MOKSLASplius.lt

Švytuoklė: nuo tvarkos iki chaoso

Gęstanti švytuoklė

Švytuoklės diferencialinę lygtį papildykime slopinimo nariu. Patirtis rodo, kad slopinimas yra proporcingas judėjimo greičiui, nagrinėjamu atveju — kampiniam greičiui. Įvesime bedimensį laiką $ \tau =\omega_0 t $. Tada gęstančios švytuoklės lygtį galime užrašyti pavidalu

\[ \mathrm{d}^2 \varphi /\mathrm{d} \tau^2+Q^{-1} \mathrm{d} \varphi /\mathrm{d} \tau +\sin \varphi =0,\tag{13} \]
arba Mathematica kalba
\boldmath\begin{eqnarray*}&&gestantiSvytuokle=(\varphi ^{\prime\prime}[\tau]+\frac{1}{Q} \varphi ^{\prime}[\tau]+\mathrm{Sin}[\varphi [\tau]] ==0);\end{eqnarray*}

Bedimensis parametras $ Q $ vadinamas kokybe. Jo fizikinė prasmė paaiškės panagrinėjus tiesinės gęstančios švytuoklės lygties sprendinius (žr. taip pat "Pereinamieji virpesiai LC kontūre" eksperimentą).

\boldmath\begin{eqnarray*}&&tiesineGestantiSvytuokle=\varphi ^{\prime\prime}[\tau ]+\frac{1}{Q}\varphi ^\prime [\tau ]+\varphi [\tau ]==0;\\&&gestantisSprendinys=\mathrm{Flatten}[\mathrm{DSolve}[tiesineGestantiSvytuokle,\varphi [\tau ],\tau ]]\end{eqnarray*}

Iš gauto sprendinio matyti, kad esant $ Q<1/2 $, turime eksponentiškai gęstančius sprendinius (pošaknio reiškinys teigiamas). Kai $ Q>1/2 $, turime gęstančius harmoninius virpesius (pošaknio reiškinys neigiamas, todėl eksponentės rodiklis yra kompleksinė funkcija), kurie didėjant švytuoklės kokybei gęsta vis lėčiau. Kai $ Q\rightarrow \infty  $, gausime tiesinio osciliatoriaus sprendinį. Nors integravimo pastoviosios čia išreikštos kiek kitaip nei įprasta, riboje $ Q\rightarrow \infty $ jų niekas nedraudžia peržymėti:

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Simplify}[\mathrm{ExpToTrig}[\mathrm{Limit}[\varphi [\tau ]/.gestantisSprendinys, Q\to \infty]]]\end{eqnarray*}

Grižkime prie netiesinės švytuoklės. Gęstant virpesiams, švytuoklės energija mažėja, todėl anksčiau apibrėžta potencinės ir kinetinės energijos suma $ E $ jau nėra pastovi. Taigi energijos tvermės dėsniu naudotis negalime. Todėl tolesnę analizę atliksime skaitiniais metodais. Panagrinėkime atvejį, kai slopinimas yra silpnas, pavyzdžiui, kai $ Q=10 $.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&sprendNeTiesGest[\varphi 0\_?\mathrm{NumberQ},q\_]:=\mathrm{NDSolve}[\{gestantiSvytuokle/.Q \to q,\varphi [0]==              0,\varphi^\prime[0]==\varphi 0\},\varphi [\tau],\{\tau,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau _{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{end}}$}\}] \\&&\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\mathrm{Flatten}[(\varphi [\tau]/.sprendNeTiesGest[#,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{q}$}]\&)/@kampiniaiGreiciai]],\{\tau,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{end}}$}\},\\&&\mathrm{AxesLabel}\to \{\tau,\varphi \},\mathrm{PlotRange}\to \mathrm{All},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$\tau_{start}$= iki \boldmath$\tau_{end}$=
Parametro \boldmath$q$ vertė: =
Kampinių greičių vertės: \boldmath$kampiniaiGreiciai$==
Piešimo parinktys:

  

Trys kreivės brėžinyje atitinka tris pradinius svarelio kampinius greičius: $ \omega (0)=3 $, $  2{,}5 $ ir $ 2 $. Kai pradinis greitis mažas, svyravimai gęsta $ \varphi =0 $ taško aplinkoje. Esant didesniems pradiniams greičiams, švytuoklė apsisuka ratu atitinkamai vieną ir du kartus. Dėl nuostolių, patiriamų kiekvieno apsisukimo metu, švytuoklė pagaliau nustoja suktis ratu ir ima svyruoti vis mažėjančia amplitude. Jei didintume kokybę, švytuoklė prieš pradėdama svyruoti ratu apsisuktų daugiau kartų. Tai matysime aiškiau, nubraižę gęstančios svyruoklės sprendinių fazinius portretus.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{ParametricPlot}[\mathrm{Evaluate}[(\{\varphi [\tau]/.sprendNeTiesGest[#,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{q}$}],\frac{\partial [\varphi [\tau]/.sprendNeTiesGest[#,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{q}$}]]}{\partial \tau}\}\&)/@kampiniaiGreiciai],\\&&\{\tau,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{end}}$}\},PlotRange\to \{\{-\pi ,\pi \},Automatic\},AxesLabel\to \{\varphi ,\omega \},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$\tau_{start}$= iki \boldmath$\tau_{end}$=
Parametro \boldmath$q$ vertė: =
Kampinių greičių vertės: \boldmath$kampiniaiGreiciai$==
Piešimo parinktys:

  

Matome, kad praėjus ilgam laiko tarpui fazinės trajektorijos ,,susisuka'' apie taškus $ \varphi_n  =  2\pi  n $, kur $ n $ — sveikas skaičius. Šiuos taškus vadina atraktoriais, nes jie traukia (angl. attract — pritraukti, privilioti) trajektorijas fazinėje plokštumoje. Taigi taškas $ \varphi_0 = 0 $ yra atraktorius toms trajektorijoms, kurių pradinis kampinis greitis mažas.

spausdinti