MOKSLASplius.lt

Kvantinis šulinys

Nagrinėsime elektrono judėjimą stačiakampėje potencinėje duobėje — kvantiniame šulinyje. Tokio pavidalo potencialas susidaro puslaidininkiniuose nanodariniuose, jei, pavyzdžiui, tarp dviejų palyginti storų AlAs sluoksnių užaugintume nepaprastai ploną, maždaug dešimties nanometrų storio, GaAs sluoksnį. Tada statmena darinio sluoksniams kryptimi laidumo juostos potencialas turės vienmačio šulinio profilį, o statmenai sluoksniams judantis elektronas galės įgyti tik tam tikras, kvantuotas, energijos vertes. Judėjimas išilgai sluoksnių nėra trikdomas, todėl taip judančio elektrono energija gali keistis tolydžiai. Šiame skyriuje, pasinaudoję Schrödingerio lygtimi, rasime elektrono diskretinės energijos vertes (spektrą) bei bangines funkcijas vienmačiame kvantiniame šulinyje.

Tikrinės energijos ir banginės funkcijos

Nubraižysime $ V_0 $ gylio ir $ 2a $ pločio vienmatį kvantinį šulinį.

Klaida

Koordinačių pradžią $ x=0 $ sutapatinsime su šulinio viduriu. Patalpintos tokiame šulinyje dalelės hamiltonianas yra labai paprastas:

\[ H=\frac{\hbar}{2 m}\frac{\mathrm{d}^2 \psi}{\mathrm{d} x^2}+V(x).\tag{1} \]
Ieškosime dalelės banginių funkcijų $ \psi_n(x) $ ir jas atitinkančių tikrinių energijų verčių $ \varepsilon_n $. Mus domins tik lokalizuotos erdvėje būsenos, kurias atitiks neigiama diskretinė energija $ \varepsilon_n $:
\[ H \psi _n (x)=\varepsilon_n \psi_n (x).\tag{2} \]
Su tokiomis būsenomis jau buvome susidūrę kvantinio osciliatoriaus eksperimente, todėl čia tik trumpai priminsime tokių kvantinės mechanikos uždavinių sprendimo kelią. Kaip žinia, kvantinės sistemos būseną matematiškai aprašo banginė funkcija, kurios modulio kvadratas nusako tikimybę matuojant rasti elektroną kurioje nors kvantinio šulinio vietoje. Schrödingerio lygties sprendiniai turi tenkinti dvi fizikines sąlygas: jie turi būti tolydūs ir baigtiniai. Be to, pereinant iš vienos srities į kitą, tikimybės srautas turi nesikeisti. Norėtume dar kartą pabrėžti, kad kvantinėje mechanikoje kvantavimą lemia būtent kraštinės sąlygos. Kaip jau matėme kvantinio osciliatoriaus eksperimente, kraštines sąlygas tenkinantis Schrödingerio lygties sprendinys (Sturmo ir Louiville'o sprendinys) egzistuoja ne visada, o tik esant tam tikroms diskretinėms sistemos energijos vertėms. Taigi, uždavinio sprendimo kelias būtų toks. Pirmiausia rasime bendruosius diferencialinės lygties sprendinius atskirose srityse 1, 2 ir 3 (žr piešinį aukščiau). Tada iškart atmesime tolstant nuo šulinio didėjančias bendrųjų sprendinių dalis, nes jos nesuderinamos su fizikinėmis kraštinėmis sąlygomis. Pabaigoje pamėginsime taip parinkti laisvas bendrojo sprendinio konstantas, kad funkcija ir jos išvestinė kaip galima glodžiau pereitų iš vienos srities į kitą. Pamatysime, kad tai padaryti galima ne visada, o tik esant tam tikroms diskretinėms energijos vertėms $ \varepsilon_n $.

