MOKSLASplius.lt

Švytuoklė: nuo tvarkos iki chaoso

Paulio gaudyklė

Švytuoklės lygtį papildysime dar vienu nariu, vadinamu laisvuoju, t.y. nariu, nepriklausančiu nuo $ \varphi  $ ir $ \mathrm{d} \varphi /\mathrm{d} t $. Jis modeliuoja švytuoklę veikiančią išorinę jėgą. Kai jėga yra harmoninė $ A \sin(\Omega t) $, kur $ A $ — išorinės jėgos amplitudė, o $ \Omega  $ — ciklinis dažnis, netiesinės ir gęstančios švytuoklės atveju galima gauti visiškai netikėtus rezultatus. Priklausomai nuo $ A $ ir $ \Omega  $ dydžio bei kitų švytuoklės parametrų verčių yra galimi įvairūs švytuoklės judėjimo scenarijai. Kai kurie iš jų, pavyzdžiui, sinchroniškas svyravimas išorinės jėgos dažniu (arba jam kartotiniu), yra gerai žinomi. Čia verta prisiminti "Pereinamieji virpesiai LC kontūre" ekperimente nagrinėjamus elektrinio kontūro virpesius, kai jis buvo veikiamas harmonine įtampa. Mes apsistosime ties dviem rečiau sutinkamais scenarijais. Pirmasis iš dalies paaiškina atskirų atomų ir molekulių gaudyklės, taip vadinamos Paulio gaudyklės, veikimo principą. Antrasis bus įvadu į deterministinį chaosą, naują fizikos kryptį, kurios spartų vystymąsi stimuliavo kompiuteriai.

Fazinio portreto braižymui palengvinti švytuoklės lygtį užrašysime dviejų pirmosios eilės diferencialinių lygčių sistema. Tam funkcijos $ \varphi $ išvestinę pažymėkime nauja raide $ \omega $, kurios prasmė — kampinis greitis.

\[ \begin{split}\mathrm{d} \varphi /\mathrm{d} \tau &=\omega ,\\\mathrm{d} \omega /\mathrm{d} \tau &=-\omega /Q-\sin \varphi +A \sin(\Omega t) .\end{split}\tag{14} \]

\boldmath\begin{eqnarray*}&&sistema=\{\varphi ^{\prime}[\tau]-\omega [\tau] ==0,\omega ^{\prime}[\tau]+\omega [\tau] \big/Q +\mathrm{Sin}[\varphi [\tau]] - A \mathrm{Sin}[\Omega \tau]==0\};\end{eqnarray*}

Paimkime apibrėžtą parametrų rinkinį

\boldmath$paramPaulio=\bigl\{$
\boldmath$Q$\boldmath$\to$,kokybės $ Q $ parametro vertė
\boldmath$A$\boldmath$\to$,išorinės harmoninės jėgos amplitudės vertė
\boldmath$\Omega$\boldmath$\to$išorinės harmoninės jėgos dažnis
\boldmath$\bigr\}$

  

ir rastai sprendinių $ (\varphi ,\omega ) $ porai

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&sprendinysPaulio=\mathrm{Flatten}[\mathrm{NDSolve}[\{sistema/.paramPaulio,\varphi [0]==\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varphi_0}$},\omega [0]==\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\omega_0}$}\},\{\varphi,\omega\},\{\tau,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{start}}$}, \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{end}}$}\},  \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Spręsti nuo \boldmath$\tau_{start}$= iki \boldmath$\tau_{end}$=
\boldmath$\varphi_0$ vertė: =
\boldmath$\omega_0$==
NDSolve parinktys:

  

nubraižykime fazinį portretą

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{ParametricPlot}[\mathrm{Evaluate}[\{\varphi [\tau],\omega [\tau]\}/.sprendinysPaulio],{\tau,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{end}}$}\}, AxesLabel\to \{\varphi ,\omega \},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$\tau_{start}$= iki \boldmath$\tau_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Kaip matyti, fazinėje plokštumoje turime uždarą ciklą, kurio taškai bet kuriuo momentu tenkina sąlygą $ \frac{\pi}{4}\leq \varphi \leq 7\frac{\pi}{4} $. Tai reiškia, kad švytuoklė svyruoja ,,aukštyn kojom''(!), t.y. ji niekada nekerta $ \varphi =0 $ taško. Tokiu būdu, parinkę specialias parametrų vertes, gavome atraktorių ties $ \varphi =\pi $ tašku. Pastebėsime, kad tiesinės švytuoklės fazinės trajektorijos traukos taškai gali būti tik kartotiniai $ 2\pi  $ kampai. Tokio pobūdžio ,,invertuotos'' osciliacijos randa praktinį pritaikymą šiuolaikinėse atskirų jonų gaudyklėse. Mat, net esant optimalioms elektrinių laukų konfigūracijoms, gaudyklėse galima sukurti tik balno formos elektrinį potencialą. Tokio potencialo veikiamas jonas link centro yra stumiamas vienomis kryptimis, o nuo centro — kitomis. Dėl to, aišku, jonas anksčiau ar vėliau pabėga iš gaudyklės. Kaip parodė W. Paulis su savo bendradarbiais, joną galima išlaikyti elektrostatinėje gaudyklėje, jei jį papildomai veiksime harmonine elektromagnetinio lauko jėga. Tuomet gaudyklėje susidaro sąlygos, panašios į tas, kurios verčia švytuoklę osciliuoti ,,aukštyn kojomis''.

spausdinti