MOKSLASplius.lt

Švytuoklė: nuo tvarkos iki chaoso

Chaosas

Išorinės jėgos veikiama netiesinė švytuoklė fazinėje erdvėje gali turėti visai kitokio pobūdžio traukos taškus nei nagrinėti iki šiol. Dėl savo neįprastų savybių tie taškai buvo praminti keistaisiais atraktoriais (strange attractors). Keistieji atraktoriai būdingi sistemoms, pasižyminčioms chaotiniu elgesiu. Kad švytuoklė pradedų chaotiškai svyruoti, paimsime tam tikras išorinės jėgos ir dažnio vertes. Pailiustruosime šį judėjimą išsprendę tą pačią diferencialinių lygčių sistemą, kaip ir W. Paulio gaudyklės atveju. Pakaks paimti tik kitas parametrų vertes.

\boldmath$paramChaos=\bigl\{$
\boldmath$Q$\boldmath$\to$,kokybės $ Q $ parametro vertė
\boldmath$A$\boldmath$\to$,išorinės harmoninės jėgos amplitudės vertė
\boldmath$\Omega$\boldmath$\to$išorinės harmoninės jėgos dažnis
\boldmath$\bigr\}$

  

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&sprendinysChaos=\mathrm{Flatten}[\mathrm{NDSolve}[\{sistema/.paramChaos,\varphi [0]==\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\varphi_0}$},\omega [0]==\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\omega_0}$}\},\{\varphi,\omega\},\{\tau,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{start}}$}, \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{end}}$}\},  \fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\\&&\mathrm{Plot}[\mathrm{Evaluate}[\varphi [\tau]/.sprendinysChaos],{\tau,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{end}}$}\},AxesLabel\to \{\tau ,\omega \},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Spręsti nuo \boldmath$\tau_{start}$= iki \boldmath$\tau_{end}$=
\boldmath$\varphi_0$ vertė: =
\boldmath$\omega_0$==
NDSolve parinktys:
Piešimo parinktys:

  

Iš kampo priklausomybės nuo laiko matyti, kad dabar švytuoklės osciliacijos apie pusiausvyros padėtį ir šuoliai iš vienos ,,pusiausvyros'' padėties (nusakomos kampais $ \varphi = 2\pi n $; $ n\in \dsZ $; $ \dot{\varphi}=0 $) į kitą ,,pusiausvyros'' padėtį yra netvarkingi. Tai dar geriau pamatysime, jei svyravimus pavaizduosime fazinėje plokštumoje.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\\&&\mathrm{ParametricPlot}[\mathrm{Evaluate}[\{\varphi [\tau],\omega[\tau ]\} /.sprendinysChaos],\{\tau,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{end}}$}\},AxesLabel\to \{\varphi ,\omega \},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{parinktys}$}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$\tau_{start}$= iki \boldmath$\tau_{end}$=
Piešimo parinktys:

  

Aiškiai matyti, kad fazinė trajektorija sukasi apie pusiausvyros taškus. Svarbiausia yra tai, kad trajektorija pati su savimi niekada nepersikloja, kitais žodžiais tariant, trajektorijoje nėra uždarų ciklų. Dėl šios priežasties svyravimai yra visiškai chaotiški. Tačiau pasirodo, kad ir tokiuose chaotiniuose svyravimuose galima atrasti tam tikrų dėsningumų. Vienas iš šių dėsningumų tyrimo būdų yra Poincaré pjūvių metodas, pavadintas jį pasiūliusio garsaus prancūzų matematiko H. Poincaré vardu. Pjūviai gaunami tokiu būdu. Raskime $ \varphi  $ ir $ \omega  $ vertes laiko momentais, kurie yra kartotiniai išorinės jėgos periodui $ T=2\pi /\Omega  $, t.y. laiko momentais $ t=n T $, kur $ n\in \dsN  $. Taip rastos $ \varphi (t) $ ir $ \omega (t) $ vertės atidėtos $ \varphi -\omega  $ plokštumoje ir yra vadinamos Poincaré pjūviu.

\boldmath\begin{eqnarray*}&&\mathrm{ListPlot}[\mathrm{Table}[\mathrm{Flatten}[\mathrm{Evaluate}[\{ \mathrm{Mod} [\varphi [\tau ], 2 \pi ] -\pi ,\omega [\tau ]\}/.sprendinysChaos]],\\&&\{\tau,\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{start}}$},\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\tau_{end}}$},2\pi\big/\fcolorbox[rgb]{1,0,0}{1,1,1}{$\vphantom{v}\smash{\Omega}$}\}], AxesLabel\to \{\varphi ,\omega \}]\end{eqnarray*}

Piešti nuo \boldmath$\tau_{start}$= iki \boldmath$\tau_{end}$= žingsneliu: \boldmath$\Omega$=
Piešimo parinktys:

  