Taigi, pirmiausia ieškome bendrųjų diferencialinės lygties sprendinių trijose srityse atskirai — pačiame šulinyje (sritis 2), kur $ V(x)=-V_0 $, ir už šulinio (sritys 1 ir 3), kur $ V(x)=0 $. Kadangi pirmoje ir trečioje srityse potencinė elektrono energija lygi nuliui, Schrödingerio lygtis čia paprasčiausia:

\[ \frac{\mathrm{d}^2 \psi (x)}{d x^2}-\lambda^2 \psi (x)=0 .\tag{3} \]
Formulėje įvesta pastovioji $ \lambda^2 =-2  m  \varepsilon \big/\hbar^2 >0 $ visada teigiama, nes mes sprendžiame uždavinį, kai elektrono pilnutinė energija šulinyje yra neigiama, $ \varepsilon <0 $. Bendrasis Schrödingerio lygties sprendinys pirmoje ir trečioje srityse yra
\begin{alignat}{4}\psi_1 (x)&=&A_1 \mathrm{e}^{\lambda x}+B_1 \mathrm{e}^{-\lambda x},&&\quad\mathrm{kai}\quad  &&-\infty <x&<-a,\tag{4}\\\psi_3 (x)&=&A_3 \mathrm{e}^{\lambda x}+ B_3 \mathrm{e}^{-\lambda x},&&\quad\mathrm{kai}\quad  &&a<x&<\infty .\tag{5} \end{alignat}
Čia $ A_i $ ir $ B_i $ yra konstantos, kurias rasime, sudurdami įvairių sričių sprendinius. Apatinis indeksas pažymi sritį, kurioje galioja sprendinys. Banginių funkcijų dėmenys $ B_1 \mathrm{e}^{-\lambda x} $ ir $ A_3 \mathrm{e}^{\lambda x} $ auga begalybėje, todėl juos atmetame kaip netenkinančius fizikinių reikalavimų. Tada pirmoje ir trečioje srityse banginės funkcijos bus
Klaida

Šulinyje Schrödingerio lygtis turi pavidalą
\[ \frac{\mathrm{d}^2 \psi (x)}{\mathrm{d} x^2}+ k^2 \psi (x)=0,\tag{6} \]
kur $ k^2=2 m (V_0+\varepsilon)\big/\hbar^2 >0 $. Lygtį tenkina paprastas bendrasis sprendinys
\[ \psi_2 (x)=A_2 \cos (k x)+B_2 \sin (k x),\qquad  \mathrm{kai}  -a<x<a\tag{7} \]
Klaida

Laisvas sprendinių konstantas $ A_1 $, $ A_2 $, $ B_2 $ ir $ B_3 $ parinksime taip, kad banginė funkcija ir pirmoji jos išvestinė taškuose $ -a $ ir $ a $ neturėtų trūkių, t.y. pareikalausime, kad

\begin{alignat*}{7}\psi_1 (-a)&=&\psi_2 (-a) &&\quad\mathrm{ir}\quad&&\mathrm{d} \psi_1 (x)/\mathrm{d} x&=&\mathrm{d} \psi_2 (x)/\mathrm{d} x, &&\quad\mathrm{kai}\quad  &&x=&-a,\\\psi_2 (a)&=&\psi_3 (a) &&\quad\mathrm{ir}\quad&&\mathrm{d} \psi_2 (x)/\mathrm{d} x&=&\mathrm{d} \psi_3 (x)/\mathrm{d} x, &&\quad\mathrm{kai}\quad &&x=&a.\end{alignat*}
Pirmoji sąlyga seka iš to, kad tikimybė rasti dalelę gretimuose taškuose negali keistis šuoliškai. Antra vertus, banginės funkcijos išvestinės tolygumas yra susijęs su tikimybės tankio srautu. Vienmačiu atveju tikimybės srautas apibrėžiamas [Banzaitis75] kaip
\[ j=- \frac{\hbar}{2 m \i}\Big(\psi^{*}\frac{\mathrm{d} \psi }{\mathrm{d} x}-\psi\frac{\mathrm{d} \psi^{*}}{\mathrm{d} x}\Big) .\tag{8} \]
Jei norime, kad tikimybės srautas būtų lygus nuliui, t.y., kad elektronų srovė, kurią nusako šis banginės funkcijos gradientas, netekėtų, turime pareikalauti, kad potencialo šuoliuko kairėje ir dešinėje pusėje banginės funkcijos išvestinės būtų lygios. Abu reikalavimus bus patogiau užrašyti, jei įvesime pažymėjimus $ \Psi_{12} $ ir $ \Psi_{23} $:
Klaida

Aptartosios kraštinės sąlygos tuomet gali būti užrašytos keturių algebrinių lygčių pavidalu

Klaida

Tai homogeninė tiesinių lygčių sistema, kurioje kintamųjų yra tiek, kiek ir lygčių. Todėl sistema visada turi trivialų sprendinį: $ A_i=B_i=0 $, kuris, aišku, nėra įdomus. Netrivialaus sprendinio galima tikėtis tik tuo atveju, jei sugebėsime parinkti parametrų $ \lambda  $ ir $ k $ reikšmes taip, kad matricos

Klaida

determinantas taptų lygus nuliui. Determinantą apskaičiuojame komanda \boldmath$\mathrm{Det}[~]$.

