MOKSLASplius.lt

Švytuoklė: nuo tvarkos iki chaoso

Švytavimo periodas

Grįžkime prie netiesinės švytuoklės, kurios savybes kol kas pabandysime išsiaiškinti nesinaudodami \boldmath$\mathrm{JacobiAmplitude}[~]$ funkcijomis. Jos svyravimo periodą galime rasti ir nesprendžiant diferencialinės lygties. Tam pasinaudosime pilnutinės energijos tvermės dėsniu $ E=T+V=\mathrm{const} $. Čia $ V $ žymi potencinę švytuoklės energiją

\[ V(\varphi )=m g \ell (1-\cos \varphi)=2 m g \ell  \sin^2(\varphi /2),\tag{7} \]
o $ \varphi  $ — atsilenkimo kampą (žr. švytuoklės piešinį). $ T $ yra kinetinė švytuoklės energija.
\[ T(\varphi )=J \omega^2/2=m {\ell}^2 (\mathrm{d} \varphi /\mathrm{d} t)^2/2 .\tag{8} \]
Tuo momentu, kai švytuoklė yra atsilenkusi didžiausiu kampu $ \varphi_{max} $ ir akimirkai stabteli, jos kinetinė energija lygi nuliui. Todėl šiame taške pilnutinė energija lygi potencinei: $ E=0+V_{max}=2 m g \ell \sin^2 (\varphi_{max}/2) $. Tokiu būdu, esant bet kokiam atsilenkimo kampui galioja lygtis
\[ 2 m g \ell \sin^2 (\varphi_{max}/2) =m {\ell}^2 (\mathrm{d} \varphi /\mathrm{d} t)^2/2 + 2 m g \ell \sin^2 (\varphi /2),\tag{9} \]
iš kur randame
\[ \mathrm{d} \varphi /\mathrm{d} t=2 \omega_0 \sqrt{\sin^2 \smash{(\varphi_{max}/2)}-\sin^2 (\varphi /2)};\qquad\omega_0=\textstyle\sqrt{\frac{g}{\ell }} .\tag{10} \]
Pastebėję, kad švytuoklė atsilenkia nuo pusiausvyros iki maksimalaus kampo kas ketvirtį periodo $ T $ (tikimės, kad periodo skaitytojas nesupainios su kinetine energija, kurią pažymėjome ta pačia raide), gautą diferencialinę lygtį galime suintegruoti
\[ \frac{T}{4}=\frac{2}{\omega_0}\int _0^{\varphi_{max}}\frac{1}{\sqrt{\sin^2 \smash{(\varphi_{max}/2)}-\sin^2 (\varphi/2)}}\,\mathrm{d}\varphi .\tag{11} \]
Kai $ \varphi \rightarrow \varphi_{max} $, užrašytas integralas diverguoja, todėl patogiau įvesti naują kintamąjį $ z=\sin (\varphi/2)\big/\sin(\varphi_{max}/2) $ ir pažymėjimą $ p=\sin (\varphi_{max}/2) $. Po šių pakeitimų turime integralą
\[ \frac{T}{4}=\frac{1}{\omega_0}\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-z^2)(1-\smash{p^2}z^2)}}\,\mathrm{d} z,\tag{12} \]
kuriuo pasinaudoję galime nesunkiai apskaičiuoti netiesinės švytuoklės svyravimų periodą

\boldmath\begin{eqnarray*}&&periodasNeTies=\frac{4}{\omega _0} \mathrm{Integrate}[\frac{1}{\sqrt{(1-z^2) (1-p^2 z^2)}},\{z,0,1\},Assumptions\to 1>p>0]\end{eqnarray*}

Dabar integralas diverguoja tik taške $ \varphi_{max}=\pi $, kas atitinka $ p=1 $. Palyginę matome, kad tai yra ką tik aptartas pirmosios rūšies pilnasis elipsinis integralas. Tuo atveju, kai $ p=0 $ (tai atitinka $ q=1 $), elipsė išsigimsta į apskritimą ir integralo vertė yra gerai žinomas tiesinės švytuoklės periodas:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&periodasTies=\frac{4}{\omega _0} \mathrm{Integrate}[\frac{1}{\sqrt{(1-z^2)}},\{z,0,1\}]\end{eqnarray*}

Kaip minėjome, Mathematica pilnąjį pirmosios rūšies elipsinį integralą žymi \boldmath$\mathrm{EllipticK}[k]\equiv  \mathrm{EllipticF}[{\pi /2, k]$.

Panagrinėkime elipsinio integralo aproksimaciją. Tuo tikslu išraiškoje \boldmath$periodasNeTies$ narį $ \sqrt{1-\smash{p^2}z^2} $ išskleiskime eilute taško $ p=0 $ aplinkoje. Apsiribosime žemesniais kaip $ p^9 $ nariais.

