MOKSLASplius.lt

Švytuoklė: nuo tvarkos iki chaoso

Švytuoklė: nuo tvarkos iki chaoso

Švytuoklė (pendulum) yra vienas iš etaloninių fizikos objektų. Dar Galilei'us septynioliktame šimtmetyje žinojo, kad tiesinės švytuoklės svyravimų periodas nepriklauso nuo jų amplitudės. Vadovėliuose dažniausiai apsiribojama tiesine švytuokle, gi mes nagrinėsime netiesinę. Jos dinamiką aprašo netiesinė diferencialinė lygtis. Pradžioje ištirsime tokios švytuoklės periodo priklausomybę nuo svyravimų amplitudės. Po to panagrinėsime jos priverstinius ir chaotinius svyravimus. Veikiant harmoninei jėgai netiesinė švytuoklė gali pradėti svyruoti visiškai netvarkingai. Šį įdomų reiškinį fizikai pastebėjo tik dvidešimtojo amžiaus pabaigoje, jau atsiradus kompiuteriams. Pradžią davė E. N. Lorenzo straipsnis žurnale Journal of the Atmospheric Sciences [Lorenz:1963], kuriame netiesinėmis diferencialinėmis lygtimis buvo modeliuotas oro srautų judėjimas. Iš analizės sekė, kad ilgalaikė orų prognozė iš principo negalima. Tai lemia ypatingas sprendinio jautris pradinėms sąlygoms, kuris neformaliai vadinamas ,,drugelio reiškiniu''. Vaizdžiai kalbant, iš Lorenzo darbo sekė, kad šiandienos orai Lietuvoje priklauso ir nuo to, kiek kartų prieš mėnesį Amerikoje misterio Smitho darželyje drugelis pamojavo sparneliais.

Nustatymai

Pirmiausia nustatome atsakymų šrifto dydį šiame puslapyje taip, kad gerai matytume atsakymus
Klaida

Netiesinės švytuoklės lygtis ir elipsinės funkcijos

Paimkime šešis atskaitos taškus ir jų atžvilgiu nubraižykim švytuoklę, kurią sudaro $ m $ masės svarelis, pritvirtintas ant $ \ell  $ ilgio standaus strypo.

Klaida

Manysime, kad strypelis yra besvoris. Svarelį veikia gravitacinė jėga $ m g $. Čia $ g $ žymi laisvojo kritimo pagreitį. Judesį sukelia, kaip parodyta piešinyje, statmenas strypui jėgos sandas: $ F=m g \sin(-\varphi) $, kur $ \varphi  $ žymi kampą tarp vertikalės ir atsilenkusio strypo. Švytuoklės judėjimo lygtį gausime jėgos momentą $ \ell \,F $ prilyginę kampinio pagreičio $ \mathrm{d}^2\varphi /\mathrm{d} t^2 $ ir svarelio inercijos momento $ J=m\,{\ell}^2 $ sandaugai:

\[ m {\ell}^2 \frac{\mathrm{d}^2 \varphi}{\mathrm{d} t^2}=-\ell m g \sin \varphi .\tag{1} \]
Kairė lygties pusė yra masė padauginta iš pagreičio užrašyto kampinėse koordinatėse: $ m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}=m\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\bigl(\ell \dot \varphi \bigr)=m\ell^2 (\ddot \varphi)  $, nes $ \mathrm{d} x=\ell \mathrm{d} \varphi $. Įveskime naują dydį $ \omega_0 $ — tiesinės švytuoklės ciklinį dažnį, kurį su svyruoklės parametrais (svarelio mase ir strypo ilgiu) sieja sąryšis $ \omega _0^2=g/\ell $. Tada netiesinės švytuoklės lygtį Mathematica kalboje galėsime užrašyti tokiu pavidalu:
Klaida

Šios netiesinės diferencialinės lygties sprendinį Mathematica sugeba surasti.

Klaida

Atsakymas išreiškiamas elipsinėmis Jacobio funkcijomis $ \mathrm{am}(p;x) $, kurias Mathematica žymi \boldmath$\mathrm{JacobiAmplitude}[~]$. Su elipsinėmis funkcijomis šioje knygoje susidūrėme jau ne kartą. Kadangi švytuoklė yra savotiškas fizikos etalonas, manome, kad verta su jomis susipažinti artimiau [Petkovšek:1997,Spanier:1987,Abramowitz:1964]. Tai vienas tų retų atvejų, kai galima tik džiaugtis, kad kompiuteriai dar nebuvo išrasti tuo metu, kai gyveno jaunas Karaliaučiaus universiteto profesorius, elipsinių funkcijų teorijos kūrėjas C. G. J. Jacobi (1804—1851). Tikėtina, kad kompiuteriai būtų gerokai suvėlinę vienos gražiausių visoje matematikoje elipsinių funkcijų teorijos atsiradimą. Ši teorija dabar yra taikoma beveik visose srityse, pavyzdžiui, neseniai ji suvaidino lemiamą vaidmenį A. Wiles (1953—) įrodant didžiąją Fermat teoremą [Wiles:1995].

