MOKSLASplius.lt

Pereinamieji procesai elektrinėse grandinėse

Sudarytos iš varžų, talpumų ir induktyvumų elektrinės grandinės aprašomos tiesinėmis integrodiferencialinėmis lygtimis. Tokių lygčių sprendimo metodai yra gerai žinomi, tačiau konkrečios lygties integravimas reikalauja daug darbo. Paprasčiausia tokias lygtis spręsti Laplace'o transformacijos metodu, dar vadinamu operaciniu skaičiavimu, kurį pasiūlė anglų fizikas Heavyside'as. Operacinis skaičiavimas plačiai prigijo fizikoje, inžinerijoje ir daugelyje kitų sričių, kur reikia modeliuoti trikdžio sukelto pereinamojo proceso priklausomybę nuo laiko. Lyginant su kitais metodais, operacinis skaičiavimas turi du privalumus. Pirma, Laplace'o transformacijoje iš karto atsižvelgiama į uždavinio pradines sąlygas. Dėl šios priežasties sprendimo kelias yra žingsniu trumpesnis, nes nereikia ieškoti bendrojo sprendinio ir laisvųjų konstantų. Antra, transformaciją galima taikyti ir trūkioms funkcijoms. Daugelis kitų analizinių metodų neveikia, jei lygtyse tokios funkcijos pasirodo. Pastarasis bruožas ypač patrauklus elektrinių grandinių analizėje, nes čia dažnai reikia rasti grandinės atsaką į laiptelio formos signalą. Šiame skyriuje pirmiausia panagrinėsime Laplace'o transformacijos savybes Mathematica terpėje. Po to transformaciją pritaikysime pereinamųjų procesų, vykstančių grandinėse, sudarytose iš varžos, kondensatoriaus ir induktyvumo, analizei.

Laplace'o transformacija. Heavyside'o ir Diraco funkcijos

Operacinio skaičiavimo esmė yra tokia [Doetsch67]. Pradžioje užrašome nagrinėjamos schemos (tiesinę) integrodiferencialinę lygtį ar lygčių sistemą. Laplace`o transformacija integrodiferencialinės lygtys pakeičiamos algebrinėmis atvaizdžių lygtimis, kurias daug lengviau išspręsti ieškomųjų funkcijų atvaizdžių atžvilgiu. Galutinį atsakymą gauname rastiems sprendinių atvaizdžiams pritaikę atvirkštinę Laplace`o transformaciją.

Priminsime, kad Laplace'o transformacija

\[ \varphi (p)=\int _0^\infty f(t) {\mathrm{e}^{-p t}}\, \mathrm{d} t\tag{1} \]
funkciją $ f(t) $, kuri vadinama originalu, perveda į kitą funkciją $ \varphi (p) $, vadinamą atvaizdžiu. Atvaizdžio funkcijoje $ \varphi (p) $ nepriklausomas argumentas jau ne laikas $ t $, o transformacijoje įvestas parametras $ p $.

Atvirkštinė Laplace'o transformacija

\[ f(t)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int _{\sigma-\mathrm{i}\infty}^{\sigma+\mathrm{i}\infty}\varphi (p)\mathrm{e}^{p\, t}\,\mathrm{d} p\tag{2} \]
iš funkcijos $ \varphi (p) $ atstato pradinę funkciją $ f(t) $. Čia $ \mathrm{i} =\sqrt{-1} $ — menamasis vienetas, o $ \sigma  $ yra mažas teigiamas skaičius, nusakantis teisingą integravimo kelią (tiesę) kompleksinėje plokštumoje.

Su Mathematica Laplace'o atvaizdis ieškomas komanda \boldmath$\mathrm{LaplaceTransform}[f[t], t, p]$. Pavyzdžiui, sinuso funkcijos $ \sin(\omega t) $, kur $ \omega  $ — ciklinis dažnis, o $ t $ — laikas, Laplace'o atvaizdis $ \omega /(p^2+\omega^2) $ randamas tokiu būdu

\boldmath$sinL=\mathrm{LaplaceTransform}[$\boldmath$,t,p,Assumptions\to$ \boldmath$]$

  

Mathematica 4.0 ir senesnėse versijose Laplace`o transformacija apibrėžta pakete LaplaceTransform.m.