Klaida

Charakteringąją lygtį sprendžiame energijos parametro $ \lambda  $ atžvilgiu

Klaida

Iš gauto atsakymo matome, kad norėdami turėti netrivialų sprendinį turime patenkinti tokius sąryšius tarp parametrų $ k $ (bangos skaičius) ir $ \lambda  $ (energija):

\[ \lambda =k\, \mathrm{tg} (k a),\qquad  \mathrm{arba}\qquad\lambda =-k\, \mathrm{ctg} (k  a)\tag{9} \]
Kaip matysime, pirmasis sprendinys atitiks simetrines, o antrasis — antisimetrines bangines funkcijas. Šie sprendiniai tuo pačiu apibrėžia energijos kvantavimo sąlygą. Ją gausime į pažymėtus dydžius $ \lambda^2=-2m \varepsilon/\hbar $ ir $ k^2=2 m(V_0+\varepsilon)/\hbar $ įstatę vieną iš sprendinių, tarkime, pirmąjį. Šios trys lygtys visiškai nusako, koks turi būti, pavyzdžiui, parametras $ k $. Tam eliminuojame $ \varepsilon  $ ir $ \lambda  $.
Klaida

Mums reikalinga teigiama šaknis, nes tik ji duoda nedidėjančius begalybėje sprendinius

Klaida

Vietoje parametro $ k $, aišku, būtų buvę vaizdžiau palikti pačią energiją $ \varepsilon $, betarpiškai įeinančią į Schrödingerio lygtį. Tam vietoje $ \varepsilon  $ ir $ \lambda  $ turėtume eliminuoti $ k $ ir $ \lambda  $. Deja, kadangi į kvantavimo sąlygą $ k $ įeina transcedentiškai, tai jo išreikštai eliminuoti nepavyksta. Mūsų pasirinkimas įneša tik tokį skirtumą, kad dalelės energiją matuosime ne $ \varepsilon $, o ekvivalentiniais $ k^2 $, t.y. bangos skaičiaus kvadrato vienetais. Kvantuotas $ k $ vertes gausime išsprendę šią transcedentinę lygtį skaitiškai. Tai atliksime atskirai simetriniams ir antisimetriniams sprendiniams.

Simetrinis sprendinys

Įstatykime pirmąją šaknį $ \lambda =k \mathop{tg}(k a) $ į gautas iš kraštinių sąlygų lygtys ir išspręskime jas ieškomų koeficientų $ A_1 $, $ A_2 $, $ B_2 $ ir $ B_3 $ atžvilgiu.

Klaida

Klaida

Iš gauto atsakymo seka, kad patenkinus kvantavimo sąlygas dar lieka vienas laisvai parenkamas koeficientas, per kurį galime išreikšti likusius. Taip ir turi būti, nes norėdami suteikti banginei funkcijai (tiksliau, jos modulio kvadratui) fizikinę prasmę, turime sprendinį tinkamai normuoti. Laisvu parametru pasirinkime $ A_1 $. Būtent dėl šios priežasties sąraše \boldmath$\{A_2,B_2,B_3,A_1\}$ šį koeficientą įrašėme paskutinį. Tada

