Adolfas Dargys, Fizikinių ir technologijos mokslų centras, Puslaidininkių fizikos institutas
Artūras Acus, Vilniaus Universitetas, Teorinės fizikos ir astronomijos institutas

CLIFFORDO GEOMETRINĖ ALGEBRA
IR
JOS TAIKYMAI

 

UDK 512
Da326

386 psl; 70 iliustr.

Geometrinė algebra, matematikų vadinama Cliffordo algebra, susiformavo praeitame šimtmetyje. Neabejotina, kad ji taps universalia XXI a. fizikų ir inžinierių matematine kalba, leisiančia patogiai formuluoti ir spręsti visų sričių uždavinius, pradedant mechanika ir baigiant reliatyvistine kosmologija. Geometrinė algebra ypač palengvina skaičiavimus daugiamatėse erdvėse, o jos bekoordinatiniai metodai labai primena daugeliui žinomą vektorinį skaičiavimą trimatėje Euklido erdvėje. Knyga skirta tiksliųjų mokslų studentams ir visiems, norintiems susipažinti su šia universalia matematine kalba.

FTMC Puslaidininkių fizikos institutas
A. Goštauto 11, http://www.ftmc.lt
Vilniaus universiteto Teorinės fizikos ir astronomijos institutas
A. Goštauto 12, http://www.tfai.vu.lt