Į originalo funkciją grįžtame atvirkštine transformacija \boldmath$\mathrm{InverseLaplaceTransform}[\varphi[p], p, t]$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{InverseLaplaceTransform}[sinL,p,t]\end{eqnarray*}

Pasinaudojant interaktyvia ląstele viršuje, skaitytojui savarankiškai siūlome apskaičiuoti funkcijų $ \frac{1}{\sqrt{\pi*t}} $ ir $ \mathrm{e}^{(-t/\tau)} \sin (\omega t) $ Laplaso transformaciją . Primename, kad šaknį Mathematica sistemoje atitinka \boldmath$\mathrm{Sqrt}[~]$ komanda, $ \pi $ įvedamas kaip \boldmath$Pi$, o eksponentės funkcija kaip \boldmath$\mathrm{Exp}[~]$ arba \boldmath$E\,\hat{}\,(laipsnis)$. Likusioms graikiškoms raidėms paprasčiau pasirinkti lotyniškus atitikmenis.

Komanda-programa \boldmath$\mathrm{LaplaceTransform}[~]$ naudoja visas transformacijos taisykles. Ji taip pat sugeba paversti Laplace'o atvaizdžiais funkcijų išvestines ir integralus. To visiškai pakanka, norint tiesines integrodiferencialines lygtis paversti algebrinėmis. Taigi, komanda \boldmath$\mathrm{LaplaceTransform}[~]$ išsprendžia daugybę techninio pobūdžio sunkumų, su kuriais tenka susidurti sprendžiant praktinius uždavinius. Todėl pagrindinis dėmesys gali būti sutelktas į reiškinio diferencialinės, integralinės, o bendriausiu atveju — integrodiferencialinės lygties ar lygčių sistemos, aprašančios tiriamą fizikinį reiškinį, sudarymą, o ne į jos sprendimo detales.

Laplace'o transformaciją galima taikyti ne tik tolydžioms, bet ir baigtinį trūkio taškų skaičių turinčioms funkcijoms. Tokia yra vienetinė funkcija $ h(t) $, kitaip dar vadinama Heavyside'o funkcija. Mathematica sistemoje ji žinoma \boldmath$\mathrm{UnitStep}[~]$ (vienetinio laiptelio) pavadinimu. Vizualizuokime \boldmath$\mathrm{UnitStep}[~]$ funkciją.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{UnitStep}[t],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\},\mathrm{AxesLabel}\to\{"t","Laiptelis"\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Operaciniame skaičiavime dažnai tenka susidurti su dar viena ypatinga funkcija — singuliariąja Diraco delta funkcija $ \delta (t) $. Ji buvo pradėta naudoti fizikoje ir pavadinta funkciją įvedusio fiziko vardu. Mathematica sistemoje $ \delta (t) $ žymima \boldmath$\mathrm{DiracDelta}[~]$. Griežtai kalbant, ši funkcija yra visai ne funkcija, o funkcionalas, t.y. funkcija, kuri įgyja prasmę tik po integralo ženklu (žr., pavyzdžiui, [Gieres2000]). Matematikai ilgokai Diraco funkciją ignoravo, o jos vaizdų apibrėžimą (pateikiamą žemiau) visai pagrįstai laikė matematiškai nekorektišku. Tiesa, vėliau tai juos paskatino išvystyti matematiškai griežtą tokių funkcionalų teoriją, kuri dabar yra žinoma ,,apibendrintųjų funkcijų'' vardu. \boldmath$\mathrm{DiracDelta}[~]$ ypatinga tuo, kad visoje realių skaičių ašyje ji yra lygi nuliui, išskyrus vienintelį tašką $ t=0 $, kur ji lygi begalybei, tačiau ne bet kokiai, o tokio ,,didumo'', kad jos integralas prilygsta vienetui, jei tik ,,begalinis taškas'' pakliūva į integravimo sritį

