MOKSLASplius.lt

Pereinamieji virpesiai LC kontūre

Virpamosios sistemos yra plačiai paplitusios technikoje. Radiotechninis $ L C $ kontūras, susidedantis iš induktyvumo $ L $ ir kondensatoriaus $ C $, yra viena iš tokių sistemų. Šiame skyriuje panagrinėsime pereinamuosius procesus $ L C $ kontūre tuo atveju, kai tam tikru laiko momentu kontūrą paveikė harmoninis arba impulso pavidalo signalas. Sudėtingiems kontūro virpesiams aprašyti naudosime operacinį skaičiavimą. Pabaigoje panagrinėsime dviejų surištų $ L C $ kontūrų dažninę charakteristiką. Kadangi formaliai lygtys, aprašančios virpesius $ L C $ kontūre, sutampa su mechaninės švytuoklės lygtimi, gauti rezultatai tinka ir virpančioms mechaninėms sistemoms.

LC kontūro lygtis

Nubraižykime kontūrą, sudarytą iš induktyvumo $ L $ ir talpos $ C $.

Klaida

Jei $ \scI (t) $ žymi srovės dydį kontūre $ t $ laiko momentu, tada įtampą tarp induktyvumo galų ir tarp kondensatoriaus plokštelių galima išreišti per momentinę srovę $ \scI (t) $ tokiu būdu: $ U_L=L\, \frac{\mathrm{d}\scI (t)}{\mathrm{d} t} $, $ U_C=\frac{1}{C}\int_0^t \scI (t^\prime)\,\mathrm{d} t^\prime $. Kadangi bet kuriuo momentu galioja lygybė $ U_L=U_C $, galime užrašyti tokią integrodiferencialinę lygtį kontūre tekančiai srovei $ \scI (t) $: $ L\,\frac{\mathrm{d} \scI (t)}{\mathrm{d} t} - \frac{1}{C}\int_0^t \scI (t^\prime)\,\mathrm{d} t^\prime=0 $. Ją išdiferencijavę, gausime gerai žinomą antros eilės diferencialinę lygtį, kuri aprašo virpamosios sistemos elgesį netoli pusiausvyros taško

\[ \frac{\mathrm{d} ^2\scI (t)}{\mathrm{d} t^2}-\omega^2_0\scI (t)=0.\tag{1} \]
Dydis $ \omega_0=1/\sqrt{L\,C} $ yra vadinamas savuoju $ LC $ kontūro dažniu. Ši diferencialinė lygtis sutampa su harmoninio osciliatoriaus lygtimi, todėl pabrėždami lygties universalumą vietoje srovės visur rašysime apibendrintą koordinatę $ y $. Mathematica kalboje minėta diferencialinė lygtis užrašoma taip:
Klaida

Priminsime, kad dviguba lygybė \boldmath$==$ yra operatorinės lygybės (\boldmath$\mathrm{Equal}[~]$) simbolis, o lygybės ženklu \boldmath$=$ (\boldmath$\mathrm{Set}[~]$) visa diferencialinė lygtis priskiriama identifikatoriui \boldmath$harmOsc$. Nors Laplace'o transformaciją net paprasčiau taikyti anksčiau sudarytai srovės integrodiferencialinei lygčiai (tam pakanka apibrėžti tik srovę $ \scI (0) $ kontūre momentu $ t=0 $), mes analizuosime antros eilės diferencialinę lygtį (jos konkretūs sprendiniai reikalauja dviejų pradinių sąlygų), nes tokia lygtis universalesnė ir dažniau sutinkama.

Laplace'o transformacija diferencialinę lygtį perveskime į algebrinę atvaizdžio lygtį.

Klaida

Atkreipkite dėmesį, kad transformuodama diferencialinę lygtį į algebrinę, Mathematica automatiškai atsižvelgė į pradines sąlygas — funkcijos $ y(0) $ ir jos išvestinės $ y^\prime (0) $ vertes momentu $ t=0 $. Gautą algebrinę lygtį paprasta išspręsti atvaizdžio funkcijos \boldmath$y[p]$ atžvilgiu:

Klaida

Atlikę atvirkštinę transformaciją, gauname galutinį atsakymą:

Klaida

Įstatę sprendinį į pradinę lygtį, įsitikiname, kad sprendinys iš tiesų tenkina diferencialinę lygtį.

Klaida
Diferencialinė lygtis aprašo laisvus srovės svyravimus kontūre. Juos galima vizualizuoti, apibrėžus pradines $ y(0) $ ir $ y'(0) $ vertes.

