Kaip Lietuvoje tramdomas chaosas (1)
Grūdais geriau nemokėti
Tai štai plokštumoje Puankarė parodė, kad atraktoriai gali būti du: arba rimties taškas, arba ribinis ciklas. O ribinis ciklas – tai reguliarūs periodiniai virpesiai, kurie nesustoja, tačiau jokio chaoso nėra. Todėl tyrinėtojai ir manė, kad visos deterministinės sistemos gali elgtis dvejopai: arba artėti į rimties būseną ir toje būsenoje sustoti, arba artėti į ribinį ciklą – tada virpa pastovia amplitude ir pastoviu dažniu (griežtai periodiškai).
O kaip yra iš tikrųjų?
Iš tikrųjų tai yra labai sudėtinga. Užbėgant už akių galima parodyti lyg ir paprastą svyruoklės svyravimą, kurį veikia magnetas, bet visiškai neprognozuojamą virpesių sistemą.
Lyg ir paprasti dalykai, bet norint tuos svyravimus aprašyti, reikia labai daug gilaus mokslo. Net jei ir nedaug lygčių, bet labai sudėtingi sprendiniai. Procesas toks sudėtingas, kad panašus į chaosą. Tame ir grožis – labai paprastos sistemos, o elgiasi labai sudėtingai.
Kompiuteryje sumodeliavau dvigubos svyruoklės svyravimus idealiomis sąlygomis (be trinties). Svyruoklės visiškai vienodos, paleidžiamos svyruoti iš visiškai vienodų pradinių sąlygų – kompiuterio ekrane tą nesunku pasiekti. Pakabinu skirtingai nuspalvintas svyruokles viename taške: jų svyravimai sutampa, todėl matau tarsi vieną svyruoklę.
Dabar tą svyravimo kampą tarp svyruoklių praskiriu per tūkstantąją procento dalį. Reikia visai nedaug virpesių, kad svyruoklės bemat išsiskirtų. Trys virpesiai, ir jau visiškas nesutapimas. Išvada: negalime prognozuoti net tokios paprastos sistemos, nebent labai trumpą laiką. Tai chaoso padarinys. Svyravimo išsiskyrimas vyksta pagal eksponentinį, t. y. nepaprastai spartaus kitimo dėsnį. Kitimas geometrine progresija. Norėdami pailiustruoti tą greitumą, prisiminkime legendą apie šachmatų atradėją.
Tą patį, kuris paprašė valdovą už šachmatų išradimą užmokėti grūdais?
Taip. Ant pirmo langelio jis paprašė padėti vieną grūdą, ant antro – du, trečio – keturis ir t. t. Taigi už paskutinį26 64-tąjį langelį išradėjui tektų sumokėti 263 grūdų. Jei grūdas svertų 0,1 g, ant 64-ojo langelio tektų padėti 1012 t grūdų. Tai yra mažiau, negu Žemės rutulio masė, bet vis vien tai yra labai didelis kiekis grūdų, kurio valdovas, aišku, neturėjo.
Pavyzdys rodo, kaip sunku žmogui įsivaizduoti eksponentiško augimo spartą. Taip pat greitai prasiskiria dvi svyravimų trajektorijos kai yra chaosas. Štai kodėl neįmanoma tokio svyravimo prognozė.
Liapunovo laikas Tačiau egzistuoja tam tikras laiko momentas iki akimis stebimo svyruoklių svyravimo išsiskyrimo? Iš tikrųjų svyruoklių svyravimai iškart skiriasi, tik mūsų akys to neišskiria?
Iš tikrųjų – nematome. Kai pamatome, skirtumas jau būna didžiulis ir vis didėja.
Kodėl rusų matematiko Sergejaus Liapunovo (1859–1924) pavarde pavadinta ta laiko atkarpa, per kurią pastebimas dviejų svyruoklių svyravimo išsiskyrimas? Juk Liapunovas nebuvo chaoso tyrinėtojas.
Chaoso tyrinėjimai – tai visai nauji laikai, o Liapunovas sugalvojo dinaminių sistemų stabilumo kriterijus pagal artimų trajektorijų prasiskyrimą. Liapunovo vardas išpopuliarėjo, kai į chaoso teoriją buvo įvestas minėtasis Liapunovo rodiklis. Jis naudojamas labai plačiai.
Kompiuterinės galimybės mums leidžia labai vaizdingai modeliuoti panašius uždavinius. Štai du masyvūs kūnai – žvaigždės. Jų vienodos masės, ir jos sukasi apskritimais apie judviejų masių centrą. Paprastas dviejų kūnų uždavinys, kurį išsprendė Niutonas. Dabar prie šio labai aiškaus uždavinio įveskime trečią kūną, tarkime, mažos masės palydovą, kuris žvaigždžių judėjimo neveikia, bet jaučia tų žvaigždžių trauką. Kaip palydovas judės?
Įsitikinsime kompiuterio ekrane, kad šio palydovo judėjimas bus labai sudėtingas. Ekrane matome šią sistemą aprašančių diferencialinių lygčių sprendinį – trajektorijos pavidalo.
Iš daugybės tų kreivių visumos ekrane matyti, kad praktiškai palydovas (per gana ilgą laiką) aplankys bet kurį jam pasiekiamą erdvės tašką. Nežinau, ar aiškiai pasakiau. Ekrane matau tokį trajektorijos atliekamą „kaltūną“, kad galva sukasi.
Iš tiesų taip. Panašūs dariniai mūsų Saulės sistemoje buvo aptikti. Saturno palydovas Hiperonas panašiomis kreivėmis užpildo savo orbitos erdvę.
Kas vis dėlto nutiks Žemei Kaip vis dėlto šiandienos mokslas atsako į Švedijos karaliaus 1887 m. užduotą klausimą: ar Saulės sistema stabili?
Į šį klausimą ligi šiol neatsakyta. Kompiuteriu asimptotinio stabilumo uždavinio neišspręsime, tokį uždavinį galima spręsti tik analiziškai. O analiziškai daugelio kūnų problema neišsprendžiama. Todėl klausimas atviras: ar mūsų Žemė kada nors nukris ant Saulės, o gal priešingai – išskris į Visatos erdvę? To niekas nežino.
Jau nekalbant apie tai, kad įmanomi ir išoriniai poveikiai į Žemę?
Jeigu į Žemę įsirėžtų atskriejusi kometa, tai tokių padarinių išvis neįmanoma prognozuoti. Aišku, yra ir tokia tikimybė. Esama hipotezių, kad ir Žemės ašį pasuko kometa. Orientavo Žemės ašį taip, kad joje galėjo atsirasti gyvybė. Visai galimas dalykas.
O šiuolaikinio chaoso mokslo pradžia siejama su E. N. Lorenco (Lorenz) vardu. Aš jį pažįstu, jis dar gyvas ir sveikas.
Bet apie tai, Profesoriau, kitą kartą. Juk turime galvoti ir apie skaitytojus.
Bus daugiau
Kalbėjosi Gediminas Zemlickas
Nuotraukose:
Prof. Kęstutis Pyragas demonstruoja trijų magnetų veikiamą svyruoklę.
Visatą Pjeras Simonas Laplasas įsivaizdavo kaip sudėtingą mašiną (laikrodžio mechanizmą)