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\{\int_{-\infty }^{\infty } \mathrm{DiracDelta}[t] \,     \dd t,\int_{0.00000001}^{\infty } \mathrm{DiracDelta}[t] \,     \dd t,\int_{-\infty }^{-0.00000001} \mathrm{DiracDelta}[t] \, \dd t\}\end{eqnarray*}

Mathematica atsižvelgia ir į kitas šios ypatingos funkcijos savybes. Todėl komanda \boldmath$\mathrm{DiracDelta}[~]$ jums bus gera pagalbininkė, kol susipažinsite su kitomis Diraco ,,funkcijos'' savybėmis. Pavyzdžiui, Diraco ir bet kokios ,,normalios'' funkcijos sandaugos integralas, kaip gerai žinoma, yra lygus ,,normalios'' funkcijos vertei taške, kuriame Diraco funkcija yra begalinė: $ \delta (x)=\infty $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\int_{-\infty }^{\infty } \mathrm{DiracDelta}[x-1] f[x]\, \dd x\end{eqnarray*}

Štai dar keletas sudėtingesnių integralų su ,,normalia'' $ f(x) $ ir Diraco delta funkcija.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\{\int_{-\infty }^{\infty } \mathrm{DiracDelta}[x^2-4] f[x]\, \dd x,\int_{-\infty }^{\infty } \mathrm{DiracDelta}[\mathrm{Cos}[x]] f[x]\, \dd x \}\end{eqnarray*}

\boldmath$\mathrm{Integrate}[\mathrm{DiracDelta}[$\boldmath$]*f[x]\, \{x,-\infty,\infty\},\mathrm{Assumptions}\to$ \boldmath$]$

  

Skaičiuodama Laplace'o transformaciją, Mathematica taiko ir daugiau taisyklių, pavyzdžiui, postūmio teoremą: padauginus funkcijos Laplace'o atvaizdį iš eksponentinio daugiklio $ \mathrm{e}^{-a p} $, originalo funkcijos argumentas pastumiamas $ a $ dydžiu. Tuo įsitikinsime, paėmę anksčiau apskaičiuotos sinuso funkcijos Laplace'o atvaizdį.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{InverseLaplaceTransform}[\frac{\mathrm{E}^{-a p} \omega }{p^2+\omega ^2},p,t]\end{eqnarray*}

Inžinerijoje, fizikoje, biologijoje, geologijoje ir daugelyje kitų sričių Laplace'o transformacija yra labai patogus metodas sistemų, kurias tam tikru laiko momentu paveikė trikdis, pereinamiesiems procesams modeliuoti. Trikdžiu gali būti įtampos šuoliukas elektriniame kabelyje, virpamosios sistemos staigus sužadinimas smūgiu, sukimo momento pasikeitimas krumpliaračių sistemoje, grįžtamo ryšio įjungimas ir t.t. Žemiau tirsime pereinamuosius procesus elektrinėse grandinėlėse, sudarytose iš talpumo ir varžos arba iš induktyvumo ir varžos. Įgūdžius nesunkiai pritaikysite ir modeliuodami sudėtingesnes grandinėles.

CR grandinėlės atsakas į įtampos impulsą ir įtampos pjūklą

Nubraižykim RC grandinėlę, kuri susideda iš nuosekliai sujungtų varžos R ir kondensatoriaus C.