\boldmath$eilute=\mathrm{Series}[\frac{1}{\sqrt{1-p^2 z^2}},\{p,$,\boldmath$\}]$

  

Eilutę panariui suintegravę, gauname

\boldmath\begin{eqnarray*}&&periodasNeTiesApprox=\frac{4}{\omega _0} \mathrm{Integrate}[\frac{\mathrm{Normal}[eilute]}{\sqrt{(1-z^2)}},\{z,0,1\}]\end{eqnarray*}

Komanda \boldmath$\mathrm{Normal}[~]$ panaikino aukštesnės eilės narių simbolį $ \mathrm{O}[p]^9 $. Dabar vietoje $ p $ įstatę $ \sin(\varphi_{max}/2) $ rasime, kaip svyravimo periodas priklauso nuo maksimalaus atsilenkimo kampo $ \varphi_{max} $. Pavaizduokime tikslią ir apytikslę (eilutės pavidalo) netiesinės švytuoklės periodo priklausomybę nuo maksimalaus atsilenkimo kampo $ \varphi_{max} $. Tiesinės švytuoklės ciklinį dažnį laikysime vienetu, $ \omega_0=1 $. Lygiagreti $ \varphi_{max} $ ašiai tiesė vaizduos tiesinės švytuoklės svyravimų periodą.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&<< Graphics{}^\backprime Legend{}^\backprime \\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\{periodasTies,periodasNeTiesApprox,periodasNeTies\}//.\{p\to \mathrm{Sin} [\frac{\varphi _{\max }}{2}],\omega _0\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\omega_0$}\}],\\&&\quad\{\varphi _{\max },\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varphi_{start}}$}, \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{\varphi_{end}}$}\},\mathrm{AxesLabel}\to \{\varphi _{\max },T\},\mathrm{PlotRange} \to \{\{0, \pi\}, \{0, 20\}\}, \\&&\mathrm{PlotLegend}\to \{"Ties.",\mathrm{"Aproks."},\mathrm{"Tiksli"}\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$T_{min}$= iki \boldmath$T_{max}$=
Parametro \boldmath$\omega_0$ vertė: =
Piešimo parinktys:

  

Matome, kad svyravimų periodas didėja, didinant švytuoklės atsilenkimo kampą $ \varphi_{max} $. Kai $ \varphi_{\max}\rightarrow \pi $, periodas darosi begalinis (viršijus $ \pi $ švytuoklė pradeda suktis apie ašį, todėl apsisukimo periodą jau reikia skaičiuoti kitaip). Iš brėžinio matyti, kad skirtumas tarp tiesinės ir netiesinės švytuoklės periodo pastebimas esant didesniems už $ \pi /4 $ atsilenkimo kampams. Apytikslis sprendinys gerai tinka dar didesniems kampams, tačiau ribinį atvejį $ \varphi \rightarrow \pi  $ aprašo neteisingai. Įdomu pavaizduoti, kaip priklauso netiesinės švytuoklės santykinis atsilenkimas $ \varphi /\varphi_{max} $ nuo normuoto į periodą laiko $ t/T $, kai maksimalaus atsilenkimo kampai $ \varphi_{max} $ įvairūs. Priminsime, kad maksimalaus atsilenkimo kampą ir anksčiau įvestą elipsinių funkcijų parametrą $ p $ sieja sąryšis $ p=\sin(\varphi_{max}/2) $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&periodasNeTiesN[p\_]:=\frac{4}{\omega _0} \mathrm{NIntegrate}[\frac{1}{\sqrt{(1-z^2)(1-p^2 z^2)}},\{z,0,1\}]\\&&\varphi [x\_\, ,\varphi Max\_]:=\mathrm{ArcSin}[\mathrm{Sin} [\frac{\varphi Max}{2}] \mathrm{JacobiSN}[x*periodasNeTiesN[\mathrm{Sin}[\frac{\varphi Max}{2}]]/.\omega _0\to \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\omega_0$},\mathrm{Sin}[\frac{\varphi Max}{2}]^2]]\big/(\varphi Max/2)\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\varphi [x,\pi *\# ]\&/@\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\{\frac{1}{10},\frac{4}{5},\frac{19}{20},\frac{99}{100},\frac{999}{1000}\}$}],\{x,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{x_{min}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{x_{max}}$}\},    \mathrm{AxesLabel}\to \{t/T,\varphi /\varphi _{\max }\},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$x_{min}$= iki \boldmath$x_{max}$=
Parametro \boldmath$\omega_0$ vertė: =
Atsilenkimų santykių vertės:
Piešimo parinktys:

  

Kai svyravimai maži, turime įprastus sinusinius svyravimus. Nuokrypio kampui didėjant, švytuoklė vis didesnę santykinę laiko dalį praleidžia ,,viršuje'', t.y. toli nuo pusiausvyros padėties. Kai atsilenkimas maksimalus, $ \varphi_{max}=\pi $, gautume laiptelio funkciją, t.y. visą laiką svyruoklė būtų viršuje, priartėdama prie tos padėties tai iš vienos, tai iš kitos pusės per be galo trumpą laiko tarpą.