Norėdami suprasti elipsinių funkcijų teorijos ištakas įsivaizduokime, kad matematinė analizė buvo sukurta anksčiau nei buvo atrastos trigonometrinės funkcijos. Kadangi pastarosios tampriai susijusios su apskritimo lanko ilgio skaičiavimu pradžioje nubraižykime apskritimo ketvirtį ir jo lanko ilgio elementą $ \mathrm{d} s $.

Klaida

Visą apskritimo ilgį galima rasti integruojant jo ilgio elementą:

\[ \int \mathrm{d} s=\int\textstyle\sqrt{1+\big(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\big)^2}\,\mathrm{d} x \tag{2} \]
Kreivės ilgio formulę lengva pačiam išvesti užrašius Pitagoro teoremą diferencialams: $ (\mathrm{d} s)^2=(\mathrm{d} y)^2+(\mathrm{d} x)^2 $.Jei spindulys lygus vienetui, tada pavaizduotame apskritimo ketvirtyje iš Pitagoro teoremos seka, kad $ y=\sqrt{1-x^2} $. Taigi, norėdami rasti apskritimo perimetro ketvirtadalį — kurio vertė, kaip gerai žinome, yra $ \pi /2 $ — turime apskaičiuoti integralą $ \int_0^1 (1-x^2)^{-\frac12}\,\mathrm{d} x $. Užrašytąjį integralą pavadinkime ,,pilnuoju apskritiminiu integralu'' (analogija su pilnuoju elipsiniu integralu, kurio apibrėžimą tur būt jau nujaučia skaitytojas). Visas apskritimo ilgis tuomet bus lygus keturiems pilniesiems apskritiminiams integralams. Be abejo, norėdami apskaičiuoti bet kokį apskritimo lanko ilgį, turime skaičiuoti ,,nepilnąjį apskritiminį integralą'' $ F(z)=\int_0^z (1-x^2)^{-\frac12}\,\mathrm{d} x $, o tai yra tas pats, kas išspręsti diferencialinę lygtį $ F'(z)=(1-z^2)^{-\frac12} $, esant pradinei sąlygai $ F(0)=0 $. Kadangi, kaip žinome, integralas lygus $ F(z)=\mathrm{arcsin}\, z $, visiškai tikėtina, kad atsirastų fizikas ar matematikas, kuris sumanytų įvesti atvirkštines funkcijas. Sutinkamai su dabartinės matematikos žymėjimais jas geriau iš karto pavadinti trigonometrinių funkcijų vardais, $ {F(z)}^{-1}=\sin z $ ir $ {F (\frac{\pi }{2}-z)}^{-1}=\cos z $. Įsivaizuojamas mokslininkas tuoj pat pastebėtų, kad skaičiuoti su atvirkštinėmis funkcijomis (sinusais ir kosinusais) yra kur kas paprasčiau ir lengviau, nei su pradiniu integralu. Aišku, jis greitai surastų būdą, kaip įvestas $ \sin z $ ir $ \cos z $ funkcijas išreikšti eksponentėmis, o panaudojęs Taylor'o eilutės skleidinį pamatytų, kad atvirkštinės funkcijos konverguoja labai sparčiai. Taigi sudarytų šių funkcijų lenteles, iš kurių jau lengvai galėtų apskaičiuoti pirminės funkcijos $ F(z) $ reikšmes.

O dabar grįžkime prie bendresnių, elipsinių funkcijų. Apskaičiuokime elipsės ketvirčio ilgio perimetrą (žr. piešinį žemiau).

Klaida
Antrosios rūšies elipsinio integralo geometrinė interpretacija

Skaičiuosime analogiškai. Prilyginę didįjį elipsės pusašį vienetui, o mažąjį — $ q $, užrašome elipsės lygtį $ \frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{q^2}=1 $, iš kurios seka, kad $ y^2+q^2 t^2=q^2 $, ir kurioje $ x $ pakeitėme kintamuoju $ t $. Pasinaudoję kreivės ilgio elemento integralu (2) ir, pavyzdžiui, paėmę $ q=4/5 $, gauname, kad elipsės perimetro ketvirtoji dalis yra lygi

Klaida

Kai $ 0\leq q\leq 1 $, šis integralas yra vadinamas pilnuoju antrosios rūšies elipsiniu integralu ir žymimas

\[ E(p)=E(q^2-1)=\int_0^{\pi /2} \sqrt{1-(q^2-1)\sin^2{\varphi}}\,\,\mathrm{d} \varphi .\tag{3} \]
Su mūsų \boldmath$ketvirtisElipsesPerimetro$ integralu jį sieja akivaizdus kintamųjų pakeitimas $ t=\sin \varphi $. Mathematica sistemoje šis integralas žymimas \boldmath$\mathrm{EllipticE}[~]$. Kai $ q=1 $ (tai atitinka $ p=0 $), elipsė virsta apskritimu, todėl ketvirtis perimetro yra $ \pi /2 $.
Klaida