Vaizdavimo parinktys:

  

Rasime šios grandinėlės atsako $ U_{out}(t) $ priklausomybę nuo laiko po to, kai $ t=0 $ momentu tarp grandinėles įėjimo gnybtų $ 1-1' $ buvo sukurtas $ T_1 $ trukmės ir $ U $ amplitudės stačiakampis įtampos impulsas: $ U_{in}=U (h(t)-h(t-T_1)) $. Įtampos impulsą išreiškėme dviejų laike pastumtų laiptelio funkcijų skirtumu. $ t\geq 0 $ laiko momentais tarp kondensatoriaus ir varžos gnybtų įtampos kitimas nusakomas formulėmis [Gonorovskis61]

\[ \bigg\{ {\arraycolsep=0.6\arraycolsep\begin{array}{lcl}    U_C&=&\frac{1}{C}\int _0^t \scI (t')\,\mathrm{d} t' ,\\    U_{out}&=&\scI (t)\,R .\end{array}}\tag{3} \]
Kadangi įtampa $ U_{in} $ įėjimo gnybtuose lygi kondensatoriaus ir varžos įtampų sumai $ U_{in}=U_C+U_{out} $, o kondensatoriaus ir varžos įtampa priklauso nuo momentinės srovės vertės $ \scI (t) $, galime parašyti tokią integralinę lygtį srovei $ \scI (t) $ grandinėje rasti: $ U(h(t)-h(t-T_1))=\frac{1}{C} \int_0^t \scI (t')\,\mathrm{d} t'+\scI (t)R $. Lygtį pavadinsime \boldmath$CRgrandine$. Kadangi raidė \boldmath$I$ žymi menamąjį vienetą, srovę žymėsime raide $ \scI  $. Ją galite Mathematica sistemoje galite įvesti tarp klavišo Esc paspaudimų surinkę scI arba pilną simbolio vardą \boldmath$$\boldsymbol{\backslash}[\mathrm{ScriptCapitalI}]$.
\boldmath\begin{eqnarray*}&&CRgrandine=  U \bigl(\mathrm{UnitStep}[t]-\mathrm{UnitStep}[t-T1]\bigr)==\frac{1}{C}\int_0^t \mathcal{I}[t1] \, \mathrm{d} t1+ R \mathcal{I}[t]\end{eqnarray*}

Gautą integralinę lygtį spręsime Laplace'o transformacijos metodu

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{LaplaceTransform}[CRgrandine,t,p,\mathrm{Assumptions}\to T1 > 0]\end{eqnarray*}

\boldmath$\mathrm{LaplaceTransform}[\scI [t],\,t,\,p,\mathrm{Assumptions}\to T1 > 0]$ narys išvedimo ląstelėje yra ieškomosios srovės Laplace'o atvaizdis. Mathematica jį užrašė taip, tartum mes būtume paprašę surasti nežinomos funkcijos $ \scI(t) $ Laplace'o atvaizdį. Priminsime, kad Mathematica neturi specialaus mechanizmo, kuris jai nurodytų, kada baigti skaičiavimus. Skaičiavimai yra vykdomi tol, kol yra ką skaičiuoti. Jei kur nors programoje būtume apibrėžę funkciją $ \scI(t) $, pavyzdžiui, \boldmath$\scI [t]:=t^3$, Mathematica skaičiavimus būtų pratęsusi. Kad užrašas \boldmath$\mathrm{LaplaceTransform}[\scI[t],\,t,\,p,\mathrm{Assumptions}\to T1 > 0]$ išvedimo ląstelėje būtų trumpesnis, jį pakeisime identifikatoriumi \boldmath$\scI [p]$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&CRLap=\mathrm{LaplaceTransform}[CRgrandine,t,p,\mathrm{Assumptions}\to T1>0]/.\mathrm{LaplaceTransform}[\mathcal{I}[t],\\&&t,p,\mathrm{Assumptions}\to T1>0]\to \mathcal{I}[p]\end{eqnarray*}

Šią lygtį sprendžiame srovės atvaizdžio \boldmath$\scI}[p]$ atžvilgiu. Rezultatą supaprastiname, pasinaudoję \boldmath$\mathrm{Simplify}[~]$ ir \boldmath$\mathrm{Flatten}[~]$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&sol=\mathrm{Flatten}[\mathrm{Simplify}[\mathrm{Solve}[CRLap,\mathcal{I}[p]]]]\end{eqnarray*}

