MOKSLASplius.lt

Taškinio krūvio judėjimas vienalyčiame lauke

Šiame eksperimente apskaičiuosime klasikines elektrono trajektorijas įvairių konfigūracijų elektromagnetiniuose laukuose. Praktikoje trajektorijas reikia žinoti, projektuojant elektroninius prietaisus, tokius kaip magnetroną, elektroninį mikroskopą, greitintuvą ir kitus. Išsprendę Lorentzo lygtį, parodysime, kad magnetinis laukas turi fokusuojančią savybę. Skyriaus pabaigoje suskaičiuosime elektrono trajektorijas nesutampančios krypties elektriniame ir magnetiniame laukuose. Tokia laukų konfigūracija dažnai sutinkama elektroniniuose prietaisuose.

Lorentzo lygtis

Elektronas yra kvantinė dalelė. Kvantinis pasaulis labai skiriasi nuo to, apie kurį informaciją teikia mūsų pojūčiai. Pavyzdžiui, vienu metu elektrono koordinatės ir greičio išmatuoti negalima, t.y. elektronas neturi griežtai apibrėžtos judėjimo trajektorijos. Tačiau, jei nenagrinėjame tokių reiškinių, kaip elektronų interferencija, sąvoką "elektrono trajektorija" įvesti galima.Elektrinio ir magnetinio laukų poveikį elektrono ar kitokios elektringos dalelės judėjimui aprašo Lorentzo lygtis. Pažymėję elektrono krūvį raide $ e $, masę $ m $, o elektrinį ir magnetinį lauką vektoriais $ \vec{\scE} $ ir $ \vec{\scB} $, Lorentzo lygtį galime užrašyti tokiu kompaktišku vektorinės diferencialinės lygties pavidalu [1]:

\[ m\, \frac{\mathrm{d}^2 \vec{R}}{\mathrm{d} t^2}=e\big( \vec{\scE}+\vec{v}\times\vec{\scB}\big) .\tag{1} \]
Čia $ \vec{R} $ žymi elektrono koordinatę, o $ t $ — laiką. Užrašyta tokioje formoje Lorentzo lygtis yra labai panaši į Newtono lygtį, tik joje vietoje gravitacinės jėgos dešinėje pusėje stovi elektromagnetinė jėga. Elektrono greitis $ \vec{v} $ ir abu laukai bendru atveju gali priklausyti nuo koordinatės $ \vec{R} $. Atkreipsime dėmesį, kad Lorentzo lygtis iš tikrųjų priklauso tik nuo vieno parametro — elektrono krūvio ir masės santykio. Dėl šios priežasties visi eksperimentai, kurių interpretacija remiasi Lorentzo lygtimi, gali išmatuoti tik santykį $ e/m $, o ne atskirai elektrono krūvį ir jo masę. Elektrinį ir magnetinį lauką pakeitę jų sandais, turėsime tris tarpusavyje susietas antros eilės diferencialines lygtis, kurių sprendinio ir ieškosime. Konkrečios lygčių sistemos sudėtingumas priklauso nuo laukų konfigūracijos ir uždavinio simetrijos. Pasirinkus tinkamą koordinačių sistemą lygtys gali labai supaprastėti. Dekartinėje koordinačių sistemoje priklausančias nuo laiko $ t $ koordinates $ X(t), Y(t), Z(t) $ ir greičius $ v_x(t), v_y(t),v_z(t) $ užrašysime tokiu pavidalu:
Klaida

Panašiai užrašysime elektrinio $ \vec{\scE} $ ir magnetinio $ \vec{\scB} $ lauko sandus $ x $, $ y $ ir $ z $ ašyse.

Klaida

Priminsime, kad dviejų vektorių skaliarinę sandaugą skaičiuoja komanda \boldmath$\mathrm{Dot}[~]$ (sutrumpintai žymima tašku). Pavyzdžiui, elektrinio ir magnetinio lauko skaliarinę sandaugą gausime užrašę

Klaida

Vektorinę sandaugą skaičiuoja komanda \boldmath$\mathrm{Cross}[~]$ (trumpoji forma \boldmath$\times$, kurią surinksite klavišais Esc cross Esc)

Klaida

Kaip matyti iš paskutiniojo atsakymo, rezultatas yra trijų elementų sąrašas, t.y. vektorius. Žinodami kaip skaičiuoti vektorinę sandaugą, Lorentzo lygtį galima užrašyti tokiu pavidalu:

Klaida

Dvigubos lygybės kairėje ir dešinėje turime vektorius (juos žymi trijų elementų sąrašai). Sulyginę atitinkamus sąrašų elementus, gausime tris tarpusavyje priklausomas antros eilės diferencialines lygtis. Atkreipsime dėmesį, kad diferencijavimo opeatorius \boldmath$\mathrm{D}[~]$ buvo automatiškai pritaikytas visiems vektoriaus sandams. Dauginant sąrašą iš skaliaro (elektrono masės, krūvio), automatiškai iš jo buvo padauginti visi sąrašo elementai (vektoriaus sandai). Taip atsitiko todėl, kad sandauga, kaip ir daugelis Mathematica komandų, turi \boldmath$\mathrm{Listable}$. Kadangi komanda \boldmath$\mathrm{Equal}[~]$ (spartieji klavišai \boldmath$\mathrm{==}$ neturi \boldmath$\mathrm{Listable}$ atributo, atskirų sandų sulyginimą turime atlikti patys:

Klaida
Taigi, gavome Lorentzo lygtis sandams dekartinėje koordinačių sistemoje. Jei reikia Lorentzo lygtis sudaryti sferinėje arba cilindrinėje koordinačių sistemoje, galima pasinaudoti vektorinės analizės paketu \boldmath$\mathrm{VectorAnalysis.m}$, kurį iškviesite \boldmath$\lt\lt Calculus{}^\backprime VectorAnalysis{}^\backprime $ komanda.

Fokusuojanti magnetinio lauko savybė

Tarkime, turime vienalytį, nukreiptą $ x $ ašies kryptimi, magnetinį lauką. Toks laukas susidaro, pavyzdžiui, tarp didelio magneto polių arba ilgo solenoido viduje, kai juo teka nuostovioji srovė. Esant tokiam laukui Lorentzo lygtys gerokai supaprastėja.

Klaida

Abu greičius $ v_x=\mathrm{d} x/\mathrm{d} t $ ir $ v_y=\mathrm{d} y/\mathrm{d} t $ taip pat užrašysime dekartinėje koordinačių sistemoje.

Klaida

Laikysime, kad pradiniu laiko momentu $ t=0 $ elektronas yra koordinačių pradžioje $ \vec{R}(0)=\vec{0} $, o jo pradinis greitis nukreiptas $ y $ ašies kryptimi. Diferencialines lygtis ir pradines sąlygas surinkę į vieną vietą, lygčių sistemą išspręsime analiziškai komanda \boldmath$\mathrm{DSolve}[~]$.

Klaida

Suteikime skaitines vertes magnetinio lauko indukcijai bei elektrono masei ir krūviui.

Klaida

Diferencialinių lygčių sprendinį vizualizuosim uždavę pradinio greičio $ v_{y_0} $ vertę. Trajektorijas nubraižysime parametrinio braižymo komanda \boldmath$\mathrm{ParametricPlot}[~]$, kurioje laikas ir tarnauja parametru.

Klaida

Matome, kad nepriklausomai nuo pradinio greičio, (pamėginkite įstatyti kelis kartus didesnes vertes ir stebėkite besikeičiančius skaičius ant koordinačių ašių, nes piešinys visada bus to paties dydžio, kaip įrašėme parinktyse) statmenos magnetiniam laukui ($ \scB _x $ yra nukreiptas iš lapo gilumos į skaitytoją) elektrono trajektorijos yra apskritimai. Iš gauto analizinio sprendinio nesunku įsitikinti, kad kiekvieną iš apskritimų elektronas apskrieja per tą patį periodą $ T=2\pi m/(e \scB _x) $. Dydis $ \omega_c =2 \pi /T=e \scB_x\,/m $ vadinamas ciklotroniniu dažniu.

Panagrinėkime kiek bendresnį atvejį, kai pradiniu laiko momentu elektronas turi du greičio sandus, nukreiptus $ y $ ir $ z $ kryptimis. Dar kartą išspręskime tas pačias diferencialines lygtis.

Klaida

Kadangi dabar trajektorija jau neguli plokštumoje, teks pasinaudoti trimate parametrinių grafikų braižymo komanda \boldmath$\mathrm{ParametricPlot3D}[~]$. Paimkime tris skirtingas pradinių greičių $ \{v_{y_0},v_{z_0}\} $ poras ir vizualizuokime tris trajektorijas erdvėje. Strėlytėmis papildomai pavaizduosime magnetinį lauką. Joms nubraižyti panaudosime \boldmath$\mathrm{PlotVectorField3D}[~]$ komandą, esančią standartiniame pakete \boldmath$\mathrm{Graphics}{}^\backprime\mathrm{PlotField3D}{}^\backprime$.

