MOKSLASplius.lt

Šviesos lūžio dėsnis Maupertuis principo požiūriu

Fizikos principai

Mokslas, aprėpdamas vis platesnes taikymo sritis, atskleidžia taisykles, kurioms paklūsta tiriamieji objektai. Šias taisykles ir jų rinkinius mes vadiname dėsniais, kurios fizikai dažniausiai apipavidalina matematinėmis formulėmis. Dėsniai apibendrina daugelį eksperimentinių faktų ir, kas svarbiausia, leidžia prognozuoti naujus faktus. Įvairiose fizikos srityse galioja savi, įvairaus bendrumo dėsniai. Dažnai juos pavyksta išvesti pasitelkiant tam tikrus principus, pavyzdžiui, mažiausio veikimo, didžiausios entropijos ar energijos tvermės. Principas (nuo lotynų kalbos principium = pirminis šaltinis, pagrindas) yra idėja, kuria vadovajamasi, vidinis įsitikinimas ar veikimo taisyklė. Huygenso principu iš dalies buvo galima paaiškinti bangų spinduliavimą, ir pasitelkus jį rasti atstojamają bangą dar tada, kai nebuvo žinomos akustinių, o tuo labiau šviesos bangų sklidimą aprašančios lygtys. Dabar gerai žinoma, kad elektromagnetinių (joms priklauso ir matoma šviesa) bangų sklidimą aprašo Maxwello lygtys. Tačiau tam tikrais atvejais fizikai sugeba paaiškinti paprastus reiškinius ir be jų. Pavyzdžiui, kaip surasti spindulio kelią jam lūžtant oro ir vandens sandūroje, jie mokėjo jau gerokai prieš pasirodant Maxwello teorijai. Vienas iš tokių yra Maupertuis mažiausio veikimo principas. Žemiau pateiksim labai paprastą mažiausio veikimo principo taikymo pavyzdį, kuris bus suprantamas ir mokiniui.

Nustatymai

Pirmiausia nustatome atsakymų šrifto dydį šiame puslapyje taip, kad gerai matytume atsakymus
Šrifto dydis:

  

Skestančiojo gelbėjimas

Įsivaizduokite, kad rudenėjant ir pasibaigus vasaros atostogų šurmuliui, žingsniuojate Baltijos jūros pakrante giliai susimastęs apie fizikos principus ir jų taikymą. Staiga pamatote skęstantį sveikuolį (tokiu laiku daugiau niekas nesimaudo). Be abejo puolate gelbėti. Tik štai klausimas. Kokiu optimaliausiu keliu (trajektorija) jį pasiekti. Taigi pasvarstykime, kokį kelią reiktų pasirinkti, kad sveikuoliui kuo greičiau būtų suteikta pagalba. Pirmiausia pasiruošime piešinį, kurį pavadinsime situacija. Galite koreguoti jo dydį ar keisti išvaizdą patys redaguodami piešimo komandas.

situacija=Graphics[]
Show[situacija, ]

  

Analizuodami uždavinį fizikai dažnai pradeda nuo ribinių atvejų analizės. Pažiūrėkim kokie yra galimi mūsų uždavinio ribiniai atvejai. Viena, bet tikrai ne pati geriausia gelbėjimo strategija būtų greitai pribėgti prie kranto, o paskui ilgai plaukti prie skęstančiojo. Geresnis būdas (žemiau pavaizduotas trumpesniais brūkšneliais) būtų bėgti tiesiai link skęstančiojo. Dar geresnė — kaip galima arčiau skęstančiojo, kad reiktų kuo mažiau plaukti. Intuityviai jaučiame, kad pastarieji keliai geresni todėl, kad sausuma mes bėgame greičiau nei plaukiame vandenyje.
ribiniaiKeliai=Graphics[]
Show[situacija, ribiniaiKeliai, ]

  

Įveskime koordinačių sistemą bei reikalingus pažymėjimus. Tada uždavinį galėsime panagrinėti griežtai matematiškai.

pagalbinesLinijos=Graphics[]
Show[situacija, pagalbinesLinijos, ]

  