Pritaikę atvirkštinę transformaciją, iš gauto atvaizdžio rasime srovės originalą \boldmath$\scI [t]$, kurį pažymėsime identifikatoriumi \boldmath$Iout$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&Iout=\mathrm{InverseLaplaceTransform}[\mathcal{I}[p]/.sol,p,t]\end{eqnarray*}

Rastosios srovės ir varžos $ R $ sandauga duos momentinės išėjimo įtampos priklausomybę nuo laiko.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&UoutR=Iout*R\end{eqnarray*}

Belieka parinkti konkrečias parametrų vertes ir pažiūrėti, kaip keičiasi pereinamoji įtampa išėjime, esant įvairiems apkrovos varžos $ R $ dydžiams: $ R=5 $, $ 100 $ ir $ 10000\ \Omega $.

\boldmath$values=\bigl\{$
\boldmath$U$\boldmath$\to$,įtampos vertė
\boldmath$T1$\boldmath$\to$,Impulso trukmė
\boldmath$C$\boldmath$\to$Talpumo vertė
\boldmath$\bigr\}$

\boldmath$R$verčių sarašas \boldmath$Rsar=$

  

Gautas pereinamosios išėjimo įtampos kreives

\boldmath\begin{eqnarray*}&&UoutRnum=UoutR/.values;\\&&signalas=U*(\mathrm{UnitStep}[t]-\mathrm{UnitStep}[t-T1])/.values;\\&&outputR=(UoutRnum/.R\to #)\&/@Rsar\end{eqnarray*}

bei įtampos signalą pavaizduosime viename grafike.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{signalas, outputR\}],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\},    \mathrm{AxesLabel}\to \{t(s),U_{out}(V)\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Matyti, kad esant didelei apkrovos varžai (trumpi stori brūkšneliai), atsakas sutampa su įėjimo įtampos forma (raudonas plonas laiptelis ekrane). Kitu kraštutiniu atveju, kai apkrovos varža labai maža (ištisinė stora linija), atsakas pasidarė panašus į įėjimo įtampos išvestinės pagal laiką kreivę. Dėl šios priežasties CR grandinėlė radiotechnikoje yra vadinama diferencijuojančia ir taikoma analoginių elektrinių signalų diferencijavime.

Dabar pažiūrėkime, kaip keičiasi grandinės atsakas, kai įėjime turime pjūklo pavidalo įtampą: $ t=0 $ laiko momentu įtampa $ U_{in} $ pradeda didėti proporcingai laikui. Sprendimo kelias lygiai toks pat, tik įėjimo įtampa dabar yra $ U_{in}=U\,t\,h(t) $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&CRpjuklas=  U*t*\mathrm{UnitStep}[t]==\frac{1}{C}\int_0^t \mathcal{I}[t1] \, \mathrm{d} t1+ R \mathcal{I}[t]\end{eqnarray*}

\boldmath\begin{eqnarray*}&&CRpjuklasLap=\mathrm{LaplaceTransform}[CRpjuklas,t,p]/.\mathrm{LaplaceTransform}[\mathcal{I}[t],t,p]\to \mathcal{I}[p]\end{eqnarray*}

Išsprendę gautą lygtį Laplace`o vaizdo \boldmath$\scI [p]$ atžvilgiu ir atlikę atvirkštinę transformaciją, turime:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&solPjuklas=\mathrm{Solve}[CRpjuklasLap,\mathcal{I}[p]];\\&&Uout=\mathrm{Expand}[\mathrm{InverseLaplaceTransform}[\mathcal{I}[p]/.solPjuklas,p,t]*R]\end{eqnarray*}

Suteikę parametrams skaitines vertes, visas tris išėjimo įtampos priklausomybes nuo laiko bei patį signalą, kai $ R=25 $, $ 100 $ ir $ 1000 \Omega $ (skaitytojas gali pridėti/pakeisti šias vertes savosiomis), atvaizduojame viename grafike:

\boldmath$values=\bigl\{$
\boldmath$U$\boldmath$\to$,įtampos vertė
\boldmath$C$\boldmath$\to$Talpumo vertė
\boldmath$\bigr\}$

\boldmath$R$verčių sarašas \boldmath$RsarPjuklo=$
\boldmath\begin{eqnarray*}&&UoutRpjuklas=Uout/.values;\\&&signalasPjuklo=U*t*\mathrm{UnitStep}[t]/.values;\\&&output=(UoutRpjuklas/.R\to#)\&/@RsarPjuklo;\\&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{signalasPjuklo, UoutRpjuklas\}],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\},    \mathrm{AxesLabel}\to \{t(s),U_{out}(V)\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:


  

Ir vėl grandinės atsako forma priklauso nuo laiko pastoviosios $ R\,C $ didumo. Kol $ t<R\,C $, grandinėlė atkartoja pridėtos įtampos formą. Tačiau kai $ t>C\,R $, po trumpo pereinamojo proceso prie grandinėlės pridėta įtampa yra išdiferencijuojama, todėl praėjus ilgesniam laikui stebime pastovią įtampos vertę (padaugintą iš $ R\,C $). Kaip minėjome, toks grandinės elgesys radiotechnikoje panaudojamas analoginiams elektriniams signalams diferencijuoti.

RC grandinėlės atsakas į įtampos impulsą

Panagrinėsime grandinėlę, kurioje kondensatorius ir varža sukeisti vietomis.

Vaizdavimo parinktys:

  

Grandinėlės atsaką galima apskaičiuoti lygiai tokiu pat būdu, kaip ir ankstesniosios. Tai padaryti siūlome skaitytojui, gi mes atsakymą rasime kitaip. Kadangi braižytoji grandinėlė iš esmės tapati ankstesniajai (mes tik kitoje vietoje matuojame įtampą), tai kondensatoriaus įtampą galėtume rasti iš viso signalo įtampos atėmę dalį, lygią varžos įtampos sumažėjimui.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&UoutC1=  U*\bigl(\mathrm{UnitStep}[t]-\mathrm{UnitStep}[t-T1]\bigr) - UoutR//\mathrm{Factor}\end{eqnarray*}

Kondensatoriaus įtampą taip pat galima rasti iš srovės. Tam reikia suintegruotuoti anksčiau rastą srovę iki laiko momento $ t $. Kad galėtume integruoti, srovės išraiškoje laiką žymėsim ne \boldmath$t$, o \boldmath$t1$.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&UoutC2=(1/C)*\mathrm{Integrate}[(Iout/.t\to t1),\{t1,0,t\},\mathrm{Assumptions}\to T1>0]//\mathrm{Simplify}\end{eqnarray*}

Nors formulės iš pirmo žvilgsnio atrodo skirtingos, tačiau abi, supaprastinus (\boldmath$\mathrm{FullSimplify}[~]$) ir po to rezultatą išskleidus (\boldmath$\mathrm{Expand}[~]$), teigiamiems $ t $ ir $ T_1 $ laikams sutampa:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Expand}[\mathrm{FullSimplify}[UoutC1,t>0\&\&T1>0]]===\mathrm{Expand}[\mathrm{FullSimplify}[UoutC2,t>0\&\&T1>0]]\end{eqnarray*}