Recenzavo dr. J. Ruseckas
dr. V. Jonauskas

ISBN 978-609-420-437-1

©Adolfas Dargys, 2015
©Artūras Acus, 2015

Turinys

Įžanga
Skyrius 1.  Pirmoji pažintis su geometrine algebra
 1.1.  Tylioji multivektorių revoliucija
 1.2.  Geometrinė, vidinė ir išorinė vektorių sandaugos
 1.3.  Multivektorius
 1.4.  Skaičiavimo pavyzdžiai planimetrijoje
 1.5.  Dar keletas argumentų, kodėl verta mokytis geometrinės algebros
Skyrius 2.  Svarbiausios geometrinės algebros sąvokos ir aksiomos
 2.1.  Vektoriai ir tiesinės erdvės
 2.2.  Multivektorių sudėtis
 2.3.  Tiesinės funkcijos
 2.4.  Žymėjimai ir terminai
Skyrius 3.  Dvimatė erdvė. Cl2,0   , Cl0,2   ir Cl1,1   algebros
 3.1.  Cl2,0   algebra. Planimetrija
 3.2.  Multivektorių daugyba
 3.3.  Multivektoriaus norma
 3.4.  Vidinės ir išorinės sandaugos trigonometrinis pavidalas
 3.5.  Ortogonalioji projekcija ir rejekcija
 3.6.  Atspindys ir vektoriaus sukimas plokštumoje
 3.7.  Trikampis
 3.8.  Cl
   0,2   algebra
 3.9.  Kvaternionai
 3.10.  Cl1,1   algebra
 3.11.  Bazės vaizdavimas matricomis
Skyrius 4.  Trimatė erdvė. Cl3,0   algebra
 4.1.  Cl3,0   bazė
 4.2.  Veiksmai su baziniais elementais
 4.3.  Elementarios multivektoriaus funkcijos
 4.4.  Multivektorinės lygtys
 4.5.  Atspindžiai ir sukimai
 4.6.  Bivektorių atspindys ir sukimas
 4.7.  Rotoriaus konstravimas
 4.8.  Transformacijos vektorius-vektorius ir bivektorius-bivektorius
Skyrius 5.  Klasikinė mechanika. Trajektorijos ir sukimai
 5.1.  Tiesės, plokštumos, sferos ir antros eilės paviršiai
 5.2.  Multivektorių priklausomybė nuo parametro (laiko)
 5.3.  Jėgos klasikinėje mechanikoje
 5.4.  Sviedinio trajektorija
 5.5.  Elektronas magnetiniame lauke
 5.6.  Dvimatis osciliatorius. Elipsinės trajektorijos
 5.7.  Centrinės jėgos. Keplerio uždavinys
 5.8.  Ryšys su Eulerio kampais
 5.9.  Standžiojo kūno sukimasis ir jo rotorius
Skyrius 6.  Laukai: kaip juos diferencijuoti bei integruoti
 6.1.  Laukai — skaliariniai, vektoriniai, bivektoriniai ir kitokie
 6.2.  Diferencijavimas ir nabla operatorius
 6.3.  Orientuotas integravimas išilgai kreivės
 6.4.  Dualioji bazė. Metrika⋆
 6.5.  Diferencijavimas kreivoje erdvėje
 6.6.  Orientuotas integravimas išilgai paviršių⋆
Skyrius 7.  Elektromagnetinis laukas ir Cl3,0   algebra
 7.1.  Maxwello lygtys Cl3,0   algebroje
 7.2.  Bėgančios bangos ir jų poliarizacija
 7.3.  Kraštinės sąlygos
 7.4.  Snellio ir Fresnelio formulės
Skyrius 8.  Schrödingerio-Paulio kvantinė mechanika
 8.1.  Paulio matricos
 8.2.  Spinoriai
 8.3.  Kvaternioninė kvantinė mechanika
 8.4.  Daugiau taisyklių
 8.5.  Dviejų lygmenų modelis
 8.6.  Schrödingerio-Paulio lygtis
 8.7.  Sukinys kvantiniame šulinyje
Skyrius 9.  Cl
  1,3   algebra ir reliatyvumo teorija
 9.1.  Cl1,3   algebra
 9.2.  Erdvėlaikis, įvykiai ir invariantiniai intervalai
 9.3.  Lorentzo transformacija arba sukimai erdvėlaikyje
 9.4.  Ką matuoja skirtingų inercinių koordinačių sistemų stebėtojai?
 9.5.  Erdvėlaikio perskėlimas
 9.6.  Reliatyvistinės dalelės kinematika⋆
Skyrius 10.  Reliatyvistinė elektrodinamika
 10.1.  Maxwello lygtys Cl1,3   algebroje
 10.2.  Lauko F savybės ir keturmatis potencialas
 10.3.  Elektrinio ir magnetinio lauko priklausomybė nuo greičio
 10.4.  Elementaraus krūvio reliatyvistinės judėjimo trajektorijos
 10.5.  Plokščia elektromagnetinė banga ir jos poliarizacija
 10.6.  Elektromagnetinį lauką spinduliuojantis krūvis⋆
Skyrius 11.  Diraco lygtis
 11.1.  Spinoriai Cl1,3   algebroje
 11.2.  Invariantai ir stebiniai
 11.3.  Diraco ir Diraco-Hestenes lygtis elektronui
 11.4.  Plokščia elektroninė banga
 11.5.  Atspindys nuo potencinio laiptelio
 11.6.  Kitos reliatyvistinės lygtys
Skyrius 12.  Clp,q  algebros
 12.1.  Multivektorius ir jo dalys
 12.2.  Involiucijos
 12.3.  Sandaugos geometrinėje algebroje
 12.4.  Kitos geometrinėje algebroje naudojamos sandaugos
 12.5.  Cliffordo algebrų klasifikacija
 12.6.  Pagrindinė analizės teorema. Orientuotasis integralas⋆
 12.7.  Fundamentalusis vektorinis diferencialinis operatorius ∇
 12.8.  Holomorfiškumo savybė ir bekoordinatinis išvestinės apibrėžimas⋆
 12.9.  Vietoje pabaigos
Skyrius 13.  Priedas
 13.1.  Cl3,0   ir Cl
   1,3   algebrų savybės
 13.2.  Bendrieji vektoriai ir bivektoriai
 13.3.  Vektorių sandaugos
 13.4.  Sandaugos su bivektoriais
 13.5.  Bendrosios menčių savybės
 13.6.  Kvaternionai
 13.7.  ∇ savybės
 13.8.  Formulių prastinimas ir pertvarkymas
 13.9.  Rekomenduojama literatūra
  Žymenys
  Literatūra
  Rodyklė

Įžanga

Prieš nusprendžiant, ar verta mokytis naujos matematikos, visada iškyla klausimas – ar pastangos atsipirks? Nauja teorija bus suprantama ir, kaip pasekmė, naudinga tik tada, jei teorijoje apibrėžti objektai ir operacijos su jais bus paprasti ir akivaizdūs. Prisiminkime, pavyzdžiui, aritmetiką. Senovės graikai skaičius žymėjo raidėmis. Nenuostabu, kad tais laikais net ir toks paprastas veiksmas kaip dviejų triženklių skaičių sudėtis reikalavo nemažai išmanumo ir pastangų. Nulio išradimas ir pozicinė skaičiavimo sistema skaičiavimus taip palengvino, kad dabar sudėtis ir atimtis nekelia sunkumų net pradinukams. Panašiai, atradus kompleksinius skaičius ir išmokus juos vaizduoti kompleksinėje plokštumoje, pasidarė įmanoma išspręsti daug sudėtingų praktinių uždavinių. Kažkada tai buvo naujovė. Dabar su kompleksiniais skaičiais susipažįstama dar mokykloje.