Taškas P brėžinyje žymi kol kas nežinomą vietą, nuo kurios reikia pradėti plaukti. Laikysime, kad sausuma fizikas bėga pastoviu $ \mathbf{V_k} $, o vandeniu plaukia greičiu $ \mathbf{V_v} $. Dėl šios priežasties tašką P su pradiniu ir galiniu taškais sujungėme tiesėmis. Iš patirties žinome, kad $ \mathbf{V_k}>\mathbf{V_v} $. Bendras laikas, per kurį gelbėtojas pasieks skęstantįjį susideda iš bėgimo ir plaukimo laikų. Pastaruosius nesunku suskaičiuoti pasinaudojus Pitagoro teorema: $ \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_k} +\frac{\sqrt{b^2+(ab-x)^2}}{v_v} $. Kadangi norėsime šį laiką įvertinti skaitiškai, pasistengsime parinkti gyvenimiškus judėjimo greičius. Laikysime, kad fizikas taip pat yra ir geras plaukikas, todėl jo plaukimo greitį paimsime tik tris kartus lėtesnį už greitį sausumoje.Nupieškime gelbėjimo laiko priklausomybę nuo taško P padėties. Ją vienamreikšmiškai nusako atstumas nuo koordinačių pradžios x=AP. Matysime, kad atstumas x turi vienintelį minimumą, kurį ir atitinka trumpiausias gelbėjimo laikas. Piešiniui nupiešti mums yra reikalingi skaitiniai parametrai.

skaitiniaiParametrai={
ab=,atstumas kranto linija (metrais)
a =,atstumas nuo gelbėtojo iki vandens statmentai kranto linijai (metrais)
b=,atstumas nuo skęstančiojo iki kranto statmentai kranto linijai (metrais)
Vk=,gelbėtojo greitis krante (metrais per sekundę)
Vv=gelbėtojo greitis vandenyje (metrais per sekundę)
}

Kitos piešimo parinktys
parinktys=
Plot[$ \mathbf{\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_k} +\frac{\sqrt{b^2+(ab-x)^2}}{v_v}} $., {x, , }, parinktys]

  

Koks gi būtų trumpiausias laikas per kurį gelbėtojas pasieks skęstantįjį? Jį sužinosime suradę duotosios funkcijos minimumą. Minimumo (tiksliau funkcijos ekstremumo) ieškosime gerai žinomu būdu: funkcija gali įgyti minimalią vertę ten, kur ji nustoja mažėti. T.y. tame taške funkcijos išvestinė privalo būti lygi nuliui. Taigi, funkciją išdiferencijuokime x atžvilgiu ir rezultatą prilyginkime nuliui. Išsprendę gautą lygtį rasime tašką, kur funkcija yra minimali (ekstremali).Išraiškas diferencijuoja komanda D[ ], algebrines lygtis sprendžiame su Solve[ ].

taskasP =Solve[D[, x]==0,x]
Ar rodyti sprendinius ekrane? (ilgas rezultatas)

  

Spręsdami ketvirto laipsnio algebrinę lygtį, gauname keturias gan sudėtingo pavidalo šaknis, iš kurių fizikinę situaciją atspindės tik viena. Kadangi sprendiniai "griozdiški" vietoje jų į ekraną išvedame pačią lygtį. Skaitytojas, aišku, gali tuos sprendinius pamatyti pažymėjęs šalia esančią dėžutę.

Chop[taskasP /. skaitiniaiParametrai]

Pažvelgę į piešinį matome, kad tik antroji šaknis duoda teisingą atsakymą. Kitos šaknys yra "parazitinės". Nors juose išvestinė ir lygi nuliui, tačiau šiuose taškuose ieškoma funkcija nėra minimali. Kadangi, kompleksinės šaknys visada įeina kompleksiškai jungtinėmis poromis, tai sprendiniuose turi pasirodyti ir viena "netikra" reali šaknis (tokia yra ketvirtoji). Taikant skaitinius minimumo paieškos metodus, pavyzdžiui, įdiegtus funkcijoje FindMinimum[ ], "netikrų" pašalinių sprendinių negauname.