Grandinėlės atsaką į stačiakampį įtampos impulsą įėjime galima apskaičiuoti dar kitu metodu, kuris plačiai naudojamas radiotechnikos ir elektrotechnikos vadovėliuose [Gonorovskis61]. Pasirodo, yra tam tikras atitikmuo tarp grandinėlės Laplace'o atvaizdžio skaičiavimo ir grandinėlės atsako harmoniniam signalui. Teorijos neliesime, o tik pademonstruosime patį skaičiavimo metodą. Tarkime, gnybtuose $ U_{in} $ turime harmoninį signalą, kurio ciklinis dažnis $ \omega $. Kadangi visos grandinėlės impedansas yra $ R+(\mathrm{i}\omega C)^{-1} $, o kondensatoriaus varža $ (\mathrm{i}\omega C)^{-1} $, randame, kad įtampos perdavimo koeficientas $ \omega $ dažnio signalui yra $ K(\mathrm{i} \omega )=\frac{(\mathrm{i}\omega C)^{-1}}{R+(\mathrm{i}\omega C)^{-1}} $. Gautoje išraiškoje pakeitę $ \mathrm{i}\omega $ į $ p $, iš karto galime parašyti atsako Laplace'o atvaizdį $ K(p)=\frac{(p\, C)^{-1}}{R+(p\,C)^{-1}} $. Padauginę pastarąjį iš stačiakampio impulso \boldmath$U (1-\mathrm{UnitStep}[t-T_1])$ Laplace'o atvaizdžio

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{LaplaceTransform}[U*(1-\mathrm{UnitStep}[t-T1]),t,p,\mathrm{Assumptions}\to T1>0]\end{eqnarray*}

rasime įtampos atsako atvaizdį išėjime.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&RCLap=U*\Bigl(\frac{1}{p}-\frac{E^{-p T1}}{p}\Bigr)\frac{(p C)^{-1}}{R+\frac{1}{p\,C}}\end{eqnarray*}

Atvirkštinė transformacija duos pereinamąją įtampą grandinėlės išėjime.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&UoutC3=RCt=\mathrm{InverseLaplaceTransform}[RCLap,p,t]//\mathrm{Factor}\end{eqnarray*}

Suprastinę ir išskleidę išraiškas matome, kad ji yra tapati gautoms anksčiau.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Expand}[\mathrm{FullSimplify}[UoutC1,t>0\&\&T1>0]]===\mathrm{Expand}[\mathrm{FullSimplify}[UoutC3,t>0\&\&T1>0]]\end{eqnarray*}

Imdami tas pačias grandinėlės parametrų vertes, brėžinyje atvaizduosime keletą pereinamosios įtampos ant kondensatoriaus plokštelių kreivių.

\boldmath$values=\bigl\{$
\boldmath$U$\boldmath$\to$,įtampos vertė
\boldmath$T1$\boldmath$\to$,Impulso trukmė
\boldmath$C$\boldmath$\to$Talpumo vertė
\boldmath$\bigr\}$

\boldmath$R$verčių sarašas \boldmath$RsarC3=$


\boldmath\begin{eqnarray*}&&UoutC3num=UoutC3/.values;\\&&signalas=U*(\mathrm{UnitStep}[t]-\mathrm{UnitStep}[t-T1])/.values;\\&&outputC3=(UoutC3num/.R\to#)\&/@RsarC3;\\&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{signalas, outputC3\}],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\},    \mathrm{AxesLabel}\to \{t(s),U_{out}(V)\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:


  

Dabar gavome visiškai kitokį vaizdą. Kai $ R $ ir $ C $ sandauga maža, $ R\,C <T_1 $, apkrovos varžoje atkartojamas įėjimo signalas (stora trumpai brūkšniuota kreivė). Kai sandauga didelė — išėjimo signalas kurį laiką auga tiesiškai (stora ištisinė linija), o pasibaigus impulsui, dėl kondensatoriaus lėto išsikrovimo varžoje dar ilgą laiką išlieka įšėjimo įtampa. Taigi, jei $ R\,C $ sandauga didelė, impulso veikimo metu gauname suintegruotą įėjimo signalą. Iš čia ir jos pavadinimas: integruojanti $ R\,C $ grandinėlė.

LR grandinėlės atsakas į įtampos impulsą

Ši grandinėlė susideda iš $ L $ induktyvumo ir $ R $ varžos.