Nepilnąjį antrosios rūšies elipsinį integralą gausime pilnajame integrale viršutinį rėžį pakeitę parametru:

\[ E(p;\varphi )=\int _0^\varphi \sqrt{1-p^2 \sin^2\theta}\,\,\mathrm{d} \theta =\int _0^{\sin \varphi}\frac{\sqrt{1-\smash{p^2} t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d} t.\tag{4} \]

Netiesinės švytuoklės analizėje mums bus svarbesnis nepilnasis pirmosios rūšies elipsinis integralas, kuris apibrėžiamas tokiu būdu:

\[ F(p;\varphi)=\int _0^\varphi\frac{1}{\sqrt{1-\smash{p^2}\sin^2 \theta}}\,\,\mathrm{d} \theta ;\qquad0\leq p\leq 1.\tag{5} \]
Mathematica jį žymi simboliu \boldmath$\mathrm{EllipticF}[\varphi,p]$ (įsidėmėkite — argumentai sukeisti vietomis). Pastarąjį po kintamųjų pakeitimo $ t=\sin \theta $ ir $ x=\sin \varphi  $ galima perrašyti dar ir tokiu pavidalu:
\[ F(p;x)=\int _0^x\frac{1}{\sqrt{1-t^2}\sqrt{1-\smash{p^2}t^2}}\,\mathrm{d} t .\tag{6} \]
Nepilnąjį pirmosios rūšies elipsinį integralą taip pat galima geometriškai interpretuoti. Padalintas iš $ \varphi $ jis nusako vidutinį atstumą $ r $ nuo centro iki elipsės lanko, nubrėžto nuo abscisių ašies $ \theta =0 $ iki spindulio $ \theta =\varphi $: $ \frac{F(p;\varphi)}{\varphi}=\frac{1}{\varphi}\int_0^\varphi r\, \mathrm{d}\theta $. Dvi ribinės kampo $ \theta  $ vertės parodytos piešinyje žemiau
Klaida

Aišku, kad apskritimo atveju ,,pirmosios rūšies'' integralas yra trivialus ($ \equiv const $) dėl akivaizdžios priežasties — visi apskritimo taškai vienodai nutolę nuo centro. Integralą $ F(p;\varphi ) $ lengviausia skaičiuoti polinėje koordinačių sistemoje, nes elipsė toje sistemoje užrašoma paprasta parametrine formule $ 1\big/\sqrt{1-\smash{p^2}\sin^2 \theta} $.

Pirmosios rūšies nepilnojo elipsinio integralo tyrimas buvo viena iš svarbiausių pirmosios XIX a. pusės problemų. Ją ilgai bet nelabai sėkmingai mėgino išspręsti Legendre`as. Sprendimą surado C. G. J. Jacobi, kuriam ir šovė mintis skaičiuoti atvirkštinę funkciją. Vargu ar šių gudrybių būtų prireikę esant kompiuteriams, todėl tikėtina, kad elipsinių funkcijų teorija būtų vėlavusi. Švytuoklės diferencialinės lygties sprendinyje figūruojanti funkcija \boldmath$\mathrm{JacobiAmplitude}[~]$ (elliptic amplitude, kurios standartinis žymėjimas $ \mathrm{am}(p;x) $) yra pirmosios rūšies elipsinio integralo \boldmath$\mathrm{EllipticF}[~]$ atvirkštinė funkcija. Tai matyti iš tokių skaičiavimų:

Klaida
Jakobi vardas siejamas ir su eile kitų atvirkštinių funkcijų, būtent, sn, cn ir dn: sinus amplitude=sinusas amplitudinis (Mathematica žymėjimas \boldmath$\mathrm{JacobiSN}[~]$), cosinus amplitude=kosinusas amplitudinis (\boldmath$\mathrm{JacobiCN}[~]$), delta amplitudinis (\boldmath$\mathrm{JacobiDN}[~]$). Visas jas sieja tokie sąryšiai: $ \mathrm{am}(p; x) = \arcsin(\mathrm{sn}(p; x)) = \arccos(\mathrm{cn}(p; x)) = \arcsin \bigl(\frac{(1 -\mathrm{dn}^2(p; x)}{p}\bigr)  $. Yra dar devynios atvirkštinės elipsinės funkcijos, kurių Jakobi nežinojo. Jas įvedė J. Glaisher, kuris taip pat pasiūlė ir šių funkcijų žymėjimus [Spanier:1987].

Jei grįšime prie apskritimo lanko ilgio skaičiavimo ir prisiminsime, kad atvirkštinės funkcijos ten sutapatinamos su paprastosiomis trigonometrinėmis funkcijomis — sinusais ir kosinusais, — suprasime, kodėl netiesinės švytuoklės aprendinyje jas pakeitė elipsinės atvirkštinės funkcijos. Pilnąjį pirmosios rūšies elipsinį integralą gausime parametrą $ \varphi  $ pakeitę maksimalia $ \pi/2 $ verte. Beje, Mathematica sistemoje šis pilnasis integralas žymimas net visai kitu simboliu \boldmath$\mathrm{EllipticK}[p]$.

spausdinti