\[ \left\{\begin{array}{l}    A_2=A_1 \mathrm{e}^{-\lambda a}\big/\cos (k a), \\    B_2=0,  \\    B_3=A_1 .  \end{array}\right.\tag{10} \]
Įstatę $ A_2 $, $ B_2 $ ir $ B_3 $ į pirmines bangines funkcijas gauname
\[ \left\{\begin{array}{l}\psi _1(x)=A_1 \mathrm{e}^{\lambda x},\\\psi _2(x)=A_1 \mathrm{e}^{-\lambda a}\cos(k x)\big/\cos(k a),\\\psi _3(x)=A_1 \mathrm{e}^{-\lambda x}.\end{array}\right.\tag{11} \]
Iš banginių funkcijų, užrašytų atskirose srityse, matyti, kad visa banginė funkcija nesikeičia pakeitus koordinatės $ x $ ženklą, t.y. rastoji funkcija yra simetrinė. Koeficientą $ A_1 $ rasime pareikalavę, kad tikimybė aptikti elektroną visoje $ x $ ašyje būtų lygi vienetui. Šią tikimybę nusako banginės funkcijos modulio kvadrato integralas: $ \int |\psi (x)|^2\,\mathrm{d} x=1 $. Kadangi banginė funkcija trijose $ x $ ašies srityse turi skirtingus pavidalus, reikia skaičiuoti trijų integralų sumą. Norėdami gauti gražų rezultatą, turime integratoriui nurodyti prielaidas ($ \lambda >0,  a>0,  k>0 $) apie mūsų simbolines konstantas. Priešingu atveju gausime atsakymus, naudojančius komandą \boldmath$\mathrm{If}[~]$, kurie signalizuos, pavyzdžiui, kad užrašyti integralai nekonverguoja, jei $ \lambda  $ yra kompleksinis dydis.
Klaida

Prilyginę \boldmath$norma1$ vienetui, randame $ A_1 $.

Klaida

Matome, kad išpildę visas sąlygas dar turime galimybę pasirinkti banginės funkcijos ženklą. Į koeficiento išraišką įeinantį kvantuotą parametrą $ k $ ($ \lambda  $ išsireiškia per $ k $), kaip jau minėjome, rasime skaitiškai išsprendę kvantavimo sąlygos lygtį (žr. \boldmath$kvantavimoSalygaSimetrinePlus$).

Norėdami rasti skaitinius sprendinius, parametrams suteiksime konkrečias vertes. Naudosime atominę vienetų sistemą (av), kurioje trys fundamentalios pastoviosios, elektrono masė ir krūvis bei Plancko pastovioji, prilyginamos vienetui: $ m=\hbar =e=1 $. Šioje sistemoje ilgio vienetas yra Bohro radiusas ($ 0{,}0529 $ nm), o energijos — dviguba vandenilio atomo jonizacijos energija ($ 27{,}21 $ eV). Komanda \boldmath$\mathrm{Plot}[~]$ nubraižę dešinę ir kairę \boldmath$kvantavimoSalygaSimetrinePlus$ lygties pusę, jos sprendinį rasime grafiškai.

Klaida
Klaida
Klaida

Kadangi tangento funkcija yra trūki $ n \pi /2 $ taškuose, o kompleksinės $ k $ šaknys mūsų nedomina, tai dešinės pusės pošaknio reiškinys turi būti teigiamas. Ši sąlyga nusako ir maksimalią galimą $ k $ vertę $ k_{max} $. Taigi, matome, kad esant pasirinktoms šulinio gylio ir pločio vertėms turime tik dvi tikrines energijos vertes $ \varepsilon $, kurioms galime gauti tolydžią banginę funkciją, tenkinančią nurodytas kraštines sąlygas.

Žalia ir raudona kreivės iš tikrųjų kertasi dviejuose taškuose. Vertikali linija atsirado trūkio vietoje, nes Mathematica kreives brėžia neatitraukdama ,,pieštuko'' nuo popieriaus lapo. Į ją nereikia kreipti dėmesio. Skaitinės atitinkamų bangos skaičių vertės yra

Klaida

Turėdami tikrines $ k $ vertes, galime surasti $ \lambda  $ ir $ A_1 $ ir nubraižyti banginių funkcijų grafikus. Mažesnę tikrinę vertę atitinkanti funkcija nekerta $ x $ ašies, didesnę — kerta du kartus. Jei banginė funkcija kerta $ x $ ašį, sakoma, kad funkcija turi mazgą. Mazgų skaičius yra svarbi banginės funkcijos charakteristika: funkciją su mažesniu mazgų skaičiumi visada atitinka mažesnė energija.

