/.\alpha \gamma Parametrai/.H2Parametrai/.n\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$n_0$}\end{eqnarray*}

\boldmath$n_0$=

  

Integruosime Runges ir Kuttos metodu nuo \boldmath$zmax=1{,}7$ iki \boldmath$zmin=0{,}8$. Kadangi funkcijos gęsta labai sparčiai, abiejų ,,begalybių'' \boldmath$zmax$ ir \boldmath$zmin$ vertės paimtos mažos. Kartu su Schrödingerio lygtimi integruosime ir normavimo integralą (36) Pirmąją $ \psi  $ išvestinę \boldmath$kampas$, kaip ir anksčiau, parinksime šaknų paieškos komanda \boldmath$\mathrm{FindRoot}[\ ]$ taip, kad normavimo integralas keistųsi nuo nulio iki vieneto.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{anharmoninioSprendinioLygtis}[kampas\_?\mathrm{NumericQ}]:=\Bigl(u[\xi ]\mathrm{/.}\mathrm{First}\Bigl[sprendinys1=\mathrm{NDSolve}\bigl[lygtisN,\\&&u^\prime [z ]==\psi [z ]^2,\psi [\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$zmin$}]==0,\psi ^\prime [\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$zmin$}]==kampas,u[\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$zmin$}]==0\},\{\psi [z ],u[\xi ]\},\{z ,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$zmin$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\smash{z}max$}\}\bigr]\Bigr]\mathrm{/.}z \to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\smash{z}max$}\Bigr)\\&&teisingasKampas=\mathrm{FindRoot}\Bigl[\mathrm{anharmoninioSprendinioLygtis}[kampas]==1,\{kampas,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$k_1$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$k_2$}\},\mathrm{MaxIterations}\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$kiekis$}\Bigr]\end{eqnarray*}
Integravimo rėžiai: nuo \boldmath$zmin$= iki \boldmath$zmax$=
Tikro kampo paieškos intervalas: nuo \boldmath$k_1$= iki \boldmath$k_2$=
Kiek daugiausia iteracijų naudoti sprendinio paieškai: \boldmath$kiekis$=

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Show}\Bigl[\mathrm{GraphicsArray}\bigl[\bigl\{\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\psi [z ]/.sprendinys1],\{z ,zmin,zmax\},\mathrm{AxesLabel}\to \{z ,\psi \},\mathrm{DisplayFunction}\to \mathrm{Identity}],\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[u[z ]/.sprendinys1],\{z ,zmin,zmax\},\mathrm{AxesLabel}\to \{z ,u\},\\&&\mathrm{DisplayFunction}\to \mathrm{Identity}]\bigr\}\bigr],\mathrm{DisplayFunction}\to  \$\mathrm{DisplayFunction},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$parin\smash{kty}s$}\Bigr]\end{eqnarray*}

Vaizdavimo parinktys: \boldmath$parinktys$=

  

Matome, kad dabar banginė funkcija nulio atžvilgiu yra visiškai nesimetriška: didelės teigiamos koordinatės $ z $ vertės yra labiau tikėtinos: tikimybė molekulei išsitempti yra didesnė negu susitraukti. Atkreipkite dėmesį, kad taške $ z=-1 $ (kai molekulių branduoliai persikloja) $ \psi  $ yra labai artima nuliui. Kad skaitiniais metodais būtų galima sėkmingai integruoti, \boldmath$zmin$ paėmėme šiek tiek didesnį už $ -1 $. Aišku, galima integruoti ir atvirkščiai (nuo \boldmath$zmax$ iki \boldmath$zmin$), tačiau tada turime imti \boldmath$u(zmax)=1$ ir, kaip matyti iš funkcijos $ u(z) $ pavidalo, pradinę išvestinę \boldmath$u^\prime(zmax)$ laikyti neigiama: integruojant priešinga $ x $ ašies kryptimi normavimo integralas mažėja iki nulio.

Pabaigai anharmoninio osciliatoriaus energijas palyginsime su harmoninio osciliatoriaus energijomis. Perrašę anharmoninio osciliatoriaus energiją su priešingu ženklu

\boldmath\begin{eqnarray*}&&energAnh=Evibr/.energija[[1]]\end{eqnarray*}

ir įstatę $ \alpha $ ir $ \gamma $ parametrų reikšmes

\boldmath\begin{eqnarray*}&&energAnh\alpha\gamma=\mathrm{PowerExpand}[\mathrm{Expand}[energAnh/.\{\alpha \to a*r0,\gamma \to \sqrt{\frac{2 \mu *d_e*r0^2}{\hbar ^2}}\}]]\end{eqnarray*}

bei įvedę du naujus pažymėjimus $ \omega_\ell=\sqrt{2 d_e / \mu} $ ir $ x_\ell =\frac{\omega_\ell \hbar}{4 d_e} $

\boldmath\begin{eqnarray*}&&energAnh\alpha\gamma{}Coll=\mathrm{PowerExpand}[energAnh\alpha\gamma//.\{a\to \omega _{\ell } \sqrt{\frac{\mu }{2 d_e}},d_e\to \frac{\omega _{\ell } \hbar }{4 x_{\ell }}\}]\end{eqnarray*}

o taip pat tinkamai sugrupavę narius, gauname tokią anharmoninio osciliatoriaus energijos išraišką:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Collect}[energAnh\alpha\gamma{}Coll,x_\ell,\mathrm{Factor}]\end{eqnarray*}

Didėjant disociacijos energijai $ d_e \rightarrow \infty  $ gauname harmoninio osciliatoriaus energijas. Taigi pirmasis narys aprašo harmoninius, o antrasis — anharmoninius sistemos svyravimus.

Literatūra

[1].  A. F. Nikiforov, V. B. Uvarov, "Specialnye funkcii matematicheskoi fiziki", Nauka, Moskva (1978), 320p.

[2].  A. Bolotinas, A. Raudeliūnas, "Specialiųjų funkcijų taikymas kvantinėje mechanikoje", Vilnius, 1988, 75p.

[3]. M. Petkovšek, H.S. Wilf, D. Zeilberg "A=B", 2-th edition, A K Peters Ltd., (1997).
yra interneto leidimas:  http://www.cis.upenn.edu/~wilf .

[4]. W. H. Press, S. A. Teukolsky. W. T. Vetterling, B. P. Flannery, "Numerical Recipes in Fortran", Cambridge University Press,  1992, 17 skyrius

[5]. C. C. Marston, G. G. Balint-Kurti, "The Fourier grid Hamiltonian method for bound state eigenvalues and eigenfunctions", J.Chem.Phys. Vol. 91 No. 6, 1989, p. 3571-3576

[6]. P. M. Morse, "Diatomic molecules according to the wave mechanics. II.~Vibrational levels", Phys. Rev. 34, 1929, p. 57

[7]. C. L. Pekeris,"The rotational-vibrational coupling in diatomic molecules", Phys. Rev. 45, 1934, p. 98

[8]. A.P.Jucys, A.A.Banzaitis, "Judėjimo kiekio momento teorija kvantinėje mechanikoje", Vilnius, Mintis, 1965.

[9]. D.A.Varshalovich, A.H.Moskalev, V.K.Khersonskii, "Kvantovaya teoriya uglovogo momenta", Nauka, 1975

[10]. S. Flugge, "Practical Quantum Mechanics I", Springer-Verlag, 1971
    yra rusiškas vertimas: Z. Fliugge, "Zadachi po kvantovoi mechanike", tom I, Moskva, 1974

spausdinti