Kontūro žadinimas harmonine jėga

Panagrinėkime, kaip elgiasi osciliatorius, kai $ t=0 $ momentu jį pradeda harmoniškai žadinti $ f $ amplitudės ir $ \omega $ ciklinio dažnio išorinė harmoninė jėga. $ L C $ kontūro atveju tai galėtų būti kintamos įtampos šaltinis, nuosekliai sujungtas su kondensatoriumi ir induktyvumu. Į išorinę jėgą atsižvelgsime, prie diferencialinės lygties dešiniosios pusės pridėję jėgos narį $ f \sin(\omega t) $.

Klaida

Uždavinį spręsime Laplace'o transformacijos metodu.

Klaida

Klaida

Klaida

Sprendinį \boldmath$y[t]$, vizualizuosime parametrams suteikę konkrečias vertes. Išorinės jėgos ciklinį dažnį parenkame artimą savajam kontūro svyravimų dažniui $ \omega_0 $.

Klaida

Klaida

Brėžinyje atvaizduotas mušimo reiškinys: laikui bėgant kontūre sužadinti $ \omega  $ dažnio virpesiai tai stiprėja, tai silpsta. Mušimo dažnį nesunkiai rasime pertvarkę gautą sprendinį. Kadangi išorinės jėgos dažnis $ \omega =\omega_0+\epsilon $ ($ \epsilon $ mažas dydis) yra artimas savajam $ \omega_0 $, paprastumo dėlei pradiniu laiko momentu koordinatę ir greitį galima prilyginti nuliui (svyravimų požiūriu svarbus tik auksčiau rasto lygties sprendinio skaitiklis). Pakeitę $ \omega_0 $ į $ \omega - \epsilon $, išskleidę trigonometrines funkcijas ir surinkę $ \omega $ dažnio narius su \boldmath$\mathrm{Collect}[~]$, randame:

Klaida

Matome, kad svyravimai vyksta $ \omega $ dažniu. Jų amplitudes nusako skliaustuose esantys reiškiniai. Pirmieji du šių amplitudžių nariai — pastovūs dydžiai, o trečiasis lėtai keičiasi (prisiminkite, kad $ \epsilon $ yra mažas dydis). Tai ir yra mušimo dažnis $ \epsilon =\omega -\omega_0 $. Jei $ \omega $ artintume prie $ \omega_0 $, mušimo periodas didėtų, o amplitudė augtų. Pavyzdžiui, nubraižykime tą patį brėžinį, kai išorinės jėgos dažnis yra dar artimesnis savajam svyravimų dažniui $ \omega_0 $.

Klaida

Riboje, kai $ \omega =\omega_0 $, kaip matyti iš sprendinio \boldmath$y[t]$, turime singuliarumą (vardiklis virsta nuliu). Tai rodo, kad rezonanso metu sprendinys įgyja kitokį pavidalą. Rezonansinį sprendinį rasime iš naujo išsprendę osciliatoriaus lygtį, laikydami, kad išorinės jėgos dažnis yra toks pats, kaip ir savaiminių svyravimų dažnis.

Klaida
Klaida

Rezonansiniams dydžiams atskirti identifikatorių galuose prirašome \boldmath$Res$.

Klaida

Atlikę atvirkštinę Laplace'o transformaciją, įsitikiname, kad rezonanso atveju sprendinys iš tiesų turi visai kitokį pavidalą.

Klaida

Pažiūrėkime, kaip dabar atrodo kontūro virpesių priklausomybė nuo laiko.

Klaida
Kaip matyti, rezonansinė jėga visą laiką didina virpamojo kontūro energiją, dėl to osciliacijų (arba srovės kontūre) amplitudė laike didėja tiesiškai. Aišku, kad realiame kontūre dėl nuostolių grandinėje svyravimų amplitudė be galo didėti negali.

Kontūro žadinimas smūgiu

Kaip žinome iš patyrimo, švytuoklę galima priversti siūbuoti į ją sudavus. Parinkus tinkamą laiko momentą ir jėgos dydį, smūgiu taip pat galima svyravimus sustabdyti. Smūgį galima modeliuoti labai trumpu (trukmės \boldmath$Timp$), lyginant su svyravimu periodu, impulsu. Jį gausime, susumavę dvi priešingo ženklo Heavyside'o funkcijas. Šiame kompiuteriniame eksperimente $ L C $ kontūrą paveiksime dviem vienas po kito sekančiais impulsais. Laiko intervalą tarp impulsų pažymėsime \boldmath$Tint$.

Klaida

Prie osciliatoriaus diferencialinės lygties pridėsime dvigubo impulso narį ir rasime gautos sistemos Laplace`o atvaizdį.Senesnėse Mathematica versijose prieš atliekant Laplace'o transformaciją naudinga papildomai nurodyti, kad \boldmath$Timp$ ir \boldmath$Tint$ yra teigiami dydžiai: \boldmath$Timp/:\mathrm{Positive}[Timp]=\mathrm{True};$ \boldmath$Tint/:\mathrm{Positive}[Tint]=\mathrm{True};$.