Grižkime prie netiesinės švytuoklės lygties (1). Ji aprašo ne tik svarelio svyravimus, bet ir jo pilnus apsisukimus aplink pakabinimo tašką. Tuo galima įsitikinti imant, pavyzdžiui, pradinį kampą $ \varphi_0=0 $ ir įvairius pradinius svarelio kampinius greičius: $ \mathrm{d} \varphi /\mathrm{d} t=\omega(0)=\omega_0 $. Kadangi toliau tirsime netiesinę švytuoklę su papildomais nariais, kuriuos pridėjus jau nepavyksta gauti paprasto analizinio sprendinio, iliustracijai diferencialinę lygtį (1) išspręskime skaitiškai. Kampinio greičio vertes imsime lygias $ 4 $, $ 8 $ ir $ 8{,}2 $, o kitom vertėms skaitytojas grafikus nusibraižys pats.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&sprendNeTiesSkait[\omega 00\_?\mathrm{NumberQ},\omega 0\_]:=\mathrm{NDSolve}[\{svytuokle/.\omega _0\to \omega 0,\varphi [0]==              0,\varphi^\prime[0]==\omega 00\},\varphi [t],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\}] \\[3pt]&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\mathrm{Flatten}[(\varphi [t]/.sprendNeTiesSkait[\# ,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\omega_0}$}]\&)/@kampiniaiGreiciai]],\{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\},\\[3pt]&&\quad \mathrm{AxesLabel}\to \{t,\varphi \},\mathrm{PlotRange}\to \mathrm{All},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Parametro \boldmath$\omega_0$ vertė: =
Kampinių greičių vertės: \boldmath$kampiniaiGreiciai$==
Piešimo parinktys:

  

Kai pradinis greitis $ \omega (0)=4 $ ir $ \approx 8 $, švytuoklė svyruoja skirtingais, daugiau kaip du kartus besiskiriančiais, periodais. Kai tik kampininis greitis $ \omega  $ truputį viršija $ 8 $ ($ \omega (0)=8{,}02 $), ji pradeda suktis apie pakabinimo tašką. Šiuo atveju kampas $ \varphi  $ visą laiką didėja. Prieš pradėdami apibendrinimus, dar nubraižysime netiesinės švytuoklės fazinį portretą. Jis rodo kaip kampinis greitis $ \omega =\mathrm{d}\varphi /\mathrm{d} t $ priklauso nuo atsilenkimo kampo $ \varphi  $. Faziniame portrete laikas tarnauja parametru.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\[5pt]&&\mathrm{ParametricPlot}[\mathrm{Evaluate}[(\{\varphi [t]/.sprendNeTiesSkait[\#,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{p}\smash{\omega_0}$}],\frac{\partial [\varphi [t]/.sprendNeTiesSkait[#,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\omega_0}$}]]}{\partial t}\}\&)/@kampiniaiGreiciai],\\[5pt]&&\quad \{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{t}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{t_{end}}$}\},PlotRange\to \{\{-\pi ,\pi \},Automatic\},AxesLabel\to \{\varphi ,\omega \},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Parametro \boldmath$\omega_0$ vertė: =
Kampinių greičių vertės: \boldmath$kampiniaiGreiciai$==
Piešimo parinktys:

  

Kai energijos mažos (jas atitinka maži pradiniai kampiniai greičiai), piešinyje matomi koncentriniai apskritimai, kurie didėjant pilnutinei švytuoklės energijai ,,išsitempia'' į elipses. Kai kinetinė energija viršija potencinę, elipsė sutrūksta ir švytuoklė ima judėti tik viena kryptimi (trajektorija išeina už $ [-\pi ,\pi ] $ intervalo ribų). Piešinio simetrijai išgauti kartu sudėsime sukimosi pagal ir prieš laikrodžio rodyklę fazines trajektorijas.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Show}[\{\\&&\mathrm{ParametricPlot}[\mathrm{Evaluate}[(\{\varphi [t]/.sprendNeTiesSkait[\#,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\omega_0}$}],\frac{\partial [\varphi [t]/.sprendNeTiesSkait[\#,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{p}\smash{\omega_0}$}]]}{\partial t}\}\&)/@kampiniaiGreiciai],\\[3pt]&&\qquad \{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{y}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{_}\smash{t_{end}}$}\},PlotRange\to \{\{-\pi ,\pi \},Automatic\},AxesLabel\to \{\varphi ,\omega \},\mathrm{DisplayFunction}\to\mathrm{Identity},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}],\\[4pt]&&\mathrm{ParametricPlot}[\mathrm{Evaluate}[(\{\varphi [t]/.sprendNeTiesSkait[\#,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\omega_0}$}],-\frac{\partial [\varphi [t]/.sprendNeTiesSkait[\#,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{_}\smash{\omega_0}$}]]}{\partial t}\}\&)/@kampiniaiGreiciai],\\[3pt]&&\qquad \{t,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{p}\smash{t_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{p}\smash{t_{end}}$}\},PlotRange\to \{\{-\pi ,\pi \},Automatic\},AxesLabel\to \{\varphi ,\omega \},\mathrm{DisplayFunction}\to\mathrm{Identity},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\\&&\},\mathrm{DisplayFunction}\to\$\mathrm{DisplayFunction}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$t_{start}$= iki \boldmath$t_{end}$=
Parametro \boldmath$\omega_0$ vertė: =
Kampinių greičių vertės: \boldmath$kampiniaiGreiciai$==
Piešimo parinktys:

  

spausdinti