Klaida
Klaida

Asimetrinis sprendinys

Pakartosime visus skaičiavimus antrojo kvantavimo sąryšio $ \lambda =-k \mathop{ctg} (k a) $ atveju. Koeficientus $ A_2 $, $ B_2 $, $ B_3 $ vėl išreikšime per koeficientą $ A_1 $:

Klaida

Klaida

Taigi,

\[ \left\{ \begin{array}{l}    A_2=0, \\    B_2=-A_1 \mathrm{e}^{-\lambda a}\big/\sin(k a),  \\    B_3=-A_1 .\end{array}\right. \tag{12} \]
Įstatę $ A_2 $, $ B_2 $ ir $ B_3 $ į pirmines bangines funkcijas, turime
\[ \left\{ \begin{array}{l}\psi_1(x)=-A_1 \mathrm{e}^{\lambda x},\\\psi_2(x)=A_1 \mathrm{e}^{-\lambda a} \sin(k  x)\big/\sin(k a),\\\psi_3(x)=A_1 \mathrm{e}^{-\lambda x}.\end{array}\right.\tag{13} \]
Kaip ir anksčiau, $ A_1 $ rasime iš normavimo sąlygos

Klaida

Klaida

Kadangi sprendžiama lygtis yra labai panaši į anksčiau nagrinėtą, iš karto ieškosime skaitinių $ k $ sprendinių. Jei kyla neaiškumų, skaitytojas gali pakartoti grafinį metodą savarankiškai ir įsitikinti, kad ir dabar egzistuoja dvi šaknys.

Klaida

Klaida
Teisingą banginių funkcijų asimptotiką gausime paėmę neigiamą šaknį
Klaida

Komanda \boldmath$\mathrm{Chop}[~]$ pašalino menamą dalį, atsiradusią dėl skaičiavimo paklaidų. Turėdami tikrines $ k $ reikšmes, galime surasti $ \lambda  $ bei $ A_1 $ ir nubraižyti bangines funkcijas. Mažesnę tikrinę vertę atitinkanti funkcija kerta $ x $ ašį vieną kartą. Antroji funkcija turi tris mazgus, taigi jos energija didžiausia, kaip ir turi būti.

Klaida
Klaida

Pabaigai nubraižysime šulinį, kuriame pažymėsime visus mūsų rastus energijos lygmenis. Šalia jų nubraižysime tuos lygmenis atitinkančias bangines funkcijas. Aišku, kad kitokio gylio ar pločio šuliniui banginių funkcijų skaičius bei tikrinių energijų vertės keisis.

Klaida
Klaida
Klaida

Keisčiausia piešiniuose yra tai, kad banginės funkcijos ,,išlenda'' už potencialo ribų. Tai reiškia, kad baigtinio gylio šulinyje visada yra tikimybė aptikti kvantinę dalelę už jo ribų. Be to, kuo dalelė energingesnė, tuo ši tikimybė didesnė. Klasikinei dalelei, kaip gerai žinome, šulinio sienelės yra neįveikiamas barjeras. Vadovėliuose dažniausiai sprendžiamas kvantinės dalelės, esančios be galo giliame šulinyje, uždavinys. Kai šulinys be galo gilus, kvantinė dalelė ,,tuneliuoti'' pro potencialo barjerą jau negali. Tokiame uždavinyje banginę funkciją ties begaliniu barjeru prilyginame nuliui. Uždavinį su begaliniais barjerais galima išspręsti analiziškai iki galo.

Kaip buvo minėta įžangoje, kvantinį šulinį galima gauti, auginant vienas ant kito nepaprastai plonus puslaidininkinius sluoksnius. Kadangi toks sluoksis yra sudarytas maždaug iš dvidešimties atominių sluoksnių, jų gardelės turi būti suderintos, kad medžiagų sandūroje neatsirastų didelių mechaninių įtempimų. Atskirų sluoksnių medžiagos specialiais, pavyzdžiui, molekulinio pluoštelio metodais auginamos viena ant kitos taip, kad medžiagos nesusimaišytų ir potencialas neišsiplautų. Šiuolaikinė puslaidininkių technologija leidžia keisti sluoksnio cheminę sudėtį, jo storį bei sluoksnį sudarančių medžiagų gradientus. Be to, atskiras dalis galima legiruoti ir tokiu būdu gauti $ n $ ar $ p $ tipo laidžius sluoksnius. Savo ruožtu, visa tai leidžia sudaryti įvairiausio pavidalo potencialus, kuriuose elektronų banginės funkcijos yra kvantuotos [Ridley97]. Elektronika, kurios veikimas pagrįstas vienaip ar kitaip kvantuotomis banginėmis funkcijomis nanometrinio storio dariniuose, yra vadinama nanoelektronika.

Literatūra

A. Bandzaitis ir D. Grabauskas, "Kvantin\:0117 mechanika", Mokslas, Vilnius, 1975

B. K. Ridley, "Electrons and Phonons in Semiconductor Multilayers", Cambridge, University Press (1997)

spausdinti