Klaida
Klaida
Iš piešinio matyti, kad elektronai juda spiralėmis išilgai magnetinio lauko. Kiekvieno periodo $ T $ pabaigoje visos spiralės kertasi viename taške. Tokiu būdu, jei atstumas tarp elektronų šaltinio (emiterio) ir ekrano, į kurį atsimuša elektronai, yra kartotinis elementariam ilgiui $ x_T=v_{x_0} T $, tada nepriklausomai nuo pradinių radialinių greičių $ v_{y_0} $ ir $ v_{z_0} $, kuriais išlekia elektronai iš katodo, visi elektronai pataiko į tą patį ekrano tašką. Tai svarbi magnetinio lauko fokusuojanti savybė, pritaikoma elektromagnetiniuose prietaisuose.

Elektrono trajektorija nesutampančių krypčių elektriniame ir magnetiniame laukuose

Vienalyčio magnetinio lauko, nukreipto $ z $ ašimi, ir jam statmeno $ x $ ašies kryptimi nukreipto elektrinio lauko atveju elektrono judėjimą aprašo lygtys

Klaida

Greičius pakeiskime koordinačių išvestinėmis pagal laiką

Klaida

ir paimkime visas nulines pradines sąlygas. Analiziškai išsprendę diferencialines lygtis komanda \boldmath$\mathrm{DSolve}[~]$, gausime nesudėtingą atsakymą:

Klaida

Iš sprendinio $ \{X[t],Y[t],Z[t]\} $ matyti, kad elektronas sukasi $ x-y $ plokštumoje ir tuo pat metu juda $ y $ ašies kryptimi. Kad tuo įsitikintume, trajektoriją vizualizuosime komanda \boldmath$\mathrm{ParametricPlot}[~]$. Tuo tikslu suteikiame skaitines vertes magnetinio lauko indukcijai bei įvedame elektrono masės ir krūvio eksperimentines vertes.

Klaida

Plokštumoje elektrinį lauką pavaizduosime strėlytėmis standartinio paketo \boldmath$\mathrm{Graphics}{}^\backprime\mathrm{PlotField}{}^\backprime$ komanda \boldmath$\mathrm{PlotVectorField}[~]$.

Klaida

Horizontalios strėlės brėžinyje rodo elektrinį lauką. Magnetinis laukas nukreiptas tolyn nuo skaitytojo. Taigi, gavome gana įdomų rezultatą: sukryžmintame elektriniame ir magnetiniame lauke elektronas dreifuoja statmenai tiek elektriniam, tiek magnetiniam laukui, mūsų atveju $ y $ ašies kryptimi. Dreifo greitį randame iš formulės

\[ v_{y_{dr}}=\frac{1}{T} \int_0^T v_y\,\mathrm{d} t = \frac{\scE_x}{\scB_z}\ . \]
Pabaigai panagrinėkime dar bendresnį atvejį, kai elektrinis ir magnetinis laukai tarpusavyje sudaro bet kokį kampą. Uždavinį sprendžiame lygiai tuo pačiu būdu. Sudarome Lorentzo lygčių sistemą.
Klaida

Užduodame nulines pradines sąlygas ir sprendžiame komanda-programa \boldmath$\mathrm{DSolve}[~]$. Dabar gauname, kad trajektorija yra trimatė.

Klaida

Suteikime parametrams skaitines vertes.

Klaida

Paimkime vienodo didumo visus tris elektrinio lauko sandus, $ \scE_x=\scE_y=\scE_z=10^5 $ V/m, magnetinį lauką, kaip ir anksčiau, nukreipkime $ z $ ašies kryptimi, $ \scB_z=0{,}01 $ T

Klaida

ir \boldmath$\mathrm{ParametricPlot3D}[~]$ nubraižykime trimatę trajektoriją:

Klaida

Laukus ir trajektoriją pavaizduokime viename brėžinyje.

Klaida
Magnetinis laukas brėžinyje pavaizduotas horizontaliomis (ekrane mėlynos spalvos), o elektrinis laukas — vertikaliomis (raudonomis) strėlėmis. Dabar gavome, kad elektronas dreifuoja parabole. Tai galima matyti iš analizinio sprendinio formos. Taigi, nesutampančių krypčių laukuose elektrono judėjimas bendru atveju susideda iš dviejų — greito ciklotroninio ir lėto dreifinio judėjimo.

Praktikoje naudojami elektriniai ir magnetiniai laukai dažnai nėra vienalyčiai, ir jiems Lorentzo lygties analiziškai išspręsti negalima, todėl elektronų trajektorijoms aprašyti ir analizuoti tenka naudoti kompiuterinius eksperimentus. Pasitelkus Mathematica, galima gana nesunkiai rasti tokių trajektorijų pavidalus. Kitame skyriuje tą ir padarysime.

Literatūra

[1]. V. Kybartas, V. Šugurovas, "Elektrodinamika", Vilnius, Mokslas, 1977

spausdinti