FindMinimum[$ \mathbf{\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_k} +\frac{\sqrt{b^2+(ab-x)^2}}{v_v}} $. /. Skaitiniai Parametrai, {x, }

  

FindMinimum[ ] komandai reikia nurodyti pradinį (spėjamą) tašką nuo kurio ji mėgins pradėti minimumo paiešką. Šios komandos pateikiamame rezultate pirmasis skaičius parodo faktinę minimumo vertę, t.y. per kiek laiko gelbėtojas pasiekia skęstantįjį. Nupieškime, kaip atrodo optimaliausia gelbėtojo trajektorija. Tam reikia "pritaikyti" rastą tikrąją taško P koordinatę prie grafiko mąstelio. Tai antraeilės techninės detalės, kurios gali dominti tik labai nedaugelį, todėl jų neaptarsime. Ji atrodo taip:

xOptimalus = ((0.8-0.1)*x /. Chop[taskasP[[2]] /. skaitiniaiParametrai])/(ab /. skaitiniaiParametrai);
gelbetojoKelias = Graphics[
{Thickness[0.003], Line[{{0.1, 1.9}, {xOptimalus+0.1, 1}}], Line[{{xOptimalus+0.1, 1}, {0.8, 0.2}}]}];
zymes = Graphics[{ {Thickness[0.001], Line[{{0.8, 1.1}, {0.8, 0.2}}], Line[{{0.1, 1.9}, {0.1, 0.9}}], Arrow[{{0.8, 1}, {0.1, 1}}], Arrow[{{0.1, 1}, {0.8, 1}}]}, Text[a /. skaitiniaiParametrai, {0.1, 1.5}, {1, 0}], Text[ab /. skaitiniaiParametrai, {0.5, 1.1}, {1, 0}], Text[b /. skaitiniaiParametrai, {0.8, 0.6}, {-1, 0}] }];

Smalsus skaitytojas gali nusipiešti ir trajektoriją, gaunamą pasirinkus realią netikro minimumo (ekstremumo) šaknį (taskasP eilės Nr. 4)

Pasirinkite teisingą šaknį (jos eilės numeris)
Show[situacija, gelbetojoKelias, zymes, ]

  

Taigi, iš gautos trajektorijos matyti, kad nors ir plaukiame gerokai lėčiau, vis dėl to norint kuo greičiau pasiekti skęstantįjį verta plaukti šiek tiek ilgesnį kelią. Šis kelias nėra tiksliai statmenas kranto linijai.

Lūžtančio spindulio kelias

Ką jums primena pats paskutinis paveikslas? Kad lengviau būtų prisiminti, "suspausime" piešinį iš kraštų ir gelbėtojo trajektorijoje pažymėsime du kampus, $ \varphi $ ir $ \phi $, tarp trajektorijos ir statmens į jūros krantą, atitinkamai iš vienos ir kitos pusės.

Piešinio rodymo parinktys:

  

Vizualiai lygindami trajektorijas galime pasakyti, kad šviesos spindulys laikosi gelbėtojo strategijos, t. y. jis sklinda taip, kad kirstų oro-vandens sandūrą "trumpiausio laiko" taške. Kad tuo įsitikintume, dar kartą užrašykime mažiausio laiko kelionės formulę:
$$\frac{x}{v_k \sqrt{a^2+x^2} } -\frac{ab-x}{v_v \sqrt{b^2+(ab-x)^2} } =0.\label{pirma}$$
Pagal apibrėžimą kampo sinusas yra statinio prieš kampą ilgis padalintas iš prie kampo esančio statinio ilgio. Būtent: $ \sin\varphi = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} $ ir $ \sin\phi = \frac{ab-x}{\sqrt{b^2+(ab-x)^2}} $. Pasinaudodami tuo perrašykime ankstesnę formulę šiuo pavidalu $ \frac{\sin\varphi}{v_{\mathrm{ore}}} -\frac{\sin\phi}{v_{\mathrm{vandeny}}}=0 $. Prisiminę, kad šviesos greitis skaidrioje terpėje yra $ v=c/n $ , kur $ c $ yra šviesos greitis vakuume, o $ n $ yra medžiagos lūžio rodiklis, paskutiniąją formulę galime užrašyti fizikos vadovėliuose sutinkamu pavidalu:
$$ \frac{n_{\mathrm{ore}}}{n_{\mathrm{vandeny}}}=\frac{\sin\phi}{\sin\varphi}$$
Gauta formulė aprašo kaip šviesos lūžimo kampų sinusai yra susieti su terpių lūžių rodikliais šviesai pereinant iš vienos terpės į kitą. Gauta formulė dar vadinama Sneliuso formule (van Snel 1591-1626)(Willebrord Snellius 1580-1626), fiziko atradusio ją eksperimentiškai vardu. Šviesos refrakcijos dėsnis (Snell dėsnis) buvo žinomas jau arabams [1]. Būtent Ibn Sahl (jam buvo žinomi graikų darbai, tame tarpe Ptolemy optika) gimęs dabartinėje Irako teritorijoje 984m. parašė knygą, kurioje aprašė šviesą koncentruojančius veidrodžius (tiek parabolinius, tiek elipsinius), hiperbolinius išgaubtus lęšius, diagramomis paaiškino šviesos lūžimo dėsnį. Šios žinios, papildytos jo mokinio Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (965-1039) Europoje žinomo kaip Alhazen (lotyniška pirmojo vardo al-Hasan transkripcija) 1270 buvo išverstos į lotynų kalbą ir, manoma, turėjo būti žinomos žymiems Europos mokslininkams: Roger Backon (1214-1292), Leonardo da Vinci (1452-1519), Johannes Kepler (1571-1630), Rene Descartes (1596-1650), Isaac Newton (1643-1727), bei daugeliui kitų.