Klaida

Išsprendžiame gautą lygtį atvaizdžio funkcijos atžvilgiu.

Klaida

Atvirkštinės Laplace'o transformacijos rezultatas yra gana ilgas.

Klaida

Vizualizuokime ilgą formulę, priskyrę parametrams skaitines vertes.

Klaida

Klaida

Matome, kad pirmasis impulsas $ t=0 $ momentu ,,įskambino'' kontūrą, o antrasis, pasirodęs momentu $ t=10 $, skambėjimą beveik nuslopino. Jei intervalą tarp dviejų impulsų pailginsime svyravimų pusperiodžiu $ \pi /\omega_0 $, tuomet antrasis impulsas ne nuslopins, o dar labiau "įskambins" kontūrą, kaip parodyta kitame brėžinyje.

Klaida

Klaida
Aprašytą reiškinį visi gerai pažįstame: švytuoklę galima įsiūbuoti, ją smūgiuojant svyravimų taktu. Tą intuityviai patiria ir vaikai besimokydami suptis sūpynėmis.

LCR kontūro žadinimas radioimpulsu

Apsistosime prie praktiškesnio kompiuterinio eksperimento. Panagrinėkime atvejį, kai radiolokatoriaus imtuvo $ L C $ kontūrąžadina baigtinės trukmės harmoninis radioimpulsas, kurio dažnis sutampa su rezonansiniu kontūro dažniu. Tokį impulsą gausime, pavyzdžiui, radiolokatoriaus signalui atsispindėjus nuo lėktuvo. Į realiame kontūre visada pasireiškiančius nuostolius atsižvelgsime, į kontūrą įjungę atstojamąją nuostolių varžą $ R $. Nubraižykim $ L C R $ kontūrą.

Klaida

Pastebėsim, kad $ L C R $ kontūrai vaidina nepaprastai svarbią praktinę reikšmę. Pavyzdžiui, radioimtuve jie išskiria naudingus signalus iš triukšmo ir kitų signalų. Pagrindiniai kontūro parametrai yra jo rezonansinis dažnis ir selektyvumas. Kontūro selektyvumą nusako kokybė $ Q $, kuri $ L  C  R $ kontūrui apibrėžiama formule $ Q=R^{-1}\sqrt{L\,/C} $. Kontūro kokybė parodo, kaip greitai (dėl aktyviosios varžos) kontūre slopsta virpesiai. Kuo kontūro kokybė didesnė, tuo kontūras selektyvesnis. Radioimpulsą, kuriuo žadinsime kontūrą, aprašysime formule $ \sin(t) \bigl( h(t)-h(t-32)\bigr) $. Pradžioje jį pavaizduosime.

Klaida

Kadangi kontūro elementų įtampų suma lygi įtampai $ 1-1' $ gnybtuose, $ \sin(\omega t)\,\bigl(h(t)-h(t-T_1)\bigr) $, tai svyravimus kontūre aprašo tokia integrodiferencialinė lygtis:

\[ L\,\frac{\mathrm{d} \scI}{\mathrm{d} t}+R \scI + \frac{1}{C}\int_0^t \scI(t')\, \mathrm{d} t'=\sin(\omega t)\bigl(h(t)-h(t-T_1)\bigr)\tag{2} \]
Užrašome lygtį Mathematica kalba ir taikome Laplace'o transformaciją abiems integrodiferencialinės lygties pusėms. Manysime, kad pradiniu momentu virpesių kontūre nebuvo: $ \scI (0)=0 $.
Klaida

Išsprendę gautą lygtį operatorinės srovės \boldmath$\scI[p]$ atžvilgiu

Klaida

ir pritaikę atvirkštinę Laplace'o transformaciją, rasime srovės, tekančios kontūre, priklausomybę nuo laiko. Gautoji išraiška skaičiuojama ilgai ir yra gana sudėtinga, todėl jos į ekraną neišvesime.

Klaida

Tarkime, kad radioimpulsas susideda iš penkių periodų, o jo dažnis sutampa su kontūro, kuriame nėra nuostolių, rezonansiniu dažniu: $ \omega =\omega_0=1/\sqrt{L\,C} $. Keisime apkrovos varžos dydį ir tirsime, kaip atsakas (srovė varžoje) priklauso nuo kontūro kokybės. Tarkime, kad atsispindėjęs signalas pasiekia kontūrą labai greitai, todėl į signalo vėlavimą neatsižvelgsime (tai tik pastumtų signalo atskaitos pradžią). Kai $ R=0{,}5\ \Omega $ ir $ Q=2 $ (kokybė yra bedimensis dydis). Dydis $  \sqrt{L\,/C} $, vadinamas kontūro charakteringąja varža, turi varžos dimensiją, todėl $ Q=R^{-1}\sqrt{L\,/C} $ yra bedimensis.