Vaizdavimo parinktys:

  

$ t $ laiko momentu $ U_R $ ir $ U_L $ įtampas tarp induktyvumo ir varžos galų galima išreikšti per srovę $ \scI(t) $, tekančią grandinėlėje. Abiejų įtampų suma yra lygi visai įėjimo įtampai $ U_{in}=U_L+U_R $, kur $ U_L=L\frac{\mathrm{d} \scI(t)}{\mathrm{d} t} $ ir $ U_R=I(t)R $. Taigi, $ L R $ grandinėlės atveju vietoje integralinės turime spręsti diferencialinę lygtį

\[ U_{in}(t)=L \frac{\mathrm{d} \scI(t)}{\mathrm{d} t} + \scI (t)R\tag{4} \]
Šios lygties Laplace'o atvaizdis yra
\boldmath\begin{eqnarray*}&&ILap=\mathrm{LaplaceTransform}[U*(\mathrm{UnitStep}[t]-\mathrm{UnitStep}[t-T1])==L*\mathrm{D}[\mathcal{I}[t],t]+\mathcal{I}[t]*R,t,p]/.\\&&\mathrm{LaplaceTransform}[\mathcal{I}[t],t,p]\to \mathcal{I}[p]\end{eqnarray*}

Išėjimo įtampa apkrovos varžos $ R $ gnybtuose bus

\boldmath\begin{eqnarray*}&&UoutL=\mathrm{Simplify}[\mathrm{Expand}[\mathrm{InverseLaplaceTransform}[\mathcal{I}[p]/.\mathrm{Solve}[ILap,\mathcal{I}[p]],p,t]*R]]\end{eqnarray*}

Pradinę srovę $ t=0 $ laiko momentu prilyginę nuliui ir paėmę $ T_1=1 $s, $ L=1 $~H, $ U=1 $V, gauname tokią įtampos $ R $ varžoje priklausomybę nuo laiko:

\boldmath$values=\bigl\{$
\boldmath$U$\boldmath$\to$,įtampos vertė
\boldmath$T1$\boldmath$\to$,Impulso trukmė
\boldmath$\mathcal{I}[0]$\boldmath$\to$,srovė pradiniu laiko momentu trukmė
\boldmath$L$\boldmath$\to$Talpumo vertė
\boldmath$\bigr\}$

\boldmath\begin{eqnarray*}&&UoutLValued=First[UoutL/.values];\end{eqnarray*}


  

Vizualizuokime gautąją priklausomybę trims apkrovos varžos reikšmėms $ R=10 $, $ 1 $ ir $ 0{,}2\ \Omega $. Skaitytojas tegu prideda/pakeičia savo vertes

\boldmath$R$verčių sarašas \boldmath$RsarL=$


\boldmath\begin{eqnarray*}&&signalas=U*(\mathrm{UnitStep}[t]-\mathrm{UnitStep}[t-T1])/.values;\\&&outputL=(UoutLValued/.R\to#)\&/@RsarL;\\&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{signalas, outputL\}],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\},    \mathrm{AxesLabel}\to \{t(s),U_{out}(V)\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Piešimo parinktys:


  

Kaip matome, $ L R $ grandinėlės elgesys yra labai panašus į $ R C $ grandinėlės elgesį. Tais atvejais, kai laiko pastovioji $ \frac{L}{R} $ maža (stora brūkšniuota kreivė), išėjimo įtampa atkartoja pridėtąją. Tačiau tais atvejais, kai $ \frac{L}{R}\gg T_1 $, $ L R $ grandinėlė elgiasi kaip integratorius (stora ištisinė linija).

Literatūra

G. Doetsch "Anleitung zum Praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation und der Z-Transformation", Oldenbourg, 1967.
Yra rusiškas vertimas: Г. Dёч "Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования, Москва, Наука, 1971

F. Gieres "Dirac's formalism and mathematical surprices in quantum mechanics", Rep. Prog. Phys. 63, 2000, p. 1893-1931; quant-ph/9907069.

R. Krivickas ir A. Jočys, "Grandinių teorijos pagrindai", Vilnius , Mokslas, 1980

spausdinti