Taigi, tarp dviejų medžiagų šviesa iš vieno taško į kitą sklinda tokiu keliu, kad, kaip sako Maupertuis principas, tam sugaištų mažiausiai laiko. Maxwello lygtys automatiškai įskaito Maupertuis principą, todėl jos teisingai aprašo ir šviesos sklidimą iš vienos terpės į kitą.

Kada žuvis nemato žvejo?

Oro lūžio rodiklis yra labai artimas vienetui, o vandens lūžio rodiklis yra $ n=1,333 $. Tada iš Snelijaus formulės seka, kad $ \sin \varphi=1,333 \sin \phi $. Didžiausia kampo $ \varphi $ reikšmė yra $ \varphi=\pi/2 $. Iš čia gauname, kad didžiausia kampo $ \phi $ reikšmė yra

$ \mathbf{\phi} $ = ArcSin[]

  

arba, pervedę radianus į laipsnius,

$ \mathbf{\phi}= \frac{180}{\pi}* $ArcSin[]

  

Tokiu būdu didžiausia kampo $ \phi $ reikšmė yra artima 45 laipsniams. Iš čia seka, jei vandenyje žuvies regėjimo kampas $ \varphi $ viršija $ 48, 6^\circ $, žuvis nemato kas darosi vandens paviršiuje ir ant kranto. Taip yra todėl, kad visi iš oro į vandenį pakliuvę spinduliai yra "suspaudžiami" į kūgį, pavaizduotą šiame piešinyje:

Piešinio rodymo parinktys:

  

Jei su prožektoriumi apšviestume vandenį, o žuvis būtų juodai nuspalvintoje dalyje, žuvis visiškai nematytų prožektoriaus šviesos, nes koks bebūtų apšvietimo kampas, visi spinduliai paklius tik į mėlynai nuspalvintą kūgį. Taigi žuvis ne visada mato kokie pavojai ją tyko ant kranto. O kas būtų, jei žuvis, atsidūrusi juodoje srityje, pasiųstų žvejui šviesos signalą? Kadangi Snelijaus formulė šioje srityje negalioja, šviesa pilnai atsispindės nuo vandens paviršiaus atgal į vandenį ir pasiųstas signalas žvejo nepasieks. Taigi gauname, kad šviesai sklindant iš optiškai tankesnės medžiagos (vandens) į optiškai retesnę aplinką (orą), galimas visiškas šviesos atspindys oras-vanduo riboje. Šiuo įdomiu reiškiniu yra pagrįstas informacijos perdavimas šviesolaidžio skaidulomis. Skaidulos šerdis yra padaryta iš optiškai tankesnės medžiagos, t. y. turinčios didesnį lūžio rodiklį negu šerdį gaubiantis apvalkalas. Dėl visiško atspindžio šviesa negali pabėgti iš šerdies ir todėl priversta sklisti skaidulos šerdimi, net ir tuo atveju kai skaidula yra sulenkta. Tiesa, jei skaidulą per daug sulenksime pilnojo atspindžio sąlyga taps pažeista ir šviesa galės pabėgti iš šviesolaidžio. Kad to neatsitiktų šviesolaidžio kabelyje dažnai įmontuojamas stangrus apvalkalas ar net strypas, neleidžiantis šviesolaidžiui su skaidulomis perdaug sulinkti.