Klaida
Klaida
Skaitiškai įvertinant sudėtingas išraiškas, dažnai dėl skaičiavimo paklaidų atsiranda mažos fiktyvios menamos dalys. Komanda \boldmath$\mathrm{Chop}[~]$ šias mažas dalis pašalina. Tuo atveju, kai kontūro kokybė geresnė (tam sumažinsim varžą penkis kartus: $ R=0{,}1\ \Omega  $, todėl $ Q=10 $), turime:

Klaida
Taigi, aiškiai matome, kad esant geresnei kontūro kokybei, $ Q=10 $, virpesių amplitudė taip pat yra didesnė. Tačiau kartu reikalingas ir ilgesnis laikas, kad svyravimai kontūre įsisiūbuotų ir nusloptų. Charakteringa virpesių augimo ir gesimo trukmė $ \tau  $ tiesiogiai priklauso nuo $ L C R $ kontūro kokybės ir nusakoma [Gonorovskis61] formule $ \tau =Q  T=2 \pi Q/\omega_0 $. Vadinasi, kontūro kokybė $ Q $ parodo, kiek periodų turi praeiti, kad kontūras vėl būtų pasiruošęs registruoti signalą (tam ankstesnio signalo virpesiai turi užgesti). Antra vertus, didinant kontūro kokybę, lokatoriaus kontūras gali fiksuoti vis silpnesnį signalą. Tokiu būdu, gerinant vieną charakteristiką, neišvengiamai blogėja kita.

Surištieji kontūrai

Jei turime ne vieną radiotechninį kontūrą, o kelis, juos galime priversti sąveikauti vieną su kitu. Realiuose kontūruose sąveikaujama per bendrą magnetinį ar elektrinį laukus arba per sroves, tekančias kontūrus jungiančioje varžoje. Apskaičiuosime dviejų kontūrų, surištų pereinamosios talpos elektriniu lauku, dažninę charakteristiką. Pirmiausia nubraižysime du surištus kontūrus $  L_1 C_1 $ ir $ L_2 C_2 $, kurie sąveikauja per talpą $ C_{12} $. Kontūruose atsižvelgsime į nuostolį dėl varžų $ R_1 $ ir $ R_2 $.

Klaida

Dažninę tokios jau gana sudėtingos grandinės charakteristiką patogu skaičiuoti, įvedus, kaip parodyta brėžinyje, du impedansus \boldmath$z1$ bei \boldmath$z2$ ir pilną schemos įėjimo varžą \boldmath$zin$. Impedansai \boldmath$z1$ ir \boldmath$z2$ skaičiuojami į dešinę nuo brėžinyje parodytų mazgų (viršutinio ir apatinio laido atžvilgiu). Skaičiavimą iš karto atliekame operaciniu pavidalu. Tam reikia prisiminti analogiją tarp Laplace'o atvaizdžio ir grandinės atsako į harmoninį signalą:

Klaida

Įtampas atitinkamuose mazguose galime išreikšti per aukščiau užrašytus impedansus.

Klaida

Surištų kontūrų perdavimo koeficientą $ K $ apibrėšime kaip įtampų $ U_{out} $ ir $ U_{in} $ santykį. Dažninę perdavimo charakterisiką rasime, pakeitę $ p\rightarrow \mathrm{i} \omega $:

Klaida

Imkime konkrečias elementų skaitines vertes.

Klaida

Abu kontūrus laikysime vienodais. Keisime tik ryšio elemento $ C_{12} $ didumą. Kai ryšio elemento talpa $ C_{12}=0{,}01\ F $, turime tokią perdavimo charakteristikos priklausomybę nuo dažnio:

Klaida

Didinant kontūrus jungiančios talpos $ C_{12} $ vertę, perdavimo charakteristika platėja, kol pagaliau virsta dvikupre kreive. Kai ryšio talpa pasidaro lygi kontūrų talpai ($ C_{12}=1\ F $), perdavimo charakteristikoje matomas gana ryškus įdubimas.

Klaida
Tokiu būdu iš pateikto pavyzdžio matome, kad dviejų vienodų ir tarpusavyje stipriai surištų kontūrų perdavimo koeficientas turi rezonansą ties dviem skirtingais dažniais, nors savieji rezonansiniai abiejų kontūrų dažniai sutampa.

Literatūra

I. Gonorovskis, "Radiotechnikos pagrindai", Valstybinė politinės ir mokslinės literatūros leidykla, Vilnius, 1961.

spausdinti