Kaip matome, Poincaré pjūvyje fazinės trajektorijos taškai vienas po kito gula atsitiktinai. Tačiau jų visuma sudaro tam tikrą struktūrą, panašią į kreivę, sudėliotą iš taškų. Ją matysite aiškiau, jei pavaizduosite daugiau taškų. Ši ,,taškinė'' kreivė traukia visus išorinės jėgos periodui $ T $ kartotinius fazinės trajektorijos taškus. Taigi, toks chaotinis švytuoklės judėjimas turi traukos elementą, kuris, kaip minėta, vadinamas keistuoju atraktoriumi. Atraktoriaus pavidalas nepriklauso nuo pradinių $ \varphi_0 $ ir $ \omega_0 $ verčių. Po trumpo pereinamojo intervalo (čia jo trukmė apie $ 10 \pi/\Omega $) taškai ima gulti ant keistojo atraktoriaus ,,kreivės''. Jei švytuoklės judėjimą sutrikdysime, ji po neilgo pereinamojo proceso grįš prie tuo pačiu chaotiniu atraktoriumi charakterizuojamų chaotinių svyravimų. Taigi, globaliai sistema yra stabili. Antra vertus, lokaliai sistema nėra stabili: mažiausi nukrypimai nuo pradinių sąlygų duoda visai skirtingas trajektorijas. Tai galima pamatyti išanalizavus $ \varphi  $ priklausomybę nuo laiko su šiek tiek besiskiriančiomis pradinėmis kampo $ \varphi_0 $ ir jo kitimo greičio $ \omega_0 $ vertėmis. Nagrinėjamu atveju trajektorijos tarp gretimų taškų po kiekvieno išorinės jėgos periodo $ T $ nutolsta viena nuo kitos apytiksliai tris kartus. Po dešimties periodų jos skirsis jau $ 3^{10}=59049 $ kartų. Toks eksponentinis jautris pradinėms sąlygoms neleidžia numatyti, kas atsitiks su sistema po bent kiek ilgesnio laiko tarpo, nes pradiniai duomenys visada yra žinomi tik tam tikru tikslumu (drugelio reiškinys). Nuo Galilei'aus laikų buvo žinoma, kad esant nedidelėms svyravimų amplitudėms, švytuoklės svyravimų periodas nepriklauso nei nuo pradinių salygų, nei nuo svyravimų sužadinimo pobūdžio. Vėliau, C.G.J. Jakobio įvestos elipsinės funkcijos leido gerai suprasti netiesinės švytuoklės judėjimo dėsningumus. Ir štai, atrodytų, iki smulkmenų išnagrinėtame etaloniniame fizikos objekte naujo tūkstantmečio pradžioje netikėtai išnyra nauja savybė — chaotinis elgesys. Dabar, kai chaotinis švytuoklės judėjimas jau gerai suprastas, ne vienas su viltinga gaidele prisimena, kad kažkada savo akimis jau buvo matęs netvarkingą švytuoklės judėjimą. Tačiau tai, kad šiame chaotiniame judėjime galima įžiūrėti tam tikrus dėsningumus, iki E.N. Lorenzo niekas nepastebėjo. Chaosas su tokio pobūdžio dėsningumais [Schuster:1984,Peitgen:1992,Pyragas:2003] buvo pavadintas deterministiniu chaosu, idant jį galima būtų atskirti nuo, pavyzdžiui, finansinėse akcijų rinkose karaliaujančio chaoso, kuriame, bent kol kas, panašių dėsningumų pastebėti nepavyksta. Smulkiau apie osciliatoriaus chaosą sužinosite perskaitę straipsnį [MacDonald:1983], o norintiems plačiau paeksperimentuoti su chaosu galime rekomenduoti specialų Mathematica paketą, kuris smulkiai aprašytas straipsnyje [Gutierrez:1998].

Atnaujinta 2010.12.18

Literatūra

E. N. Lorentz, "Deterministic Nonperiodic Flow", Journal of the Atmospheric Sciences, V.20, No.2, p.130-141 (1963)

M. Petkovšek, H. S. Wilf, D. Zeilberg, "A=B", A.K. Peters, Ltd. (1997); yra interneto leidimas: http://www.cis.upenn.edu/~wilf.

J. Spanier, K. B. Oldham, "An Atlas of Functions", Springer-Verlag (1987), ISBN 0-89116-573-8

M. Abramowitz, I. A. Stegun, "Handbook of mathematical functions", National Bureau of Standards (1964)

A. Wiles, "Modular Celliptic curves and Fermat's Last Theorem", Annals of Mathematics V. 141, No.3, p. 443-551 (1995)

H. G. Schuster, "Deterministic Chaos", Physik-Verlag, Weinheim (1984)

H.-O. Peitgen, H. J\[UDoubleDot]rgens, D. Saupe, "Fractals for the classroom, Springer, NewYork (1992)

Kęstutis Pyragas "Netiesinės dinamikos pagrindai", Virtuali leidykla-knygyna, Vilnius, (2003); http://www.skaityk.lt

A. H. MacDonald, M. Plischke, "Study of the driven damped pendulum: Application to Josephson junctions and charge-density-wave systems", Phys. Rev. B, V.27, No.1, p.201-211 (1983)

J. M. Gutiérrez, A. Iglesias, "Mathematica package for analysis and control of chaos in nonlinear systems", Computers in Physics, V.12, No.6, p.608-619 (1998)

spausdinti