Matymo po vandeniu ypatybės

Spindulio kelias naudojant
nardymo kaukę

Žmogaus akis nėra pritaikyta regėjimui vandenyje. Atmerkę akis po vandeniu pastebėsite, kad daiktai nėra ryškūs. Kadangi akies obuolio ir vandens lūžio rodiklio koeficientai yra praktiškai lygūs, akis praranda gebėjimą fokusuoti. Akies obuolio kreivumas (kurio židinio nuotolis $ 1/f $ normaliomis sąlygomis yra apie 40 dioptrijų) nustoja "laužęs" šviesą. Šito mes negalime ištaisyti net užsidęję išgaubtus lęšius, nes akies obuolio kreivumas ir taip yra labai didelis (jo spindulys 8mm.), o stiklo ir vandens lūžio rodikliai skiriasi nedaug. Vienintelis efektyvus būdas fokusuotam vaizdui — atstatyti oro sluoksnį tarp vandens ir akies. Tą ir daro nardymui skirti akiniai.

Bet yra dar vienas nekeliantis susižavėjimo reiškinys: po vandeniu mūsų regėjimo laukas dramatiškai susiaurėja. Ore žmogaus regėjimo laukas yra truputį daugiau kaip $ 180^\circ $.Tačiau dėl spindulio lūžio oro-vandens riboje šis laukas labai susiaurėja.

Taigi nardytojai būkite atsargūs: po vandeniu jūs turite sukioti galvą labiau nei esate įpratę krante [2].

Aplinkos su neigiamu lūžio rodikliu

Ar gali šviesa dviejų aplikų riboje lūžti taip, kaip parodyta šiame piešinyje?

Piešinio rodymo parinktys:

  

Atkreipkite dėmesį, kad šiame piešinyje lūžęs spindulys sklinda toje pačioje statmens pusėje kaip ir krintantis spindulys. Jei šiam piešiniui pritaikytume Snell formulę, vietoje $ \phi $ įstatę $ -\phi $, tai gautume, kad dviejų aplinkų lūžio rodiklių santykis yra neigiamas. Nors atrodo neįtikėtina, šiuolaikinės technologijos sugeba pagaminti medžiagas, kuriose (bent jau tam tikrame bangų ruože) elektromagnetinės bangos oro-medžiagos aplinkoje lūžta būtent taip. Tokios medžiagos vadinamos "kairiosiomis" (angl. left handed materials), nes jose Pointing vektorius (nusakantis bangos energijos perdavimo kryptį) ir elektrinio bei magnetinio laukų vektoriai sudaro kairiąją vektorių trijulę. Įprastinėse medžiagose šie vektoriai sutampa su dešiniosios atskaitos sistemos baziniais vektoriais. Eksperimentai patvirtina, kad medžiagos su tokiu lūžio dėsniu iš tiesų egzistuoja ir turi intriguojančias fizikines savybes. Bet tai jau atskira labai įdomi tema. Smalsus angliškai kalbantis skaitytojas daugiau medžiagos ras svetainėje Wiki enciklopedijoje. Mes nežinome ar kairiosiose aplinkose veikia mažiausiojo veikimo principas. Gal būt tą išsiaiškins skaitytojas?

Atnaujinta 2010.12.27

Literatūra

[1].  Sameen Ahmed Khan "Europhysics News ", Vol. 37 Nr. 3, 2006

[2].  L.J.F(Jo) Hermans " Physics in daily life: seeing under water", Europhysics News, Vol. 37 Nr. 3, 2006

[3].  Перельман Я.И. Занимательная физика 1", Hayka, Москва,1976

spausdinti