Šiuo metu universitetuose mokoma vektorinio skaičiavimo [13]. Tai labai svarbus matematinis instrumentas, leidžiantis labai ekonomiškai suformuluoti ir išspręsti mechanikos, elektrotechnikos, hidrodinamikos, aerodinamokos, elektrodinamikos ir kitus uždavinius. Metodas yra bekoordinatinis ir turi aiškią geometrinę interpretaciją. Tai leidžia formules užrašyti labai taupiai, o sąryšius tarp formulių pavaizduoti grafiškai. Deja, jis tinka tik dviejų ir trijų matavimų euklidinei erdvei. Vektorinio skaičiavimo neįmanoma apibendrinti didesnių matavimų erdvėms, pavyzdžiui, keturmačiam reliatyvumo teorijos erdvėlaikiui, be kurio neįsivaizduojama visa šiuolaikinė fizika.

Geometrinę algebrą (matematikai ją vadina Cliffordo algebra) galima įsivaizduoti kaip apibendrintą vektorinį skaičiavimą, tinkantį daugiamatėms tiek euklidinėms, tiek ir Minkowskio metrikos erdvėms. Ji susidoroja su visais vektorinio skaičiavimo sunkumais. Geometrinė algebra leidžia formuluoti ir spręsti uždavinius iš pačių įvairiausių fizikos sričių: pradedant Newtono ar kvantine mechanika, elektrodinamika, reliatyvumo teorija ir baigiant kosmologija ar stygų teorija. Tai glausta, universali, turinti aiškią geometrinę prasmę matematinė kalba, tinkanti pačioms įvairiausioms fizikinėms ir matematinėms teorijoms, kurias galima suformuluoti nenaudojant koordinačių ir tenzorinio skaičiavimo. Geometrinė algebra taip pat labai sėkmingai taikoma sprendžiant sudėtingus robotikos, objektų atpažinimo ir kompiuterinės grafikos uždavinius.

Jei jau nauja matematinė kalba tokia ideali (ji dar vadinama XXI a. universalia matematine kalba), tai kyla klausimas, kodėl šiandien geometrinė algebra dėstoma tik didžiausiuose pasaulio universitetuose? Priežasčių rastume ne vieną. Pirmiausia, kam mokytis naujos kalbos, jei viską, tegu ir naudojant kelis kartus daugiau simbolių ir sudėtingesnes formules, galima pasakyti senąja kalba — ta, kuria tave patį mokė universitete? Antra, seni įpročiai neišnyksta, kol jų ilgainiui nenustelbia neginčijami naujo požiūrio pranašumai. O tai ilgas procesas. Kita vertus, yra per mažai knygų, nors anglų kalba tokios literatūros jau yra ir visai nemažai. Knygos gale skaitytojas ras tokių knygų sąrašą, padėsiantį jam toliau gilintis į naują matematikos šaką.

Knyga, kurią laikote savo rankose, yra pirmoji šiam metodui skirta knyga lietuvių kalba. Ji supažindina skaitytoją su geometrine algebra ir jos taikymu įvairiose fizikos srityse. Matematinė ir taikomoji dalys knygoje nėra atskirtos viena nuo kitos. Stengėmės, kad jos viena kitą papildytų: susipažinus su geometrinės algebros matematiniu aparatu, iš karto stengėmės pademonstruoti kaip jį taikyti, performuluojant įvairias fizikines teorijas ir sprendžiant uždavinius.

Knyga skirta tiksliųjų mokslų studentams ir specialistams norintiems susipažinti su nauja, paprasta ir universalia matematine kalba bei jos taikymu fizikoje. Sunkesni skyriai, kuriuos pirmą kartą skaitant galima praleisti, pažymėti žvaigždute. Knygą lydi Mathematica kalba parašyti sąsiuviniai ir programinis paketas, skirtas skaičiavimams geometrinėje algebroje palengvinti, kurį galite atsisiųsti iš http://mokslasplius.lt/files/GA.html portalo. Lietuvių kalba Mathematica aprašyta knygoje [4].

Autoriai nuoširdžiai dėkoja dr. Juliui Ruseckui ir dr. Valdui Jonauskui savo dalykinėmis pastabomis padėjusiems pagerinti knygos turinį. Ypatingai esame dėkingi dr. Laimai Kuzmickytei, atidžiai perskaičiusiai rankraštį ir ištaisiusiai kalbos klaidas.

Vilnius, 2015 gegužis